《数论》整除-整除的判定-0-5星题（含解析）全国版

数论-整除-整除的判定-3星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率整除的判定C1、理解并掌握整除的一些基本性质。

2、熟练运用整除的基本性质解决基本的整除问题。

3、能够结合数论的相关知识综合应用。少考知识提要整除的判定整除的判定

1、末位判定法

一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；

一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；

一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；

2、数字求和法

一个数个位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；

一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；

3、奇偶位求差法

如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；

简称：奇位和与偶位和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。

4、截断作和

如果一个数从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数）之和能被99整除，那么这个数就能被99整除。

5、截断作差

对于位数较小数的数：如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整

除，那么这个数能被7、11或13整除；

对于位数较大数的数：如果一个整数，从个位开始每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被7、11或13整

除，那么这个数能被7、11或13整除。

整除的性质

性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 精选例题整除的判定1.将从1开始到25的连续的自然数相乘，得到1×2×3×⋯×25．记为25!（读作25的阶乘）．用3除25!，显然，25!被3整除，得到一个商：再用3除这个商，⋯⋯，这样一直用除下去，直到所得的商不能被3整除为止，那么，在这个过程中用3整除了

次．【答案】

10【分析】

求1×2×3×⋯×25中因数的个数，25÷3=8⋯⋯1，8÷3=2⋯⋯2，整除了8+2=10次．2.把三位数3ab接连重复写下去，共写1993个3ab，所得的数3ab3ab⋯3ab⏟1993个3ab恰是91的倍数，试求【答案】

64【分析】

因为91=7×13，所以73ab3ab⋯3ab⏟1993个3ab,133ab3ab⋯3ab⏟1993个3ab，由截断法，最后转化成3ab能被7和13都整除，即能被3.在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有

个．【答案】

18【分析】

按照位数分类讨论，如下：（1）一位数：0个；（2）两位数：11、22⋯⋯99；0个；（3）三位数：设这个三位数为abc，有a+b+c=13和a+c-b=11，则a+c=12,b=1，所以符合的有913,814,715,616,517,418,319，共7个；（4）四位数：设这个四位数为abcd，①a+b+c+d=13和a+c-a+c=12,b+d=1,则a=3或a=4有2种组合，b和d有2种．共4个；②a+b+c+d=13和b+d-a+c=1,b+d=12,则只能a=1，c=0，b和d有7种组合，综上所述，这样的数有7+4+7=18个．4.在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除．那么这三个数字的和是

．【答案】

17或8【分析】

这个数能被7,8,9整除，相当于能被[7,8,9]=7×8×9=504整除，523999÷504=1039⋯⋯343，所以所得六位数是523999-343=523656，或523656-504=523152，因此三个数字的和是17或8．5.在算式：2×▫▫▫=▫▫▫的六个方框中，分别填入2，3，4，5，6，7这六个数字，使算式成立，并且算式的积能被13整除，那么这个乘积是

．【答案】

546【分析】

先从个位数考虑，有2×2=4、2×3=6、2×6=12、2×7=14四种可能；再考虑乘数的百位只能是2或3，因此只有三种可能的填法：2×273=546，2×327=654，2×267=534，其中只有546能被13整除，所以这个积是546．6.若六位数a2016b能被12整除，则这样的六位数有

个．【答案】

9【分析】

12=3×4.先考虑能被4整除，则b=0,4,8，再考虑能被三整除①b=0时，要使各位数字之和能被3整除a=3,6,9故有3种；②b=4时，要使各位数字之和能被3整除a=2,5,8故有3种；③b=8时，要使各位数字之和能被3整除a=1,4,7故有3种；综上符合题意的六位数有：320160，620160，920160，220164，520164，820164，120168，420168，720168．共9个7.给定一个除数（不为0）与被除数，总可以找到一个商与一个余数，满足被除数其中，0⩽余数<除数请写出所有不超过88并且能够被6整除的大于1的自然数有

．【答案】

6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84．【分析】

能被6整除的数一定为6的倍数，并且要求不超过88．所以有6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84．8.能被5和6整除，并且数字中至少有一个6的三位数有

个．【答案】

6【分析】

能被5和6整除，也就是能被5、2、3整除，因此个位必须是0，且数字和是3的倍数，故这个三位数有：600，630，660，690，360，960，共6个．9.有一个三位数，百位数字是最小的质数，十位数字是算式(0.3+π×13)的结果中的小数点后第1位数字，个位数字是三位数中能被17整除的最小数的个位数字，则这个三位数是

．（π取3.14）【答案】

212【分析】

百位数字是最小的质数即2；0.3+π×13=41.12,即十位数字是1；能被17整除的最小三位数102，个位数字是2，所以这个三位数是212．10.一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是

．【答案】

36126或54189【分析】

设这个五位数为abcde，由题意abcde=2007(a+b+c+d+e)，由于9∣2007，可得9∣abcde，则有9∣(a+b+c+d+e)2007×9=18063，这个五位数是18063的倍数，只可能为：18063,36126,54189,72252,90315．经检验，36126和54189符合题意．11.如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的25倍．那么，这个五位数的前两位的最大值是

．【答案】

75【分析】

5个数字分别为a、b、c、d、e，a×b×c×d×e=25(a+b+c+d+e),a、b、c、d、e中有两个5，设d=e=5，则a×b×c=a+b+c+10.（1）如果a=9，则9bc=b+c+19，即b+c+19是9的倍数，b+c可以为8或17，若b+c=8，则bc=3，若b+c=17，则bc=4，这两种情况下都没有满足条件的整数b、c；（2）如果a=8，则8bc=b+c+18，即b+c+18是8的倍数，b+c可以为6或14，若b+c=6，则bc=3，若b+c=14，则bc=4，这两种情况下也没有满足条件的整数b、c；（3）如果a=7，则7bc=b+c+17，即b+c+17是7的倍数，b+c可以为4或11或18，若b+c=4，则bc=3，若b+c=11，则bc=4，若b+c=18，则bc=5，只有第一种情况下有满足条件的整数b、c，此时b=1，c=3，组成五位数的5个数字分别为7，5，5，3，1，所以这个五位数的前两位的最大值是75．12.从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是

