《多项式因式分解及其应用研究》4200字

多项式因式分解及其应用研究TOC\o"1-2"\h\u摘要 1引言 21.预备知识 32.多项式因式分解的相关定理 43.多项式因式分解的相关应用 93.1多项式因式分解在高次方程求根中的应用 93.2多项式因式分解在函数求零点中的应用 103.3多项式因式分解在求矩阵的特征值和特征向量中的应用 103.4多项式因式分解在解不等式（组）中的应用 133.5多项式因式分解在求多项式的公因式中的应用 143.6多项式因式分解在求代数式的值中的应用 16结束语 16参考文献 18摘要：本文首先给出了多项式因式分解的相关定义；其次从数域上、复数域上、实数域上多项式的因式分解，利用艾森斯坦因判别法判别一个整系数多项式在有理数域上是不可约的以及高次整系数多项式可分解的必要条件等方面阐述了多项式因式分解的相关定理；最后从求高次方程的根、求函数的零点、求矩阵的特征值和特征向量、解不等式（组）、求多项式的公因式和求代数式的值这六个方面介绍了多项式因式分解的应用.关键词：多项式；因式分解；根；零点；特征值引言多项式因式分解是解决许多数学问题的重要工具，它在求高次方程的根、函数的零点以及求矩阵的特征值和特征向量的过程中都有重要的应用.利用多项式的因式分解，可以更加方便的求高次方程的根、求函数的零点和求多项式的公因式等.许多学者已经探究了多项式的因式分解.文献[3]介绍了怎样将一元整系数多项式因式分解；文献[6]讨论了高次整系数多项式因式分解的办法；文献[8]讨论了多项式因式分解的几种办法；文献[9]介绍了的因式分解和它的应用.本文在上述文献的基础上，进一步概括了多项式因式分解的相关定理，并给出了多项式的因式分解在求高次方程的根、求函数的零点、求出矩阵的全部特征值和特征向量、解不等式（组）、求多项式的公因式和求代数式的值这六个方面的应用.1.预备知识定义1.1[1]设是一非负整数.形式表达式其中，叫做系数在数域上的一元多项式.定义1.2[1]若一个非零的整系数多项式的系数没有除了之外的公因子，它就叫做一个本原多项式.定义1.3[2]设是两个整数，假如存在一个整数，使得，则称整除，记作.定义1.4[3]因式分解就是将一个多项式在一定的范围内分解成若干个因式积的形式.定义1.5[2]设是两个整数，如果与的最大公因数为，则称互素.定义1.6[4]设，若有数和维非零列向量，使得成立.那么数叫做矩阵的特征值，非零向量叫做矩阵的对应于特征值的特征向量.定义1.7[1]为一个文字，矩阵的行列式叫做的特征多项式.定义1.8[1]若数域上次数的多项式不可以表示为数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积，那它叫做域上的不可约多项式.定义1.9[11]如果，，则为，的一个公因式.定义1.10[1]如果在时，则就称为的一个根或零点.定义1.11[1]设为一些复数组成的集合，里面包括和.若里面任意两个数（这两个数也能一样）的和、差、积、商（除数不等于）仍属于，那就叫做一个数域.引理1.1[1]如果复系数多项式的次数，那么它在复数域里有一根.引理1.2[1]两个本原多项式的乘积仍为本原多项式.2.多项式因式分解的相关定理定理2.1[1]数域上任一次数的多项式皆能唯一地化为数域上一些不可约多项式相乘.证明对的次数作数学归纳法.由于一次多项式全部是不可约的，所以时结论成立.设，并设结论对次数低于的多项式已经成立.若是不可约多项式，结论显然成立.若不是不可约多项式，则存在和，使得，其中，的次数都低于.由归纳法可得和全部能化为数域上一些不可约多项式相乘.所以能化为一些不可约多项式相乘.下面证唯一性.设，其中不可约.如果还有另一个分解式，其中都是不可约多项式，于是.对作归纳法.当，不可约，故，且.现设不可约因式的个数是时唯一性已证.由，，所以，一定能除尽其中的一个，不妨设.因为也是不可约多项式，所以有，在式两边消去，就有.由归纳假设，有，即，并且适当排列次序之后有，即，.合起来即为所要证的.这就证明了分解的唯一性.定理2.2[7]复系数次多项式在上皆能唯一地化为一次因式的乘积.定理2.3[7]实系数多项式在不可约，当且仅当有或且.证明定理对一次多项式显然成立.假定定理对次数的多项式已证明.设是次实系数多项式.由引理1.1，有一复根.如果是实数，那么，其中.如果不是实数，那么也是的根且.于是.显然是一实系数二次不可约多项式.从而.由归纳假设，或能分解为一次和二次不可约多项式的乘积，所以也能分解.定理2.4假如一非零的整系数多项式可以分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那它必能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.证明令整系数多项式，其中，为有理系数多项式，并且.设，，此处全部为本原多项式，为整数，为有理数，所以.由引理1.2可知，为本原多项式，所以，这就说明，为一整数，所以.此处和都为整系数多项式，并且他们的次数都比的次数低.