2024年高考数学一轮复习321函数的性质(一)(精讲)(原卷版+解析)

3.2.1函数的性质（一）（精讲）（提升版）

酚傩器09

对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值九.X2,

增函数一当X1＜X2时都有fGiXfGz）

对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值XI.&,

减函数_当时都f（X］）＞f（X2）

「（1）任意性

概

有大小，即

念（2）Xi＜X2（X1＞XZ）

呼（3）是同居于一个单调区间，三缺一不可

注意1单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示.

事器有多个单调区间应用“逗号”或“和”连接，

不能用符号“U”、“或”连接，

对象一般用毛抽象函数，其他情况比较少用

单正'解法:取值、作差/作商、变形、定号、结论

调

对象―有解析式且鲜国数绝q值的函数

性

导效法」（增区间n/（x）＞o

|解法〔减区何n/（x）＜0

图对象一般适用含有绝对值的函数

解法去绝时值二二⑪段函数二一画出图像

常见|f（x）|（1）5±＞f（x）’海折＞将\轴下方的图像向'轴上方翻折

方类型r

法--Hf⑴式子中部分x加绝对值分段函数-＞画出分段函数图像

对象

6种基本函数及其加减形式

性

质

一次函数'=kx-b>k>0t,k<0l反比例函数y上>k>01,k<0t

法

指数函数y=a*->»>1t,O<a<U?lS(3S!y=log,i->a>l*,0<a<lI

法

解曷醐y=x"(第一象限)na>ota<OY二次的S5y=ax,bx+c(a,O)z>JHJ^^

形如f[g(x)]

（1）确定函数的定义域.（2）将复合函数分解成基本初等函数

（3）分别确定这两个函数的单调区间.（4）口诀：同增异碱求区间

按单调性中方法进行求解

求单调区间（或单调性）

类鳖一：指数.对数混合暨

思路：苴出范朋,FREHift点相陛1个单位对数与盛1比较.指数与3比较

类型二：指故耳型y=att大小

同底异指n按报数函故比”1卡。<*<1]

思路同指异底q按百砌比:a>0t；a<0l

（i值按苴苑圉

异底异底

（II）构造新函数：一个函数取底数一个用数取指数再根据同底异指，蹄舁底t曲

单

类隹：对数型函数

调

性

同庇导自口对数的数比:a>11:0<i<11

常

思路同真异底n对数倒效比n值数±的原对数小

考

G753：与0、1、2,等比

题异底异真n

换底公式

比

型

大说明：底=>触，指n指数，真n门数

小

求定义域一/断单调性一两南两边一瓒有负号考虑奇偶性

解不等式/注意：出区耐应注意自变量在区间的范围

______________定义域（给出区间不求）--判断单调性--求最值

最值（值域）K参考求值域方法

每段函数的单调性符合题意，

分段函数的单调性—自变量分界点的函数的大小关系

求参数3复合函数求参数;矗要满足定义域要求

偶函数_如果对毛函数f(x)的越域内任意fx都有f(二x)二£(力

襄(奇函数如果对于函数fG)的定义域内任意一个x都有f(-x)=-fG)

定(1)定义域是否关于原点对称(左右端点同时(不)取到且成相反数)

义［否:三法琲偶函散

法j是:r(x)=f(x)奇的助f(X>=f(X)偶函数f(X)工r(X徘明口禺

g(1)定义域关于原点对称

翟(2)奇函数：图像关于原点对称;偶函数：图像关于、期称同时满足

如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有

f(0)=0

免函数在两隹好原点对称的鸟间上具有相同的单调性

偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性

奇偶的数十偶曲数=偶的数、奇曲数十奇曲数W奇的数

偶低的效X供晶效=偶而效、奇禹敛X寺属敛=偶而敷同性加滋得同性,

性奇函数X偶晶数=寺房数、偶的数■偶内数二偶的数异性乘除为匈，

常同性秉除为偶

见专函数・奇岛数=工函数、与函数♦偶函数=奇而数

结

论常见哥、偶函数面握定义域关于原点对称)

a奇数=>的函数

(0*奇函数(2)尸x"

a偶数、偶函数

⑶y-M-J奇函数y-/+犷，偶函数(4)y=log「'财=log2+'限数

1+x1-x

(5)\=log,(\/l+x2±X)寄函数日呜-===—奇函数

1*7*

(1)求定义域(给出的区间)是否关于原点对称,

奇雌不对称^奇非偶；对称看(2)

的判断(2)用定义法或图像法判断

利用奇偶求哪段设x为哪段范围，r就是已知解

性求解析式析式范围即将r代入解析式化简

(1)区间两端点成相反数

型利用奇偶(2)借助上面常见形式口算参数

性求参数(3)定义法求参数

奇偶性与单调性的综合

【一隅三反】

1.（2022•全国•高三专题练习）函数）,=2"=的单调递增区间是（)

A.卜B.

