2024年高考复习数学第6章第4节直线、平面垂直的判定与性质

第四节直线、平面垂直的判定与性质

考试要求：1.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解

空间中线面垂直的有关性质和判定定理.

2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形中垂直关系的

简单命题.

、必备知识・回顽教材重“四基7

一、教材概念-结论-性质重现

1.直线与平面垂直

(1)定义：一般地，如果直线1与平面a内的任意一条直线都垂直,我们就说直线

/与平面a互相垂直，记作/_La.直线/叫做平面a的垂线,平面a叫做直线/的

垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.

微提醒■■■

“任意一条直线”与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的

实质是直线与平面内的所有直线都垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果一条直线与一个a,bua)

判定平面内的两条相交直1

IA.u

定理线垂直，那么该直线7lib)

与此平面垂直

b

性质垂直于同一个平面的a

L7ala)...

定理两条直线平行b1a)

微提醒■■■

线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须是相交的.

2.平面与平面垂直

(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两

个平面互相垂直.

（2）判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果一个平面过另

判定一个平面的垂线,11a)

/u0卜卬

定理那么这两个平面垂4/

直

两个平面垂百■,如

果一个平面内有一a1夕\

性质直线垂直于这两个

an夕=Q(

定理平面的交线,那么4力/11a)

这条直线与另一个_La

平面垂直

微提醒■■■

面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂

线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.

3.线面角与二面角

（1）直线与平面所成的角（线面角）

①平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线利这个平面所成

的角.

②特例：若一条直线垂直于平面，它们所成的角是90。.

若一条直线和平面平行,或在平面内，它们所成的角是0。.

③直线与平面所成的角。的取值范围是：0°^^90°.

⑵二面角

①二面角：从•条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内

分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.

③二面角的平面角的范围：（rwe<i8o。.

4.常用结论

（1）若一条直线垂宜于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.

(2)若两条平行线中的一条垂直十一个平面，则另一条也垂直「这个平面.

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.

(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.

(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

二、基本技能-思想-活动经验

1.判断下列说法的正误，对的画“，错的画“X”.

(1)若直线/与平面a内的无数条直线都垂直，贝(X)

(2)若直线a_L平面a,直线/?〃a,则直线。与〃垂直.(J)

(3)若直线〃_LQ,bA.a,Ma//b.(V)

(4)若a_L.,at。,则a〃a.(X)

(5)a_La,auga】。.(V)

2.设a,夕是两个不同的平面，/,，〃是两条不同的直线，且/ua,〃?u夕，则下列

说法正确的是()

A.若LLQ,则a_LQB.若a_1_夕，则

C.若/〃夕，贝Ua〃6D.若a〃分则/〃加

A解析：因为LLQ,/ca,所以a_L以面面垂直的判定定理).

3.(多选题)如图，圆柱的轴截面是四边形人8CZ),七是底面圆周上异于A,8的

一点，则下列结论中正确的是()

A.AE.LCE

B.BELDE

C.OE_L平面CEB

D.平面ADE_L平面8c石

ABD解析：由48是底面圆的直径，得NAE8=90。，KpAELEB.因为圆柱的

轴截面是四边形A8CDBCJL底面AE8,所以8CJ_A£又片例?8。=8,BC,BEu

平面BCE,

所以AE_L平面所以4E_LCE,故A正确.

同理可得，BEVDE,故B正确.

若OE_L平面CEB,则QE_LBC.因为BC//AD,所以DE1AD.在AADE中AD

1AE,所以。EJ_A。不成立，所以DELL平面CE3不成立，故C错误.

由A的证明可知AE_L平面BCE.因为4Eu平面A。区所以平面BCEL平面ADE,

故D正确.故选ABD.

4.“直线。与平面。内的无数条直线都垂直”是“直线。与平面a垂直”的

条件，

必要不充分解析：根据直线与平面垂直的定义知“直浅。与平面。内的无数条

直线都垂直”不能推出“直线。与平面。垂直”，反之则可以，所以应是必要不

充分条件.

5.如图，已知以_L平面ABCBC1AC,则图中直角三用形的个数为.

