浙江省宁波市九校2024-2025学年高三上学期期末联考数学试题（解析版）

第1页/共1页宁波市2024学第一学期期末九校联考高三数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算求解即可.【详解】，故选：C2.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式后，根据补集运算求解.【详解】因为，，所以，故选：D3.已知向量，，则是的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据向量平行的充要条件求出即可得解.【详解】因为向量，，所以，即，解得或，所以是的充分不必要条件，故选：B4.展开式中的系数为（）A. B.5 C.15 D.35【答案】A【解析】【分析】由分类、分步计数原理结合组合数即可运算求解.【详解】若要产生这一项，则当在中取1时，再在中取2个、取4个1，当在中取时，再在中取3个、取3个1，所以展开式中的系数为.故选：A.5.圆台的上下底面半径分别为1和3，圆台的母线与下底面所成角为，则圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据圆台上下底面半径以及夹角之间的关系求出圆台的高，再利用圆台的体积公式求解即可.【详解】由题意该圆台的轴截面如图所示，设上下底面半径分别为，圆台的高为，则由题意可得，，所以，所以圆台的体积，故选：D.6.下列不等式正确的为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】幂函数的单调性判断A，根据指数与根式化简可判断B，利用对数函数的性质及换底公式可判断C，根据正弦函数的单调性判断D.【详解】由幂函数在上为增函数可知，，故A错误；由，故B错误；由，所以，故C正确；因为，，即，又，即，所以，即，故D错误.故选：C7.如图，直线与函数交点的横坐标分别为，，，若，，则（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】结合图象可知，，从而可解，进而求值.【详解】由图象知图象的对称轴为直线，即，可得，又图象的对称中心为，即，所以，可得，解得，又，所以，所以，则.故选：A8.在平面直角坐标系中，若点到直线的距离不小于2，则的取值范围为（）A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】由点A的坐标消参可得点所在轨迹方程为圆，利用圆心到直线的距离求出圆上点到直线最近距离，建立不等式求解即可.【详解】由点可知，点A在圆上，圆心到直线的距离，由题意知，即，化简可得，解得，故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞，共有多少种选择方式，下列各式表述正确的为（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】应用分步乘法原理结合组合数计算即可.【详解】从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞，先从40个能歌善舞的人中选择15个人有种选择，再从15个人参加艺术节表演中选择7个人唱歌有种选择，剩下的8人跳舞，共有种选择方式，A选项正确；先从40个能歌善舞的人中选择7个人唱歌有种选择，再从剩下33个人中选择8个人跳舞有种选择，共有种选择方式，B选项正确；先从40个能歌善舞的人中选择8个人跳舞有种选择，再从剩下32个人中选择7个人跳舞有种选择，共有种选择方式，C选项正确；不能满足从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞，D选项错误；故选：ABC.10.如图，圆锥SO的底面圆直径为AB，，，D为底面圆上的动点，则（）A.当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为30°B.当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为60°C.直线SD与AB所成角的最小值为45°D.直线SD与AB所成角的最大值为60°【答案】BC【解析】【分析】作出两条异面直线所成的角求解即可判断AB，根据线面角的定义及性质可判断CD.【详解】过作直线分别平行于，交分别为，连接，如图，则为直线与所成的角，即，且为直线所成的角，设，则，在中，，所以，故A错误，B正确；对于C、D，易知直线与所成角的最小值即为直线与底面所成角，同时直线与所成角的最大值为直线与所成角，故D错误，C正确.故选：BC11.已知函数，数列满足，前项和为．则（）A.函数的对称中心为B.函数为奇函数C.不等式解集为D.若，，则的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】A：计算的和是否为即可判断；B：设，计算的和是否为即可判断；C：根据函数的单调性和对称中心即可判断；D：利用数列求和得到，再根据基本不等式求最小值即可.【详解】.所以函数关于对称，A正确；令，则，由A知，，所以.所以不是奇函数，B错误；因为，所以因为在R上单调递增，所以，，C正确；由A知，，且，，.又因为，所以.时，，当且仅当即，，时等号成立；时，，当且仅当即，，时等号成立；所以若，，则的最小值为，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数据的平均数为3，方差为1，则数据，，，…，的平均数与方差的和为__________．【答案】19【解析】【分析】根据平均数和方差的公式即可计算.【详解】设数据，，，…，平均数为，方差为，设，设的平均数为，方程为，则有，，所以，故答案为：19.13.过点的直线与抛物线交于两点，且，，则__________．【答案】【解析】【分析】根据两直线垂直可得直线方程，与抛物线方程联立利用韦达定理可求，根据可求的值.【详解】由题意得，，∵，∴，故直线方程为，即，设，则，由得，，，∴，∵，∴，解得.