《几何》-曲线型-扇形-0-5星题（含解析）全国版

几何-曲线型几何-扇形-0星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率扇形B1.了解扇形的特征和有关概念

2.能够通过圆的面积和周长公式推导出扇形的面积和弧长公式

3.能够运用公式计算扇形的弧长、面积和周长少考知识提要扇形概念

圆上两点之间的部分叫做弧。

扇形是指一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

其中，圆的半径也称为扇形的半径，而两条半径所形成的夹角称为扇形的圆心角。

公式

扇形的弧长=n360×2πr

扇形的面积=n360πr2

精选例题扇形1.如图，分别以B，C为圆心的两个半圆的半径都是1厘米，则阴影部分的周长是

厘米．（π取3）【答案】

3【分析】

BE，BC，CE均为圆的半径，所以△BCE等边三角形，每个角均为60度，所以阴影部分的两段圆弧均为60度的扇形所对应的圆弧，所以周长为602.下图中，两个圆心角是90∘的扇形盖在大圆上，小圆盖在两个扇形上，它们的圆心都在同一点．如果小圆、大圆、扇形的半径比是1:3:4，那么阴影图形面积占整个图形面积的

%【答案】

32【分析】

设大圆、小圆、扇形的半径分别是r、3r、4r．整个商标的面积是1阴影部分的面积是1所以，阴影图形面积占整个商标图形的面积的43.如下图所示，已知圆心是O，半径r=9厘米，∠1=∠2=15∘，那么阴影部分的面积是

平方厘米．（【答案】

42.39【分析】

因为圆的半径都相等，于是OA=OB．在等腰三角形AOB中两个底角都是15∘．又知道三角形内角之和是180∘，所以，三角形AOB的顶角∠AOB=180∘-(15∘+154.如图，直角三角形ABC中，∠B为直角，且BC=2厘米，AC=4厘米，则在将△ABC绕C点顺时针旋转120∘的过程中，AB边扫过图形的面积为

．（π【答案】

12.56平方厘米．【分析】

如下图所示，假设△ABC旋转120∘到达△AʹBʹC的位置．阴影部分为AB从图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积等于扇形ACAʹ的面积与△ABC的面积之和，空白部分面积等于扇形BCBʹ的面积与△AʹBʹC的面积，由于△ABC的面积与△AʹBʹC的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形ACAʹ与扇形BCBʹ的面积之差，为1205.如图，是一个由2个半圆、2个扇形、1个正方形组成的“心型”．已知半圆的直径为10，那么，“心型”的面积是

．（注：π取3.14）【答案】

257【分析】

图中图形面积等于一个正方形加上一个半径为5的圆，再加上一个半径为10的1410×10+6.分别以一个边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以2厘米为半径画弧，得到下图．那么，阴影图形的周长是

厘米．（π取3.14）【答案】

12.56【分析】

图形周长由6段弧组成，每段弧对应的圆心角为60∘2×3.14×2=12.56(厘米)7.如图，△ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米．现在以C点为圆心，把三角形ABC顺时针转90度，那么，AB边在旋转时所扫过的面积是

平方米．（π≈3.14【答案】

0.6775【分析】

如图，顺时针旋转后，A点沿弧AAʹ转到Aʹ点，B点沿弧BBʹ转到Bʹ点，D点沿弧DDʹ转到Dʹ点．因为CD是C点到AB的最短线段，所以AB扫过的面积就是图中的弧AʹAB与BDDʹAʹ之间的阴影图形．SSS所以，S我们推知S8.一个边长为100厘米的正五边形和五个扇形拼成如图的“海螺”，那么这个图形的周长是

厘米（π取3.14）．【答案】

2384【分析】

周长9.6个半径相同的小圆和1个大圆如图摆放．大圆的面积是120，那么，阴影部分面积是

．【答案】

40【分析】

设大圆半径和小圆半径分别为R和r，画出大小圆半径会发现它们同处一个正三角形，如下图，两条粗线分别为大圆直径和小圆直径，由正三角形性质和勾股定理，有R这说明大圆面积和小圆面积是3倍关系，即小圆面积为40；由于三个小圆面积等于大圆面积，所以下图中红色部分面积等于灰色部分；如下图，可以看出，上图中的两种阴影部分拼在一起可以形成扇形，一共可以形成6个120度扇形，总和为2个小圆，又因为两种阴影部分面积相等，所以所求面积为一个小圆面积40．10.如图，分别以长方形的一条长边的两个顶点为圆心，以长方形的宽为半径作14圆，若图中的两个阴影部分的面积相等，则此长方形的长与宽的比值是

【答案】

π:2【分析】

因为S2=SS与长方形面积相等．所以设长为a，宽为b，1πb=2a,a:b=π:2.11.如下图所示，一个14圆中有一个正方形，阴影正方形的面积是16，那么图中的扇形面积是

．（π取3【答案】

30【分析】

给图中标上字母，如下图所示，由于阴影正方形的面积为16，则边长为4，OC=CH=ED=2,OD=2+4=6，根据勾股定理，可知扇形的半径满足：r所以图中扇形的面积为：112.半径为10、20、30的三个扇形如下图放置，S2是S1的【答案】

5【分析】

三个扇形的半径比为1:2:3，则面积比为1:4:9，所以答案为(9-4)÷1=5倍．13.如下图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，AC=CD=DB，M是CD的中点，H是弦CD的中点．若N是OB上一点，半圆的面积等于 【答案】

2【分析】

连接OC、OD、OH，由于C、D是半圆的两个三等分点M是CD的中点，H是弦CD的中点，可见这个图形是对称的．由对称性可知CD与AB平行，由此可得：△CHN的面积与△CHO的面积相等，所以，阴影部分面积等于扇形COD面积的一半，而扇形COD的面积又等于半圆面积的13，所以，阴影部分面积等于半圆面积的16，为14.如图，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边A，B，C，D处各有一根木桩，且AB=BC=CD=3米．现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上（不计打结处）．为使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在

处的木桩上． 【答案】

C【分析】

在A点时活动区域的面积是一个半径为4米的半圆，即1 在B、D点时活动区域的面积都是一个半径为4米的半圆加一个14半径为11 在C点时活动区域的面积是34个半径为43 综上所述，拴在C处的木桩上时活动范围最大．15.如下图所示，ABCD是边长为10厘米的正方形，且AB是半圆的直径，则阴影部分的面积是