4解析：因为%_L平面A8C,

所以以_L48,PA±ACtPA±BC,

则△雨8,△%C为直角三角形.

由BC_LAC,^LACC\PA=A,

所以BC_L平面以C,从而BCLPC.

因此△A8C,△P8C也是直南三角形.

故图中共有4个直角三角脑.

—、关键能力・研析考点强“四翼”/

考点1垂直关系的基本问题——基础性

「多维训练」

1.已知平面a和直线a,b,若a〃a,则*_L〃”是"b_La”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

B解析：根据空间中直线与平面之间的位置关系，由bla,可得b_L〃.

反之不成立，可能b与a相交或平行.所以是“〃_La”的必要不充分条

件.

2.（多选题）已知a,“表示两条不同的直线，”，夕表示两个不同的平面，下列说

法正确的是（）

A.若aJ_a,b邛,a//p,JlPJa//b

B,若a_La,b【p,a_LZ?,则a_L/?

C.若a_La,a_Lb,a//p,WJb//p

D.若aC0=a,a//b,则8〃a或b〃夕

ABD解析：对于A,若〃_1%a〃从WaLp,"blp,所以a〃b,故A正

确；

对于B,若。_La,a_L〃，则hua或8〃a,所以存在直线"?ua,使得/〃〃〃，又

b邛,所以加_1_4，所以或LK故B正确；

对于C,若a_La,alb,则8ua或/?〃〃，又a〃从所以/?u4或〃〃从故C错

误；

对于D,若an/S=a,a//b,则人〃a或人〃人故D正确.

3.在三棱锥S-4BC中，/S8A=NSC4=90。，△4AC是斜边A8=a的等腰直角

三角形，则以下结论：s

①异面直线SB与AC所成的角为90°；V\

②直线SB_L平面ABC：

③平面SBCJ_平面SAG

④点C到平面SAB的距离是，.

其中正确的是.（填序号）

①②③④解析：由题意知4C_L平面SBC,故4C_LS8,故①正确；再根据SB

1AC,SBLAB,可得SBJ_平面ABC,平面SBCJL平面SAC,故②③正确；取A8

的中点E,连接CE（图略），可证得CELL平面”8,故CE的长度即为点C到平

面SAB的距离,为京，故④正确.

解联通法

在判断垂直关系问题时，需明确各类垂直关系及其内在联系，可借助几何图形来

判断，也可列举反例进行判断，同时要注意判断满足定理的条件.

考点2空间角及其应用——应用性

「典例引领」

例U*（2022・全国甲卷）在长方体ABCZXAiSGDi中，已知8。与平面A8CO和

平面所成的角均为30。，贝"）

A.AB=2AD

B.43与平面ASG。所成的角为30。

C.AC=CB\

D.办。与平面所成的角为45°

D解析：如图所示，连接BD,不妨令A4i=1,

在长方体ABCD-AIBICQI中，4Q_L平面A4|B|8,85_L平面ABC。，

所以N8Q8和NOBA分别为8Q与平面A8CO和平面AAIBIB所成的角，

即/BiDB=/。61A=30°,

所以在中，BB\=AA\=\,BD=a,B\D=2,

在RSAO8中，DBi=2,AD=\,AB\=V3,所以AB=应，CB\=AC=V3,

故选项A,C错误，

由图易知，AB在平面ABiCiD上的射影在AB\上，所以N3A8为AB与平面

A8C1D所成的角，在RtAABBi中，sinZ/?i/4«=—=^=—,故选项B错误，

AB】V33

如图，连接4C,则力〃在平面441cle上的射影为为C,

所以NOBiC为B】D与平面881GC所成的角，

在RtZkOBC中，BiC=a=DC,所以NO8C=45。，所以选项D正确.

解跟通法

求线面角、二面角的常用方法

(1)线面角的求法：找出斜浅在平面上的射影，关键是作垂线、找垂足，把线而角

转化到一个三角形中求解.

(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的

有定义法和垂而法.注意利用等腰三角形和等边三角形的性质.

