新疆维吾尔自治区乌鲁木齐地区2024-2025学年高三上学期第一次质量监测数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页新疆维吾尔自治区乌鲁木齐地区2024-2025学年高三上学期第一次质量监测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=1,3,5，B=0,1,2,4，则A∪B=（A．0,1,2,3,4,5 B．0,1,2,4 C．1,3,5 D．1【答案】A【分析】由并集的运算即可求解；【详解】由A=1,3,5，B=则A∪B=0,1,2,3,4,5故选：A2．复数1−ii=A．1+i B．1−i C．−1+i【答案】D【分析】根据复数的除法计算后可得正确的选项.【详解】1−i故选：D.3．在公差不为0的等差数列an中，若S10=5a1A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】根据等差数列前项和公式和等差数列的通项公式计算即可.【详解】设等差数列an的公差为d，则d≠0由S10=5所以9=k−1，即k=10.故选：D.4．新高考改革方案采用“3+1+2”模式，“3”即全国统考的语文、数学、外语，“1”即在物理、历史2门首选科目中选考1门，“2”即在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选考2门.选考方案有（

）A．6种 B．8种 C．12种 D．15种【答案】C【分析】利用组合知识和分步乘法计数原理得到答案.【详解】从物理、历史2门首选科目中选考1门，有C2在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选考2门，有C4故选考方案有2×6=12种.故选：C5．已知等边三角形ABC的边长是2，D、E分别是AB、AC的中点，则BE⋅CD=A．−332 B．−32 【答案】B【分析】将向量BE、CD用基底BA,BC表示，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得【详解】如下图所示：因为等边三角形ABC的边长是2，D、E分别是AB、AC的中点，则CD=−由AE=EC得BE−由平面向量数量积的定义可得BA⋅因此，BE⋅故选：B.6．若a,b∈R，则下列命题正确的是（

A．若a>b，则a2>b2 C．若a<b，则a2<b2【答案】D【分析】利用特殊值判断A、B、C，利用不等式的性质判断D.【详解】对于A：当a=0，b=−1时满足a>b，但是a2对于B：当a=1，b=−1时满足a≠b，但是a2对于C：当a=−2，b=−1时满足a<b，但是a对于D：若a>b，则a>b≥0，所以故选：D7．如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线AA1=4，若母线AA1放置在水平地面上时，水面恰好过OAA．23−3π B．43−【答案】B【分析】根据两种放置方式水的体积不变即可求得.【详解】如图，设圆柱底面半径为r，则当母线AA1水平放置时，圆柱中含水部分可以看作是以弓形BAC为底，因为水面过OA的中点，则∠BOC=2∠BOA=2π则弓形BAC的面积为S1当底面圆O水平放置时，底面圆的面积为S2=πr则由水的体积不变可得：13S1解的：ℎ=4故选：B.8．已知函数fx=x−a，gx=x+ax，当x>0A．−∞,0 B．−∞,8 C．【答案】D【分析】取特值f2≤g2解得0≤a≤8，整理可得ax2【详解】因为当x>0时，fx则f2≤g2整理可得a2−8a≤0，解得若0≤a≤8，则0≤x−a整理可得ax令t=x2>0，则x构建ℎt=2t可知ℎt在0,+若y=at−1与y=ℎ设切点坐标为t0,2t则切线方程为y−2t0注意到直线y=at−1过定点1,0，则3整理可得t0−2t可得t0−2=0，即t0结合图象可知：0≤a≤8，所以a的取值范围是0,8.故选：D.【点睛】关键点点睛：取特指确定a的必要条件，这样可以简化讨论和计算.二、多选题9．关于双曲线4x2−A．实轴长为16 B．焦点坐标为0,45，C．离心率为52 D．渐近线方程为【答案】ABC【分析】将双曲线方程化为标准形式，求解长轴判断A，求解焦点坐标判断B，求解离心率判断C，求解渐近线方程判断D即可.