C.D.卜1,2]

2.（2022•福建）函数〃x）=k-2|x的单调减区间是（）

A.[1,2]B.[-1,0]C.[0,2]D.[2,+co）

3.(2021・全国•高三阶段练习(文))下列函数在(F-1)上是减函数的为()

A./(x)=-lnxB./(x)=--y-j-

C./(x)=|x2-3.r-4|D./(x)=p-

4.（2022・全国•高三专题练习）函数产lg（2cosx-6）的单调递增区间为（）

A.[22)+乃，2左4+2〃)(4eZ)B.12々江+不,2r+不/eZ)

C.[2k^-^,2k7r\(kGZ)D.12〃跖2〃；7+专)仕wZ)

3

5.（2021•天津静海区）函数/（1）=工111工一5工的单调减区间为—

考点二已知单调性求参数

【例2-1]（2022•陕西•武功县普集高级中学）已知函数=在（y\0）,（3,内）上单调递

增，在（L2）上单调递减，则实数。的取值范用为（

rio51/7

A.B.（f-2]

•7N

bx+2,x>0/.

【例2-2】（2022•河南濮阳一模）“〃勺”是“函数=,岫（尹2）+/25。是在（一2，田）上的单调函

数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【例2-3]（2022•全国•高三专题练习）若函数〃力=1呜13-汨（稣0且。工1）在区间（一,0）内单调递

增，则”的取值范围是（〉

.温馨提示

已如函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下几点：

（1）若函数在区间0,3上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；

（2）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；

（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而TL要注意内外函数对应自变量取值范

【一隅三反】

ax-\x<\

1.（2022.全国,高三专题练习）若函数/*）=,y个-是R上的电调函数，则。的取值范围（）

x*-2cix^x>1

A.|0.|lB.（0,|C.（0.1]D.（0,1）

2

2.（2021・全国•高三专题练习）已知函数/（外=」一e>0）在（L2）上单调递减，则实数。的取值范围是

（）

A.a<\s^a>2B.a>2C.或。=1D.a>\

3.（2022•重庆）已知函数/。）=^一好一色*-4在区间（-8,-2）,（6,+?）上都单调递增，则实数”的取

2

值范围是（)

A.0<a^2x/3B.0<d<4

C.0<a<4y/3D.0<«<8>/3

4.（2021•重庆市）已知。>0且awl,若函数/（x）=1。吼（点-用在［3,4］上是减函数，则。的取值范围是

【答案】4」）

考点三奇偶性的判断

【例3】（2022•广西）下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是（）

A.J'=cosxB.y=^—C.y=ln|x|I）.y=2x-2-x

【一隅三反】

1.<2022•广东广州・二模）下列函数中，既是偶函数又在（0,y）上单调递增的是（）

人」4J

B.y=\^-x2

c.y=W-iD.y=x--

X

2.（2022•河南）下列函数中，即是奇函数又是单调函数的是（）

A.y=xsinxB.y=x+sinx

C.y=xtan.vD.y=x+tanx

3.（2022•安徽）设函数/（%）,双幻的定义域为凡且“幻是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正

确的是（）

A.f(x)g(x)是偶函数B."(x)lg(x)是奇函数

C.f。）g。）是奇函数D.f（x）g（刈是奇函数

考点四奇偶性的应用

2x

【例4-1］（2021•河南）已知/（"）为奇函数，当X40时,f（x）=x-4+mt则当x<0时，〃x）=

（）

A.r-4-A+lB.-x2-4-x-l

C."+4-1D.-x2+4~x+]

【例4-2］（2022•河南洛阳）若函数/（力=/32*-2-*）是偶函数，则。=（）

A.-1B.0C.1I）.+1

【一隅三反】

1.（2022•全国•高三专题练习）已如函数/（力=《1+合）是偶函数，则〃?的值是（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.（2022•江西）若函数/（切=（3川-丈3-1）85怎+2x）为偶函数，则实数〃=（）

