第3章 整式的乘除单元检测卷 单元试卷 2024-2025学年浙教版数学七年级下册

第3章整式的乘除一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列运算正确的是（）A．（ab3）2＝a2b6 B．3a+3b＝9ab C．2（a+5）＝2a+5 D．a3•a2＝a62．（3分）计算：a3b（a﹣1b）﹣2＝（）A．ab﹣1 B．a5b C．a5b D．a23．（3分）已知n﹣m＝3，则2m÷2n的值为（）A．18 B．8 C．﹣8 D．4．（3分）若2n+2A．8 B．7 C．6 D．55．（3分）对于实数a，b，整式P，Q，规定整式的运算：P⊕Q＝aP+bQ，n⊙P=P⊕P⊕⋯⊕P︸n个P．当n≠1时，若对于n⊙P＝P始终成立，则aA．a＝b B．ab＝0 C．a+b＝0 D．a+b＝16．（3分）如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．727．（3分）若（x+m）与（x+5）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A．﹣5 B．5 C．0 D．±58．（3分）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）．A．a＝2b B．a＝3b C．a＝3.5b D．a＝4b9．（3分）若n为整数，则代数式（3n+3）（n+3）﹣6的值一定可以（）A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除10．（3分）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．255024 B．255054 C．255064 D．250554二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）填空：8x2y•＝﹣24x3y3．12．（3分）计算：20252﹣4050×2023+20232＝．13．（3分）如果x+y＝﹣6，xy＝8，那么x2+y2＝，14．（3分）当x＝1时，ax+b+1的值为﹣2，则（a+b+1）（1﹣a﹣b）的值为．15．（3分）如图，为了绿化校园，某校准备在一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道，则草坪的面积是．16．（3分）计算：20152三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）计算：（1）(1（2）x4•x8+3（x6）2+（2x4）3．18．（8分）先化简，再求值：（a﹣2b）2+（b﹣3a）（b+3a）﹣2（a﹣4b）（a+b），其中a＝﹣1，b=119．（8分）在数学研究活动中，老师给学生们布置了一些有趣的数学题目．小明和小红是研究活动中的积极成员，他们决定一起讨论并解决这些问题．请你帮助他们完成这些计算．（1）小明在活动中遇到了一道题目：已知2x＝5，2y＝9，求22x﹣y的值．请你帮助小明解答这个问题．（2）小红在活动中也遇到了一道题目：已知（x+y）2＝16；（x﹣y）2＝6，求x2+6xy+y2的值．请你帮助小红解答这个问题．20．（8分）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在虚框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）＝；（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长方形，可得到恒等式；（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个相同形状的长方形的两条邻边长（x＞y），观察图案，指出以下正确的关系式（填写选项）．A．xy=m2−n24B．x+y＝mC．x2﹣y2＝mnD．21．（8分）已知：整式A＝2t+3，B＝2t﹣3，t为任意有理数．（1）A•B+13的值可能为负数吗？请说明理由；（2）请通过计算说明：当t是整数时，A2﹣B2的值一定能被24整除．22．（10分）观察下列图形及图形所对应的等式，探究图形阴影部分的面积变化与对应等式的规律，并解答下列问题：22﹣12＝2×1+1×1；32﹣22＝3×1+2×1；42﹣32＝4×1+3×1；52﹣42＝．（1）补全第四个等式，并直接写出第n个图对应的等式；（2）计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+⋯+992﹣1002．（3）若x是正整数，且（x+2）2﹣2025＝（x+1）2，求x的值．23．（10分）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形空地修建雕像，其余部分铺设草坪（阴影部分）．（1）求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示）（2）若a、b满足（x+2）（x+3）＝x2+ax+b时，草坪的单价为每平方米50元．求购买草坪所需要的总费用．24．（12分）定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝，D（16）＝．（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（qp）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p根据运算性质，计算：①若D（a）＝1，求D（a3）；②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（53），D（108），D（2720）的值（用a、b、