「多维训练」

在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧

棱长为右的等腰三角形，则二面角V-A8-C的大小为.

60°解析：如图，作VO_L平面ABCO,垂足为O,W'jVOA.AB.取AB的中点

H,连接VH,OH，则VHLAB.

因为VHC\VO=Vf所以4B_L平面YH0,所以A8_L。"，所以NV〃。为二面角

V-A8-C的平面角.易求丫序=%2-4“2=4,所以四=2.而OH=T8C=1,所以

NV”O=60°.故二面角V-AB-C的大小是60。.

考点3线面、面面垂直的判定与性质——琮合性

「典例引领」

考向1线面垂直的判定与性质

例❷，如图，菱形A8C。的对角线AC与8。交于点O,AB=5,AC=6,点E,

产分别在AD，CD上，AE=CF=3,EF交BD于点H.将4DEF沿EF折到AD'EF

4

的位置，求证：平面ABCD

证明：由已知得。=。。.又由/得"="，故〃因此

AC_L3Q,4AE=CAuCDACE£

EFA.HD,从而EFLD'H.

由48=5,AC=6得D0=B0=、AB2一心二幺

由族〃AC得需=%=[,所以0〃=1,D'H=DH=3.

于是DW2+OH2=324-12=10=^02,

故D'HVOH.

又DH工EF,而OHC\EF=H,且OH,EFu平面ABCD,所以。7/_1_平面ABCD.

解题通法

证明线面垂直的4种方法

(1)线面垂直的判定定理：！J_a,/±Z?,aua,bua,aC\b=P=>ll.a.

(2)面面垂直的性质定理：3,aC或=1,aua,。_1_/=〃_1_从

(3)性质：①a"b,Z?_La=a_La;a_L"=a_La.

(4)«±y,pLy,/=/_!_/(客观题可用)

考向了面面垂直的判定与性质

例❸*如图，在四棱$住P-A3C。中，AB.LAC,AB±PA,AB//CD,AB=2CD,E,

F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.

求证：⑴CE〃平面B4O；

(2)平面EfGJ_平面EMN.

证明：(1)(方法一)取应的中点”，连接EH,DH.

E

M,

//糕/I'F\R

DC

因为E为P8的中点，所以EH〃AB且EH=：AB.

又C力〃48且C力=夕\8,所以、EH〃CD且EH=CD.

所以四边形DC£〃是平行四边形，所以CE〃。//.

又。，u平面BAD,CEQ平面外£>,所以CE〃平面RW.

(方法二)连接CE

因为尸为48的中点，所以4b=/艮又。£)=/48,所以4尸=。。.

又A5〃C。，所以四边形AR7O为平行四边形，

因此C/〃A。.又CRJ平面小Q,AQu平面BW,

所以CF〃平面PAD.

因为区”分别为P8,AE的中点，所以E/〃办.

又ERZ平面以。，%u平面以力，所以EF〃平面以O.

因为CFClEF=F,故平面CEF"平面PAD.

又CEu平面所以CE〃平面小D.

(2)因为反尸分别为P8,AB的中点，所以EF//PA.

又因为A8_L%,所以E/LLAB,同理可证A8_L/G.

又因为/G=£EF,FGu平面EFG,所以A8_L平面E/G.

又因为M,N分别为PO,PC的中点，

所以MN〃C。，又48〃CO,所以MN〃A8,所以MN_L平面ERS.

又因为MNu平面EMN,所以平面EFG_L平面EMM

解题通法

1.证明平面和平面垂直的方法:

(1)面面垂直的定义.

(2)面面垂直的判定定理.

2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂

线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

「多维训练」

如图，在四边形ABC。中，AD//BC,AD=AB,N8CO=45。，NR4O=90。.将

/\ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P,且使平面平面

BCD.

求证：(l)CDL平面P8。：

(2)平面P8CJ_平面PCD.

证明：(1)因为AO=AB,/氏4。=90°,所以//18L>=/AO8=45°.

又因为AO〃8C,所以NOBC=45°.

又NOC3=45。，所以NBDC=90°,即BD上CD.