平方厘米．（π取3.14）【答案】

17.875【分析】

如下图所示，连接DB，阴影部分的面积的2倍相当于$$\text{正方形面积}-\text{三角形$DOC$的面积}-\text{半圆面积},$$所以该面积=(10×10-10×10÷4-3.14×5×5÷2)÷2=17.875(平方厘米)16.如下图所示，梯形ABCD中的两个阴影部分的面积相等，DE=1厘米，∠A=∠B=45∘，则CD=

厘米．（其中π取【答案】

0.57【分析】

由于两个阴影部分面积相等，可知扇形面积为梯形面积的一半，又知道扇形面积为18×π×(12+12求得CD的长为π217.如下图所示，平行四边形的长边是6，短边是3，高为2.6，则阴影部分的面积为

．（π取3.14）【答案】

15.9【分析】

根据容斥的思想，阴影的一半所以阴影面积为：118.如下图所示，为一个半圆和一个扇形，扇形的半径是半圆的直径，空白部分与阴影部分面积哪个大？ 【答案】

一样大．【分析】

记半圆的半径为1，半圆的面积为12π，扇形的半径为2，面积为 空白与阴影的面积1219.如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，O是圆心，且半径为6．求图中阴影部分的面积．【答案】

6【分析】

如图，连接OC、OD、CD．由于C、D是半圆的三等分点，所以△AOC和△COD都是正三角形，那么CD与AO是平行的．所以△ACD的面积与△OCD的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，为π×20.已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积．（π=3.14【答案】

5.7平方厘米【分析】

由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算．从图中可以看出，阴影部分的面积是一个45∘由于半圆的面积为62.8平方厘米，所以OA因此S由于△AOB是等腰直角三角形，所以AB因此$\begin{split}\text{扇形$ABC$的面积}&={\rm\pi}\times{AB^2}\times\dfrac{{45}}{{360}}\\&={\rm\pi}\times40\times\dfrac{{45}}{{360}}\\&=15.7\text{(平方厘米)}.\end{split}$所以，阴影部分的面积等于：15.7-10=5.7(平方厘米)21.如图所示，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一个边长为2米的等边三角形，绳长是3米，那么小狗的活动范围是多少？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）【答案】

24.5【分析】

首先画出小狗活动的范围，然后把活动范围分成几个扇形来求解，30036022.已知图中正方形的边长是2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形的中心，求图中阴影部分的面积． 【答案】

2【分析】

r2=2，23.如图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积．（π取3）【答案】

8【分析】

由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积．解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．则阴影部分的面积为=12解法二：连接AC，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，所以阴影部分面积=2×(124.如图所示，图中是一个正六边形，每个角上有一个半径是10厘米的扇形，六扇形面积总和是多少？（π取3.14）【答案】

628平方厘米．【分析】

扇形面积公式S扇=nπR25.如图所示，ABCD是一边长为4cm的正方形，E是AD的中点，而F是BC的中点．以C为圆心、半径为4cm的四分之一圆的圆弧交EF于G，以F为圆心、半径为2cm的四分之一圆的圆弧交EF于H点，若图中S1和S2两块面积之差为mπ-n(cm2 【答案】

11【分析】

（法1）S▱FCDE=2×4=8cm2 S扇形BFH= S1-S 所以m=3，n=8，m+n=3+8=11．（法2）如右上图，S+S S+S2= 所以，S1-S2=(8-π)-(16-4π)=3π-826.如图中扇形的半径OA=OB=6厘米，∠AOB=45∘，AC垂直OB于C，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（【答案】

5.13平方厘米【分析】

阴影部分面积为：4527.如图，正方形ABCD边长分别为1厘米，依次以A,B,C,D为圆心，以AD,BE,CF,DG为半径画出四个直角扇形，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）【答案】

23.55平方厘米．【分析】

阴影部分的面积是3.14×28.（1）如图（1），一只小狗被拴在一个边长为4米的正方形的建筑物的顶点A处，四周都是空地，绳长8米，小狗的活动范围是多少平方米？（2）如图（2）小狗不是被拴在A处，而是在一边的中点B处，那么小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3.14）【答案】

（1）175.84；（2）163.28【分析】

（1）如下左图，小狗的活动范围为圆心角为270∘、半径为8米的扇形，和两个圆心角为90∘、半径为3（2）如下右图，小狗的活动范围为半径是8米的半圆，和两个圆心角为90∘、半径为6米的扇形，以及两个圆心角为90∘、半径为129.如图中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．（π取【答案】

39.25(【分析】

将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为5×5×3.14÷2=39.25(30.（1）求下列各图的周长和面积各是多少？（用含π的式子表示）（2）已知一个扇形面积为18.84平方厘米，圆心角为60∘，这个扇形的半径和周长是多少？（π取3.14【答案】

（1）5π+10，1212π，712（2）6厘米，18.28厘米．【分析】

（1）半圆的周长2×面积π342×面积π132×面积π（2）由于：16πr31.如图，求各图形中阴影部分的面积．（图中长度单位为厘米，π取3.14）【答案】

（1）4.5平方厘米；（2）1平方厘米．【分析】

（1）将右边四分之一圆的阴影部分镜像到左边四分之一圆，阴影部分的面积为：3×3÷2=4.5（2）将右图的四分之一圆左移，则为一个正方形，面积为：1×1=132.如图，ABCD是一个长为4，宽为3，对角线长为5的正方形，它绕C点按顺时针方向旋转90∘【答案】

BC:DC:4AB:4AD:【分析】

容易发现，DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的14因此DC边扫过图形的面积为4π，BC边扫过图形的面积为9研究AB边的情况．在整个AB边上，距离C点最近的点是B点，最远的点是A点，因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分：下面来求这部分的面积．观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：扇形ACAʹ面积+三角形AʹBʹC面积-三角形ABC面积一扇形BCBʹ面积=扇形ACAʹ面积一扇形BCBʹ面积=52π研究AD边扫过的图形．由于在整条线段上距离C点最远的点是A，最近的点是D，所以我们可以画出AD边扫过的图形，如图阴影部分所示：用与前面同样的方法可以求出面积为：5233.如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形．（圆周率取3.14）【答案】

412平方厘米【分析】

所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，现在关键是小扇形面积如何求，有扇形面积公式S扇可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°，那么∠AOC=120∘，又知四边形ABCO是平行四边形，所以∠ABC=120∘34.下图中五个相同的圆的圆心连线构成一个边长为10厘米的正五边形．求五边形内阴影部分的面积．（π=3.14【答案】