故答案为：.14.已知函数有两个极值点，，当时，的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题可得，令，可得关于n的表达式，然后可得关于n的表达式，最后分别利用导数研究，，可得答案.【详解】，因有两个极值点，，则.令，则，则，，两式相除可得，又，则.构造函数，，令，两边取对数得：，两边求导数，可得，则，因x1x−1xx−12>0，则令，则，故上单调递减，则，则，即在上单调递减.则，则，对于，注意到，因，则，则.则，，构造函数，则，则在上单调递减，故，即.故答案为：.【点睛】关键点睛：对于形如，等形式函数的求导，可参照解析中的过程引入辅助变量y解决；为重要极限，对于学有余力的同学可了解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球．（1）若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率；（2）若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先求出从甲箱中任取2个小球的事件数，再求出这2个小球同色的事件数即可得出；（2）先求出从从甲箱中取出2个小球的各种情况的概率，再利用条件概率公式求解.【小问1详解】从甲箱中任取2个小球的事件数为，这2个小球同色的事件数为，所以这2个小球同色的概率为．【小问2详解】设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”，事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”，事件为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”，事件为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”，则事件，，彼此互斥．，，，，，，所以，所以取出的这个小球是白球的概率为．16.已知函数．数列的首项．以后各项按如下方式取定：记曲线在处的切线为，若，则记与轴交点的横坐标是．（1）证明：数列为等比数列；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用导数来求出切线，再求出与轴交点横坐标，从而可得到数列的递推关系，然后再利用证明的等比数列后一项，通过递推代入得到与前一项的关系，再加以说明非0，即可得证等比数列；（2）利用第一问即可求得，从而利用错位相减法来求数列的前项和即可.【小问1详解】由，得，曲线在处的切线方程为，根据题意令可得，，由，因为，所以，且由得，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列．【小问2详解】由上式得，，则，①两边乘以2可得：，②.由①－②得，，所以．17.如图，三棱锥中，，．异面直线和所成角的余弦值为，点是线段上的一个动点．（1）证明：平面平面；（2）若二面角的正弦值为，求．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）结合题目条件，利用线面垂直可证面面垂直.（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可求结果.【小问1详解】法一：（几何法）如图，取中点，由，得，作，，则四边形为菱形，且，连接，，，则，.∵异面直线与所成角的余弦值为，∴，当时，，此时，不能构成，舍去，故，，∵，，∴为直角三角形，故，∴，即，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．法二：（基底法）如图，取中点，由，得，，故二面角的平面角为，由题意，得，，设，，，．则，，，，，，∵，∴，∴或（舍去），∴，此时，平面平面．【小问2详解】如图，以，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，，设，，则，∴，得，故.设平面的法向量，则令，得，，即，设平面的法向量为，则令，则，即，设二面角的平面角为，则，得或（舍），故，∴，故.18.如图，双曲线左右焦点分别为，，双曲线与有相同的渐近线和焦距．过上一点作的两条切线，切点分别为A，B，A在轴上方，连接AB交于点M．（注：过曲线外一点作曲线的两条切线，则两切点所在直线方程为）（1）求双曲线的方程；（2）证明：直线AB与切于点M，且；（3）当点在第三象限，且时，求的值．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据双曲线的渐近线及焦距列方程求解即可；（2）联立直线与双曲线方程，根据相切求出切点横坐标，再联立直线与双曲线方程，利用根与系数关系可得出为中点得证；（3）法一可由直线，联立求出点坐标，代入双曲线方程求出，再由三角形面积公式得解，法二利用，，求出即可得解.【小问1详解】的渐近线方程为，，的渐近线方程为，，所以，得，，所以双曲线的方程为．【小问2详解】已知，且满足，设切点，，，根据题意得，直线AB方程为．直线AB与联立，得，化简得，，所以直线AB与切于点．所以，．直线AB与联立，得，即，得，所以，即为中点，所以．【小问3详解】法一：因为，则，直线与直线联立，得，即，将点代入，得，化简得，由得，，所以．法二：因为，，点与点关于原点对称，所以．因为，所以，因为，所以，所以，，所以．【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于直接算面积需要求出，或者利用三角形面积之间关系可转化为求，不论那种方法，都需要较强的运算能力.19.（1）证明：；（2）当时，利用所给图形证明（1）中等式；（3）如图，的外接圆半径为1，，的一个外角的角平分线交外接圆于点D，过D作于点M，利用（1）中等式，证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据，利用两角和的