A.-9B.3C.-3D.9

3.（2。22.全国,高三专题练习）已知函数/（"）=，*：案:嗫是偶函额，则〃一，的值可能是

（）

.乃乃„2兀，n

A.«=—,b=—B.ci=——»^=—

3336

2兀,5兀

C.a=g,b=J1r).a=—,b=—

3636

4.（2021婀北）已知函数/⑺是K上的奇函数，当x>0时，f（x）=/-2x,则函数的解析式为/（4）=

考点五单调性与奇偶性应用之比较大小

【例5-1］（2022•安徽•寿县第一中学）若/（X）为定义在R上的偶函数，且在（e'°）上单调递减，则

)

A.川n；）>/（2；）>/（3；）B./（3：）>/（ln；）>/（23

1i11i1

c./（22）>/（33）>/（ln-）D./（33）>/（22）>/（ln）

27z

【例5-2]（2022・重庆•西南大学附中模拟预测）设〃=ln&,b=孚，c=与，则a,〃，c的大小关系是（）

3e

A.c<a<bB.a<h<c

C.b<c<aD.h<a<c

【一隅三反】

1.（2022天津河北•二模）已知/"）是定义在力上的偶函数，且在区间Q+oc）单递调减，若a=/（-log?6.1）,

〃=『（207）,c=/（3）,则a,b,。的大小关系为（）

A.c>b>cB.b>c>aC.c>b>aI）.b>a>c

2.（2022校徽•巢湖市第一中学高三期中（理））己知函数/（x）=log2（4、l）r,设〃=〃="也5）,

。=/（1%3）,则a,b,c的大小关系为（）

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

3.（2022云南德宏））已知函数/（x）是定义在R上的偶函数，对任意玉，.V2G（0,-KO）,都有

**'二’凶）>0（大=8）,«=/（log1|）,/?=/（logi）,f（5k,则（）

X[一X]3N3J'

A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a

4.（2022,湖北•荆门市龙泉中学一模）设〃=击，〃=lnl.O3,c=e003-],则下列关系正确的是（）

A.u>b>cB.b>a>c

C.e>b>aD.c>a>b

考点六单调性与奇偶性应用之解不等式

【例6・1】（2022•安徽马鞍山）已知倡函数“X）在（9.0]上单调递增,且"2）=0,则不等式M*（xT）vO

的解集为()

A.(F,-1)J(0,3)B.(T0)U(3,+8)C.(-1.3)D.(-2,O)U(Z。)

【例6-2】(2022•安徽・)已知/(x)=log“(+1-依)是奇函数,若/(加1+咐+/(心+。)＜。恒成立,

则实数8的取值范围是()

A.(-3,3)B.(-9,3)C.(-3,9)I).(-9,9)

【一隅三反】

1.(2022•云南昭通)若定义在R上的奇函数”。在3+8)上单调递增，且/⑵=0,则不等式1•/G+l)W0

的解集为()

A.(-^,—3]kJ[1,+co)B.3]J[0,1]

C.[-3,-11010,1]D.[-3,-1]J[l,-^)

2.(2022•河南)已知定义在左上的函数/(6=(凶-)(X+。)为奇函数，则不等式卜-£)/(“<0的解集

为()

A.(-L0)U(0,l)B.卜同心』)

C.(-hO)U(O,^D.(-1,0)唱1)

3.(2022・全国•高三开学考试(理D已知/(%)是定义在(24-6,幻上的奇函数，且/(x)在口。)上单调

递减，则不等式/(3%-1)4〃1-4司的解集为()

4.(2022•贵州遵义)若奇函数/(R在(0,也)单调递增，且/(1)=。，则满足以立＜()的X的取值范围是

x-2

()

A.(^o,-l)u(0,l)B.(-1,0)U(2,-KO)

C.(一1,0)51，也)I).(-l,0)U(l,2)

5.(2022・全国•高三专题练习〉已知函数则不等式/*)>e'的解集为(

1+lnx

A.(0,1)B.C.(l,e)D.(1,+c©)

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3.2.1函数的性质（一）（精讲）（提升版）

哥建学0B

对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值X1.X2.

增函数当X1<X2时都有fGiXfGz）

对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值心.x2.

送函数当XI<XZ时都f（xi）>f（xz）

（1）任意性

（2）有大小，即X】<X2（X［〉X2）

特征（3）是同属于一个单调区间，三缺一不可

单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示.

有多个单调区间应用“逗号”或“和”连接,

不能用符号"U"、“或"连接,

、、,』对象一般用于抽象函数，其他情况比较少用

单正义法r.

