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文档简介

四、利用坐标作向量的线性运算

一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向余弦

、投影向量及其线性运算

向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:既有大小,又有方向的量称为向量自由向量:与起点终点位置无关的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,

规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;与a

的模相同,但方向相反的向量称为a

的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.记作－a;

b相等,

二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.

2.向量的减法

3.向量与数的乘法

是一个数,规定:

与a

的乘积是一个新向量,总之:运算律:结合律分配律记作

结论1:

(

为唯一实数)a∥b因此设

a

、b为非零向量,则结论2:

则与a方向一致的单位向量为

例1.设M为解:ABCD对角线的交点,

作业P122,3

ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,

坐标面zox面1.空间直角坐标系的基本概念Ⅰ

向径在直角坐标系下点M有序数组(称为点M的坐标)

2.向量的坐标表示沿三个坐标轴方向的分向量.此式称为向量

r

的坐标分解式,

四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:

例2.已知两点在AB直线上求一点M,使解:设M的坐标为如图所示及实数得即

说明:由得定比分点公式:点

M为AB的中点,于是得中点公式:

五、向量的模、方向余弦、投影

因得两点间的距离公式:对两点与1.向量的模与两点间的距离公式

例3.

求证以证:即为等腰三角形.为顶点的三角形是等腰三角形.

例4.

在z

轴上求与两点解:

设该点为解得故所求点为及等距离的点.例5.已知两点和解:求

2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤

≤

)为向量

的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角

,

,

为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.

记作

方向余弦的性质:

例6.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量

例7.设点A

位于第一卦限,解:已知轴的夹角依次为求点A的则因点A在第一卦限,故于是故点A的坐标为向径OA

与x

轴y坐标.

3.向量在轴上的投影

任给向量，过r的终点M作平面垂直于u轴，垂足为，则称为向量r在u轴上的分向量设u轴上的单位向量为，则其中数量称为向量r在u轴上的投影，记作设，则

例8.设解:

因求向

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