江苏省连云港市赣榆高级中学等校2024-2025学年高一下学期3月学情检测数学试题（原卷版+解析版）

2024~2025学年第二学期高一年级3月学情检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A B. C. D.2.已知两个向量，，若，则x的值为（）A. B. C. D.3.已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）A. B. C. D.4.在中，“”是“为钝角三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知，且，则等于（）A. B. C. D.6.已知，则（）A.1 B. C. D.27.如图，在中，，，，边上的两条中线于点，则（）A. B. C. D.8.在平面直角坐标系中，，若点是线段上动点，设，则的最大值为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列说法中错误的是（）A.若为单位向量，则B.若，则C.两个非零向量，若，则D.若，则10.已知，则（）A. B.C. D.11.正方形的边长为2，在上，且，如图，点是以为直径的半圆上任意一点，，则（）A.最大值为 B.最大值为1C.最大值是 D.的最大值为三、填空题：本题共3小题，共15分．12.已知平面内两向量，若，则的值为_____________．13.已知，且，则的值为_____________．14.如图，在中，，分别是直线上的点，，且，则_____________．若是线段上的一个动点，则的取值范围是_____________．四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知，其中是夹角为的单位向量．（1）当，求与夹角的余弦值；（2）若与夹角为钝角，求的取值范围．16.已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．17.如图，、是单位圆上相异两定点（为圆心），且（为锐角）．点为单位圆上的动点，线段交线段于点．（1）求（结果用表示）；（2）若，求的取值范围．18设函数．（1）当时，求函数的最小值并求出对应的；（2）在中，角对边分别为，若，且，求周长的取值范围．19.设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”.（1）设函数，求的“相伴向量”；（2）记的“相伴函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；（3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当点M运动时，求的取值范围.

2024~2025学年第二学期高一年级3月学情检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式以及逆用两角和的正弦公式求解.【详解】.故选:D2.已知两个向量，，若，则x的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示分析运算.【详解】若，则，解得.故选：A.3.已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：.A：因为，所以本选项不符合题意；B：因为，所以本选项不符合题意；C：因，所以本选项不符合题意；D：因为，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.4.在中，“”是“为钝角三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理可知时，为钝角，推得充分性成立；举反例推得必要性不成立，从而得解.【详解】充分性：当时，，又，所以是以为钝角的钝角三角形；必要性：当为钝角三角形时，取，则，又，故为钝角，但不成立，故不满足必要性.所以“”是“为钝角三角形”的充分不必要条件.故选：A5.已知，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平方关系由结合已知角的范围求出的值，再代入二倍角公式和和角公式计算即可.【详解】因为，所以，所以.因为，所以，所以.则.故选：A.6.已知，则（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根据，即可利用二倍角公式以及和差角公式化简求解.【详解】由可得，故选：C7.如图，在中，，，，边上的两条中线于点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】观察图象知与的夹角的大小相等，结合向量夹角余弦公式可得结论.【详解】因为，所以为直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则有，，，又D，E分别为BC，AB中点，所以，，故，，所以，故选：D．8.在平面直角坐标系中，，若点是线段上的动点，设，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的数量积运算求得，由数量积坐标表示得出，然后利用两角和的正弦公式及正弦函数的性质得最大值．【详解】由已知，∵，且，∴，∵为线段AB上的动点，则，，∵，，则．所以，其中，且为锐角，则，所以时，的最大值为，故选：B．二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列说法中错误的是（）A.若为单位向量，则B.若，则C.两个非零向量，若，则D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】A项，单位向量的方向不一定相同；B项，向量性质判断；C项，两边平方展开化简可得；D项，特殊向量的数量积计算求解.【详解】选项A，由为单位向量，即，而方向不一定相同，故A错误；选项B，向量不能比较大小，故B错误；选项C，由，得，即，整理得，又因为两个非零向量，所以，故C正确；选项D，当时，则不一定成立，故D正确；故选：ABD.10.已知，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系式，结合角的变换公式，即可求解.【详解】对于A，因为，则，所以，故A正确；对于B，因为，则，所以，故B错误；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，因为，则，故D错误.故选：AC.11.正方形的边长为2，在上，且，如图，点是以为直径的半圆上任意一点，，则（）A.最大值为 B.最大值为1C.最大值是 D.的最大值为【答案】BC【解析】【分析】根据题设条件，建立平面直角坐标系，把数量积问题转化为坐标运算来解决，结合三角函数的性质即可对选项进行判定.【详解】以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图，，，，，，设，，则，，，由，得，则，解得，对于A，，其中锐角由确定，，则当时，，A错误；对于B，，，当且仅当时取等号，B正确；对于C，，其中锐角由确定，，则当时，取得最大值，C正确；对于D，，则，而，当时，取得最大值为，D错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，共15分．12.已知平面内两向量，若，则的值为_____________．【答案】##【解析】【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值.【详解】由于，又向量，所以，所以.故答案为：13.已知，且，则的值为_____________．【答案】【解析】【分析】由已知，求得，得，可得，进而求得，，由，利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】因为，所以，所以，所以，因为，所以，又，则，所以，所以，，所以.故答案：.14.如图，在中，，分别是直线上的点，，且，则_____________．若是线段上的一个动点，则的取值范围是_____________．【答案】①.②.【解析】【分析】第一空，根据向量的线性运算以及向量基本定理，将转化为之间的运算，即可求得答案；第二空，设，，根据数量积的运算律，化简为之间的相关运算，结合二次函数的性质，即可求得答案.【详解】∵，，∴，，∵，又，，∴，解得，∵，∴．设，，∴，，∴当时，有最小值，最小值为，当时，有最大值，最大值为，故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知，其中是夹角为的单位向量．（1）当，求与夹角的余弦值；（2）若与夹角为钝角，求的取值范围．【答案】（1）（2）且【解析】【分析】（1）根据向量夹角公式即可求得答案；（2）若与的夹角为钝角，则且不共线，即可解得的取值范围．【小问1详解】由已知，，是夹角为的单位向量，所以，又，则，所以，又，所以．【小问2详解】若与的夹角为钝角，则且不共线，所以，且，，且，所以且．16.已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由于，所以代值求解即可；（2）由求出的值，从而可求出的值，而，进而可求得结果【详解】（1）（2）因为为锐角，所以，，又，所以，，又，所以因，所以.17.如图，、是单位圆上的相异两定点（为圆心），且（为锐角）．点为单位圆上的动点，线段交线段于点．（1）求（结果用表示）；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的数量积运算法则，结合转化法即可得解；（2）设，利用向量的数量积运算法则，结合三角恒等变换将所求转化为关于的表达式，结合三角函数值域从而得解；【小问1详解】；【小问2详解】当时，，．设，由条件知：，∴，∵，则，∴，∴.18.设函数．（1）当时，求函数的最小值并求出对应的；（2）在中，角的对边分别为，若，且，求周长的取值范围．【答案】（1）当时，函数取到最小值为（2）【解析】【分析】（1）先对函数化简，得到，再利用函数的图像与性质即可求出结果.（2）利用（1）中条件求出角，再利用余弦定理建立方程，再利用基本不等式和三角形任何两边之和大于第三边，即可求得周长的范围.【小问1详解】因为，因为，所以，由的图象与性质知，当，即时，函数取到最小值为，即当时，函数的最小值为，此时．【小问2详解】因为，由（1）得到，，即，又在中，则，所以，即，又，由余弦定理，得到，又由基本不等式知，，当且仅当取等号，所以，则，又因为，所以，所以周长的取值范围为．19.设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”.（1）设函数，求的“相伴向量”；（2）记的“相伴函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；（3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当点M运动时，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】