高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大小值第一课时函数的单调性

1.3函数基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第一课时函数单调性1/34目标导航课标要求1.了解增函数和减函数定义.2.了解函数单调性含义,掌握利用定义证实函数单调性方法.3.能够利用定义或图象求函数单调区间,能够利用函数单调性处理相关问题.素养达成经过本节内容学习,使学生准确了解单调性本质特点,提升学生逻辑推理能力.2/34新知探求课堂探究3/34新知探求·素养养成【情境导学】导入一函数是描述事物运动改变规律数学模型.假如了解了函数改变规律,那么也就把握了对应事物改变规律.所以研究函数性质是非常主要.日常生活中,我们有过这么体验:从阶梯教室前向后走,逐步上升,从阶梯教室后向前走,逐步下降.很多函数也含有类似性质,这就是我们要研究函数基本性质——函数单调性.4/34导入二画出函数f(x)=x,f(x)=x2和f(x)=图象,如图所表示:从图象上不难看出函数f(x)=x从左到右是上升;函数f(x)=x2在y轴左侧,从左到右是下降,而在y轴右侧,从左到右是上升;函数f(x)=在y轴左侧,从左到右是下降,而在y轴右侧,从左到右也是下降.5/34想一想

导入二中f(x)随x增大是怎样改变?(f(x)=x中f(x)随x增大而增大,f(x)=x2先随x增大而减小,再随x增大而增大.f(x)=中f(x)在x∈(-∞,0)和(0,+∞)上都是随x增大而减小)6/34知识探究1.增函数与减函数相关概念7/342.函数单调性及单调区间增函数或减函数单调性区间D8/34探究1:函数单调性定义中x1,x2有何限制条件?答案:(1)任意性,即x1,x2是在某一区间上任意两个值,不能以特殊值代换;(2)有大小,即确定两个值x1,x2必须区分大小,普通令x1<x2;(3)同属一个单调区间.探究2:函数单调区间与函数定义域有何关系?当一个函数有多个单调区间时,怎样写函数单调区间.答案:单调区间必须是函数定义域子集,单调区间之间不能用“∪”,而应用“,”将它们隔开或用“和”字连接.9/34【拓展延伸】判断函数单调性惯用方法(1)定义法:依据增、减函数定义分为四步进行.①取值:任取x1,x2∈D,且x1<x2,得x2-x1>0.②作差(或商)变形:y2-y1=f(x2)-f(x1)=…(或==…),向有利于判断差符号(或商与1大小)方向变形.③判断:判断y2-y1(或)是否大于0(或大于1),当不确定时,要分类讨论.④下结论:依据定义得出结论.(2)图象法:画出函数图象,依据图象上升或下降趋势判断函数单调性.(3)直接法:对于我们所熟悉函数,如一次函数、二次函数、反百分比函数等,可直接写出它们单调区间.10/34(4)利用结论(以下结论在所指两个函数公共定义域内成立)①增函数+常数=增函数,减函数+常数=减函数,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数,增函数-减函数=增函数,减函数-增函数=减函数.②y=f(x)与y=c·f(x)(c为常数,c≠0),当c>0时单调性相同,当c<0时单调性相反.③若f(x)≠0,则f(x)与单调性相反.④若f(x)≥0,则f(x)与单调性相同.11/34自我检测1.(单调性定义)已知函数f(x)定义域为D,在区间M上单调递增,则(

)(A)M=D (B)MD (C)M⊆D (D)D⊆MC2.(单调性定义)(·昆明高一检测)以下函数中,在区间(0,1)上是增函数是(

)(A)y=|x| (B)y=3-x(C)y= (D)y=-x2+4A12/343.(单调性应用)若f(x)=ax+1在R上单调递减,则a取值范围为(

)(A)(0,+∞) (B)(-∞,0)(C)[1,+∞) (D)(-∞,1]4.(单调性应用)已知f(x)为R上减函数,则满足f(||)<f(1)实数x取值范围是(

)(A)(-1,1) (B)(0,1)(C)(-1,0)∪(0,1) (D)(-∞,-1)∪(1,+∞)BC13/345.(单调性应用)如图所表示为函数y=f(x),x∈[-4,7]图象,则函数f(x)单调递增区间是

.

答案:[-1.5,3],[5,6]14/34题型一判断或证实函数单调性课堂探究·素养提升15/34(2)求证:函数f(x)=在(1,+∞)上是增函数.16/34变式探究:函数f(x)=在(-∞,0)上单调性怎样?怎样证实.17/34方法技巧

(1)比较f(x1)与f(x2)大小惯用方法有“作差,作商”两种,其中差与0比较大小,而商与1比较大小.(2)惯用变形技巧有:①因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后常经过因式分解变形.②通分.当原函数含有分式时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.③配方.作差后能够利用配方判断差符号.④分子或分母有理化.当函数中含有根式时,作差后主要考虑分子或分母有理化.18/34即时训练1-1:(·海南中学高一期中)试用函数单调性定义证实:f(x)=在(1,+∞)上是减函数.19/34【备用例1】证实:函数f(x)=x2-在区间(0,+∞)上是增函数.20/34题型二求函数单调区间【例2】求以下函数单调区间.(1)f(x)=3|x|;21/34(2)f(x)=|x2+2x-3|.解:(2)令g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.先作出g(x)图象,保留其在x轴及x轴上方部分,把它在x轴下方图象翻到x轴上方就得到f(x)=|x2+2x-3|图象,如图所表示.由图象易得,函数递增区间是[-3,-1],[1,+∞);函数递减区间是(-∞,-3],[-1,1].22/34方法技巧

判断函数单调区间时,若所给函数是常见一次函数、二次函数、反百分比函数等,可依据其单调性写出函数单调区间,若函数不是上述函数且函数图象轻易作出,可作出其图象,依据图象写出函数单调区间.23/34即时训练2-1:作出函数f(x)=图象,并指出函数单调区间.解:f(x)=图象如图所表示.由图象可知,函数单调减区间为(-∞,1],(1,2];单调递增区间为(2,+∞).24/34【备用例2】求以下函数单调区间.(1)f(x)=(x∈[-2,4]);25/34(2)y=.26/34题型三函数单调性应用【例3】

已知函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3.(1)函数f(x)在区间(-∞,3]上是增函数,则实数a取值范围是

;

(2)函数f(x)单调递增区间是(-∞,3],则实数a值为

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解析:f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.所以函数单调递增区间为(-∞,-a-1].(1)由f(x)在(-∞,3]上是增函数知3≤-a-1,即a≤-4.(2)由题意得-a-1=3,a=-4.答案:(1)(-∞,-4]

(2)-427/34变式探究:若本题改为函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(1,2)上是单调函数,则a取值范围是

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答案:(-∞,-3]∪[-2,+∞)误区警示

函数单调区间与函数在某一区间上单调是两个不一样概念,其中后者区间是函数单调区间子集.28/34即时训练3-1:函数f(x)=x2-2mx-3在区间[1,2]上单调,则m取值范围是

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解析:二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴位置,函数f(x)=x2-2mx-3对称轴为x=m,函数在区间[1,2]上单调,则m≤1或m≥2.答案:(-∞,1]∪[2,+∞)29/34【备用例3】已知函数f(x)=是(-∞,+∞)上减函数,则实数a取值范围是

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30/34题型