浙江省名校协作体2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题（解析版）

第1页/共1页2024学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系得出结果.【详解】由题意知，，所以直线的斜率为，即（为直线倾斜角），由，解得.故选：B.2.已知直线l的方向向量，平面的法向量，若直线l与平面平行，则实数x的值为（）A.7 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根据直线与平面平行可得，利用空间向量的数量积运算可得结果.【详解】∵直线l与平面平行，∴，∴，解得.故选：B.3.已知直线与直线垂直，则实数m的值为（）A.3 B. C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】根据两直线垂直的公式计算可得实数m的值.【详解】由题意得，，解得.故选：A.4.已知双曲线的焦距为，则m的值为（）A.4 B.2 C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件得出及双曲线的性质，即可求出m的值.【详解】由焦距为，，则，解得：，故m的值为1.故选：C.5.圆与圆的公共弦长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程，再根据垂径定理和点到直线的距离公式可得.【详解】圆的圆心为，半径为，联立与得公共弦所在直线为，圆心到直线的距离为，故弦长为，故选：C6.已知等差数列，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的概念可确定选项.【详解】设等差数列的公差为，则.当时，，∴由可得.当时，，恒成立，不能得到，∴由不能得到，∴“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7.在直三棱柱中，，，P是棱的中点，则C到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合三棱锥得体积，直接使用等体积法得到答案.【详解】由条件可得是等腰直角三角形，且，故，所以,,设P到直线的距离为h，则由,可知,设所求距离为d，因，则，解得：.故选：D.8.已知F为抛物线的焦点，其中O为坐标原点，直线l交抛物线C于A、B两点，，点F关于直线的对称点为H，则直线的斜率的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，联立抛物线方程，由，结合韦达定理求得，再由对称性求得H坐标，通过斜率公式，构造函数，求导确定最值；【详解】由题意可知，直线的斜率不为0，设联立抛物线方程，消去可得：，所以又，所以，解得：，所以，又，设，所以，解得：，所以，结合图像可知，要使斜率最大，需在第一象限，所以，令，，令可得：，可得：，所以在单调递增，单调递减，当时，取得最大值，故选：C【点睛】关键点点睛：通过对称性求得坐标，通过斜率公式构造函数求导求最值.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.给出下列命题，其中正确的有（）A空间中任意两个向量一定共面B.若空间向量，，则与的夹角为钝角C.若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线D.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底【答案】ACD【解析】【分析】根据向量的性质可判断A；利用空间向量坐标计算，即可判断B错误；根据空间基底的性质及定义，可判定CD正确.【详解】对于A，因为空间中任意两个向量都可以平移至起点重合，成为同一个平面的两个向量，故A正确；对于B，cosa,b对于C，基底的性质知，空间基底是由非零且不共面的三个向量构成，故C正确；对于D，由是空间的一个基底，设，显然不存在实数使得成立，所以一定不共面，则也是空间的一个基底，故D正确；故选：ACD10.已知等差数列，的前项和分别为，，则下列结论正确的有（）A.若，则为常数列 B.若，则为常数列C.若，则 D.若，则是递增数列【答案】ACD【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前项求和公式计算，判断ABC，结合二次函数的图象与性质即可判断D.【详解】设等差数列的公差分别为.若，则，即，，即，，即，解得，所以等差数列为常数列，故A正确，B错误；若，则，即，，即，，即，解得，所以，故C正确；，所以，而函数在上单调递增，又，所以数列为递增数列.故选：ACD11.在平面直角坐标系中，圆锥曲线可以用方程来表示，图形的几何性质被方程的系数所确定．曲线的方程是依赖于坐标系的，而方程所表示的曲线的几何性质是不依赖于坐标系的，所以表示这些几何性质的量，如圆锥曲线的离心率，焦距等，不会由于直角坐标系的位置变化而变化．已知某圆锥曲线的方程为，是曲线上任意一点，则（）A.该曲线关于坐标原点O对称 B.的取值范围是C.该曲线是双曲线，离心率为 D.该曲线是椭圆，离心率为【答案】AD【解析】【分析】令，代入原方程即可判断A；利用基本不等式，令，结合三角函数的性质计算即可判断B；令，代入原方程，结合椭圆的标准方程和离心率的概念计算即可判断CD.【详解】由，得，则曲线关于原点对称，故A正确；由题意知，（当且仅当时等号成立），得，则，所以；令，由，得，即，得（当时等号成立），即，所以，故B错误；令，代入，得，整理得，即，所以曲线为椭圆，离心率为，故C错误，D正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：解决本题CD选项的关键是利用坐标的变换（令），将原方程转化为椭圆的标准方程即可突破.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知公比不为的等比数列满足，则正整数的值为______．【答案】【解析】【分析】根据等比数列下标和的性质可得的值.【详解】∵数列是公比不为的等比数列，且，∴，∴.故答案为：.13.