2024年高考数学第一轮复习讲义第十一章111 算法与程序框图(学生版+解析)

第十一章算法、统计与统计案例

§11.1算法与程序框图

【考试要求】1.了解算法的含义，了解算法的思想2理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序

结构、条件结构、循环结构.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.算法与程序框图

(1)算法

①定义：算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和的步骤.

②应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.

Q)程序框图

定义：程序框图又称流程图，是一种用、及文字说明来表示算法的图形.

2.三种基本逻辑结构

从某处开始，按照一定的条件

循环结构某些步骤的结构，反复执行的步骤称为循

环体

件少A

【常用结论】

直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”：当型循环则是“先判断，后循环,

条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好

相反.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”）

（1）算法只能解决一个问懑，不能重复使用.（）

（2）程序框图中的图形符号可以由个人来确定.（）

（3）榆入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框.（）

（4）条件结构中判断框的出口有两个，但在执行时，每次只有一个出口是有效的.（）

【教材改编题】

1.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）

CW）

ZL

rXn

|A=/+1|

~r:

CM®

A.一当B坐C.—!

2.当〃=4时，执行如图所示的程序框图，则输出5的值为（）

/输出s/

A.9B.15C.31D.63

3.执行如图所示的程序框图，若输入的a,b的值分别为。和9,则输出的i的值为

/输入。力/

/输出i/

~L

国

■探究核心题型

题型一程序框图

命题点1由程序框图求输出结果项

例1(1)(2022・银川模拟)如图所示的是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的〃的值是

)

/输»/

曲

A.7B.8C.9D.10

（2）（2022•全国乙卷）执行如图所示的程序框图，输出的〃等于（）

A.3B.4C.5D.6

命题点2完善程序框图

例2（1）（2022•郑州模拟）执行如图所示的程序框图，若输出，的值为7,则判断框①处可以填

入（

A.S>7?B.S>21?

C.S>28?D.5>36?

听课记录:

（2）（2022・西宁模拟）执行如图所示的程序框图，若输出的S是30,则判断框内可以是（）

A.“26?B.心8?

C.心］0?D.心10?

听课记录：___________________________________________________________________________

命题点3由程序框图逆求参数

例3（1）（2022・咸阳模拟）执行如图所示的程序框图，若输出的S=0,则输入的实数”的取值共

有（）

开始

/输入A/

A.1个B.2个C.3个D.4个

听课记录：

（2）执行如图所示的程序框图，要使输出的S满足1<S<2,则输入的整数N的取值范围是（）

(结束)

A.(1,100)B.[1,100]

C.[9.99]D.(9,99)

听课记录:一

思维升华(1)已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果.

(2)完善程序框图问题，结合初妁条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、

累乘的变量的表达式.

(3)把参数看成常数，运算程序直到输出已知的结果，列出含有参数的等式或不等式，解出参

数的值(或范围).

跟踪训练1⑴(2022•呼和浩特模拟)运行如图所示的程序框图，输出的结果为()

/输髀

A.2X(4,OO-1)B.2X(4,01—1)

C.4X(2,00-l)D.4X(2,0,-l)

(2)(2022・榆林质检)运行如图所示的程序框图，若输入的”的值为2时，输出的S的值为12,

则判断框中可以填()

开始

A.k<3?B.A<4?C.k<5?D.k<8

题型二数学文化与程序框图

例4（1）（2022•成都模拟）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州［现四川省安岳县）人，他在所

著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示

的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入〃，x的值分别为4,3,

则输出v的值为（）

/输少/

血

A.61B.183

C.18D.9

（2）（2022・西安模拟）下面程序框图的克法思想源了数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，

执行该程序框图（图中，MOM”表示根除以〃的余数），若输入的〃?，〃分别为272,153,

则输出的/〃等r（）

/输入〃,J//

（结束〕

A.15B.17

C.27D.34

思维升华中国古代数学长期领先于世界其他国家，有着丰富的教学文化，算法与中国古代数

学文化的结合也是高考中的新宠儿！

跟踪训练2（1）（2022・桂林模拟）元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一

壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当

原多少酒？”用程序框图表达该问题如图所示，即最终输出的1=0,则一开始输入的x的值

为（）

［开始）

A3Q小〉n31

A-4B8CI6D32

（2）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积

可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.刘微利用“割圆术”得到了圆周率精确到小数

点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的

一个程序框图，则输出〃的值为（）

（参考数据:小F.414,小和1.732,sin1530.2588,sin7.蜜40.1305）

是

/输出”/

A.12B.24

C.36D.48

第十一章算法、统计与统计案例

§11.1算法与程序框图

【考试要求】L/解算法的含义，了解算法的思想2理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序

结构、条件结构、循环结构.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.算法与程序框图

⑴算法

①定义：算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和碘的步骤.