．【答案】

1331【分析】

第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是11的倍数；第二次报数后留下的同学，他们最初编号都是112=121的倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是11313.将最小的10个合数填到图中所示表格的10个空格中，要求满足以下条件：（1）填入的数能被它所在列的第一个数整除；（2）最后一行中每个数都比它上面那一格中的数大．那么，最后一行中5个数的和最小是

．【答案】

66【分析】

最小的10个合数分别是4，6，8，9，10，12，14，15，16，18．这10个合数当中10和15一定是在5的下面，其中15在最后一行；4、8、14、16一定是在2和4下面，其中14一定在2的下面；剩下的6、9、12、18在3或6下面，其中9一定在3的下面，对2和4所在的列和3和6所在的列分别讨论．4、8、14、16，这四个数中最大的数16一定在最后一行，最小的数4一定在第二行，所以2和4所在的列中最后一行的数的和最小是16+8=24，当14、16在2下面，4和8在4下面时成立；6、9、12、18，这四个数中最大的数18一定在最后一行，最小的数6一定在第二行，所以3和6所在的列中最后一行的数的和最小是18+9=27，当12和18在6下面，6和9在3下面时成立．所以最后一行的5个数的和最小是24+15+27=66．14.已知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积（即abcba=45×deed），那么这个五位回文数最大的可能值是【答案】

59895【分析】

根据题意：abcba=45×deed，则abcba为45的倍数，所以a应为0或5，又a还在首位，所以a=5，现在要让abcba尽可能的大，首先需要位数高的尽可能的大，所以令b=9，c=8，则a+b+c+b+a=36是9的倍数，用59895÷45=1331符合条件，所以，这个五位回文数最大的可能值是15.N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除．N的最大值是

．【答案】

9867312【分析】

N不能含有0，因为0不能做除数．N不能同时含有5和偶数，因为此时N的个位将是0．如果含有5，则2,4,6,8都不能有，此时位数不会多．如果N只缺少5，则含有1,2,3,4,6,7,8,9，但是数字和为40，不能被9整除．所以必须再去掉一位，为了最大，应该保留9放到最高位，为了使数字和被9整除，还需要去掉4．此时由1,2,3,6,7,8,9组成，肯定被9整除，还需要考虑被7和8整除．前四位最大为9876，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312,9876312被7除余5；前四位如果取9873，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为216,9873216被7除余3；前四位如果取9872，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为136,9872136被7除余1；前四位如果取9871，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为632,9871632被7除余1；前四位如果取9867，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312,9867312被7整除．16.222⋯2⏟2000个“2”【答案】

9【分析】

我们发现222222整除13，2000÷6余2，所以答案为22÷13余9．17.一个大于1的自然数去除300，243，205时，得到相同的余数，则这个自然数是

．【答案】

19【分析】

300-243=57，243-205=38，所以这个数是57，38的大于1的公约数，而57，38的公约数只有1和19，所以所求自然数为19．18.对于自然数N，如果在1 9这九个自然数中至少有六个数可以整除N，则称N是一个“六合数”，则在大于2000的自然数中，最小的“六合数”是

．【答案】

2016【分析】

六合数肯定是1的倍数，所以剩余8个数中有5个可以整除六合数，2 9中有4个奇数，4个偶数，所以5个可以整除六合数的数字中至少有1个偶数，所以六合数也肯定是2的倍数。大于2000的偶数有2002，2004，2006，2008，2010，2012，2014，2016，⋯⋯2002＝2×7×11×13,只能被1，2，2004＝22×3×167,只能被1，2，3，4，2006＝2×1003,只能被1，2008＝23×251只能被1，2，4，2010＝2×3×5×67,只能被1，2，3，5，2012＝22×503，只能被1，2，2014＝2×1007,只能被1，2016＝25×32×7,能被1，2，3，4，6，7，8，19.若十位数a2016b2017能被33整除，那么，这样的十位数有

个．【答案】

3【分析】

被33整除，能拆成同时满足被3和11整除，被3整除得到：a+b=2，5，8，11，14或17被11整除得到：a-b=1,所以共有a=3,这3种情况．20.老师让菲菲从1 9这9个数字中选取4个不同的数字，组成一个四位数，使得这个四位数能被所有她没有选中的数整除，但不能被选中的任意一个数字整除，那么，菲菲组成的四位数是

．【答案】

5936【分析】

设：改四位数为ABCD：①显然ABCD不含1；②ABCD含5．若ABCD不含5，1 9除5外不能排列成5的倍数；所以ABCD含5③ABCD不含2．若ABCD含2．说明2不被ABCD整除，所以ABCD的四个数字为2,4,6,8组成的四位数必为偶数，矛盾；所以ABCD不含2．④ABCD含9．若ABCD不含9，说明9不被整除ABCD，则ABCD必须不含3,6，所以的四个数字为4,5,7,8,不可能被整9除；所以ABCD含9⑤ABCD不含4．若ABCD含4，说明4不被整除ABCD，则ABCD必须含8，所以ABCD的四个数字为5,4,8,9,不可能被3整除；所以ABCD必须不含4⑥ABCD含6若ABCD不含6，说明6不被整除必须不含3，所以ABCD的四个数字为5,7,8,9，不可能被3整除；所以ABCD必须不含4⑦ABCD含3若ABCD不含3，则ABCD的四个数字为5,7,6,9，能被9整除；所以ABCD必含3综上所述．的四个数字为3、5、6、9．为使这个四位数能被8整除，个位必须为621.对于自然数N，如果在1∼9这九个自然数中至少有六个数是N的因数，则称N是一个“六合数”，则在大于2000的自然数中，最小的“六合数”是

