2024年高考复习数学第6章第1节空间几何体

^rfr-rt-

第八早立体儿何

第一节空间几何体

考试要求：1.认识柱、锥、台及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描

述现实生活中简单物体的结构.

2.能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆锥、棱柱及其简易组合）的

直观图.

3.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实

际问题.

必备知识-回顾教材重“四基”

一、教材概念•结论-性质重现

1.多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

A,E^yC,D'

图形S

ARARAR

底面互相平行且全等多边形互相平行

相交于二点但延长线交于二

侧棱平行且相等

不一定相等A

侧面形状平行四边形三角形梯形

2.旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥圆台球

图形4a

相互平行且延长线交于

母线相交于一点

相等并垂直—占X

于底面

全等的等腰全等的等腰

轴截面全等的矩形圆

三角形梯形

侧面

矩形扇形扇环

展开图X

3.空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是：

（1）“斜”：在直观图中，V轴、V,轴的夹角为45。或135°.

（2）“二测"：图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于

轴的线，在直观图中长度为原来的二主.

微提醒■■■

画直观图要注意平行，还要注意长度及角度两个要素.

4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

侧面口工八2"|；

展开图甚凝y

侧面积SK1台储=7tS+

SM^»]=2nrlSMMtM=7tr/

公式Z21/

5.空间几何体的表面积与体积公式

名称

表面积体积

几何体

柱体（棱柱和圆柱）S裂面积=S何+2S底V=S_^_h

锥体（棱锥和圆锥）S衣曲积=S刨+S底V=^S«­h

Y（SE+S下+

S表面积=S忸+«3

台体（棱台和圆台）

Sr+S下Js上s下）A

球5=4兀-2V=]R3

微提醒・■・・

(1)求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积时，要结合它们的结构特点与平面几何知识

来解决.

(2)常常利用一些几何体的展开图解决表面上的最短距离问题.

(3)求几何体的体积时，要注意利用分割、补形与等体积法.

6.常用结论

几个与球有关的切、接常用结论：

⑴正方体的楼长为〃，球的半径为R.

①若球为正方体的外接球，则2R=K。；

②若球为正方体的内切球，则27?=a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R=&〃.

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为小b,c,外接球的半径为R,则2A=

y/a24-b24-c2.

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3：1.

微提醒・■，

解决与球“外接”问题的关键：(1)确定球心.(2)构造正(长)方体等特殊几何体.

二、基本技能♦思想・活动经验

1.判断下列说法的正误，对的画“，错的画“义”.

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(X)

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(X)

(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.(V)

(4)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是

271s.(X)

2.如图，长方体48。。-4夕。。被截去一部分，其中则剩下的几何

体是()

A.棱台B.四棱柱

C.五棱柱D.简单组合体

C解析：由几何体的结构特征知，轲下的几何体为五棱柱.

3.己知圆锥的表面积等于1271cm2,其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径

为（）

A.IcmB.2cm

3

C.3cmD.-cm

2

B解析：S&=兀产+兀”=兀户+"・2r=3兀3=12兀，所以户=4,所以r=2cm.

4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.12兀B.等

C.8兀D.4兀

A解析：由题意可知正方体的枝长为2,其体对角线为2/5即为球的直径，所

以球的表面积为4兀R2=（2R），=12兀.故选A.

5.在直观图（如图所示）中，四边形。/，方。为菱形且边长为25］，则在平面直角

坐标系xO.v中，四边形4BC。为________,面积为cnr.

矩形8解析：由斜二测画法的规则可知，在平面直角坐标系xOy中，四边形

44C。是一个长为4cm,宽为2cm的矩形，所以四边形A8C。的面积为8cm

、关键能力-研析考点强“四翼

考点1空间几何体的结构特征与直观图——基础性

「多维训练」

1.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（）

A.圆柱

B.圆锥

C.球

D.圆柱、圆锥、球体的组合体

C解析：截面是任意的，且都是圆面，则该几何体为球体.

2.下列命题止确的是（）

A.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

B.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台

C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面

D.一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台

C解析：由圆锥、圆台、圆柱的定义可知A,B错误,C正确.对于D,只有

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，D不正确.