②应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.

(2)程序框图

定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.

2.三种基木逻辑结构

\内容程序

名广、定义

框图

—

-1■.——一■■■■■■-

由若干个依次执行的步骤组成，这是步学

顺序结构

任何一个算法都离不开的基本结构步臂〃+1

【常用结论】

直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”：当型循环则是“先判断，后循环,

条件满足时执行循环”：两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好

相反.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）算法只能解决一个问题，不能重复使用.（X）

（2）程序框图中的图形符号可以由个人来确定.（X）

⑶输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框.（X）

（4）条件结构中判断框的出口有两个，但在执行时，每次只有一个出口是有效的.（V）

【教材改编题】

I.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）

CW)

nZ=Ln

/输出s/

CW)

A—近B近

/*・2jo•2

c.—!D.g

答案D

解析按照程序框图依次循环运算，当女=5时，停止循环，S=sin

2.当〃=4时，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）

/W^7

/输出s/

A.9B.15C.31D.63

答案C

解析由程序框图可知，k=l,S=l；S=l+2=3,k=2；5=34-4=7,；5=7+23=

15,k=4；S=15+24=31,Z=5,退出循环，输出S的值为31.

3.执行如图所示的程序框图，若输入的b的值分别为0和9,则输出的/的值为

/^i\a,b/

/输出i/

答案3

解析第1次循环：/'=1,a=I,b=8,a〈b；

第2次循环：i=2,a=3,/?=6,a<b；

第3次循环：i=3,a=6,b=3,a>b,

所以输出i的值为3.

■探究核心题型

题型一程序框图

命题点1由程序框图求输出结果项

例1（1）（2022•银川模拟）如图所示的是一个程序框图,执行该程序框图,则输出的n的值是

（）

/输9〃/

曲

A.7B.8C.9D.10

答案C

解析模拟执行程序可知：

笫1次循环，〃=1,5=1,不满足5>40；

第2次循环，〃=2,S=1+2=3,不满足S>40；

第3次循环，〃=3,S=3+3=6,不满足S>40；

第4次循环，〃=4,$=6+4=10,不满足5>40；

第5次循环，”=5,5=10+5=15,不满足S>40；

第6次循环，〃=6,5=15+6=21,不满足5>40；

第7次循环，〃=7,5=21+7=28,不满足S>40；

第8次循环，〃=8,5=28+8=36,不满足S>40；

第9次循环，〃=9,S=36+9=45,满足S>40,故输出的〃的值是9.

（2）（2022.全国乙卷）执行如图所示的程序框图，输出的H等干（）

A.3B.4C.5D.6

答案B

解析执行第一次循环：方=1+2X1=3,a=3—1=2,〃=1+1=2,生一=10一=

20.01；第二次循环：〃=3+2X2=7,。=7—2=5,n=2+l=3,|5-21=|@2-21=25

>0.01；第三次循环：力=7+2X5=17,a=17—5=12,“=3+1=4,7~2|=1(*|2?-2|

=744<001,输出〃=4.故选民

命题点2完善程序框图

例2（1）（2022•郑州模拟）执行如图所示的程序框图，若输出i的值为7,则判断框①处可以填

入（）

A.S>7?B.S>21?

C.5>28?D.S>36?

答案B

解析由程序流程图，其执行逻辑及对应输出如下:

i=l,5=0：输出S=l,执行循环，则i=2；

i=2,S=l：输出S=3,执行循环，则i=3；

i=3,5=3：输出S=6,执行循环，则i=4；

i=4,S=6：输出S=10,执行循环，则i=5；

i=5,5=10：输出S=I5,执行循环，则i=6；

i=6,S=15：输出S=21,执行循环，则i=7；

i=7,5=21：输出5=28,此时根据条件跳出循环，输出i=7.