．【答案】

2016【分析】

N为奇数，则2、4、6、8不是N的因数，所以N为偶数．当N不为3的倍数，则N不为6的倍数，N不为9的倍数，所以，必须满足其他条件，是8、7、5的倍数，N>2000，最小是2240．当N为3的倍数．那么N为6的倍数．N>2000，当N=2004时，5不能整除2004，7不能整除2004，8不能整除2004，9不能整除2004，不满足题意；当N=2010时，4不能整除2010，7不能整除2010，8不能整除2010，9不能整除2010，不满足题意；则N最小为2016．22.abc是三位数，若a是奇数，且abc是3的倍数，则最小是

．【答案】

102【分析】

a为奇数，且要求最小，则a=1，b=0．又要求为3的倍数，则a+b+c为3的倍数，所以b=0，c=2．23.若六位数201ab7能被11和13整除，则两位数ab=

【答案】

48【分析】

由11的整除特征可知：(7+a+0)-(2+1+b)=a+4-b=0若a+4-b=11,a-b=7,只有8-1=9-2=7,六位数201817、201927都不能被13整除．若a+4-b=0,则a+4=b,只有0+4=4，1+4=5，2+4=6，3+4=7，4+4=8，5+4=9等情况，构成的六位数201047，201157，201267，201377，201487，201597中只有201487能被13整除，则ab=4824.若四位数2AB7能被13整除，则两位数AB的最大值是

．【答案】

97【分析】

13∣2007÷13⋯⋯5,所以AB013∣利用数字谜或倒除法，可确定AB=97．数字谜方法如下：根据乘积的个位，可确定第二个因数的个位为5，因为构造最大值，所以十位为最大为7，积为97525.若四位数2ABC能被13整除，则A+B+C的最大值是

．【答案】

26【分析】

因1001=7×11×13,能被13整除的特征：“末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数”之差能被13整除；ABC-2是13的倍数，ABC-2最大为988，ABC可以是990，977，964，⋯⋯数字和比9+7+7大的有：9、7、8与9、8、8与9、8、9和9、9、9，百位是9的排除，百位是8有(899-2)÷13=897÷13=69,则8+9+9=26.26.有20个约数，且被42整除最小的自然数是

．【答案】

336【分析】

因为被42整除，所以一定含有质因数2，3，7．20=1×20=2×10=4×5=2×2×5,有20个约数的自然数有：因为必须含有3个不同的质因数，所以最小的只能是：2×2×2×2×3×7=336;所以有20个约数且被42整除的最小自然数是336．27.非零数字a，b，c能组成6个没有重复数字的三位数，且这6个数的和是5994，则这6个数中的任意一个数都

被9整除（填”能”或“不能”）．【答案】

不能．【分析】

a，b，c组成的所有三位数都是由a，b，c三个数字组成，且a，b，c在个位、十位、百位都出现两次，所以和应该为：(a+b+c)×2×1+(a+b+c)×2×10+(a+b+c)×2×100=5994,a+b+c=27,a=b=c=9,与题意矛盾，故不能．28.找出4个不同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除．如果要求这4个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这4个数里中间两个数的和是多少？【答案】

7【分析】

我们设这四个数中最小的一个数为a，要求4个最大的数与最小的数的和尽可能小，则先尽量让a最小．当a=1，设4个数中另外三个数中某个数为b，有b+1b-1等必须为整数，而b+1b-1=1+2b-1，则2能被(b-1)整除，显然(b-1)只能为2或1，对应b只能是3当a=2，设4个数中另外三个数中某个数为c，有c+2c-2必须为整数，而c+2c-2=1+4c-2，则4能被(c-2)整除，有(c-2)可以为4、2、1，对应c可以为6验证6、4、3、2是满足条件的数组，它们的中间两个数的和为4+3=7即为题中条件下的和．29.已知整数1a2a3a4a5a能被11整除，求所有满足着个条件的整数．【答案】

1323334353【分析】

因为11整除1a2a3a4a5a，所以根据能被11整除的数的特征可知： 1+2+3+4+5的和与5a之差应是11的倍数，5a-15是11的倍数，可以是0，11，-11，22，-22⋯只有当a=3时，11∣15-5a．符合题意的整数只有1323334353．30.（1）判断下列各数，哪些能被4、8、25、125、3、9、11整除：437250、96255、42104、6875、752604、308；（2）判断1027、45038，哪个能被13整除，哪个能被7整除？【答案】

（1）能被4整除的：42104、752604、308；能被8整除：42104；能被25整除的：437250、6875；能被125整除的：6875；能被3整除的：437250、96255、752604；能被9整除：96255；能被11整除的：6875、308；（2）1027能被13整除；45038能被7整除．【分析】

（1）能被4整除的：42104、752604、308；能被8整除：42104；能被25整除的：437250、6875；能被125整除的：6875；能被3整除的：437250、96255、752604；能被9整除：96255；能被11整除的：6875、308；（2）1027能被13整除；45038能被7整除．31.有一个四位数3aa1，它能被9整除，则a代表几？【答案】

7【分析】

根据被9整除的数的性质： 9∣32.用1,2,3,4各一次组成四位数，使得它是11的倍数．有多少种不同的方法？【答案】

8．【分析】

用1,2,3,4各一次组成四位数，四个数字的和为10，若为11的倍数，则奇位和与偶位和的差只能为0，奇位填1,4，偶位填2,3，考虑到1,4可以互换，2,3可以互换，故共有2×2=4种填法，同理奇位填2,3，偶位填1,4，也有4种填法，共8种填法．33.用1,2,3,4,5,8,9组成不重复的七位数，其中有多少个能被11整除？【答案】

