第1课时面积问题与平均增长率问题

第1章一元二次方程1.4用一元二次方程解决问题第1课时面积问题与平均增长率问题提优点：用一元二次方程解决面积问题与平均增长率问题.

1.

（衢州中考）某厂家1～5月份的口罩产量统计如图所示.设从2月份到4月份，该

厂家口罩产量的平均月增长率为

x

，根据题意可得方程（

B

）A.

180（1－

x

）2＝461B.

180（1＋

x

）2＝461C.

368（1－

x

）2＝442D.

368（1＋

x

）2＝442B2.

新趋势

数学文化（2023·襄阳中考改编）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的

一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.”意

思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步.设宽为

x

步，根据题意列方程正确的是

⁠.3.

（2023·丹东月考）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一

边减少了2

m，另一边减少了3

m，剩余一块面积为20

m2的矩形空地，则原正方形空

地的边长是

m.x

（

x

＋12）＝86474.

（2023·郴州中考）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人

数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人.（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为

x

，由题意得1.6（1＋

x

）2＝2.5，

解得

x

＝0.25＝25％（负值已舍去）.答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25％.（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均

增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接

待游客人数最多是多少万人？设5月份后10天日均接待游客人数是

y

万人，由题意，得2.125＋10

y

≤2.5（1＋25％），解得

y

≤0.1；∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人.5.

（2023·常州中考）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小

和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下、左、右页边距分别为

a

cm、

b

cm、

c

cm、

d

cm.若纸张大小为16

cm×10

cm，考虑到整体的美观性，要求各页边

距相等并使打印区域的面积占纸张的70％，则需如何设置页边距？设页边距为

x

cm，则可列方程为（16－2

x

）（10－2

x

）＝16×10×70％，解得

x1＝

1，

x2＝12（舍去），故页边距为1

cm.

6.

近几年，我国的环境问题主要表现在污染物排放比较大，某工厂在今年的8、9月

份连续两次降低重金属污染物排放量，共降至原来的72％，且第二次降低的百分率

是第一次的2倍，则第二次降低的百分率为（

B

）A.

10％B.

20％C.

30％D.

40％解析：设第二次降低的百分率为

x

，则第一次降低的百分率为0.5％

x

，由题意得

（1－0.5

x

）（1－

x

）＝0.72，解得

x

＝20％，

x2＝2.8（舍去）.故选B.

B7.

教材P30习题T5变式（2024·遵义期中）现要在一个长为40

m，宽为26

m的矩形花

园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为950

m2，那么小道的宽度应是（

A

）A.

1

mB.

1.5

mC.

2

mD.

2.5

m解析：设小道的宽度为

x

m，依题意得（40－2

x

）（26－

x

）＝950.整理，得

x2－

46

x

＋45＝0，解得

x1＝1，

x2＝45.又∵40－2

x

＞0，∴

x

＜20，∴

x

＝1.故小道的

宽度应为1

m.故选A.

A8.

（黔西南州中考）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每

轮传染中平均每人传染了

个人.解析：设每轮传染中平均每人传染了

x

个人.依题意，得1＋

x

＋

x

（1＋

x

）＝121，

即（1＋

x

）2＝121，解得

x1＝10，

x2＝－12（舍去），即每轮传染中平均每人传染

了10个人.10归纳总结①传播感染问题：开始只有一个传播源，第一轮传给

x

个，第二轮中最开始的传播

源还会继续传播，所以第二轮传染给

x

（

x

＋1）个，两轮总共是1＋

x

＋

x

（

x

＋1）

＝（

x

＋1）2个.如果开始有

a

个传播源，每个传播源每轮传染

x

个，那么经过两轮

传播后共有

a

（

x

＋1）2个.②树枝分叉问题：开始只有一主干，第一轮主干长出

x

个支干，第二轮主干不再参

与，就只有

x

个支干，每个支干再长出

x

个分支，所以第二轮有

x

·

x

个支干，两轮总

共是（1＋

x

＋

x2）个支干.9.

教材P29习题T1变式一个两位数的个位和十位上的两个数的和为5，把这个两位

数的个位上的数与十位上的数互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为

736，则原两位数是

⁠.解析：设原两位数的十位上的数为

x

，则个位上的数为（5－

x

），根据题意，得

（10

x

＋5－

x

）[10（5－

x

）＋

x

]＝736，整理，得

x2－5

x

＋6＝0，解得

x1＝2，

x2

＝3，∴5－

x

＝3或2，∴原两位数是23或32.23或3210.

如图，张大叔从市场上买回一张矩形铁皮，他将此铁皮的四个角各剪去一个边

长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱

子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米.现已知购买这种铁皮每平方米需10元钱，

张大叔购买这张矩形铁皮共花了

元.解析：设此长方体箱子的底面宽为

x

米，则长为（

x

＋2）米.依题意，得1·

x

·（

x

＋

2）＝15，整理得

x2＋2

x

－15＝0，解得

x1＝3，

x2＝－5（不符合题意，舍去），

∴矩形铁皮的长为3＋2＋2＝7（米），宽为3＋2＝5（米），∴购买这张矩形铁皮

的费用为7×5×10＝350（元）.35011.

（2022·眉山中考改编）建设美丽城市，改造老旧小区.某市2021年投入资

金1

000万元，2022年与2023年共投入资金2

640万元，现假定每年投入资金的

增长率相同.（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；

（2）2023年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2024年为提高老旧小区品质，

每个小区改造费用增加15％.如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2024年最

多可以改造多少个老旧小区.

12.

（2024·苏州吴江区月考）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的

直角墙角（两边足够长），用28

m长的篱笆围成一个矩形花园

ABCD

（篱笆只围

AB

、

BC

两边），设

AB

＝

x

m.（1）若花园的面积为192

m2，求

x

的值.∵

AB

＝

x

m，∴

BC

＝（28－

x

）m，∴

x

（28－

x

）＝192，解得

x1＝12，

x2＝16，

故

x

的值为12或16.（2）若在

P

处有一棵树与墙

CD

、

AD

的距离分别是15

m和6

m，要将这棵树围在花

园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积

S

能否为196

m2？若能，请求出

x

的

值；若不能，请说明理由.不能.理由如下：∵

AB

＝

x

m，∴

BC

＝（28－

x

）m，∴

S

＝

x

（28－

x

）＝－

x2＋28

x

.∵在

P

处有

一棵树与墙

CD

、

AD

的距离分别是15

m和6

m，∴28－

x

≥15，∴6≤

x

≤13.当

S

＝

196时，－

x2＋28

x

＝196，解得

x

＝14，不符合6≤

x

≤13，∴花园面积

S

不能为196

m2.

13.

一个矩形纸片内放入两个边长分别为3

cm和4

cm的小正方形纸片.按照图①放置

时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（阴影部分）的面积为8

cm2；按照

图②放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11

cm2；按图③

放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（

C

）A.

5

cm2B.

6

cm2C.

7

cm2D.

8

cm2C

将（②－①）÷3可得出

y

－

x

＋1＝0，即

x

＝

y

＋1

③，将③代入②中可得

y

（

y

＋1）＝16＋3（

y

－4）＋11，整理得

y2－2

y

－15＝0，解得

y1＝5或

y2＝－3（舍

去），则

x

＝

y

＋1＝6，则矩形的宽为5

cm，长为6

cm，按照图③放置的时候，未覆

盖的面积为（

x

－4）（

y

－3）＋（

x

－3）（

y

－4）＝2×2＋3×1＝7，故选C.

14.

（2022·宜昌中考）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改

造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3、4月份共生产再生纸800吨，其

中4月份再生纸产量比3月份的2