117.75平方厘米【分析】

我们用两条线将五边形分成了三个三角形，如下图所示，可以看出，这个五边形的五个角的度数和是180×3=540∘,540÷360=1.5倍，即阴影部分面积相当于1.5个半径为535.先做一个边长为2cm的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2c【答案】

25.12【分析】

在处理图形的运动问题时，描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步，只有大的方向确定了，才能实施具体的计算．在数学中，本题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形”，“莱洛三角形”有一个重要的性质就是它在所有方向上的宽度都相同．为了求出“莱洛三角形”滚动时经过的面积，可以分2步来思考：第1步：如图⑵所示，当“莱洛三角形”从顶点A的上方滚动到顶点A的左边时，这时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以A为圆心、2cm为半径、圆心角为60∘的扇形．在顶点A、B第2步：如图⑶所示，当“莱洛三角形”在边AB上滚动时，这时可以把阴影“莱洛三角形”看作是以图⑶中D点为圆心的圆的一部分，这个圆在以C点为圆心的弧AB上滚动，可知此时圆心D运动的轨迹是图⑶中的弧DDʹ，所以此时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以C为圆心、4cm为半径、圆心角为60∘的扇形减去半径为2综上所述，去掉图⑷中阴影“莱洛三角形”后所形成的组合图形就是要求的面积．滚动时经过的面积是：3×36.如图，正方形的边长是2厘米，圆形的半径是1厘米，当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）【答案】

28.56平方厘米．【分析】

扫过的区域如图所示，正方形的边长是2厘米，四个正方形的面积之和是16平方厘米，四个扇形正好可以拼成一个半径为2厘米的圆，圆的面积是12.56平方厘米，最后的结果是28.56平方厘米．37.图中正方形的边长是4厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）【答案】

44.56平方厘米．【分析】

扫过的区域如图中阴影所示，由两类图形组成：4个长为4厘米、宽为2厘米的长方形，4块半径为2厘米、圆心角为90∘4×2×4+π×38.如图所示，扇形AOB的圆心角是90度，半径是2，C是弧AB的中点．求两个阴影部分的面积差．（π取3.14）【答案】

0【分析】

两个阴影分别加上下部的空白部分可得到扇形和半圆，而扇形和半圆面积相等，所以，面积之差是0．39.直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米．如下图所示，三角形由位置Ⅰ绕A点转动，到达位置Ⅱ，此时B，C点分别到达B1，C1点；再绕B1点转动，到达位置Ⅲ，此时A，C1点分别到达A2，C2点．求【答案】

653【分析】

由于BC为AC的一半，所以∠CAB=30∘，则弧CC1为大圆周长的180∘-30∘360∘=512，弧C1C2为小圆周长的240.一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上（如图），绳长是4m，求狗所能到的地方的总面积．（圆周率按【答案】

43.96【分析】

如图所示，狗活动的范围是一个半径4m，圆心角300∘的扇形与两个半径1m，圆心角12041.一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上（如图），绳长是4m，求狗所能到的地方的总面积．（π取【答案】

43.96m【分析】

如图所示，狗活动的范围是一个半径4m，圆心角300∘的扇形与两个半径1m30042.如图，等腰直角三角形ABC的腰为10；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；两个阴影部分的面积相等．求扇形所在的圆面积．【答案】

400【分析】

题目已经明确告诉我们ABC是等腰直角三角形，AEF是扇形，所以看似没有关系的两个阴影部分通过空白部分联系起来．等腰直角三角形的角A为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍．而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即S则圆的面积为50×8=40043.如图，直角△ABC的斜边AB长为10厘米，∠ABC=60∘．此时BC长5厘米．以B为中心，将△ABC顺时针旋转120∘，点A、C分别到达点E、D的位置．求AC扫过图形的面积．（π 【答案】

75平方厘米．【分析】

扇形的面积44.下图中正方形ABCD及DCEG的面积均为64平方厘米，EFG则为一半圆，F是弧EFG的中点．请问阴影部分的面积为多少平方厘米？（取π=3.14【答案】

36.56【分析】

如下图所示，正方形边长为8厘米，连接GF，阴影部分面积=145.在下图中，AC为圆O的直径，三角形ABC为等腰直角三角形，其中∠C=90∘．以B为圆心，BC为半径作弧CD交线段AB于D点．若AC=10厘米，试求下图中阴影部分面积之和．（令【答案】

62.5平方厘米【分析】

阴影部分面积为圆加扇形减三角形，阴影面积为：π46.求下图中阴影部分的面积．（π取3）【答案】

100平方厘米【分析】

看到这道题，一下就会知道解决方法就是求出空白部分的面积，再通过作差来求出阴影部分面积，因为阴影部分非常不规则，无法入手．这样，平移和旋转就成了我们首选的方法．（法1）我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的①、②部分面积之和即可，其中①、②面积相等．易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边AB的长度未知．单独求①部分面积不易，于是我们将①、②部分平移至一起，如右上图所示，则①、②部分变为一个以AC为直角边的等腰直角三角形，而AC为四分之一圆的半径，所以有AC=10．两个四分之一圆的面积和为150，而①、②部分的面积和为12150-50（法2）欲求图中阴影部分的面积，可将如上左半图形绕B点逆时针方向旋转180∘，使A与C147.有一飞镖形建筑物ABCD，其各边之长度如下图所示，AB=60米、BC=70米、CD=40米、AD=30米，并且已知∠ADC=90∘．在其外围拟建一条步道，使得此步道的外缘距离建筑物之最近距离都保持5米．请问沿着此步道之外缘绕一圈共需走多少米？（取【答案】

229.25【分析】

可知步道可分为直线段与圆弧段，直线段之长度和为60+70+(30-5)+(40-5)=190(米)．而三个圆弧的角度和为360所以三个圆弧段的长度和为2×5×3.14×450∘36048.如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？(π=3.14)【答案】

7.125【分析】

观察可知阴影部分是被以AD为半径的扇形、以AB为直径的半圆形和对角线BD分割出来的，分头求各小块阴影部分面积明显不是很方便，如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形ABD的面积减去扇形ADE的面积，那么思路就很清楚了．因为∠ADB=45所以扇形ADE的面积为：45360那么左下边空白的面积为：12又因为半圆面积为：12所以阴影部分面积为：9.8125-2.6875=7.125(平方厘米49.圆的半径是9cm，圆心角为120【答案】

周长：36.84cm；面积【分析】

圆心角120∘面积周长50.如图，边长为3的两个正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC为边向内侧作等边三角形，分别以B、C为圆心，BK、CK为半径画弧．求阴影部分面积．（π=3.14【答案】