【详解】因为4x2−则y2−4x2=64对于A，则实轴长为2a=16，故A正确，对于B，焦点坐标为0,45，0,−4对于C，离心率为e=c对于D，渐近线方程为y=±2x，故D错误.故选：ABC10．关于x的函数fx=sinA．函数fx的最小正周期B．若α+β=0，则fxC．若α+β=π2，则x=πD．若f0=12【答案】BCD【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：整理可得fx=2cosα⋅sinx，即判断奇偶性；对于C：整理可得【详解】函数fx的定义域为R对于选项A：例如α=0,β=π则fx此时函数fx对于选项B：若α+β=0，即β=−α，可得fx可知函数fx对于选项C：若α+β=π2，即可得fx则fπ所以x=π4是对于选项D：若f0=1可得sinα+sinβ=因为sinα+即2+2cosα−β=故选：BCD.11．给定棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1DA．三棱锥C1B．若点M在线段AD1上，则异面直线BM与C．若点M在线段AD1上，则MD．若BM=233，则点【答案】ABC【分析】建立空间直角坐标系，求出底面积，再利用点到平面的距离公式求出点面距离，求出体积是定值判断A，利用线线角的向量求法求出线线角，得到定值判断B，作出展开图，利用先判断最小值是线段A1【详解】如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，连接C1设M(x,0,z)，C(0,1,0)，则CM=(x,−1,z)对于A，易得面B1BCC1的法向量为n=(0,1,0)，设M由点到平面的距离公式得d=1×(−1)1=1则VC1−MBC对于B，因为点M在线段AD1上，所以而A(1,0,0)，D1(0,0,1)，则AD得到x−1=−λ，z=λ，解得x=1−λ，即M(1−λ,0,λ)，如图，连接B1C,BM，由题意得B(1,1,0)，则B1C=(−1,0,−1)，BM=(−λ,−1,λ)，设异面直线BM与则cosβ=(−1)×(−λ)+(−1)×λ(−1)2+即异面直线BM与B1对于C，如图，将面A1D1DA沿着AD由题意得四边形A1D1得到∠A1AD=∠D而MA1+MB≥由余弦定理得−22=对于D，如图，连接BM，此时B(1,1,0)，M(x,0,z)，则由两点间距离公式得BM=(x−1)因为BM=233两边同时平方得(x−1)2+1+z则M的轨迹是以A为圆心，33由正方体性质得∠A1AD=即点M轨迹的长度不为23故选：ABC【点睛】关键点点睛：解题关键是建立空间直角坐标系，然后求解出轨迹方程，再利用弧长公式得到所要求的轨迹长度即可．三、填空题12．已知fx=10x【答案】12【分析】利用指数函数，对数函数的运算性质求解即可.【详解】因为fx=10则ff故答案为：113．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了多次所花时间，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从如图的正态分布.星期一李明出门有38min可用，他应该选择交通工具；星期二李明出门有34min可用，他应该选择【答案】自行车公交车【分析】应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具，结合图形，比较概率的大小可得答案.【详解】由题意，应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.根据X和Y的分布密度曲线图可知：PX≤34>PY≤34可得PX≤38若有38min若有34min故答案为：骑自行车；坐公交车.14．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F1，过点F1且倾斜角为60°的直线交y轴于点M，交椭圆C于A，【答案】1【分析】设直线为y=3(x+c)，求得M纵坐标，由AF【详解】由题设，令直线为y=3易得y因为A可得yAyM可得：yA=−8可得x代入椭圆方程225c249所以225化简可得：a2−9c易知49所以a2=9所以e=故答案为：13四、解答题15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=2，C=π(1)求△ABC的面积；(2)求△ABC中∠C的角平分线的长.