已知圆，其中为坐标原点，直线与圆交于点，则的面积的最大值为______．【答案】2【解析】【分析】由题意，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，根据几何法求弦长，表示出三角形的面积为，结合导数求出面积的最大值即可.详解】如图，点到直线的距离为，则，，所以，令，则，所以函数在上单调递增，得，即的最大值为.故答案为：214.在正方体中，点P是线段上的一点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，代入空间线面角公式，分和再利用换元法结合二次函数的性质求出范围即可.【详解】设正方体的棱长为2，以为原点建立空间直角坐标系，，设，则，设平面的法向量为，则，取，设直线与平面所成的角为，则，当时，，当时，，设，，所以，综上，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题关键是能够利用空间线面角公式表示出所求角，再利用二次函数的性质求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的前n项和为，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据与的关系可求数列的通项公式.（2）根据裂项相消法可求数列的前n项和．【小问1详解】当时，，当时，，符合上式，∴.【小问2详解】由（1）得，，∴．16.在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）设P是直线上的一点，过P向圆C引两条切线，切点为A、B，使得为正三角形，求点P的坐标．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求得曲线与坐标轴的交点，根据圆的几何性质设圆心坐标为，利用两点间的距离公式列方程解得的值，即可得圆C的方程；（2）根据等边三角形和圆的几何性质可得，根据点P在直线上设，根据两点间的距离公式列方程即可解得的值，进而得点P的坐标.【小问1详解】曲线与坐标轴的交点为，，．由题意可设C的圆心坐标为，所以，解得，则半径，所以圆C的方程为．【小问2详解】由题意得，在中，，设，则，解得或，所以点P的坐标为或．17.如图，在四棱锥中，，，，是的中点．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，连接，，即可证明四边形是平行四边形，从而得到，即可得证；（2）取中点，连接，，即可证明平面，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】取中点，连接，，由条件可知，是的中位线，所以且，又因为且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；【小问2详解】取中点，连接，，因为，，所以，即，所以为等腰直角三角形，则，在直角梯形中，且，所以四边形为平行四边形，又，所以为矩形，所以，，由，故，又因为，，平面，，所以平面，如图以为坐标原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，故，，，，，设平面的一个法向量为，则，得取，设平面的一个法向量为，则得取，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为．18.已知椭圆的离心率为，长轴长为4．（1）求椭圆C的方程：（2）过点的直线交圆于点M、N，直线垂直，且交C于点P、Q，交于点A．记，的面积分别为，．（i）若，求t的取值范围；（ii）是否存在常数t，使得为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（i）；（ii）存在，，理由见解析【解析】【分析】（1）由长轴长，离心率，求出，得到椭圆方程；（2）（i）由垂径定理，由对称性可知，根据面积之比得到，A是的中点，时，得到，时，联立求出点坐标，进而得到点坐标，表达出直线的方程，求出，并得到，换元后，由对勾函数单调性得到，从而得到答案；（ii），由（i）可知，，由垂径定理得，所以，故当，即时，即为定值3．【小问1详解】由题意知：，，解得，，故，所以椭圆C的方程为．【小问2详解】（i）由垂径定理可得A是的中点，即，由对称性可知，易知，，故，所以，故A是的中点．①当时，易知，故由中点坐标公式得，此时；②当时，由得，解得，故由条件可知，由中点坐标公式得，故直线的方程为：，令得，由直线过点，故．由可知得，又，故，此时令，则，则，任取，，则，因为，，所以，，所以，即，故当时，t单调递减，故．综上，取值范围是．（ii）由题得，由（i）可知，故，又，直线，即，所以，故，由垂径定理得，所以，故当，即时，，即为定值3．【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．19.已知数列，，定义和的“生成数列”为：，，其中表示和两个数中较小的数；定义和的“生成点列”为：．（1）若，，，，求的值及线段的长；（2）若，求的所有可能值；（3）若，求的最大值，并求出此时所有可能的数列与．【答案】（1），（2）21或19（3）的最大值为58，答案见解析【解析】【分析】（1）根据“生成数列”的定义可计算的值，结合题目条件得到的坐标即可得到线段的长.（2）分类讨论的值即可计算结果.（3）通过计算得到，根据不成立可得的最大值为58，由此可列出所有可能的数列与.【小问1详解】由题可知，，，因为，，所以．【小问2详解】若，，，，则，，若，，，，则，，综上：的可能取值为21或19．【小问3详解】当时，，所以，，，，即，故是下述“Z”型折线中的各数之和的最小值．下面尝试寻求的最大值，为了使得和尽量的大，上述“Z”型折线应该尽量经过较大的数字，故我们可以尝试下述填法：20121212此时不难进一步得到下述填法：2012621212101712，，，，．下面我们证明58是最大值，设存在某种填法，使得，情形一：若，则，矛盾，从而；情形二：，则，此时填法如下2012从而，所以，所以，①若填法为20121212则，所以，所以，故填法如下：201212121210则，所以，矛盾，舍；②若填法为20121210