8.58【分析】

根据题意可知扇形的半径r恰是正方形的对角线，所以r如上图将左边的阴影翻转右边阴影下部，S51.如图，在3×3方格表中，分别以A、E、F为圆心，半径为3、2、1，圆心角都是90∘的三段圆弧与正方形ABCD的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比【答案】

5:3【分析】

如下图，仔细观察图形不难发现带形S1的面积等于曲边三角形BCD的面积减去曲边三角形B所以，S同理可求得带形S2的面积：带形S2的面积=曲边三角形B1CD1的面积-曲边三角形52.如图所示，一个半径为1的圆绕着边长为4的等边三角形滚动一周又回到原来的位置时，扫过的面积是多少？（π取3.14）【答案】

36.56【分析】

扫过的面积为三个相同的长方形，加三个相同的圆心角为120度的扇形，长方形总面积2×4×3=24，扇形总面积为12.56，所以，扫过的整个面积是36.56．53.如下图，直角三角形ABC的两条直角边分别为6和7，分别以B、C为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A是多少度（【答案】

∠A=60【分析】

S△ABC三角形ABC内两扇形面积和为21-17=4，根据扇形面积公式两扇形面积和为∠B+∠C360所以∠B+∠C=120∘，54.在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．（圆周率取3.14）【答案】

1.42【分析】

看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形．则为：π455.如图，BD=DC=DA=1．求阴影部分面积． 【答案】

0.6775【分析】

方法一：12 方法二：1256.如图，一头山羊被拴在一个边长为4米的等边三角形的建筑物的一个顶点处，四周都是空旷，绳长刚好够山羊走到三角形建筑物外的任一位置，请问：山羊的活动范围有多少平方米？（建筑外墙不可逾越，山羊身长忽略不计，π取3）【答案】

98【分析】

山羊的活动范围如图所示，绳长为6米，面积为30057.如下图所示，边长为3的两个正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC为边向同侧作等边三角形，分别以B、C为圆心，BK、CK为半径画弧．求阴影部分面积．（π取3.14）【答案】

8.58【分析】

每块阴影可以算成16158.如图，正方形边长为2cm【答案】

4-π【分析】

阴影面积等于正方形的面积减去扇形的面积S=2×2-59.（1）如图1所示，有一个长是10、宽是6的长方形，那么两个阴影部分的面积之差为多少．（π取3.14）（2）如图2所示，三角形ABC是直角三角形，长40厘米，以AB为直径做半圆，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米．求AC的长度．（π取3.14）【答案】

（1）18.5；（2）32.8【分析】

（1）大块“阴影+空白”刚好构成直角扇形，小块“阴影+（2）“阴影①+空白”刚好构成半圆，“阴影②+空白”刚好构成直角三角形，半圆面积为1260.如图所示，一个半径为1的圆绕着边长为4的正方形滚动一周又回到原来的位置，扫过的面积是多少？（π取3.14）【答案】

44.56【分析】

两个半径为2的直角扇形+61.平面上有7个大小相同的圆，位置如图所示．如果每个圆的面积都是10，那么阴影部分的面积是多少？【答案】

20【分析】

题中阴影部分面积可以视为一个完整的圆与6个下图阴影部分的面积和．而图形①可以通过割补得到图形②，而图形②是一个圆心角为60∘的扇形，即1所以，原题图中阴影部分面积为1个完整圆与6个16圆，即2即原题图中阴影部分面积为2×10=20.62.正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A点再次落在这条直线上，那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留π）【答案】

24【分析】

如下图所示，A点在翻滚过程中经过的路线为两段120∘2三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个120∘的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为：π63.（1）如左图所示，三角形ABC是等腰直角三角形，以AC为直径画半圆，以BC为半径画扇形．已知AC=BC=10，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）（2）如右图所示，由一个长方形与两个直角扇形构成，其中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）【答案】

（1）28.5；（2）12.765【分析】

（1）半圆加圆心角是45度的扇形面积之和减去直角三角形面积：12（2）阴影面积为两个直角扇形面积之和减去长方形面积：1464.下图中，点P、Q、R是三个半径都为7厘米的圆之圆心．请问图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（取π=【答案】

77【分析】

通过割补可将一块阴影变为16圆（见右图），题中阴影部分面积为半圆面积即165.如图中的三角形都是等腰直角三角形，求各图中阴影部分的面积．（π取3.14）【答案】

4;4.56;8【分析】

（1）割补法，将右边的弓形补到左边，两块阴影面积之和恰好为等腰直角三角形面积的一半．即4×4÷2÷2=4．（2）割补法，如图，将图中的叶子形从中间分成面积相等的两个小弓形，阴影部分可拼成一个完整弓形，面积为14（3）割补法，正好是把第二问的过程反过来，把两个小弓形补到空白部分，阴影部分面积之和正好是等腰直角三角形的面积，即4×4÷2=8．66.如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和3cm的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好是5cm．让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90∘【答案】

6【分析】

因为长方形旋转了三次，所以A点在整个运动过程中也走了三段路程（如下图所示）．这三段路程分别是：第1段是弧AA2×第2段是弧A12×第3段是弧A22×所以A点走过的路程长为：2×67.如图，正方形边长为1，正方形的4个顶点和4条边分别为4个圆的圆心和半径，求阴影部分面积．（π取3.14）【答案】

7.14【分析】

把中间正方形里面的4个小阴影向外平移，得到如下图所示的图形，可见，阴影部分的面积等于四个正方形面积与四个90∘S68.如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？（π取3.14）【答案】

阴影部分面积为113.04．【分析】

方法一：设小正方形的边长为a，则三角形ABF与梯形ABCD的面积均为(a+12)×a÷2.阴影部分为：大正方形因此阴影部分面积为：3.14×12×12÷4=113.04.方法二：连接AC、DF，设AF与CD的交点为M，由于四边形ACDF是梯形，根据梯形蝴蝶模型有S△ADMS69.求图中阴影部分的面积．（π取3.14）【答案】

107【分析】

我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的①、②部分面积和即可，其中①、②面积相等．易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边AB的长度未知．单独求①部分面积不易，于是我们将①、②部分平移至一起，如下图所示，则①、②部分变为一个以AC为直角边的等腰直角三角形，而AC为四分之一圆的半径，所以有AC=10．两个四分之一圆的面积和为2×而①、②部分的面积和为1所以阴影部分的面积为157-50=107(70.如图，ABCD是平行四边形，AD=8cm，AB=10cm，∠DAB=30∘，高CH=4cm，弧BE、DF分别以AB、CD为半径，弧DM、BN分别以AD【答案】