3.如图，矩形。卬夕。是水平放置的一个平面图形的直观图，其中0，H=6cm,

C'D'=2cm,则原图形是（）

A.正方形

B.矩形

C.菱形

D.一般的平行四边形

C解析：如图，在原图形04AC中，应有00=2077=2X2或=4鱼（cm）,CD

=。'。'=2cm.

所以OC=JO02+C"=J（4&）2+22=6（cm）,

所以O4=OC,所以四边形Q4BC是菱形.

4.（多选题）下列命题中正确的是（）

A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形

B.在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱

柱

C.存在每个面都是直角三角形的四面体

D.棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等

BC解析：A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不

一定全等：B正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底

面；C正确，如图，正方体A8CQ-A山iGQi中的三棱锥G-A8C,四个面都是直

角三角形；D不正确，枝台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱

的延长线交于一点，但是侧枝长不一定相等.

解题通法

1.解决空间几何体的结构特征的判断问题，其主要方法是定义法，即紧扣定义

来判断，或列举反例进行判断.解答此类问题常常由于定义理解出错，如第2题

有可能错选A,B,D,第4题错选A,D等.

2.解决直观图问题，要理解并学会运用斜二测画法规则.

考点2空间几何体的表面积与体积一综合性

「典例引领」

考向1空间几何体的表面积问题

例。・（1）（2021・新高考I卷）已知圆锥的底面半径为加，其侧面展开图为一个半

圆，则该圆锥的母线长为（）

A.2B.2V2C.4D.4或

B解析：由题意知圆锥的底面周长为2注兀设圆锥的母线长为/,则山=2企兀，

即/=2近.故选B.

（2）如图，在三棱柱ABC-ABG中，A4i_L底面A8C,AB_LBC,AA\=AC=2,直

线AiC与侧面AA\B\B所成的角为30°,则该三棱柱的侧面积为（）

A

A.4+4或B.4+4V3

C.12D.8+4在

A解析：连接48因为A4J■底面A8C,则A4J_8C,义ABtBC,AAiCiAB

=A,所以8C_L平面A4B山，所以直线4C与侧面44出出所成的角为NC48

=300.又44|=4。=2,所以AC=2或，所以8C=壶.又A8_L8C,则A8=企，

则该三棱柱的侧面积为2&X2+2X2=4+4企.

(3)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm,母线长最短5()cm,

最长8()cm,则斜截圆柱的侧面面积S=cm2.

50cm

\^40cm^/

2600九解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开

图为矩形.由题意得所求侧面展开图的面积S=1x(50+80)X(71X40)=2

600兀(cm)

解题通法

求解几何体表面积的类型及求法

求多面体的只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求

表面积平面图形面积的方法求多面体的表面积

可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将

求旋转体的

其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、

表面积

母线长与对应侧面展开图中的边长关系

通常将所给几何体分割成规则的柱体、锥体、台

求不规则几何体，先求出这些规则的柱体、锥体、台体的表面

体的表面积积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面

积

「多维训练」

I.一个六棱锥的体积为26，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等,

则该六棱锥的侧面积为.

12解析：设正六棱锥的高为h,侧面的斜高为".由题意，得gx6xg><2XV5></?

=2V3,所以〃=1,所以斜高〃=J12+(8)2=2,所以S例=6X：X2X2=12.

2.《九章算术》是我国古代数学名著，它在书中将底面为直角三角形，且侧棱垂

直于底面的三棱柱称为堑堵.己知一个堑堵的底面积为6,体积为弓的球与其各

面均相切，则该堑堵的表面积为.

36解析：设球的半径为「，底面三角形的周长为/,由已知得,=1,所以堑堵

的高为2.则*=6,/=12,所以表面积S=12X2+6X2=36.

考向2空间几何体的体积问题

例卬.(1)如图所示，已知三棱柱A8C-4BG的所有棱长均为1,且44_L底面

ABC,则三棱锥a-48Q的体积为()

A解析：易知三棱锥的体积等于三棱锥A-BiBCi的体积，又三棱锥

A-BBG的高为隹，底面积为匕故其体积为三乂三乂叵=恒.

