高中数学 第一章 相似三角形的判定及有关性 1.3.1 相似三角形的判定（1）教学实录 新人教A版选修4-1

高中数学第一章相似三角形的判定及有关性1.3.1相似三角形的判定（1）教学实录新人教A版选修4-1学校授课教师课时授课班级授课地点教具教材分析高中数学第一章相似三角形的判定及有关性1.3.1相似三角形的判定（1）教学实录新人教A版选修4-1。本节课围绕相似三角形的判定条件展开，通过几何图形的直观演示和逻辑推理，引导学生掌握相似三角形的判定方法。课程内容紧密联系课本，以实际应用为背景，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。核心素养目标学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在进入本节课之前，已经学习了基本的几何知识，包括三角形的基本性质、全等三角形的判定和性质等。这些知识为本节课的相似三角形判定奠定了基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高中学生对几何学通常有较高的兴趣，尤其是与图形直观和空间想象相关的部分。他们的学习能力各异，部分学生可能具有较强的逻辑推理能力，而另一些学生可能更擅长通过图形直观理解概念。学习风格上，有的学生偏好通过动手操作和观察来学习，有的则更倾向于通过抽象思维和逻辑推导。

3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在学习相似三角形的判定时，可能会遇到以下困难：一是对几何图形的直观理解不足，难以从图形中抽象出相似的条件；二是逻辑推理能力不足，难以从已知条件推导出相似三角形的判定方法；三是空间想象能力有限，难以在空间中构造出满足相似条件的三角形。针对这些困难，教师需要通过多种教学策略帮助学生克服。教学方法与策略1.采用讲授法结合实例分析，帮助学生理解相似三角形判定的理论依据。

2.设计小组讨论环节，让学生通过合作探究，共同解决问题，提高逻辑思维能力。

3.利用多媒体展示几何图形，增强学生对相似三角形直观理解，并通过动画演示相似三角形判定过程。

4.结合实际生活中的案例，引导学生运用所学知识解决实际问题，提升应用能力。教学过程（一）导入新课

同学们，我们之前学习了三角形的相关知识，特别是全等三角形的判定，今天我们要继续探讨三角形的世界，进入一个新的主题——相似三角形。请大家打开课本，翻到第一章，我们一起看看相似三角形有哪些特别的性质。

（二）新课讲授

1.相似三角形的定义

同学们，我们先来回顾一下相似三角形的定义。当两个三角形的对应角相等，且对应边成比例时，这两个三角形就是相似三角形。现在，请大家拿出一张纸，画出两个相似的三角形，并标出它们的对应角和对应边。

2.相似三角形的判定方法

-角角相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。

-边边边相似定理：如果两个三角形的对应边长成比例，那么这两个三角形相似。

-边角边相似定理：如果两个三角形的两角和一边分别相等，那么这两个三角形相似。

请大家跟随课本上的例题，尝试用这些判定方法来判断三角形的相似性。

3.实例分析

现在，我们来看几个具体的例子，通过分析这些例子，加深对相似三角形判定方法的理解。

-例题1：已知三角形ABC和三角形DEF，∠A=∠D，∠B=∠E，求证：三角形ABC∽三角形DEF。

-例题2：已知三角形ABC，AB=5cm，BC=8cm，AC=10cm；三角形DEF，DE=4cm，EF=6cm，DF=8cm。求证：三角形ABC∽三角形DEF。

请大家独立完成这两个例题，并在完成后与同桌讨论。

4.小组讨论与展示

现在，我们将分组进行讨论，每组选取一个例题进行证明，并在全班展示。在展示过程中，我会请其他同学提问和点评。

5.拓展与应用

同学们，我们已经学习了相似三角形的判定方法，接下来让我们来探讨一下相似三角形在实际生活中的应用。

-例题3：一个长方形的长是宽的2倍，长方形的对角线长度是多少？

-例题4：一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为12cm，求该三角形的面积。

请大家尝试解决这两个问题，并在小组内讨论。

（三）巩固练习

为了检验大家对本节课内容的掌握情况，我们将进行一些巩固练习。

1.判断题：如果两个三角形的两个角相等，那么这两个三角形一定相似。（）

2.单选题：下列哪组对应边满足边角边相似定理？（）

A.2,4,6

B.3,5,7

C.4,6,8

D.5,7,9

请大家完成这两个练习，并相互检查。

（四）总结与反思

今天我们学习了相似三角形的判定方法，并通过实例和练习加深了对这些方法的理解。希望大家能够将所学知识应用到实际问题中，提高解决实际问题的能力。

（五）布置作业

1.复习本节课所学内容，完成课本上的课后练习题。

2.思考：相似三角形在生活中有哪些应用？

同学们，今天的课程就到这里，希望大家能够认真完成作业，巩固所学知识。下课！教学资源拓展1.拓展资源：

-相似三角形的实际应用：介绍相似三角形在工程、建筑设计、摄影、天文等领域中的应用实例。例如，在建筑设计中，相似三角形的原理被用来设计建筑的比例，以确保视觉上的和谐与美观。