5.83【分析】

因为四边形ABCD是平行四边形，AD=8cm，AB=10cm，S扇形 S扇形 因为平行四边形ABCD的高CH=4cm，所以S▱ 由图中可看出，扇形EAB与FCD的面积之和，减去平行四边形ABCD的面积，等于曲边四边形DFBE的面积；平行四边形ABCD的面积减去扇形DAM与扇形BCN的面积，等于曲边四边形DMBN的面积．则S==2×=2×2571.左图是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径．让A点不动，把整个半圆逆时针转60∘，此时B点移动到C点，如右图所示．那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14【答案】

略【分析】

右图中阴影部分面积等于以AC为直径的半圆以及以AC为半径的60∘扇形的面积和减去以AB那么阴影部分的面积等于以AC为半径的60∘6072.如图，已知扇形BAC的面积是半圆ADB面积的43倍，则角CAB【答案】

60度【分析】

设半圆ADB的半径为1，则半圆面积为12π×12=π2，扇形BAC的面积为π2×43=2π73.如图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60∘，此时B点移动到Bʹ点，求阴影部分的面积．（图中长度单位为cm，圆周率按【答案】

4.5【分析】

面积=圆心角为60∘的扇形面积+半圆-空白部分面积（也是半圆）=圆心角为60∘的扇形面积74.已知三角形ABC是直角三角形，AC=4cm，BC=2【答案】

3.85【分析】

从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC的面积之差，所以阴影部分的面积为：12π×475.如图所示，一块半径为2厘米的圆板，从位置①起始，依次沿线段AB、BC、CD滚到位置②．如果AB、BC、CD的长都是20厘米，那么圆板经过区域的面积是多少平方厘米？（π取3.14，答案保留两位小数．）【答案】

228.07【分析】

小圆滚动时所经过的区域如下图所示．半圆FEQ、半圆JKL的面积之和是4π平方厘米；长方形FGBQ、BHIP、IJLM的面积之和是(18+16+14)×4=192(60∘的扇形BGH1PIMNO部分的面积为(12+π)平方厘米．所以总面积为4π+192+76.如图，一只狗被栓在底座为边长3米的等边三角形建筑物的墙角上，绳长是4米，求狗所能到的地方的总面积？【答案】

43.96平方米．【分析】

如下图，狗被栓在底座为边长3米的等边三角形建筑物的墙角上，绳长是4米，狗的活动区域可以分割成三个部分：蓝色部分是一个半径为4米、圆心角为300度的扇形：360-60=300(红色部分是两个同样的边长为1米、圆心角为120度的扇形：4-3=1(所以狗能到的地方的总面积为：3.14×4×4×77.如下图，以OA为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以O点为中心旋转90∘，问：三角形扫过的面积是多少？（π取3【答案】

99平方厘米．【分析】

从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三角形的面积与四分之一圆的面积之和．圆的半径就是直角三角形的斜边OA．因此可以求得，三角形扫过的面积为：24+78.图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）【答案】

12.765【分析】

如下图，为了方便说明标上字母，并称曲线四边形BCFE的面积为“①”．将扇形ABC的面积称为“大扇形”，扇形CDF的面积称为“小扇形”，长方形BCDE的面积称为“长方形”．阴影部分面积所以有阴影部分面积即179.如图（1）是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径．如图（2）所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转60∘，此时B点移动到C点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14【答案】

4.71平方厘米【分析】

图中阴影部分面积为整个图形面积减去半圆的面积，而整个图形面积为一个半圆面积与一个圆心角为60∘的扇形面积之和．因此阴影面积等于圆心角为60∘的扇形面积，即80.如图，在一个边长为4的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆．求阴影部分的面积．【答案】

8．【分析】

阴影部分经过切割平移变成了一个面积为正方形一半的长方形，则阴影部分面积为4×4÷2=8．81.一条直线上放着一个长和宽分别为4厘米和3厘米的长方形Ⅰ（如下图）．让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90∘后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，A点到达E点的位置．求A点经过的总路程的长度．（圆周率按3 【答案】

5【分析】

如下图，A点旋转所经过的为三段四分之一圆的弧长，其中r1 由勾股定理知：r则r82.草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见下图）．问：这只羊能够活动的范围有多大？（注：π取3.14）【答案】

2512【分析】

如图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，其中A是半径30米的34个圆，B，C分别是半径为20米和10米的1π83.图是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是4，阴影部分的面积是多少？（π取3.14）【答案】

4.56【分析】

如下图所示，将下图阴影部分对折，则有：阴影部分面积为：184.如图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，阴影部分的面积是多少？（π取3.14）【答案】

0.6075【分析】

连接BD，将最左边的弓形补过来．阴影部分的面积就是平行四边形BDEC的面积减去扇形的面积，S阴影85.如图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，∠ABC=60∘，此时BC长5厘米．以点B为中心，将△ABC顺时针旋转120∘，点A、C分别到达点E、D的位置．求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积．（π【答案】

75平方厘米【分析】

注意分割、平移、补齐．如图所示，将图形（1）移补到图形（2）的位置，因为∠EBD=60∘，那么则阴影部分为一圆环的13所以阴影部分面积为1386.如图，长方形的长为6厘米，宽为2厘米，圆形的半径是1厘米，当圆形绕长方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）【答案】

44.56平方厘米．【分析】

扫过的区域如图所示，面积为2×2×6+2×2×2+π×87.△ABC为等腰直角三角形，D为半圆中点，BC为半圆直径．已知AB=BC=10，那么阴影部分面积为多少？（圆周率取3.14） 【答案】

32.125【分析】

设BC中点为O，连接OD，则OD=5，OB=5，BP:PO=AB:OD=10:5=2:1，BP=5×23=313，PO=OB-BP=5-3阴影部分的面积为162 88.如图所示，阴影部分的面积为多少？（圆周率取3）【答案】

27【分析】

图中A、B两部分的面积分别等于右边两幅图中的A、B的面积．所以SA89.如图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15，AEB是以C为圆心，AC为半径的圆弧．求阴影部分面积．【答案】