结合选项只有判断框①处填入S>21?时符合要求.

（2）（2022・西宁模拟）执行如图所示的程序框图，若输出的S是30,则判断框内可以是（）

A.〃26?B.心8?

C.”>10?D.“210?

答案D

解析由程序框图,其执行程序如下:

5=0,〃=0=>〃=2,5=2,执行循环体;

5=2,n=2=>n=4,5=6,执行循环体;

S=6,〃=40〃=6,S=\2,执行循环体;

S=I2,〃=6=〃=8,5=20,执行循环体；

5=20,〃=8=>〃=10,5=30,跳出循环体，输出S=30,

所以判断框内可以是〃2IO?

命题点3由程序框图逆求参数

例3(1)(2022・咸阳模拟)执行如图所示的程序框图，若输出的S=0,则输入的实数x的取值共

有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案C

解析由程序框图可知，该循环体需执行2次输出结果，

则输出S=(/-l)2—l,

则S=(f—1)2—1=0,解得x=0或x=4，

故输入的实数X的取值共有3个.

(2)执行如图所示的程序框图，要使输出的5满足1<5<2,则输入的整数N的取值范围是()

/输晨/

A.(1,10())B.[1,100]

C.[9,991D.(9.99)

=1g(2x?x***X*9^)=,g10=1，

当/V=99时，

3

-+植

2*100

S=lg2+lg+199

-蟒)=近100=2,

即N£(9,99).

思维升华(])已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果.

(2)完善程序框图问题，结合初始条件和榆出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、

累乘的变量的表达式.

(3)把参数看成常数，运舁程序直到榆出已知的结果，列出含有参数的等式或不等式，解出参

数的值(或危困).

跟踪训练I(1)(2022•呼和浩件模拟)运行如图所示的程序框图，输出的结果为()

A.2X(4l00-l)B.2X(4,0l-l)

C.4X(21OO-1)D.4X(2,O1-1)

答案C

解析当々=1时.运行程序可得7=2,S=S+27=0+4=4,2=2；

当&=2时，运行程序可得7=4,5=S+2T=4+8=22+2\k=3；

当2=3时，运行程序可得7=8,5=5+27=4+8+16=22+23+24,々=4；

由此可得，当k=100时，运行程序可得S=2?+23+…+2⑼,

此时A=100+l=101,跳出循环.

所以揄出的结果为5=22+23+-+2101

4Xi（-2*z心,00

=­jT7^-=4X（2-l）.

⑵（2022・榆林质检）运行如图所示的程序框图，若输入的。的值为2时，输出的S的值为12,

则判断框中可以填（）

否

/输，S/

（结束）

。=一。

A—4+1

A.k<3?B.A<4?

C.R5?D.k<6?

答案B

解析运行该程序:

输入a=2,

第一次循环：S=O+2X12=2,a=~2

k=1+1=2；

第二次循环：S=2-2X22=-6,a=2,

〃=2+1=3；

第三次循环：5=-6+2X32=12,a=~2

Zr=3+1=4,

因为输出的S的值为12,

所以判断框中可以填A<4?

题型二数学文化与程序框图

例4（1）（2022・成都模拟）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州!现四川省安岳县）人，他在所

著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示

的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入〃，x的值分别为4,3,

则输出。的值为（）

/输入几x/

/输出i，/

A.61B.183

C.18D.9

答案B

解析〃=4,x=3,。=1,i=3,执行循环,

v=lX3+3=6,1=2,执行循环，

0=6X3+2=20,i=l,执行循环，

0=20X3+1=61,/=0,执行循环,

0=61X3+0=183,/=-!,

终止循环，输出。=183.

（2）（2022・西安模拟）下面程序框图的算法思想源于数学名著《几何原木》中的“辗转相除法”，

执行该程序框图（图中，MOD〃”表示m除以n的余数）,若输入的m,n分别为272.153,

则输出的〃?等于（）

（结束）

A.15B.17

C.27D.34

答案B

解析因为输入的/〃，〃分别为272,153,

第一次循环：，=119,〃?=153,n=H9,

第二次循环：r=34,m=119,zi=34,

第三次循环：r=17,〃J=34,n=17,

第四次循环：r=0,m=17,

跳出循环，输出加=17.