因为平面平面BCD,平面PBDC平面BCD=BD,所以CDL平面PBD.

(2)由CO_L平面PBD,得CD±BP.

义BP1.PD,PDnCD=D,所以8PJ_平面PCD.

又BPu平面PBC,所以平面尸8。3_平面PCD.

课时质量评价(三十五)

A组全考点巩固练

1.已知平面圆用满足a_Lp,aCg,过平面Q和£外的一点P作直线

则“加〃a”是“，〃"L/'的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

C解析：当〃?〃a时，过"?作平面想。=〃，则〃?〃〃，结合夕，得〃_1_人从

而〃z_L尸；当"?_L4时，在a内作直线〃_L/,结合a_LA得"_1_夕，所以"7〃”.又

mQa,〃ua,所以m//a.故选C.

2.如图，以垂直于矩形48C。所在的平面，则图中与平面PCO垂直的平面是

()

p

RC

A.平面ABC。B.平面P8c

C.平面PADD.平面PAB

C解析：因为布J_平面ABC。，所以办_LCD.因为四边形A8CD为矩形，所

以CO_LAO,所以CO_L平面附。，所以平面PCO_L平面布£).

3.已知AB是圆柱上底面的一条直径，。是上底面圆周.上异于A,B的一点，D

为下底面圆周上一点，且AO_L圆柱的底面，则必有()

A.平面A8C_L平面BCD

B.平面BCO_L平面ACO

C.平面A8O_L平面ACO

D.平面平面48D

B解析：因为A8是圆柱上底面的一条直径，所以AC_L8C.又八。_1.圆柱的底

面，所以AQ_L8C,因为ACrMZ)=A,所以8cL平面ACO.又BCu平面BCD,

所以平面RCOJ_平面ACD.

4.已知三楂柱A8C-A山iG的侧棱与底面垂直，体积为；，底面是边长为V5的正

三角形.若P为底面45a的中心，则山与平面A8C所成角的大小为()

A.—B.-

123

C.ED.E

46

B解析：如图，取正三角形ABC的中心O,连接OP,则N%O是办与平面

ABC所成的角.

因为底面边长为百，

所以AD=V5x立=之，AO=-AD=-x-=］.

22,332

三棱柱的体积为在X（百）244尸？，

44

解得AAi=百，即OP=A4=百，

所以tanZPA0=—=y/3.

OA

因为直线与平面所成角的危围是［o,",

所以N%0=：

3

5.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的余弦值为.

\解析：设圆锥的底面半径为r,母线长为/,由题意"/=3兀/，即/=3r,设母

线与底面夹角为。，则cosO=£=±

6.如图，在四棱锥P-A8CO中，布_1_底面A8CZ）,且底面各边都相等，M是尸C

上的一动点，当点例满足时，平面"8。J_平面PCD（只要填写一个

你认为正确的条件即可）

QM_LPC（或BMUC等）解析：因为雨，底面ABCD,所以BDLPA.连接

AC（图略），则BQ_LAC,且如CIAC=A,所以BO_L平面B4C,所以8OJ_PC.所

以当OM_LPC（或8MJ_PC）时，即有PC_L平面MBD.又PCu平面PCD,所以

平面平面PCD.

7.如图，在棱长为2的正方体A8CO-48iGD］中，E为8c的中点，点P在线

段GE上•点P到直线CQ的距离的最小值为.

■解析：点P到直线CCi的距离等于点P在平面ABC。上的射影到点C的距

离，设点P在平面A8CO上的射影为P,显然点P到直线CG的距离的最小值

为PC的长度的最小值.当P'CJLOE时，PC的长度最小，此时尸C=善三=

V22+12

2x(5

8.如图，三棱锥P-ABC中，底面A8C是边长为2的正三角形，PALPC,PB=

2.

(1)求证：平面出C_L平面ABC；

(2)若以=PC,求三棱锥P-ABC的体积.

(1)证明：如图，取AC的中点。，连接8。，P0.

因为是边长为2的正三南形，所以8OJ_AC,B0=y/3.

因为％_LPC,所以尸O=；AC=L

因为PB=2,所以OP2+O82=P82,所以PO_LOB.