225平方厘米【分析】

阴影部分是个月牙形，不能直接通过面积公式求，那么我们可以把阴影部分看成半圆加上三角形ABC再减去扇形ACB的结果．半圆面积为12三角形ABC面积为1又因为三角形面积也等于12所以AC那么扇形ACB的面积为90阴影部分面积S90.如图所示，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一个边长为10米的正方形，绳长是20米，那么小狗的活动范围能有多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）【答案】

1050【分析】

狗的活动范围如图所示，分为A、B、C三部分，求面积得：3491.面上有7个大小相同的圆，位置如图所示．如果每个圆的面积都是10，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）【答案】

20【分析】

阴影包括中间的一个圆和周围六个花瓣状的小小图形．这个图形可以割补成一个顶角为60∘的扇形，如下图所示，因此六个这样的图形面积和正好是一个圆：阴影部分的面积等于两个圆的面积，为2092.求下列各图中阴影部分的面积（π=3）（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】

（1）4.5（2）4（3）1（4）2（5）1.5（6）4.5【分析】

略93.如图所示，阴影部分的面积是多少？（π取3.14）【答案】

4.56【分析】

阴影面积为两个半圆的面积之和减去直角三角形的面积，两个半圆的面积之和为12.56，直角三角形的面积是8，所以，阴影面积是4.56．94.在半径为1的圆内，画13个点，其中任意3点不共线．请证明：一定存在3个点，以它们为顶点的三角形面积小于π6【答案】

略【分析】

证明：将半径为1的圆八等分，分为六个扇形，每个扇形的面积是π6，根据抽屉原理，至少有三个点在同—部分中，这三个点组成的三角形不会大于所在的扇形，即π95.一只小狗被拴在一个边长为4米的正五方形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地．绳长刚好够小狗走到建筑物外的墙边的任一位置．小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3.14）【答案】

270.04平方米．【分析】

根据题意，如上图所示，由对称性，小狗最远活动点是A点，故绳长为10米，所以其活动的范围是：S96.如图，三角形ABC为等边三角形，边长为2，D为BC边中点，分别以B,C为圆心，1为半径作两个扇形（即图中阴影部分），那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14，结果保留2位小数）【答案】

1.05【分析】

阴影部分是两个60∘的扇形，面积是3.14×97.如图，等腰直角三角形的一腰的长是8厘米，以它的两腰为直径分别画了两个半圆，那么阴影部分的面积共有多少平方厘米？（π取3.14）【答案】

18.24【分析】

如下图，我们将原题中阴影部分分成①、②、③、④4个部分，并且这4个部分的面积相等．有②、③部分的面积和为二分之一圆的面积与其内等腰直角三角形的面积差．二分之一圆的面积为1其内等腰直角的底为8，高为4，所以其面积为1所以②、③部分的面积和为25.12-16=9.12(而①、②、③、④四部分的面积和为②、③部分的面积和的2倍，即为9.12×2=18.24(所以，原题中阴影部分的面积共有18.24平方厘米．几何-曲线型几何-扇形-1星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率扇形B1.了解扇形的特征和有关概念

2.能够通过圆的面积和周长公式推导出扇形的面积和弧长公式

3.能够运用公式计算扇形的弧长、面积和周长少考知识提要扇形概念

圆上两点之间的部分叫做弧。

扇形是指一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

其中，圆的半径也称为扇形的半径，而两条半径所形成的夹角称为扇形的圆心角。

公式

扇形的弧长=n360×2πr

扇形的面积=n360πr2

精选例题扇形1.下图中，两个圆心角是90∘的扇形盖在大圆上，小圆盖在两个扇形上，它们的圆心都在同一点．如果小圆、大圆、扇形的半径比是1:3:4，那么阴影图形面积占整个图形面积的

%【答案】

32【分析】

设大圆、小圆、扇形的半径分别是r、3r、4r．整个商标的面积是1阴影部分的面积是1所以，阴影图形面积占整个商标图形的面积的42.一个边长为100厘米的正五边形和五个扇形拼成如图的“海螺”，那么这个图形的周长是

厘米（π取3.14）．【答案】

2384【分析】

周长3.如图，是一个由2个半圆、2个扇形、1个正方形组成的“心型”．已知半圆的直径为10，那么，“心型”的面积是

．（注：π取3.14）【答案】

257【分析】

图中图形面积等于一个正方形加上一个半径为5的圆，再加上一个半径为10的1410×10+4.分别以一个边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以2厘米为半径画弧，得到下图．那么，阴影图形的周长是

厘米．（π取3.14）【答案】

12.56【分析】

图形周长由6段弧组成，每段弧对应的圆心角为60∘2×3.14×2=12.56(厘米)5.如下图所示，梯形ABCD中的两个阴影部分的面积相等，DE=1厘米，∠A=∠B=45∘，则CD=

厘米．（其中π取【答案】

0.57【分析】

由于两个阴影部分面积相等，可知扇形面积为梯形面积的一半，又知道扇形面积为18×π×(12+12求得CD的长为π26.半径为10、20、30的三个扇形如下图放置，S2是S1的【答案】

5【分析】

三个扇形的半径比为1:2:3，则面积比为1:4:9，所以答案为(9-4)÷1=5倍．7.如下图所示，已知圆心是O，半径r=9厘米，∠1=∠2=15∘，那么阴影部分的面积是

平方厘米．（【答案】

42.39【分析】

因为圆的半径都相等，于是OA=OB．在等腰三角形AOB中两个底角都是15∘．又知道三角形内角之和是180∘，所以，三角形AOB的顶角∠AOB=180∘-(15∘+158.如下图所示，一个14圆中有一个正方形，阴影正方形的面积是16，那么图中的扇形面积是

．（π取3【答案】

30【分析】

给图中标上字母，如下图所示，由于阴影正方形的面积为16，则边长为4，OC=CH=ED=2,OD=2+4=6，根据勾股定理，可知扇形的半径满足：r所以图中扇形的面积为：19.如下图所示，ABCD是边长为10厘米的正方形，且AB是半圆的直径，则阴影部分的面积是

平方厘米．（π取3.14）【答案】

17.875【分析】

如下图所示，连接DB，阴影部分的面积的2倍相当于$$\text{正方形面积}-\text{三角形$DOC$的面积}-\text{半圆面积},$$所以该面积=(10×10-10×10÷4-3.14×5×5÷2)÷2=17.875(平方厘米)10.（1）求下列各图的周长和面积各是多少？（用含π的式子表示）（2）已知一个扇形面积为18.84平方厘米，圆心角为60∘，这个扇形的半径和周长是多少？（π取3.14【答案】