思维升华中国古代数学长期领先于世界其他国搴，有着丰富的数学文化，削法与中国古代数

学文化的结合也是高考中的新宠儿！

跟踪训练2（1）（2022・桂林模拟）元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一

壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当

原多少酒？”用程序框图表达该问题如图所示，即最终输出的1=0,则一开始输入的x的值

为（）

A-4B-8C-16D32

答案B

解析本题由于已知输出时x的值，因此可以逆向求解.

输出x=0,此时i=4；

上一步：2A-1=0,«t=2»此时i=3;

13

--

24,此时i=2；

37

--

2V48,此时i=l.

因此输入的x的值为（7

（2）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积

可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.刘徽利用“割圆术”得到了圆周率精确到小数

点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的

一个程序框图，则输出〃的值为（）

（参考数据：地21.414,巾=1.732,sin150弋0.2588,sin7.5°^0.1305）

A.12B.24

C.36D.48

答案B

解析执行程序，〃=6,S=^X6Xsin6()o=呼~2.598<3.10,

则〃=12,S=1xi2Xsin300=3<3.10,

则〃=24,5=1x24Xsin15°^3.1O56>3.IO.

则输出n=24.

课时精练

立基础保分练

1.（2022・西宁模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（）

CWt]

A.5B.6

C.4D.3

答案A

解析依次执行程序如下：

S=I2-2X|=IO,i=2,执行循环；

S—10—2X2=6,i=3,执行循环；

S=6-2X3=0,i=4,执行循环；

S=0-2X4=-8,i=5,

满足条件S<0,跳出循环体,输出，♦=5.

2.执行如图的程序框图，则输出的结果是（）

/输出s/

I

人53J716-37

A而B60C-2?D60

答案D

解析执行程序框图中的程序，如下所示：

第一次循环：S=l,"=1+1=2,不满足〃>6；

第二次循环：S=l—1=1,n=2+l=3,不满足〃>6；

笫三次循环：5=；+孑=焉，"=3+1=4,不满足〃>6；

517

第四次循环：5=不一W=E，〃=4+1=5,不满足心6；

第五次循环：S=]^+g=今，“=5+1=6,不满足〃>6；

第六次循环：5=今一看=条，“=6+1=7,满足心6.

跳出循环体，输出S=3*7.

VV

3.（2023•孤川模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）

/=/+1

A.15B.29C.72D.185

答案C

解析第一次执行循环，i=0,〃=2X1+1=3,〃=3X]—1=2,不满足i23,则i=0+l

=1,

第二次执行循环，/=1,a=2X3+l=7,b=3X2—l=5,不满足iN3,则i=l+l=2,

第三次执行循环，i=2,4=2X7+1=15,6=3X5-1=14,不满足i23,则i=2+l=3,

第四次执行循环，i=3,“=2X15+1=31,8=3X14—1=41,满足，23,

跳出循环，输出“+〃=31+41=72.

4.（2022・齐齐哈尔模拟）执行如图所示的程序框图，若输出y的值是2,则输入x的值是（）

/输Xx/

)-log>x

/输出），/

A4B.-1

C.4D.~2

答案A

log|.v,x<2.

解析由题意得y=«

(泉>2x.

当AW2时，由log/=2,得x=；；

2

当x>2时，由弓｝=2,得]=一1（舍去）.

所以x=；.

5.（2022•宝鸡模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（）

军

/输入S%""=1/

是

/输出s/

A.501B.642C.645D.896

答案B

解析S=0,"2=1；

S=O+1X2.2,/〃=1+1=2,SW500,执行循环:

5=2+2X22=10,、=2+1=3,SW500,执行循环；

S=10+3X23=34,6=3+1=4,SW500,执行循环；

5=34+4X24=98,6=4+1=5,SW500,执行循环；

S=98+5X25=258,机=5+1=6,SW500,执行循环；

5=258+6X26=642,加=6+1=7,S>500,

结束循环，输出S=642.