432．【分析】

能被11整除，说明这个七位数奇数位之和与偶数位之和的差是11的倍数，而奇数位之和与偶数位之和的和是1+2+3+4+5+8+9=32，那么奇数位之和与偶数位之和可以都是16，或者是27和5，后面这种情况不可能，偶数位有3个数字，和为16可能是9+5+2,9+4+3,8+5+3，那么一共可以组成A44×34.用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除，这个六位数是多少？【答案】

768768【分析】

因为168＝8×3×7，所以组成的六位数可以被8、3、7整除，能够被8整除的数的特征是末三位组成的数一定是8的倍数，末两位组成的数定是4的倍数，末位为偶数，在题中条件下，验证只有688、768是8的倍数，所以末三位只能是688或768，而又要求是7的倍数，abcabc形式的数一定是7、11、13的倍数，所以768768一定是7的倍数，▫▫▫688的▫不管怎么填都得不到7的倍数．至于能否被3整除可以不验证，因为整除3的数的规律是数字和为3的倍数，在题中给定的条件下，不管怎么填数字和都是定值，所以768768能被35.173▫是个四位数，数学老师说：“我在这个▫中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除，”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？【答案】

19【分析】

用1730试除，1730÷9＝192⋯2，1730÷11＝157⋯3，1730÷6＝288⋯2，所以依次添上(9-2＝)7、(11-3＝)8、(6-2＝)4后得到的1737、36.三个连续自然数依次可以被5整除、被7整除、被11整除，那么这三个自然数最小为多少？【答案】

20；21；22【分析】

设这三个自然数分别为x-1，x，x不看三个数，只用两个数做和谐．   5    7其倍数x-1   x其倍数2x-2  2x其倍数2x-7  2x-7所以2x-7既是5的倍数，又是7的倍数，那么2x-7是35的倍数．设2x-7＝35k，观察当k是多少的时候，x＋1是11的倍数．从k＝1开始，x＝21，则x＋37.一个四位数各个数字都不相同，且这个数字能被13整除，则这个数最大是多少？【答案】

9867【分析】

最值思想，先找到最大的四位数9876，然后试除9876÷13⋯⋯9,即最大的四位数为9876-9=9867.38.在所有各位数字之和等于34，且能被11整除的四位数中最大的一个是多少？最小的一个是多少？【答案】

9988；8899【分析】

最大9988，最小8899；abcd四位数，根据能被11整除的特征(d+b)-(c+a)能被11整除包括0．假设d+b=x c+a=y x+y=34,因为x跟y都是2个个位数之和，所以x跟y都是小于20的数．能够看出x跟y都是17，既x-y=0可以假设x-y=11或者更大（比如22、33、44）结果得出都是不行的．自己可以算算看．17=8+9其他都不符．39.有八个连续三位数，第1个数被1整除、第2个数被2整除、第3个数被3整除、⋯⋯依此类推；那么第7个数字是多少？【答案】

847【分析】

设第7个数也就是7的倍数的为N；N的前一个数N-1应是6的倍数，即必须是能被3整除的偶数，所以应考察的7的倍数为奇数；N的前面第二个数N-2应是被5整除的数，故N应是以7结尾的数；综上，应从以7为结尾的7的倍数的三位数中找N，并且，由于N-1被6整除，而N以7结尾，故N的百位和十位数字组成的两位数应被3整除；所以，所求的N应是217、427、637、847中的一个；而N+1被8整除，则排除218、428、638，只有848满足；所以第七个数字是847．40.已知3a7×b0c是495的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字．请问：三位数【答案】

865【分析】

由495=5×9×11，得：3a7×b0c要同时能被5、9、11整除．由个位数字可以推断，3a7不能被5整除；又由11的整除性质可以推断，3a7不能被11整除．所以b0c既是5的倍数，又是11的倍数，只能是605．由于605不能被9整除，所以3a7必须能被9整除．由3+a+7是9的倍数，推出a=8，所以41.应当在▫中填上哪一个数码，才能使得所得的101位整数66⋯6⏟50个【答案】

2或9【分析】

由于111111=111×1001可被7整除，因此如果将所得的数的头和尾各去掉48个数码，并不改变其对7的整除性，于是还剩下“66▫55”．从中减去63035，并除以10，即得“3▫2”可被7整除．此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有322和392可被7整除．所以▫处应填2或9．42.20092009⋯2009⏟n个200909【答案】

5【分析】

20092009⋯2009⏟n个200909中奇位数减偶位数的差为(9-2)×n+9=7n+9，当n=5时，7n+9是1143.四位数1▫2▫既是3的倍数，还是5倍数，则这个四位数有几种可能？【答案】

7【分析】

这个四位数为5的倍数，因此末位为0或5．末位数字是0时，1▫20，要是3的倍数，方框内为3，6，9或0，即1020，1320，1620，1920；末位是5时，1▫25，要是3的倍数，方框内1，4，7，也就是有1125，1425，1725．总共有七种可能．44.在865后面补上三个数字，组成一个六位数被3、4、5整除．且使这个数值尽可能的大，最大是多少？【答案】

856980【分析】

这个数能被3、4、5整除，则这个数能被[3,4,5]=60整除．865999÷60=14433⋯⋯19，所以所得六位数的最大值是865999-19=865980．45.11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？【答案】

45【分析】

（1）因为343=73，由于在11个连续的两位数中，至多只能有2个数是7的倍数，所以其中有一个必须是49的倍数，那就只能是49或98；（2）因为乘积的末4位都是0，所以这连续的11个自然数至少应该含有4个因数5，连续的11个自然数中至多只能有3个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍数，所以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、50或75；（3）所以这11个数中应同时有49和50，且除50外还有两个是5的倍数，只能是40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50，它们的平均数即为它们的中间项46.从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被3、5、7、13整除，这个数最大是多少？【答案】