2232212

(2)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别

为4和5,则该圆台的体积为.

61兀解析：圆台的下底面半径为5,故下底面在外接球的大圆上，

如图，设球的球心为O,圆台上底面的圆心为O，,

则圆台的高"Q2_o，Q2=2-42=3.

据此可得圆台的体积V=^X3X(52+5X4+42)=61H.

解题通法

求空间几何体的体积的常用方法

公式法对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解

把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；

割补法或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补

成熟悉的几何体，便于计算其体积

一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.如果一个几何

等体体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求

积法解.通过选择合适的底面来求几何体体积，主要用来解决有关

锥体的体积，特别是三棱锥的体积

多维训练

1.(2022•全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为

2兀，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙.若上=2,则詈=()

§乙V乙

A.75

C.yflO

C解析：如图，

甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径(即圆锥母线)为3,

甲、乙两个圆锥的底面半径分别为内，7-2,高分别为历，〃2,则2兀门=4兀，27177=

y121-

2n，解得力=2,m=l,由勾股定理可得加=追，加=2/，所以3=鸟」=履.

v乙尹加2

2.如图，已知体积为V的三棱柱ABCAiBG,尸是棱38上除点囱，8外的任

意一点，则四棱锥P-A4GC的体积为

y解析：如图，把三棱柱A8C-4BG补成平行六面体A018C1-AO8C.设点

P到平面A4GC的距离为h,则“一"心。=衿8“•仁泌/QC-DDaB=/

2匕BC.4iBiCi=^~・

考点3与球有关的切、接问题——综合性

「典例引领」

考向1“相切”问题

例g“已知正四面体P-/WC的表面积为Si,此四面体的内切球的表面积为S2,则

&=

Sz------------------'

—解析：设正四面体的枝长为小则正四面体的表面积为Si=4X恒义/=8序，

TT4

其内切球半径一为正四面沐高的二即r="当=当，因此内切球表面积为S2

44312

=4兀/=手，则＞等=号

同源异考/

本例中若把“正四面体”改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球的体积

为32岛,内切球的体积为学.

解题通法

处理与球有关内切问题的策略

解答此类问题时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果内切的是多面体，则

作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作，利用体积分割法求内切球半径.

考向2“相接”问题

例口“已知直三棱柱A8C-A山Ci的6个顶点都在球。的球面上，若A8=3,AC

=4,AB1AC,/L4i=12,则球0的半径为（）

A.孚B.2同

C.D.3710

C解析：如图所示，由球心作平面A8C的垂线，则垂足为BC的中点M.

又AM=；8C=*OM=1A4i=6,所以球O的半径R=OA=J（|）+62=y.

解题通法

处理与球有关外援问题的策略

1.构造正（长）方体等特殊几何体转化为特殊几何体的外接球问题.

2.空间问题平面化，把平面问题转化到直角三角形中，作出适当瓶面（过球心、

接点等）.

3.利用球与截面圆心的连线垂直于微面，确定球心所在的直线.

「多维训练」

1.（2022•新高考II卷）已知正三楼台的高为1,上、下底面边长分别为36和4g,

其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.IOOTIB.128兀

C.144兀D.192兀

A解析：由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为7^|不=3,下底面所

2sin60

在平面截球所得圆的半径为上一=4,如图，设球的半径为R,则轴截面中由几

2sin600

何知识可得、R2一中一\人2—42=1,解得"=5,

该球的表面积为4兀/?2=4兀乂25=100兀.