（1）5π+10，1212π，712（2）6厘米，18.28厘米．【分析】

（1）半圆的周长2×面积π342×面积π132×面积π（2）由于：16πr11.如图所示，图中是一个正六边形，每个角上有一个半径是10厘米的扇形，六扇形面积总和是多少？（π取3.14）【答案】

628平方厘米．【分析】

扇形面积公式S扇=nπR12.如下图，直角三角形ABC的两条直角边分别为6和7，分别以B、C为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A是多少度（【答案】

∠A=60【分析】

S△ABC三角形ABC内两扇形面积和为21-17=4，根据扇形面积公式两扇形面积和为∠B+∠C360所以∠B+∠C=120∘，13.如下图所示，为一个半圆和一个扇形，扇形的半径是半圆的直径，空白部分与阴影部分面积哪个大？ 【答案】

一样大．【分析】

记半圆的半径为1，半圆的面积为12π，扇形的半径为2，面积为 空白与阴影的面积1214.下图中五个相同的圆的圆心连线构成一个边长为10厘米的正五边形．求五边形内阴影部分的面积．（π=3.14【答案】

117.75平方厘米【分析】

我们用两条线将五边形分成了三个三角形，如下图所示，可以看出，这个五边形的五个角的度数和是180×3=540∘,540÷360=1.5倍，即阴影部分面积相当于1.5个半径为515.如图，在一个边长为4的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆．求阴影部分的面积．【答案】

8．【分析】

阴影部分经过切割平移变成了一个面积为正方形一半的长方形，则阴影部分面积为4×4÷2=8．16.如图中扇形的半径OA=OB=6厘米，∠AOB=45∘，AC垂直OB于C，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（【答案】

5.13平方厘米【分析】

阴影部分面积为：4517.如下图所示，边长为3的两个正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC为边向同侧作等边三角形，分别以B、C为圆心，BK、CK为半径画弧．求阴影部分面积．（π取3.14）【答案】

8.58【分析】

每块阴影可以算成16118.图中正方形的边长是4厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）【答案】

44.56平方厘米．【分析】

扫过的区域如图中阴影所示，由两类图形组成：4个长为4厘米、宽为2厘米的长方形，4块半径为2厘米、圆心角为90∘4×2×4+π×19.如图所示，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一个边长为10米的正方形，绳长是20米，那么小狗的活动范围能有多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）【答案】

1050【分析】

狗的活动范围如图所示，分为A、B、C三部分，求面积得：3420.如图所示，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一个边长为2米的等边三角形，绳长是3米，那么小狗的活动范围是多少？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）【答案】

24.5【分析】

首先画出小狗活动的范围，然后把活动范围分成几个扇形来求解，30036021.如图，求各图形中阴影部分的面积．（图中长度单位为厘米，π取3.14）【答案】

（1）4.5平方厘米；（2）1平方厘米．【分析】

（1）将右边四分之一圆的阴影部分镜像到左边四分之一圆，阴影部分的面积为：3×3÷2=4.5（2）将右图的四分之一圆左移，则为一个正方形，面积为：1×1=122.如图，BD=DC=DA=1．求阴影部分面积． 【答案】

0.6775【分析】

方法一：12 方法二：1223.如图，正方形ABCD边长分别为1厘米，依次以A,B,C,D为圆心，以AD,BE,CF,DG为半径画出四个直角扇形，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）【答案】

23.55平方厘米．【分析】

阴影部分的面积是3.14×24.如图，长方形的长为6厘米，宽为2厘米，圆形的半径是1厘米，当圆形绕长方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）【答案】

44.56平方厘米．【分析】

扫过的区域如图所示，面积为2×2×6+2×2×2+π×25.圆的半径是9cm，圆心角为120【答案】

周长：36.84cm；面积【分析】

圆心角120∘面积周长26.如图，正方形边长为2cm【答案】

4-π【分析】

阴影面积等于正方形的面积减去扇形的面积S=2×2-27.如图所示，阴影部分的面积是多少？（π取3.14）【答案】

4.56【分析】

阴影面积为两个半圆的面积之和减去直角三角形的面积，两个半圆的面积之和为12.56，直角三角形的面积是8，所以，阴影面积是4.56．28.下图中正方形ABCD及DCEG的面积均为64平方厘米，EFG则为一半圆，F是弧EFG的中点．请问阴影部分的面积为多少平方厘米？（取π=3.14【答案】

36.56【分析】

如下图所示，正方形边长为8厘米，连接GF，阴影部分面积=129.如图，三角形ABC为等边三角形，边长为2，D为BC边中点，分别以B,C为圆心，1为半径作两个扇形（即图中阴影部分），那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14，结果保留2位小数）【答案】

1.05【分析】

阴影部分是两个60∘的扇形，面积是3.14×30.一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上（如图），绳长是4m，求狗所能到的地方的总面积．（π取【答案】

43.96m【分析】

如图所示，狗活动的范围是一个半径4m，圆心角300∘的扇形与两个半径1m30031.草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见下图）．问：这只羊能够活动的范围有多大？（注：π取3.14）【答案】

2512【分析】

如图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，其中A是半径30米的34个圆，B，C分别是半径为20米和10米的1π32.下图中，点P、Q、R是三个半径都为7厘米的圆之圆心．请问图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（取π=【答案】

77【分析】

通过割补可将一块阴影变为16圆（见右图），题中阴影部分面积为半圆面积即133.（1）如图1所示，有一个长是10、宽是6的长方形，那么两个阴影部分的面积之差为多少．（π取3.14）（2）如图2所示，三角形ABC是直角三角形，长40厘米，以AB为直径做半圆，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米．求AC的长度．（π取3.14）【答案】

（1）18.5；（2）32.8【分析】

（1）大块“阴影+空白”刚好构成直角扇形，小块“阴影+（2）“阴影①+空白”刚好构成半圆，“阴影②+空白”刚好构成直角三角形，半圆面积为1234.如图所示，扇形AOB的圆心角是90度，半径是2，C是弧AB的中点．求两个阴影部分的面积差．（π取3.14）【答案】

0【分析】

两个阴影分别加上下部的空白部分可得到扇形和半圆，而扇形和半圆面积相等，所以，面积之差是0．35.如图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，阴影部分的面积是多少？（π取3.14）【答案】

0.6075【分析】

连接BD，将最左边的弓形补过来．阴影部分的面积就是平行四边形BDEC的面积减去扇形的面积，S阴影36.（1）如左图所示，三角形ABC是等腰直角三角形，以AC为直径画半圆，以BC为半径画扇形．已知AC=BC=10，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）（2）如右图所示，由一个长方形与两个直角扇形构成，其中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）【答案】