6.（2022•拉萨模拟）我国古代对开方运算进行了深入研究，不仅会开平方，而且能开高次方，

解题的思路是从二项式乘方入手的，贾宪、杨辉等均做出了巨大贡献.他们找出了由（1+x）”

展开式的二项式系数所组成的一个三角形，人们称之为杨辉三角.

（1+x）'I1

（l+-r）212]

（l+.r）31331

（l+x）*14641

它的组成法则是：最外侧的两个数字是1,中间的数字等于其“肩”上（上一行）两个数字之

和.这个规律给我们计算二项展开式提供了很大的便利.令（l+»6=ao+0x+@F+…+%Z，

执行如图所本的程序框图，则输出的P等于（）

/输出P/

I

A4376

B.ycjjD.,

答案A

解析分析程序框图可知，输出的/＞为（1+X）6的二项式系数中为偶数的频率,

因为（1+幻6

=1+6x+15/+20?+15./+面+/,

所以如，…，”6中，只有3个偶数,

31

-

6一-2

7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果S=l+才+：+…十血，则判断框中填入的条

件可以是（）

A.1W2O23?B.运1013?

C.011?D.iW1012?

答案D

解析框图首先给累加变量S破值0,给循环变量i赋值1,

判断框中的条件满足，执行S=0+l,/=1+1=2；

判断框中的条件满足，执行5=0+1+*，=2+1=3；

判断框中的条件满足，执行S=0+l+g+〃i=3+l=4；

依此类推，令2023—2»—1,律，一1012,

判断框中的条件满足，执行1+I+W+…+77*,i=l013,

此时不满足条件，退出循环，则判断框内填入的条件可以是“iWl012?

8.(2022.咸阳质检)执行如图所示的程序框图，若输出的结果为126,则判断框内的条件可以为

()

A.后5?

B.〃W6?

C.〃W7?

D.〃W8?

答案B

解析根据框图，执行程序，S=2l〃=2；

S=2'+22,〃=3；

5=2'+22-|--+2/,«=/+!,

令S=2』22+…+>=126,

解得i=6,即〃=7时结束程序，

所以判断框内的条件可以为6?

9.如图所示的算法流程图中，第3个输出的数是.

答案2

解析模拟执行程序，4=1,N=l,输出1；

N=2,满足条件，A=14-1=1,输出去

31

N=3,满足条件，4=方+/=2,输出2,

所以第3个输出的数是2.

10.执行如图所示的程序框图，该程序框图输出的结果是

答案125

解析由于。=1,5=1,不满足a>3,则S=1X5=5,a=2；

不满足。>3,则S=5X5=25,。=3；

不满足。>3,则S=25X5=125,。=4；

满足〃>3,揄出125.

11.某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两位老师独立评分，称

为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于2分时，取两者平均分为该题得分;

当两者所评分数之差的绝对值大于2分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数

和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分.如图所示，当.仃=6,也=9,〃=6.5时,

/输明p/

J

I结束〕

答案7

解析因为X]=6,X2=9,9—6=3>2,

所以输入X3,当出一6|<出一9|成立时，X2=X3,则>=6.5,

解得后=7.I7-6KI7-9I.满足条件：

9+x?

当比一6|v|x3-9|不成立时,xi=X3,则p=-尸"=6.5,

解得白=4,|4—6|<|4一9],不:背足条件，故X3=7.

12.中国的太极图是由黑白两个鱼形图案拼成的一个完整的圆形，喻示着阴阳相互转化又相

互对立的基本道理，是反映我国传统哲学中辩证思想的一种象征性符号.若阴表示数字h

阳表示数字0,这蕴含了二进制的思想.图中的程序框图的算法思路就源于我国古代的哲学

辩证思想.执行该程序框图，若输入。=10101011/=2,〃=8,则输出的〃=.

（开始）

/输入/

I\~

/?=（）!

H

/=i

|把，，的从右数第i位数字赋给r

b=h+t-^'}

答案43

解析按照程序框图执行，力依次为0,1,3,3,II,1143,43.当。=43时，i=7+1=8,跳出循环,

故输出方=43.

立综合提升练

13.（2022・西安模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的”的值等于（）

A.