-解法―取值、作差/作商、变形、定号、结论

调

对象有解析式且没有函数绝时值的函数

性

导数法增区何=>/（、）>0

-------/⑶叫

解法［减区间=>/（x）<0

对象一般适用含有绝对值的函数

解法去绝对值一十段函数一一画出图像

|r（x）|"2出>f（\）0阐析>将、轴下方的图像向,轴上方翻折

常见

类型

f⑴式子中部分X加绝对值/篇器u小>分段函数T画出分段觥图像

对象L6种基本函数及其加够形式

性

质反比例函数y上>k>O4,k<Ot

法一次函数尸bb>k>0tk<0l

x

指数的数y=a*->a>lt,O<a<ll对敏丽数y=logj->a>「,0<a<ll

解法耳翻y=x"（第一象限）na>df.a<▼二次的教y二2乂、6*+。Q,0）二>开口和对新轴

形如f[g(x)]

（1）确定函数的定义域.（2）将复合函数分解成基本初等函数

（3）分别确定这两个函数的单调区间.（4）口诀：同增异域求区间

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按单调性中方法进行求解

求单调区间（或单调性）

类鳖一：指数、对数混合暨

思路：苴出血,温点相陛1个单位对数与触1比较.指数与皿比较

英型二：指故^型y=att大小

同底异用n按据我函故比”1T；0<■<11

思路同JW异底->按鬲的数比:a>0T；a<01

（i）K接苴苑圉

异底异底

（H）构造新函数：一个函数取底数一个函数取指数再根据同底异指，碗舁底比较

单

类生：对数型函数

调

性

同底导自n对数的数比:a>lt;O<a<ll

常

思路同真异底二>对数鼬1比n倒数±的原对数小

考

fSTSS：^0.1.2.%

题异底异真n

II换庇公式

比

型

大说明：底n翩，指n指数，口n门数

小

求定义域一⑶断单调性-一两函两边一瓒有负号考虑奇偶性

解不等式注意：出区耐应注意自变量在区间的范围

定义域（给出区间不求）-一判断单调性--求最值

最值（值域）（参考求值域方法

每段函数的单调性符合题意，

分段函数的单调性—自变量分界点的函数的大小关系

复合函数求参数，矗要满足定义域要求

求参数4

偶函数_如果对于困数f(n的足X域内任意一个x都有仪二力二£(x)

奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x)

定Q)定义域是否关于原点对称(左右端点同时(不)取到且成相反数)

义［否：mH«E偶函散

法［是X)=f")奇曲&f(x)=f(x〉偶函教f(x)wf(x)工f(X徘SHN禺

判

图

断

像Q)定义域关于原点对称］0**0

方

法同时满足

法(2)奇函数：图像关于原点对际;偶函数；图像关于｝轴对称

如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有

f(0)=^0

奇函数在两逑于原点对称的区间上具有相同的单调性

使函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性

奇低函数+偶而数=H函数、奇函数十号属数二号函数

偶偶曲数X倍函数=偶函数、奇函数X奇曲数=偶曲数同性加篇得同性,

性当属较xH晶效一今晶数、伍而效，供篙效一优品效导性重除为奇，

常同性秉除为偶

见奇函数♦奇函数=偶函数、奇函数4■偶函数=专函数

结

论常见哥、偶函数面提定义域关于原点对称)

」a奇数r奇函数

⑴一3哥函数(2)尸

a偶数^偶函数

⑴,7.奇函数，7+「偶函故⑸以。g,片数=bg若瑜数

21

(5)j-=loga(\/lI1_L、)奇函数y=logat—奇函数

x'1+x-lx

(1)求定义域(给出的区间)是否关于原点对称,

奇偶性不对称aE奇非偶；对称看(2)