o\

2.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为

争解析：方法一：如图，在圆锥的轴裁面A8C中，COJ_AA,BD=

1,3c=3,圆。内切于△A8C,E为切点,连接0区则OEJ_BC.在A

RSBC。中，CD=7BC2一＜。2=2或.易知BE=BD=1,则CE=2.设回货

A7）8

圆锥的内切球半径为R,则OC=2或一R在RMCOE中，OC?一。产

=CE,即（2立一/?）2—/?2=4,所以/?=—,圆锥内半径最大的球的体积为eTTR3

23

方法二：如图，记圆锥的轴裁,而为△ABC,其中4c=8C=3,AB=2,CD工AB,

在RtABCD中，CD=7B。-BD2=20则S△八8c=2企.设△ABC的内切圆0的

半径为R则/?=出必匹=立，所以圆锥内半径最大的球的体积为与迎兀

3+3+2233

课时质量评价（二十二）

A组全考点巩固练

1.（2022•潍坊一模）以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的

几何体的体积为（）

A.2兀B.871

B解析：以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体是

底面半径为2,高为2的圆柱体，该圆柱体的体积为丫=兀义22乂2=8兀

2.如图，一平面图形的直观图是一个等腰梯形。48C,且该梯形的面积为企，

则原图形的面积为（）

A.2B.V2

c.2V2D.4

D解析：由斜二测画法知原图形仍为梯形，上、下两底长度不变，高为直观图

中梯形高的套倍，故原图形的面积为企x亲=4.

3.棱长为a的正四面体的表面积是（）

A.9B.济

C.—crD.V3«2

4

D解析：棱长为a的正四面体的四个面都是正三角杉，正四面体的表面积是

4X立标:四层

4

4.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”日：置积尺数，以十六乘之，

九而一，所得开立方除之，即立圆径.意思是：球的体积V乘16,除以9,再开

立方，即为球的直径d,由比我们可以推测当时球的表面积S的计算公式为（）

A.B.S=*

C.S=-cPD.S=-^

214

A解析：因为，所以=所以亢，所以s=47t（；）2=

.故选A.

848

5.（多选题）如图所示的圆锥的底面半径为3,高为4,则（）

A.该圆锥的母线长为5

B.该圆锥的体积为12兀

C.该圆锥的表面积为15n

D.三棱锥S-A8c体积的最大值为12

ABD解析：该圆锥的母线长为V32+42=5,A正确；该圆锥的体积为

ix7rX32X4=12n,B正确；该圆锥的表面积为兀X3X[3+5）=24兀，C错误；当

OBIAC^,AABC的面积最大，此时£UBC=[X6X3=9,三枝锥S-ABC体积

的最大值为乙X9X4=12,D正确.故选ABD.

6.一个圆锥的侧面展开匿是半径为2,圆心角为]的扇形，则该圆锥的表面积为

\解析：设圆锥的底面半径为乙则有2"=EX2,解得/所以圆锥的表面

422

积为7rX2x14-7cxQ）2=y.

7.已知体积为8的正方体内接于球。，求球。的表面积.

解：由题意可知正方体的边长是2,则球。的直径为2百，因此半径是次，则球

的表面积是4冗川=12兀.

B组新高考培优练

8.《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术:

置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底

面周长L与高力，计算其体积V的近似公式丫心白炉力，用该术可求得圆周率兀的

近似值.现用该术求得兀的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥

的表面积的近似值为9,则该圆锥体积的近似值为（）

A.V3B.2V3

C.3V3D.3

A解析：圆锥的体积丫=4（上）2/?=三加£却?，解得必况则设所求圆锥的底

3\2irz127r36

面直径与母线长为x（x>0）,则底面半径为：，则5=兀0=9,解

得x=2,设高为“，则V=g偿）兀/7=孑•J%2-0=导广；次故选A.

9.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除

以十六等于八分之五.已知三棱锥A-BCD的每个顶点都在球O的球面上，AB±

底面8CQ,BCLCD,且A8=CO=V5,BC=2,利用张衡的结论可得球0的表

面积为（）

A.30B.I0V10

C.33D.12V10

B解析：因为BC_LCQ,所以8。=夕，又AB上底面BCD,所以球0的球心

为侧枝AD的中点，从而集O的直径为同.利用张衡的结论可得h=；,则7t=

168

.2

V10,所以球。的表面积为4n（邛）=10兀=10同.故选B.

10.（2022•全国乙卷）已知球的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点

均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A.-B.-

32

C.在D.包

32

C解析：由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大