94185【分析】

本题采用试除法．因为3，5，7，13的最小公倍数为1365，100000÷1365=73⋯⋯355,所以在100000之内最大的1365的倍数为99645但是不符合数字各不相同的条件，于是继续减1365依次寻找第二大，第三大的数，看是否符合即可．有99645-1365=98280,所以，满足题意的5位数最大为94185．47.在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314中哪些数能被4整除，哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？【答案】

能被4整除的数有3124、312、5588；能被3整除的数有312、5289、7314；能被11整除的数有3124、5588．48.有一个四位数3aa1，它能被3整除，则a代表几？【答案】

1，4，7【分析】

根据被3整除的数的性质： 3∣49.张经理给45名员工发完工资，将总钱数记在一张纸上，后来记账的这张纸破了两个洞，只剩下67▫8▫元，张经理只记得每位员工的工资都一样，并且都是整数元，那么这45名员工的总工资可能是多少钱呢？【答案】

67680或67185【分析】

由于该数为45的倍数，则末位为5的倍数，所以末位能为0或者5．若末位为0，则令该五位数为：67a80，则数字和应为9的倍数，有：21+a应为9的倍数，所以a=6，这时的五位数为67680；若末位为5，则令该五位数为：67a85，则数字和应为9的倍数，有：26+a应为9的倍数，所以a=1这时的五位数为67185．50.{如果六位数1992▫▫能被105整除，那么它的最后两位数是多少？【答案】

90【分析】

因为105=3×7×5，所以这个六位数同时满足能被3、7、5整除的数的特征即可，方法一：利用整除特征末位只能为0或5．①如果末位填入0，那么数字和为1+9+9+2+▫+0=21+▫，要求数字和是3的倍数，所以▫可以为0，3，6，9，验证200-199=1，230-199=31，260-199=61，290-199=91，有91是7的倍数，即199290是7的倍数，所以题中数字的末两位为90，②如果末位填入5，同上解法，验证没有数同时满足能被3、7、5整除的特征，所以题中数的末两位只能是90．方法二：采用试除法用199200试除，199200÷105=1897⋯⋯15，余15可以看成不足，105-15=90，所以补上90，即在末两位的方格内填入90即可．51.有如下5个自然数：3124、3823、45235、5289、5588．其中能被11整除的有哪些？【答案】

3124，5588【分析】

简答：判断能否被11整除，看奇位和偶位和的差．52.在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4▫32▫是9的倍数，（1）请随便填出一种，并检查自己填的是否正确；（2）一共有多少种满足条件的填法？【答案】

（1）43326（答案不唯一）；（2）12【分析】

一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4+▫+3+2+▫是9的倍数，而4+3+2=9，所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数，（1）依次填入3、6，因为4+3+3+2+6=18是9的倍数，所以43326是9的倍数；（2）经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数，如果和是9，那么可以是（9，0）；（8，1）；（7，2）；（6，3）；（5，4）；（4，5）；（3，6）；（2，7）；（1，8）；（0，9），共10种情况，还有（0，0）和（9，9），所以一共有12种不同的填法．53.一个六位数各个数字都不相同，且这个数字能被17整除，则这个数最小是多少？【答案】

102357【分析】

最值思想，先找到最小的六位数102345，然后试除102345÷17⋯⋯5，即最小的六位数为102345+17-554.一个五位数8▫25▫，方格中的数未知．请问：（1）如果该数能被72整除，这个五位数是多少？（2）如果该数能被55整除，这个五位数是多少？【答案】

（1）86256；（2）85250【分析】

（1）能被72整除的数，即能被8和9整除．若8▫25▫能被8整除，个位应填6．再考虑能被9整除，千位应填6．因此这个五位数是86256．（2）能被55整除，即能被5和11整除．若8▫25▫能被5整除，个位应填0或5．当个位填0时，若能被11整除，千位应填5．当个位填5时，千位无论填几都不能满足条件，因此满足条件的数为85250．55.把三位数5ab接连重复的写下去，共写2011个5ab，所得的数5ab5ab⋯5ab⏟2011个恰是77【答案】

39【分析】

因为77=7×11，且(7,11)=1．75ab5ab⋯5ab⏟ 根据一个数能被7或11整除的特征可知： 原数5ab5ab⋯5ab⏟2011个能被7当且仅当5ab5ab⋯5ab⏟2010个-5ab也就是5ab5ab⋯5ab000⏟2009个5ab能被也就是5ab5ab⋯5ab⏟2009个能被7每次减两组，依次下去，最终5ab能被7及11整除，也就是被77整除．77×7=539,所以可能的就是ab=3956.一位后勤人员买了72本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去两个数字，帐本是这样的：72本笔记本，共▫67.9▫元（▫为被烧掉的数字），请把▫处数字补上，并求笔记本的单价．【答案】

3；2；5.11元【分析】

把▫67.9▫元作为整数▫679▫分，既然是72本笔记本的总线数，那就一定能被72整除，又因为72=8×9，(8,9)=1，所以8∣▫679▫，9∣▫679▫，根据能被8整除的数的特征，8∣79▫，通过计算个位的▫=2，又9∣▫6792，根据能被9整除的数的特征，9∣(▫+6+7+9+2)，显然前面的▫应是3，所以这笔帐笔记本的单价是：367.92÷72=5.11(元57.在▫内填上合适的数字，使▫679▫能同时被8、9整除．【答案】

3；2【分析】

由被8整除的特征知最后一个▫填2，由被9整除的特征知第一个▫填3．58.173▫是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，所得到的3个四位数：依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？【答案】