因为ACnOP=O,AC,ORz平面附C,所以80_L平面FC.

又OBu平面ABC,08a平面PAC,

所以平面玄。_1_平面ABC

(2)解：因为%=PC,PALPCfAC=2,所以％=PC=&.

由(1)知8OJ_平面PAC,所以V/MBC=△阴c・BO=gx|xx/2xV2xV3

=V3

B组新高考培优练

9.（2022•全国乙卷）在止方体中中，E,尸分别为48,8C的中

点，贝U（）

A.平面％EEL平面8。口

B.平面SE凡L平面43。

C.平面历E”〃平面4AC

D.平面DE/〃平面41GD

A解析：对于A,由于E,产分别为A8,8c的中点，则E尸〃AC.

又AC_LBD,AClDDlfBDC\DD}=D,且BD,DD】u平面BDDi,

所以AC_L平面BDD\,则EFl.平面BDD\.

又EFu平面B\EF,

所以平面8//口_平面BDDi,选项A正确：

对于B,由选项A可知，平面8行凡L平面8OD1,而平面平面Ai8Q=

BD,在该正方体中，试想功运动至Ai时，平面8小/不可能与平面AiBD垂直，

选项B错误；对于C,在平面A881Al上，易知人4］与必相交，故平面SEF

与平面4AC不平行，选项C错误；

对于D,易知可面ABC〃呼面A1G7）,而可面ABC与耳面BiE广有公共点回，

故平面小£/与平面AiCiD不可能平行，选项D错误.

10.（多选题）如图，在正方体4ACQ-4HG。］中，则下面结论正确的是（）

A.3。〃平面CSIDI

B.AC\±I3D

C.平面ACG4J_C8iOi

D.异面直线AD与C囱所成的角为60。

ABC解析：对于A,因为ABCQ-A/iGOi为正方体，所以BD〃BiDi,由线面

平行的判定可得80〃平面CBD,故A正确；对于B,连接prt

AC,因为/WCQ-AiBiGQi为正方体，所以8O_LAC,且CG_L

BD,由线面垂直的判定可得8Q_L平面ACG,所以8/）_LAG,，拓1.JAL

故B正确；对于C,由上可知8£>_1_平面ACG,又力B

所以SC平面4CG,则平面ACG4J_CS。］,故C正确；对于D,异面直线

AD与CBi所成的角即为直线BC与CBi所成的角为45°,故D错误.故选ABC.

11.如图，在长方形48C。中，AB=V3,8C=1,点七为线段。C上一动点，现

将△4£>£：沿AE折起，便点。在平面A8C内的射影K在直线AE上，当点七从

。运动到C,则点K所形成轨迹的长度为（）

解析：由题意，将△AEZ）沿AE折起，使平面4石。_1平

面48C,在平面AEO内过点。作OK_LAE,K为垂足，由小一

翻折的特征知，连接£TK,则NQ'KA=90。，故点K的枕迹产---------B

是以为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是也如图，当EgC重合时，

4（=毕=工，取。为A。的中点，得到△Q4K是正三角形.故NKQA=P,所以

V423

/KOQ'=?,其所对的弧长为;故选C.

3233

12.如图所示，在斜三棱柱A8aA由Cl中，NBAC=90。，BCi±AC,则点G在

平面A6c上的射影“必在（）

A.直线A8上B.直线8C上

C.直线4。上D./XABC的内部

A解析：连接AG,

Bc

a

4

因为AC_LA8,AC.LBC\fAI3OI3C\=B,

所以AC1.平面ABCi.又ACu平面A8C,

所以平面A8GJ■平面ABC,

所以点Ci在平面48c上的射影〃必在两平面的交线A8上.

13.已知I,m是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断:①/_!_"?；②m〃a；

③/_La.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题:

若/L〃，/±a»则"?〃a（答案不唯一）解析：若/_La,/_L"z,则m〃a,显然①

③n②正确；若/_L"m"a,则/〃a,/与a相交但不垂直都可以，故①②n③

不正确；若/_La,〃z〃a