2024-2025学年辽宁省抚顺一中高一（下）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省抚顺一中高一（下）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集U=R，集合A={x|x2−x−2>0}，B={x|x≥1}，则(A.{x|1≤x≤2} B.{x|1<x≤2} C.{x|x>2} D.{x|1≤x<2}2.设函数f(x)=log2x+2x−3A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)3.已知向量a=(1,m)，b=(2m,2)，则m=1是向量a与向量b共线的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，它的终边与以原点O为圆心的单位圆的交点为P(23,y0A.23 B.−23 C.5.截取一块扇形钢板，若扇形钢板的圆心角为2π3，面积为942cm2，则这个扇形钢板的半径约为(    )(参考数据：A.10cm B.20cm C.30cm D.40cm6.已知函数f(x)=e|x|，若a=f(0.60.4),b=f(log215),c=f(loA.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<c<b7.函数f(x)=ln(x2−2ax−a)在A.a>−2 B.a≥−2 C.a>−43 8.已知f(x)为R上的奇函数，f(2)=2，若∀x1，x2∈(0,+∞)且x1>x2A.(−∞,3) B.(−1,3)

C.(−∞,−1)∪(3,+∞) D.(−1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共104分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知角θ的终边过(−3a,4a)(a≠0)，则(

)A.角θ为第二象限角 B.tanθ=−43

C.当a>0时，sinθ+cosθ=15 10.若正实数a，b满足2a+b=4，则(

)A.ab≥2 B.2a+1b≥911.已知f(x)=21+2xA.f(x)是奇函数

B.若x1<x2，则f(x1)<f(x2)

C.若三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，在四边形ABCD中，AB=3DC，E为边BC的中点，若AE=λAB+μ13.已知角α为第二象限角，且满足sinα+cosα=12，则sinα−cosα14.已知函数f(x)=x3+ln(1+x2四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知2cos(32π+θ)+cos(π+θ)3sin(π−θ)+2sin(52π+θ)=15；16.(本小题12分)

已知函数f(x)=loga(5x−1+1)(a>0,a≠1)．

(1)若f(6)=−2，求a的值；

(2)17.(本小题12分)

某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：

(1)求频率分布直方图中a的值.若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数．

(2)用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数．

(3)若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为35，乙复赛获一等奖的概率为23，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率．18.(本小题12分)

已知f(x)=ln(1x+a)．

(1)当a=−1时，求函数y=f(x)的定义域；

(2)若a≠0，且关于x的方程f(x)+ln(x2)=0有唯一解，求实数a的值；

(3)设a>0，若当t∈[19.(本小题12分)

已知函数f(x)=ax+a−x，g(x)=ax−a−x(a>0且a≠1)，满足f(1)=52且g(x)为增函数．

(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；

(2)存在x∈[1,+∞)使得不等式mg(x)≥(f(x))2+m参考答案1.A

2.B

3.A

4.A

5.C

6.D

7.C

8.B

9.BC

10.BCD

11.ACD

12.7613.714.{a|a<215.解：(1)由2cos(32π+θ)+cos(π+θ)3sin(π−θ)+2sin(52π+θ)=15，可得2sinθ−cosθ3sinθ+2cosθ16.解：(1)因为f(6)=loga2=−2，

所以a−2=2，即a2=12，

因为a>0，所以a=22；

(2)因为a=12，不等式f(x)≥1即为log12(5x−1+1)≥1，

即log12(5x−1+1)≥log1212①，

17.解：(1)根据题意可得(0.010+0.015×2+a+0.025+0.005)×10=1，解得a=0.030；

[70,80)的频率为10a=0.3，[80,90)的频率为10×0.025=0.25，

[90,100]的频率为10×0.005=0.05，按分层抽样方法抽取12人的成绩，

则12人中成绩不低于90分的人数为12×0.050.3+0.25+0.05=1；

(2)该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数为：

(45×0.010+55×0.015+65×0.015+75×0.030+85×0.025+95×0.005)×10=71．

[40,70)的频率为10×(0.010+0.015+0.015)=0.4，

[40,80)的频率为0.4+10×0.030=0.7，

所以中位数在[70,80)，

故该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数约为70+0.5−0.40.03≈71分，中位数约为73.33分．

(3)设A=“至少有一位同学复赛获一等奖”，

则P(A)=1−P(18.解：(1)因为函数f(x)=ln(1x−1)，那么1x−1>0且x≠0，即0<x<1，

因此y=f(x)的定义域为(0,1)；

(2)根据f(x)+ln(x2)=ln(1+ax)−lnx+2lnx=0，那么ln(1+ax)+lnx=0有唯一解，

因此ln(1+ax)=ln1x，而函数y=lnx在定义域上单调递增，

那么1+ax=1x⇒ax2+x−1=0有唯一解，而a≠0，

因此根的判别式Δ=1+4a=0，即a=−14，此时x=2，

又因为1x+a>0且x≠0，那么ax+1x>0，显然a=−14、x=2时满足，

因此a=−14；

(3)当a>0，t∈[12,1]，在[t,t+1]上函数f(x)=ln(1x+a)的最大值与最小值的差都不超过ln2，

根据函数y=lnx在定义域上单调递增，函数y=1x+a在[t,t+1]上单调递减，

19.解：(1)因为g(x)=ax−a−x为增函数，所以a>1，

由f(1)=a+a−1=52，整理得2a2−5a+2=0，

即(2a−1)(a−2)=0，

解得a=2或a=12(舍去)，

所以f(x)=2x+2−x，g(x)=2x−2−x；

(2)因为y=2x与y=−2−x是增函数，

所以g(x)=2x−2−x是增函数，

所以当x∈[1,+∞)时，g(x)∈[32,+∞),

存在x∈[1,+∞)不等式mg(x)≥(f(x))2+m成立，

即m(2x−2−x)