19【分析】

9∣ 11∣ 6∣ 三数的和是4+7+8=19.59.六位自然数1082▫▫能被23整除，末两位数有多少种情况．【答案】

4【分析】

试除法．因为108200÷23=4704⋯⋯8，把余8看做不足15．所以，方框中的数为15、38、61、84四种情况时，六位数能被23整除．所以末两位数有4种情况．60.一个各位数字均不为0的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由247将得到47、27、24）．已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的倍数，还有一个是7的倍数．原来的三位数多少？【答案】

656【分析】

设这个三位数为abc，则得到的三个两位数为bc、ac和ab，由于a、b和c均不为0，且三个两位数中有一个是5的倍数，则b或c为5．考虑到能被8整除，因此c不为5，这样b一定为5．考虑到bc为4的倍数，则bc只能为52或56．其中52既不是6的倍数，也不是7的倍数，舍去．因此bc只能为56．再考虑ac为6的倍数只能为66．因此这个三位数为656．61.已知ABABAB是154的倍数，求AB的最小值．【答案】

22【分析】

事实上ABABAB而10101=3×7×13×37,所以只要保证AB能被22整除即可，又AB不能为0，所以AB的最小值为22．62.有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”⋯⋯依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整数，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号同学写的数是五位数，请求出这个数．（写出解题过程）【答案】

（1）编号为8和9；（2）60060【分析】

（1）首先可以断定编号是2、3、4、5、6、7号的同学说的一定都对．不然，其中说得不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说得不对”不符合．因此，这个数能被2、3、4、5、6、7都整除．其次利用整除性质可知这个数也能被2×5、3×4、2×7都整除，即编号为10、12、14的同学说得也对，从中断定编号11、13、15的同学说得也对，不然，说得不对的编号不是连续的两个自然数．现在我们可以断定说得不对的两个同学的编号只能是8和9．（2）这个数是2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15的公倍数，由于上述十二个数的最小公倍数是[2,3,4,5,6,7,10,l1,12,13,14,15]=2因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060．63.有一组密码有7个数字组成，它们不是2就是1，并且数字2比数字1的数量多，已知这个密码能被3和4整除，试求出这个密码．【答案】

2122212【分析】

密码中2比1多，所以2可能有4、5、6、或7个，经试验2有5个的时候，数字和为12，且末两位只能为12，所以这个密码可能是2122212（答案不唯一）．64.在小于100的正整数中，能被2或3整除，且不能被6整除的数共有多少个？【答案】

50个．【分析】

小于100的正整数中，能被2整除的有49个，能被3整除的正整数有33个，能同时被2和3整除的有16个，则满足条件的数有49+33-16×2=50个．65.一个四位数38a4，能够被4整除，那么a可以是多少？如果这个数能够被8整除，那么a可以是多少？【答案】

2或8．【分析】

被4整除，末两位a4能够被4整除．a可以是0，2，4，6，8． 被8整除，末三位8a4能被8整除，a可以是2，或者8．66.对任意的自然数n，证明A=2903n-【答案】

271【分析】

1897=7×271，7与271互质，因为2903≡5( mod 7)，803≡5( mod 7)，所以A故A能被7整除． 又因为2903≡193( mod 271)，803≡261( mod所以A故A能被271整除． 因为7与271互质，所以A能被1897整除．67.173▫是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，所得到的3个四位数：依次可被9,11,6整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？【答案】

19【分析】

173▫，设填入的数为a，由能被9整除知，1+7+3+a=11+a是9的倍数，由于a是一位数，所以a=7，即第一次填入的数是7；由能被11整除知，(7+a)-(1+3)=3+a是11的倍数，a=8，即第二次填入的数是8；由能被6整除知，这个数能被2、3同时整除，所以a是偶数且1+7+3+a=11+a是3的倍数，所以a=4，即第三次填入的数是4．三个数的和是7+8+4=19．68.某个七位数1993▫▫▫能够同时被2,3,4,5,6,7,8,9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？【答案】

3,2,0【分析】

一个数能同时被2,3,4,5,6,7,8,9整除，相当于能被[2,3,4,5,6,7,8,9]=5×7×8×9=2520整除，1993999÷2520=791⋯⋯679，所以1993999-679=1993320能被2520整除，即1993320为所求的这个数．69.求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方【答案】

7744【分析】

设所求的四位数为x=aabbx=1000a+100a+10b+b=11其中0<a⩽9，0⩽b⩽9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a+b=99a+a+b能被11整除，于是a+b能被11整除．但0<a+b⩽18，以a+b=11，于是x=112×9a+1，由此可知9a+1是某个自然数的平方．对a=1,2,3,……9，逐一检验，易知仅a=770.一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3，⋯，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少？【答案】

4876391520【分析】

这个十全数能被10整除，个位数字必为0；能被4整除，十位数字必为偶数，末两位只能是20．设这个十全数为4876abcd20．由于它能被11整除，所以奇位数上的数字之和与偶位数上的数字之和的差能被11整除，即8+6+b+d+0-(4+7+a+c+2)=b+d+1-(a+c)被11整除，可能是b+d+1=a+c+11,由于a、b、c、d四个数分别为1、3、5、9中的一个，只能是b+d+1=a+c+11,即b+d=a+c+10.所以b、d是9和5；a、c是3和1，这个十全数只能是4876391520，4876351920，4876193520，4876153920中的一个．由于它能被7、13、17整除，经检验，只有4876391520符合条件．71.有如下9个三位数：452,387,228,975,525,882,715,775,837．这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能被2整除？哪些能被5整除？哪些能被4整除？哪些能被25整除？【答案】

见解析．【分析】

能被3整除的数应为数字和为3的倍数，有：387,228,975,525,882,837；能被9整除的数应为数字和9的倍数，有：387,882,837；能被2整除的数应该末位能被2整除，有：452,228,882；能被5整除的数应该末位能被5整除，有：975,525,715,775；能被4整除的数应该末两位能被4整除，有：452,228；能被25整除的数应该末两位能被25整除，有：975,525,775．72.对于一个自然数N，如果具有这样的性质就称为“破坏数”：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被N+1整除，那么在1至9这9个自然数中有多少个“破坏数”？【答案】