【答案】(1)3(2)6【分析】（1）根据面积公式运算求解即可；（2）设角平分线为CD，根据面积关系运算求解即可.【详解】（1）因为a=3，b=2，C=π所以△ABC的面积为S△ABC（2）设角平分线为CD，因为S则12即12×3×2×3所以∠C的角平分线的长为6316．如图，一个质点从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，每次移动时向右移动的概率为0.6，记ns后质点所在的位置是(1)求Pa(2)至少几秒后才能使得Ea【答案】(1)0.1536(2)至少10s【分析】（1）根据题意分析可知X∼Bn,0.6，an=2X−n（2）由（1）结合期望的性质可得Ean=0.2n【详解】（1）记ns后质点向右移动的次数为X则X∼Bn,0.6，且a可得a4=2X−4，令a4=−2，即则Pa（2）由（1）可知：Ea令Ean=0.2n≥2所以至少10s后才能使得E17．如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=2DC，F是线段BE上一点.(1)若DF//平面ABC，证明F是BE的中点；(2)若AB=BC=CD，AB⊥BC，平面DEF与平面ACF夹角的余弦值为23，求BF【答案】(1)证明见解析(2)BF【分析】（1）根据线面平行的性质可得FM∥CD，进而根据四边形CMFD是平行四边形，即可求解，（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角公式求解.【详解】（1）过点F作FM∥AE交AB于点M，连接CM，则FM∥AE∥CD，即F、M、C、D四点共面，∵DF//平面ABC，DF⊂平面FMCD,平面FMCD∩平面ABC=CM，∴DF∥CM，又∵FM∥CD，∴四边形CMFD是平行四边形，∴MF=CD=12AE，∴F（2）∵AB⊥BC，EA⊥平面ABC，以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，过B平行于EA的直线为z轴，建立坐标系B−xyz.记AB=BC=CD=1，则A1,0,0，B0,0,0，C0,1,0，D设BF=λBE,则BF=λ,0,2λ，即点F的坐标为λ,0,2λ,设平面BDE的一个法向量为n1则BE⋅n1=0BD⋅n1=0AC=−1,1,0，设平面ACF的一个法向量为n2则AC⋅n2令x2=1，则y2因为平面DEF与平面ACF的夹角余弦值为23所以cosn整理得111λ2−34λ−1=0,解得λ=所以BFFE18．已知抛物线C：y2=2px0<p<5的焦点为F，点Pa,4在(1)求C的方程；(2)过点F的直线交C于A，B两点（异于点P）.（ⅰ）若PA⊥PB，求AB；（ⅱ）过点F与直线AB垂直的直线交C于D，E两点，设线段AB，DE的中点分别为M，N，O是坐标原点，求△OMN面积的取值范围.【答案】(1)y(2)（ⅰ）654；（ⅱ）【分析】（1）根据焦半径公式以及点的坐标即可联立方程求解，（2）联立直线与抛物线的方程，根据向量垂直的坐标运算即可求解m=−74，进而根据焦点弦公式求解（ⅰ），根据中点坐标求解直线MN的方程，即可直线MN与【详解】（1）由题意可得a+p2=516=2ap，解得p=2a=4或（2）（ⅰ）由（1）可得P4,4.设直线AB的方程为x=my+1m≠34，由方程组x=my+1y2=4x，消去x则Δ=16m所以PA=x1由PA⊥PB可得PA=−4解得m=−74或m=34（舍）.所以直线AB=（ⅱ）由（ⅰ）可得y1+故M2将m换成−1m可得当m=±1时，M3,2,N3,−2或M3,−2,N当m≠±1时，kMN故直线MN的方程为y−2m=m令y=0，得x=3，S△OMN当且仅当m=±1时等号成立，所以△OMN面积的取值范围为6,+∞【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将△MON的面积用表示出来，然后再利用基本不等式长最值．19．已知fx(1)求证：当x>1时，fx(2)设an（ⅰ）求证：数列an（ⅱ）求证：an【答案】(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析【分析】（1）对函数fx求导，并构造φ(x)=（2）（ⅰ）an+1−an=1n+2−ln（ⅱ）由题意结合lnn=n−1k=1lnk+1k