第3章整式的乘除参考答案与试题解析题号12345678910答案ACADDCABCA一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列运算正确的是（）A．（ab3）2＝a2b6 B．3a+3b＝9ab C．2（a+5）＝2a+5 D．a3•a2＝a6【解答】解：A．（ab3）2＝a2b6，故本选项符合题意；B.3a+3b不能合并同类项，故本选项不符合题意；C.2（a+5）＝2a+10，故本选项不符合题意；D.5a3•a2＝a5，故本选项不符合题意．故选：A．2．（3分）计算：a3b（a﹣1b）﹣2＝（）A．ab﹣1 B．a5b C．a5b D．a2【解答】解：a3b（a﹣1b）﹣2＝a3b•a2b﹣2＝a5b﹣1=a故选：C．3．（3分）已知n﹣m＝3，则2m÷2n的值为（）A．18 B．8 C．﹣8 D．【解答】解：原式＝2m﹣n＝2﹣3=1故选：A．4．（3分）若2n+2A．8 B．7 C．6 D．5【解答】解：根据已知，得8×2n＝28，∴23+n＝28，∴3+n＝8，∴n＝5．故选：D．5．（3分）对于实数a，b，整式P，Q，规定整式的运算：P⊕Q＝aP+bQ，n⊙P=P⊕P⊕⋯⊕P︸n个P．当n≠1时，若对于n⊙P＝P始终成立，则aA．a＝b B．ab＝0 C．a+b＝0 D．a+b＝1【解答】解：由题意得n⊙P＝（an+b）P，∵当n≠1时，若对于n⊙P＝P始终成立，∴n≠1，an+b＝1，∴b＝1，a＝0，∴a+b＝0+1＝1．故选：D．6．（3分）如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．72【解答】解：如图，设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，则a2﹣b2＝72，S阴影部分＝S△EDG+S△BDG=12DG•CE+1=12b（a﹣b）+12a（=12（a﹣b）（a+=12（a2﹣b=1＝36．故选：C．7．（3分）若（x+m）与（x+5）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A．﹣5 B．5 C．0 D．±5【解答】解：由题意得：（x+m）（x+5）＝x2+5x+mx+5m＝x2+（5+m）x+5m，由条件可知5+m＝0，解得：m＝﹣5．故选：A．8．（3分）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）．A．a＝2b B．a＝3b C．a＝3.5b D．a＝4b【解答】解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝4b+PC，∴AE+a＝4b+PC，即AE﹣PC＝4b﹣a，∴阴影部分面积之差S＝AE•AF﹣PC•a＝3bAE﹣aPC＝3b（PC+4b﹣a）﹣aPC＝（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab，则3b﹣a＝0，即a＝3b．故选：B．9．（3分）若n为整数，则代数式（3n+3）（n+3）﹣6的值一定可以（）A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除【解答】解：原式＝3n2+12n+9﹣6＝3n2+12n+3＝3（n2+4n+1），∴该代数式的值一定可以被3整除．故选：C．10．（3分）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．255024 B．255054 C．255064 D．250554【解答】解：设相邻的两奇数分别为2n+1，2n﹣1（n≥1，且n为正整数），（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，根据题意得：8n≤2017，∴n≤25218∴n最大为252，此时2n+1＝505，2n﹣1＝503，∴32﹣12+52﹣32+...+5032﹣5012+5052﹣5032＝5052﹣12＝255024．故选：A．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）填空：8x2y•（﹣3xy2）＝﹣24x3y3．【解答】解：根据题意得，﹣24x3y3÷8x2y＝﹣3xy2，故答案为：（﹣3xy2）．12．（3分）计算：20252﹣4050×2023+20232＝4．【解答】解：原式＝20252﹣2×2025×2023+20232＝（2025﹣2023）2＝22＝4．故答案为：4．13．（3分）如果x+y＝﹣6，xy＝8，那么x2+y2＝20，【解答】解：∵x+y＝﹣6，xy＝8，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝36﹣16＝20．故答案为：20．14．（3分）当x＝1时，ax+b+1的值为﹣2，则（a+b+1）（1﹣a﹣b）的值为﹣8．【解答】解：∵当x＝1时，ax+b+1的值为﹣2，∴a+b+1＝﹣2，∴a+b＝﹣2﹣1，∴a+b＝﹣3，∴（a+b+1）（1﹣a﹣b）＝[（a+b）+1][1﹣（a+b）]＝（﹣3+1）×[1﹣（﹣3）]＝（﹣2）×（1+3）＝（﹣2）×4＝﹣8，故答案为：﹣8．15．（3分）如图，为了绿化校园，某校准备在一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道，则草坪的面积是（3a2+ab﹣2b2）平方米．