6【分析】

很明显奇数一定是“破坏数”，4也是“破坏数”．0、2、6、8都不是“破坏数”，其中0添加到任何一个自然数的右端都能被1整除，2添加到自然数1的右端能被3整除，6添加到自然数5的右端能被7整除，8添加到自然数1的右端能被9整除．所以所求“破坏数”只有1、3、4、5、7、9这6个．73.六位数2009▫▫能被99整除，它的最后两位数是多少？【答案】

70【分析】

方法一：试除法 200999被99除商2020余29，所以这个六位数最后两位是99-29=70时，它能被99整除； 方法二：99=9×11，2009▫▫能被99整除，所以各位数字之和为9的倍数，所以方框中数字的和只能为7或16；又根据数被11整除的性质，方框中两数字的差为7，所以它的最后两位数是70．74.大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出π的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把π的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将π的值计算到了小数点后515亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，哪些是质数？【答案】

314159【分析】

注意到3141，31415，3141592，31415926，31415927依次能被3，5，2，2，31整除，所以，质数是314159．75.从401到1000的所有整数中，被8除余数为1的数有几个？【答案】

75【分析】

因为被8除余数为1的整数组成公差是8的等差数列，最小的是401，最大的是993，于是项数=(993-401)÷8+1=75．76.请写出所有各位数字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一个数位上的数字整除．【答案】

135、315、175、735【分析】

依题意，组成这个三位奇数的数字是1、3、5、7、9中的三个不同的数字．因为除9以外的任意2个奇数之和都不是9的倍数，所以9不能在这个3位数中出现．那么，只有可能是135、137、157、357这4种数字组合，分别尝试得到四个满足题意的数为135、315、175、735．77.试说明一个5位数，原序数与反序数的差一定是99的倍数（如：12367为原序数，那么它对应的反序数为76321，它们的差63954=99×646是99的倍数．）【答案】

略【分析】

设原序数为abcde，则反序数为edcba，其中a⩾e，则abcde因为等式的右边能被99整除，所以abcde-edcba能被78.六位数356a29能被3整除，数字a=？【答案】

2，5或8．【分析】

3+5+6+a+2+9=25+a使25+a能被3整除，数字a只能是2，5或8．即符合题意的a是2，5或8．79.三位数的百位、十位和个位的数字分别是5、a、b，将它连续重复写2009次成为：5ab5ab⋯5ab⏟2009个5ab．如果此数能被【答案】

546【分析】

因为91=7×13，所以5ab5ab⋯5ab⏟2009个5ab也是7和13的倍数，因为能被7和13整除的特点是三位一段，用截断法，由此可知5ab也是7和13的倍数，百位是5能被7和13即91整除的数字是：80.请将1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合适的顺序写成一行，使得这一行的数中的任意一个数都能整除它前面所有数之和．【答案】

6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11【分析】

构造方式不唯一，从最后思考，总和66，把11放到最后，剩55，放个5，剩50⋯找规律可得．81.用1、2、3、4、5、7这6个数字各一次组成六位数，并且使这个六位数是11的倍数．有多少种不同的方法？【答案】

72．【分析】

用1,2,3,4,5,7各一次组成六位数，六个数字的和为22，若为11的倍数，则奇位和与偶位和的差只能为0，奇位填1,3,7，偶位填2,4,5，考虑到1,3,7可以互换，2,4,5可以互换，故共有A33×A33=36种填法，同理奇位填2,4,582.试求6个不同的正整数，使得它们中任意两数之积可被这两个数之和整除．【答案】

27720，55440，83160，110880，138600及166320【分析】

取六个数1，2，3，4，5，6，并把它们两两相加得到15个和：1+2，1+3，⋯，5+6．这15个和的最小公倍数是：2把它依次乘所取的六个数得：27720，55440，83160，110880，138600及166320．这六个数就满足题目的要求．83.求出所有正整数n，使得25+n能整除25×n．【答案】

100、600【分析】

依题意得25+n∣25n，变形得25+n∣25n+625-625,整理得25+n∣25(n+25)-625.由于25+n∣25(n+25),所以25+n∣625,写出625所有的约数：1、625、5、125、25，符合的n为125-25=100和625-25=600．84.一个各位数字均不为0的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由247将得到47、27、24）．已知这些两位数分别能被5、6、7整除，那么原来的三位数是多少？【答案】

656【分析】

由于尾数不可能是5，所以只能中间数是5，那么个位就是2或6，但52不能被6、7整除，则只能是56，被7整除，再结合百位和个位能被6整除判断出三位数为656．85.判断下面11个数的整除性：23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407．（1）这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？（2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？（3）哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？（4）哪些数能被11整除？【答案】

见解析．【分析】

（1）末两位能被4整除，该数即能被4整除；末三位能被8整除，该数即能被8整除．所以，能被4整除的数有：3568,5880,6512,864；能被8整除的数有：3568,5880,6512,864；（2）末两位是25的倍数，该数就能被25整除；末三位是125的倍数，该数就能被125整除．所以能被25整除的数有：8875,93625；能被125整除的数有：8875,93625；（3）数字和是3的倍数即能被3整除，数字和为9的倍数即能被9整除．所以，能被3整除的数有：23487,6765,5880,198954,864；能被9整除的数有：198954,864；（4）从末位开始，奇数位数字之和与偶数位数字之和的差如果为11的倍数，即为11的倍数．则为11的倍数的有：6765,6512,407．86.在下面的圆圈和方框中，分别填入适当的自然数，使等式成立．问在方框中应填多少？1【答案】