定理2.5（Eisenstein判别法）设，若存在素数，满足那么在有理数域上是不可约的.证明设在上可约，由定理2.4可知，能够分解为以下形式，因此.因为，所以能整除或者.又因为，所以不可以同时整除和，于是假设、.又因为，所以.假定中第一个不可以被整除的为，并且，因为都可以被整除，所以也必须被整除.又因为为素数，所以中至少有一个被整除，产生矛盾.定理2.6多项式有因式，当且仅当有.定理2.7一元四次多项式在有理数域上能化为的必要条件是在中存在因数，使得为完全平方数.定理2.8整系数三次多项式在其域内可以分解成的必要条件是应为完全方数.定理2.9整系数五次多项式在其范围内可以分解成，的必要条件是，均为完全平方数.证明由，对比等式左右两边，有系数方程组.首先由式知是关于未知数的二次方程的两个根.因为为整数，故的判别式应为完全平方数.再由式和式知是关于未知数的二次方程的两个根.因为为整数，故的判别式应为完全平方数.定理2.10设，而为其有理根，其中互素，则一定有.特别地，假如的首项系数，则的有理根全部为整根，并且为的因子.证明因为的一个有理根，故在上，所以.因为互素，故为本原多项式，则，式中都为整数.比较可得，所以.3.多项式因式分解的相关应用3.1多项式因式分解在高次方程求根中的应用在高次方程中，我们可以试出其中一个根，然后根据定理2.6，得出高次方程的一个因式，将高次方程进行一次因式分解.然后以此类推，再进行因式分解，最后求出方程的根.例1求方程的根.解由于，，因此只需将进行因式分解，令，则，于是可分解为，，故方程的根为.3.2多项式因式分解在函数求零点中的应用在求解函数的零点时，根据函数零点的定义可知，令函数，然后将方程进行因式分解，最后求出方程的根，即函数的零点.例2求函数的零点.解令，即，易知是方程的根，于是由因式分解定理得，，所以的根为.故函数的零点为.3.3多项式因式分解在求矩阵的特征值和特征向量中的应用在计算矩阵的特征值和特征向量时，先令，求出特征值，最后求出特征向量.例3求解阶实矩阵的全部特征值.解计算的特征多项式如下 ，令，即，由于，，因此只需将进行因式分解.令，则，于是可分解为，，所以的根为.故矩阵的全部特征值为.例4求解阶实矩阵的全部特征向量.解计算的特征多项式如下,令，即，令，则，于是可分解为，，所以方程的根为.故矩阵的全部特征值为.把特征值代入齐次线性方程组如下得到此方程组的一个基础解系.因此属于的全部特征向量为(为不等于的实数).把特征值代入齐次线性方程组如下得到此方程组的一个基础解系，.因此属于的全部特征向量为().3.4多项式因式分解在解不等式（组）中的应用在计算不等式的解时，首先令不等式的左边等于零成为一个方程，然后利用因式分解定理求出这个方程的根，最后求出不等式的解.在计算不等式组的解时，分别令不等式组的两个不等式的左边等于零成为两个方程，利用因式分解定理求出这两个方程的根，然后求出这两个不等式的解，最后求出这两个不等式的解的交集即为不等式组的解.例5求不等式的解.解令，令，则，于是可分解为，，所以方程的根为.故不等式的解为或.例6求不等式组的解.解第一步，令，于是由因式分解定理可得，所以方程的根为.故不等式的解为.第二步，令，由于，，因此只需将进行因式分解.令，则，于是可分解为，，所以的根为.故不等式的解为或.所以不等式组的解为.3.5多项式因式分解在求多项式的公因式中的应用在求多项式的公因式的时候，我们首先需要运用多项式的因式分解，将多项式分别分解成若干个因式积的乘积，最后找出这几个多项式相同的因式即为几个多项式的公因式.例7设，，求和的公因式.解第一步，令，即，易知是方程的根，于是由因式分解定理得.第二步，令，即，易知是方程的根，于是由因式分解定理得.综上所述，和的公因式为、.例8设，，，求、和的公因式.解第一步，由因式分解定理可得.第二步，令，即，易知是方程的根，于是由因式分解定理得.第三步，令，即，易知看出是方程的根，于是由因式分解定理得.综上所述，、和的公因式为.3.6多项式因式分解在求代数式的值中的应用在求代数式的值时，首先我们需要利用因式分解定理，构造出含有已知等式的式子，最后求出代数式的值.例9已知，求的值.解所以的值为.例10若不相等，且，，试求的值.解由两式相减得.因为，化得.因为，所以，从而得.结束语本文由相关定义引理出发，总结了多项式因式分解的个定理，并给出了个应用.通过本文，我们能对多项式因式分解有一个初步的了解，并能知道如果我们更多的去了解这些定理和应用，有时会给我们带来方便.当然，本文只是总结出了多项式因式分解的部分简单定理及应用，其中还有很多特殊的定理及应用等着我们去发现.

参考文献[1]北京大学数学系前代数小组编.高等代数[M].4版.北京：高等教育出版社，2013，8：162-313.[2]安军.关于高等代数多项式理论的教学探讨[J].高等数学研究，2021，24(01):63-67.[3]李利芳.一元整系数多项式因式分解的思路及方法再探讨[J].内江科技，2020，41(08):49-50.[4]陈华，何佳怡，袁致成，吴奔潮