【解答】解：（3a﹣b﹣b）（a+2b﹣b）＝3a2+ab﹣2b2（平方米）；故答案为：（3a2+ab﹣2b2）平方米．16．（3分）计算：201522014【解答】解：201=201=201=201=1故答案为：12三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）计算：（1）(1（2）x4•x8+3（x6）2+（2x4）3．【解答】解：（1）(＝2﹣1+5=5（2）x4•x8+3（x6）2+（2x4）3＝x12+3x12+8x12＝12x12．18．（8分）先化简，再求值：（a﹣2b）2+（b﹣3a）（b+3a）﹣2（a﹣4b）（a+b），其中a＝﹣1，b=1【解答】解：原式＝a2﹣4ab+4b2+b2﹣9a2﹣2（a2﹣3ab﹣4b2）＝a2﹣4ab+4b2+b2﹣9a2﹣2a2+6ab+8b2＝﹣10a2+2ab+13b2；当a＝﹣1，b=1原式＝﹣10×（﹣1）2+2×（﹣1）×12+13×（＝﹣10×1﹣1+13×＝﹣10﹣1+=−3119．（8分）在数学研究活动中，老师给学生们布置了一些有趣的数学题目．小明和小红是研究活动中的积极成员，他们决定一起讨论并解决这些问题．请你帮助他们完成这些计算．（1）小明在活动中遇到了一道题目：已知2x＝5，2y＝9，求22x﹣y的值．请你帮助小明解答这个问题．（2）小红在活动中也遇到了一道题目：已知（x+y）2＝16；（x﹣y）2＝6，求x2+6xy+y2的值．请你帮助小红解答这个问题．【解答】解：（1）∵2x＝5，2y＝9，∴22x﹣y＝22x÷2y＝（2x）2÷2y＝52÷9=25（2）∵（x+y）2＝16；（x﹣y）2＝6，∴x2+2xy+y2＝16①，x2﹣2xy+y2＝6②，①+②，得2x2+2y2＝22，∴x2+y2＝11，①﹣②，得4xy＝10，∴xy=5∴x2+6xy+y2＝11+6×520．（8分）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在虚框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长方形，可得到恒等式a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b）；（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个相同形状的长方形的两条邻边长（x＞y），观察图案，指出以下正确的关系式A、B、C、D（填写选项）．A．xy=m2−n24B．x+y＝mC．x2﹣y2＝mnD．【解答】解：（1）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，故答案为：2a2+5ab+2b2；拼图如图所示：（2）a2+5ab+6b2即用A型的1张，B型的5张，C型的6张，可以拼成如图所示的图形，因此可得等式：a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b），故答案为：a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b）；（3）由图③可知，m＝x+y，n＝x﹣y，因此有m+n＝2x，m﹣n＝2y，mn＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2；m2−m2+n22=故答案为：A、B、C、D．21．（8分）已知：整式A＝2t+3，B＝2t﹣3，t为任意有理数．（1）A•B+13的值可能为负数吗？请说明理由；（2）请通过计算说明：当t是整数时，A2﹣B2的值一定能被24整除．【解答】（1）解：A•B+13的值不可能为负数，理由如下：∵A•B+13＝（2t+3）（2t﹣3）+13＝4t2﹣9+13＝4t2+4，∴4t2≥0，∴4t2+4＞0∴A•B+13的值不可能为负数；（2）证明：A2﹣B2＝（2t+3）2﹣（2t﹣3）2＝24t，∵t是整数，∴24t一定能被24整除，∴当t是整数时，A2﹣B2的值一定能被24整除．22．（10分）观察下列图形及图形所对应的等式，探究图形阴影部分的面积变化与对应等式的规律，并解答下列问题：22﹣12＝2×1+1×1；32﹣22＝3×1+2×1；42﹣32＝4×1+3×1；52﹣42＝5×1+4×1．（1）补全第四个等式，并直接写出第n个图对应的等式；（2）计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+⋯+992﹣1002．（3）若x是正整数，且（x+2）2﹣2025＝（x+1）2，求x的值．【解答】解：（1）根据题意得：第四个等式：52﹣42＝5×1+4×1，第n个图对应的等式：（n+1）2﹣n2＝（n+1）×1+n×1．故答案为：5×1+4×1，（2）12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+992﹣1002＝﹣（22﹣12+42﹣32+…+1002﹣992）＝﹣（2×1+1×1+4×1+3×1+…+100×1+99×1）＝﹣（2+1+4+3+…+100+99）=−100×(100+1)＝﹣5050．（3）因为x是正整数，（x+2）2﹣2025＝（x+1）2，所以（x+2）2﹣（x+1）2＝2025．所以（x+2）×1+（x+1）×1＝2025，解得x＝1011．即x的值为1011．23．（10分）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形空地修建雕像，其余部分铺设草坪（阴影部分）．（1）求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示）（