32或36．【分析】

记圆圈里填入的是a，方框里填入的是b，那么1即29由于29是个质数，故29∣11a-12，从而a除以29余9．于是29故b⩽36．另外，29b>29×即b⩾32．分别验证b=32，33，34，35，36各种情况，可知只有当b=32和b=36时符合条件．87.如果(a+2b)是7的倍数，求证：(3a-b)也是7的倍数．（a、b都是自然数）．【答案】

见解析【分析】

法一：由于(a+2b)是7的倍数，所以3(a+2b)＝3a+6b也是所以3a-b＝3a+6b-7b是法二：设a+2b＝7k，则a＝所以(3a-b)也是7的倍数．88.已知n是正整数，规定n!=1×2×⋯×n，令m=1!×1+2!×2+3!×3+⋯+2007!×2007，则整数m除以2008的余数为多少？【答案】

2007【分析】

m= 2008能够整除2008!，所以2008!-1的余数是2007．89.有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，⋯⋯，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对．问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数．【答案】

（1）8、9；（2）60060【分析】

（1）列出这14个除数：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15．注意到如果这个数不能被2整除，那么一定不能被4、6、8、10⋯等整除，显然超过两个自然数；类似这种情况的还有3∼6、9⋯；4∼8、12⋯；5∼10、15⋯；6∼12⋯；若不能被7整除，那么一定不能被14整除，而这两个自然数不连续；若不能被12整除，那么4和3中至少有一个不能整除1号所说的自然数，而12与3、4均不连续；类似这种情况的还有10（对应2和5）；14（对应2和7）；15（对应3和5）；这样只剩下8、9、11、13，而连续的只有8、9．所以说的不对的两位同学的编号为8、9这两个连续的自然数．（2）由（1）知，这个五位数能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15整除．所以[2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15]=所以1号写出的五位数为60060．90.如果六位数2010▫▫能被105整除，那么它的最后两位数是多少？【答案】

75【分析】

采用试除法 用201000试除，201000÷105=1914⋯⋯30,余30可以看成不足(105-30)=75．所以补上75，即在末两位的方格内填入75即可．91.如果a+b+c是5的倍数，2a+3b+4c也是5的倍数，求证a-c是5的倍数．（a、b、c都是自然数）【答案】

见解析【分析】

a-c=3(a+b+c)-(2a+3b+4c)，所以a-c能被5整除．92.某个七位数1993▫▫▫能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？【答案】

320【分析】

本题可采用整除数字的判定特征进行判断，但是太过繁琐，采用试除法比较方便，若使得7位数能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，只要让七位数是2，3，4，5，6，7，8，9最小公倍数的倍数即可，[2，3，4，5，6，7，8，9]＝2520，用1993000试除，1993000÷2520＝790⋯⋯2200，余2200可以看成不足2520-220093.将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数．将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000～4000之间．求这【答案】

7543【分析】

设这4个数字分别是a>b>c>d，那么从小到大的第2个就是dcab，它是5的倍数，因此b=0或5，注意到b>c>d，所以b=5；从大到小排列的第2个是abdc，它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，c<b=5，c=4或2；从小到大的第二十个是adbc，第五个是dacb，它们的差在3000到4000之间，所以a=d+4；因为a>b，所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4．而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍数，和条件矛盾．因此d=3，从而a=d+4=3+4=7这24个四位数中最大的一个显然是abdc，我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3,所以这24个四位数中最大的一个是7543．94.以多位数142857314275为例，说明被7、11、13整除的规律．【答案】

见解析．【分析】

142857314275=因为根据整除性质知，等式右边第一个括号内的数能被7、11、13整除，再根据整除性质，要判断142857314275能否被7、11、13整除，只需判断857-142+275-314能否被7、11、13整除，因此结论得到说明．142857314275能被13整除，不能被7和11整除．95.下面五个自然数：128114、94146、64152、6139、491678，哪些能被7整除？哪些能被11整除？哪些能被13整除？【答案】

被7整除：128114,6139；被11整除：64152,491678；被13整除：94146．【分析】

因为128-114=14，146-94=52，152-64=88，139-6=133，678-491=187，所以能被7整除的有：128114,6139；能被11整除的有：64152,491678；能被13整除的有：94146．96.有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和；还能表示成5个连续自然数的和．请你找出700至1000之间，所有满足上述要求的数，并简述理由．【答案】

750、810、870、930、960【分析】

3个连续自然数的和，一定能够被3整除；4个连续自然数的和，一定能够被2整除，且除以2所得的商是奇数，也就是说它不能被4整除，除以4所得余数为2；5个连续自然数的和，一定能够被5整除．3、2、5的最小公倍数是30，所以满足上述三个条件的最小的数是30．3、4、5的最小公倍数是60，所以60的整数倍加上30就可以满足条件．700=60×11+40，所以第一个符合题意的数是750=60×12+30，最大的一个数是990=60×16+30，共计16-12+1=5个数，分别为750、810、870、930、960．97.已知两个三位数abc与def的和abc+def能被37整除，试说明：六位数abcdef也能被【答案】

见解析【分析】

abcdef=abc×1000+def=abc×999+(abc+def)，因为999能被37整除，所以abc×999能被98.如果abcde能被6整除，那么2(a+b+c+d)-e也能被6整除．【答案】

见解析．【分析】

因为6=2×3，所以2∣abcde，所以2∣e，所以6∣3e 因为3∣abcde，所以3∣a+b+c+d+e，所以6∣2(a+b+c+d+e)，所以6∣2(a+b+c+d+e)-3e，所以6∣2(a+b+c+d)-e99.把三位数3ab接连重复的写下去，共写2011个3ab，所得的数3ab3ab⋯3ab⏟2011个恰是91【答案】

73【分析】

因为91=7×13，且(7,13)=1． 73ab3ab⋯3ab⏟2011 根据一个数能被7或13整除的特征可知： 原数3ab3ab⋯3ab⏟2011个能被7 当且