的判断(2)用定义法或图像法判断

利用奇偶求哪段设x为哪段范围，r就是已知解

性求解析式析式范围即将r代入解析式化筒

C题.(1)区间两端点成相反数

型利用奇侠(2)借助上面常见形式口算参数

性求参数_(3)定义法求参数

奇偶性与箍性的综合

考点一求单调区间（无参）函考点四奇饯性的应用

数

的

考点二已知单调性求参数考点五单调性与奇偶性应用之比较大小

性

质

考点三奇偶性的判新考点六单调性与奇偶性应用之解小等式

例题剖析

考点一单调区间（无参）

【例1-1】（2022•费州）函数f*）=M（2x2-3x+l）的单调递减区间为（）

A.卜0,（）B.（y’g）C.住'+8）D.（1,2）

【答案】B

【解析】在函数/。）=111（2/-3.»+1）中，由2/一3x+l>0得或x>l,则f（x）的定义

域为（-co,；）（l,+oo）,函数”=2W-3x+l在（-»,；）上单调递减，在上单调递增，乂

y=ln〃在〃e（0,+co）上单调递增，于是得/"）在（V，）上单调递减，在（L«o）上单调递增，

所以函数/（x）的单调递减区间为（TO,$.故选：B

【例1-2]（2022•广东）函数〃“=,-31+2|的单调递增区间是（）

A.T，+8）B.仁和[2,+x>）

【答案】B

x2-3x+2,x<1

—

【解析】y—|x*—3x+2|=S-X~+3x2,1<.v<2

x2-3x+2,.r>2

如图所示：

函数的单调递增区间是和[2,伊).故选：B.

【例1-3](2022.湖北)函数〃.r)=fin2x_2cosx的单调递增区间是()

A.[2而,(2%+1)可(kwZ)B.2kn-^2kit+^(keZ)

C.[(2k-l)7T,2E](kwZ)D.2kn+^,2kn+—(keZ)

【答案】A

【解析】/(x)=-sin2x-2cos^=cos2x-2cosx-l,

i^r=cosx,则>*=/2-2/-1=(z-l)2-2,

函数/(x)=-sin2.t-2cosx是由，=cosx和y=J—2，-1=(，一if一2复合而成，

当时，。=r-2/-1=(-1)2-2是减函数;

若求/(A)=COS2A-2COSX-I的单调递增函数，

只需求/=cosx的单调递减区间，

当x€[2反,(2&+1)兀](&eZ)时，t=cosx为减函数，

所以函数〃x)的单调递增区间是[2飙(2k+1闻伙wZ).

故选；A.

【例1-4](2022•山东•济南市历城第二中学模拟预测)函数/(；)=,在(1,川)上是减

x-a+3

函数，则实数"的范围是.

【答案】(—2,4]

【解析】函数析幻="5定义域为xe(7>M—3)u(a-3,”)，

x-a+3

x-a+3+a+2,a+2

又j(X)=-------------=1+-------，

x-a+3x-fl+3

因为函数〃对=上二在(1,e)上是减函数，所以只需丁=上々在(1,e)上是减函数,

a+2>0

因此(解得一2<。<4.故答案为：—2vaK4

tz-3<1

【例1・5】（2021•云南昆明市）函数y=e,nA的单调增区间是

【答案】（0,+8）

【解析】要使函数y=*x有意义则x〉0,即函数定义域为（0,+8）,

又）,==x,由一次函数的单调性可知函数）,=在（0,也）上单调递增.

【一隅三反】

1.（2022•全国•高三专题练习）函数y=2CW的单调递增区间是（）

A.18，）B.-]

C.D.

【答案】C

【解析】令一/+1+220,解得一UW2,令/=_f+x+2，则y=〃，

।~|1I

•••函数/=-3+1+2在区间-1,-上单调递增，在区间-,2上单调递减，），=〃在定义域

4乙

内递增，

・••根据复合函数的单调性可知，函数），=2口^的单调递增区间是-1，（•故选：C

2.（2022•福建）函数/（x）=|工—2|A•的单调减区间是（）

A.[K2]B.[-1,0]C.[0,2]D.[2,+oo）

【答案】A

（t—2）,Yv>2

【解析】/（A-）=ro一；・•・尚接通过解析式，结合二次函数图象得：（F.i）,（2,e）

递增，在[L2]递减，故选:A.

3.（2021・全国•高三阶段练习（文））下列函数在（F-1）上是减函数的为（）

A./（x）=-lnxB./（"=一七

C./（.¥）=|^-3^-4|D./（x）=5

【答案】C

【解析】对于选项A,"x）=-lnx在上无意义，不符合题意；

对于选项B,/（力=-+在（YO,-1）上是增函数，不符合题意；

r*一3工一44>®V_r<—

对于选项C,，一:、二的大致图象如图所示中，由图可知“X）在（9,-1）

-.V+3A!+4,?-^1<x<

上是减函数，符合题意：

对于选项D,=j•在（YO,-1）上是增函数，不符合题意.故选：C.

4.（2022・全国•高三专题练习）函数y=lg（2cosx-6）的单调递增区间为（）

A.（2匕r+乃,2女4+24）（炎wZjB.（2匕r+;r,2匕r+'y■乃）（keZ）

C.（25一看,2攵乃）（攵eZ）D.（24；r,2A;r