（1）28.5；（2）12.765【分析】

（1）半圆加圆心角是45度的扇形面积之和减去直角三角形面积：12（2）阴影面积为两个直角扇形面积之和减去长方形面积：1437.有一飞镖形建筑物ABCD，其各边之长度如下图所示，AB=60米、BC=70米、CD=40米、AD=30米，并且已知∠ADC=90∘．在其外围拟建一条步道，使得此步道的外缘距离建筑物之最近距离都保持5米．请问沿着此步道之外缘绕一圈共需走多少米？（取【答案】

229.25【分析】

可知步道可分为直线段与圆弧段，直线段之长度和为60+70+(30-5)+(40-5)=190(米)．而三个圆弧的角度和为360所以三个圆弧段的长度和为2×5×3.14×450∘36038.如图，正方形的边长是2厘米，圆形的半径是1厘米，当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）【答案】

28.56平方厘米．【分析】

扫过的区域如图所示，正方形的边长是2厘米，四个正方形的面积之和是16平方厘米，四个扇形正好可以拼成一个半径为2厘米的圆，圆的面积是12.56平方厘米，最后的结果是28.56平方厘米．39.在下图中，AC为圆O的直径，三角形ABC为等腰直角三角形，其中∠C=90∘．以B为圆心，BC为半径作弧CD交线段AB于D点．若AC=10厘米，试求下图中阴影部分面积之和．（令【答案】

62.5平方厘米【分析】

阴影部分面积为圆加扇形减三角形，阴影面积为：π几何-曲线型几何-扇形-2星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率扇形B1.了解扇形的特征和有关概念

2.能够通过圆的面积和周长公式推导出扇形的面积和弧长公式

3.能够运用公式计算扇形的弧长、面积和周长少考知识提要扇形概念

圆上两点之间的部分叫做弧。

扇形是指一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

其中，圆的半径也称为扇形的半径，而两条半径所形成的夹角称为扇形的圆心角。

公式

扇形的弧长=n360×2πr

扇形的面积=n360πr2

精选例题扇形1.如图，是一个由2个半圆、2个扇形、1个正方形组成的“心型”．已知半圆的直径为10，那么，“心型”的面积是

．（注：π取3.14）【答案】

257【分析】

图中图形面积等于一个正方形加上一个半径为5的圆，再加上一个半径为10的1410×10+2.一个边长为100厘米的正五边形和五个扇形拼成如图的“海螺”，那么这个图形的周长是

厘米（π取3.14）．【答案】

2384【分析】

周长3.半径为10、20、30的三个扇形如下图放置，S2是S1的【答案】

5【分析】

三个扇形的半径比为1:2:3，则面积比为1:4:9，所以答案为(9-4)÷1=5倍．4.如下图所示，已知圆心是O，半径r=9厘米，∠1=∠2=15∘，那么阴影部分的面积是

平方厘米．（【答案】

42.39【分析】

因为圆的半径都相等，于是OA=OB．在等腰三角形AOB中两个底角都是15∘．又知道三角形内角之和是180∘，所以，三角形AOB的顶角∠AOB=180∘-(15∘+155.分别以一个边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以2厘米为半径画弧，得到下图．那么，阴影图形的周长是

厘米．（π取3.14）【答案】

12.56【分析】

图形周长由6段弧组成，每段弧对应的圆心角为60∘2×3.14×2=12.56(厘米)6.如图，分别以长方形的一条长边的两个顶点为圆心，以长方形的宽为半径作14圆，若图中的两个阴影部分的面积相等，则此长方形的长与宽的比值是

【答案】

π:2【分析】

因为S2=SS与长方形面积相等．所以设长为a，宽为b，1πb=2a,a:b=π:2.7.下图中，两个圆心角是90∘的扇形盖在大圆上，小圆盖在两个扇形上，它们的圆心都在同一点．如果小圆、大圆、扇形的半径比是1:3:4，那么阴影图形面积占整个图形面积的

%【答案】

32【分析】

设大圆、小圆、扇形的半径分别是r、3r、4r．整个商标的面积是1阴影部分的面积是1所以，阴影图形面积占整个商标图形的面积的48.如图，△ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米．现在以C点为圆心，把三角形ABC顺时针转90度，那么，AB边在旋转时所扫过的面积是

平方米．（π≈3.14【答案】

0.6775【分析】

如图，顺时针旋转后，A点沿弧AAʹ转到Aʹ点，B点沿弧BBʹ转到Bʹ点，D点沿弧DDʹ转到Dʹ点．因为CD是C点到AB的最短线段，所以AB扫过的面积就是图中的弧AʹAB与BDDʹAʹ之间的阴影图形．SSS所以，S我们推知S9.如图，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边A，B，C，D处各有一根木桩，且AB=BC=CD=3米．现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上（不计打结处）．为使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在

处的木桩上． 【答案】

C【分析】

在A点时活动区域的面积是一个半径为4米的半圆，即1 在B、D点时活动区域的面积都是一个半径为4米的半圆加一个14半径为11 在C点时活动区域的面积是34个半径为43 综上所述，拴在C处的木桩上时活动范围最大．10.如下图所示，平行四边形的长边是6，短边是3，高为2.6，则阴影部分的面积为

．（π取3.14）【答案】

15.9【分析】

根据容斥的思想，阴影的一半所以阴影面积为：111.如图，分别以B，C为圆心的两个半圆的半径都是1厘米，则阴影部分的周长是

厘米．（π取3）【答案】

3【分析】

BE，BC，CE均为圆的半径，所以△BCE等边三角形，每个角均为60度，所以阴影部分的两段圆弧均为60度的扇形所对应的圆弧，所以周长为6012.如下图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，AC=CD=DB，M是CD的中点，H是弦CD的中点．若N是OB上一点，半圆的面积等于 【答案】

2【分析】

连接OC、OD、OH，由于C、D是半圆的两个三等分点M是CD的中点，H是弦CD的中点，可见这个图形是对称的．由对称性可知CD与AB平行，由此可得：△CHN的面积与△CHO的面积相等，所以，阴影部分面积等于扇形COD面积的一半，而扇形COD的面积又等于半圆面积的13，所以，阴影部分面积等于半圆面积的16，为13.如下图所示，ABCD是边长为10厘米的正方形，且AB是半圆的直径，则阴影部分的面积是

平方厘米．（π取3.14）【答案】

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