-相似三角形与比例：探讨相似三角形与比例之间的关系，包括相似三角形如何帮助我们计算比例，以及比例在几何学中的应用。

-相似三角形的证明方法：深入研究不同的相似三角形证明方法，如平行线定理、内角和定理、三角形中位线定理等，以及这些方法在实际问题中的应用。

2.拓展建议：

-学生可以通过阅读相关的科普书籍或杂志，了解相似三角形在实际生活中的应用，例如《数学与建筑》或《数学与摄影》等。

-鼓励学生参与数学竞赛或挑战题目的解决，如“美国数学竞赛”或“国际数学奥林匹克竞赛”，这些竞赛经常包含相似三角形的题目。

-建议学生尝试使用几何软件，如Geogebra或GeoGebra，来直观地探索相似三角形的性质，通过软件的动态演示来加深理解。

-学生可以尝试制作一个几何模型，比如使用纸板和剪刀来剪出不同大小的相似三角形，通过实际操作来感受相似三角形的比例关系。

-在家中，学生可以观察家庭物品中的相似三角形，比如电视屏幕与遥控器、家具的尺寸比例等，尝试使用相似三角形的原理来解释这些比例。

-学生可以参与小组项目，例如设计一个具有特定比例的模型，如一个长方体或正方体，并在小组内讨论如何使用相似三角形的原理来确保模型的比例正确。

-鼓励学生进行实验，例如使用不同长度的线段来构建相似三角形，观察当一条边固定时，其他边如何变化，以及这些变化如何影响三角形的相似性。

-学生可以探索相似三角形在艺术作品中的应用，如绘画、雕塑或建筑中，分析艺术家如何利用相似三角形的原理来创造视觉效果。课堂1.课堂评价

在课堂教学中，我将采取多种评价方式来监测学生的学习情况：

-提问：通过随机提问和个别提问，检查学生对相似三角形判定原理的理解程度。我会问学生：“你能说出两个三角形相似必须满足哪些条件吗？”来评估他们对定义的掌握。

-观察：在小组讨论和合作学习活动中，我会注意观察学生的参与程度、交流互动和解决问题的能力。例如，我会在学生展示解题过程时，观察他们是否能够正确应用判定方法。

-小组活动：通过小组讨论的成果展示，我能够评估学生之间的沟通和团队合作能力。我会关注小组是否能够共同解决复杂的问题，如证明两个三角形相似。

-测试：在课程的结尾，我会进行简短的课堂测试，包括选择题和填空题，以评估学生对相似三角形判定方法和相关定理的记忆和理解。

-反馈：对于学生在课堂上的表现，我会提供即时的正面反馈和改进建议，帮助他们识别自己的强项和需要提升的领域。

2.作业评价

作业是评价学生学习效果的重要手段，以下是我对作业评价的具体做法：

-批改标准：我会根据作业中的错误类型和频率来设定批改标准，确保评价的公平性和一致性。

-详细点评：对于每份作业，我都会给出详细的批改意见，包括正确的步骤、错误的原因以及如何改进的建议。

-及时反馈：我会尽量在学生提交作业后的24小时内给出反馈，以便学生能够及时了解自己的学习成果，并在必要时进行调整。

-个别辅导：对于作业中表现不佳的学生，我会提供个别辅导，帮助他们理解概念和解决问题的方法。

-家长沟通：如果学生的作业表现不佳，我会与家长沟通，共同探讨学生的学习问题，并寻求家长的支持和配合。

3.总结性评价

课程结束后，我会进行总结性评价，包括以下内容：

-课堂表现：根据课堂提问、小组讨论和课堂测试的结果，评估学生的整体表现。

-作业完成情况：总结学生在作业中的进步和存在的问题，提供个性化的学习建议。

-自我评估：鼓励学生进行自我评估，让他们反思自己在学习过程中的表现，设定新的学习目标。典型例题讲解例题1：已知三角形ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=10cm，求AC和BC的长度。

解答：

由三角形内角和定理，∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°。

在△ABC中，由正弦定理，得

AC/sin75°=AB/sin45°，

因此，AC=AB*sin75°/sin45°≈10*1.0355/0.7071≈14.8cm。

同理，BC=AB*sin60°/sin45°≈10*0.8660/0.7071≈12.3cm。

例题2：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，且AD=6cm，求BC的长度。

解答：

由于AD是高，它将底边BC平分，因此BD=DC。

在直角三角形ABD中，AB=AC，AD=6cm，我们可以使用勾股定理来求AB的长度：

AB²=AD²+BD²，

AB²=6²+BD²，

AB=√(36+BD²)。

在直角三角形ADC中，AC=AB，AD=6cm，同样使用勾股定理：

AC²=AD²+DC²，

AC²=6²+DC²，

AC=√(36+DC²)。

由于AB=AC，我们有：

√(36+BD²)=√(36+DC²)，

36+BD²=36+DC²，

BD²=DC²。

由于BD=DC，我们知道BD和DC的长度相等，因此BD=DC=6cm。

所以，BC=BD+DC=6cm+6cm=12cm。

例题3：在三角形ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AB=10cm，求BC和AC的长度。

解答：

由三角形内角和定理，∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-45°=105°。

在直角三角形ABD中，AD是高，且∠A=30°，我们可以得出AD是AB的一半，即AD=AB/2=10cm/2=5cm。

在直角三角形ACD中，∠C=105°，AD=5cm，我们可以使用余弦定理来求AC的长度：

AC²=AD²+CD²-2*AD*CD*cos(∠C)，

AC²=5²+CD²-2*5*CD*cos(105°)，

AC²=25+CD²+10*CD*(-0.259)，

AC²=25+CD²-2.59*CD。

在直角三角形BCE中，∠B=45°，CD是BC的一半，因此CD=BC/√2。

将CD的表达式代入AC²的方程中，得：

AC²=25+(BC/√2)²-2.59*(BC/√2)，

AC²=25+BC²/2-2.59*BC/√2。

由于∠A=30°，∠B=45°，∠C=105°，我们可以得出BC是AC的√3倍，即BC=√3*AC。

将BC的表达式代入AC²的方程中，得：

AC²=25+(√3*AC)²/2-2.59*(√3*AC)/√2，

AC²=25+3*AC²/2-2.59*√3*AC/√2。

现在我们有一个关于AC的方程，我们可以解这个方程来找到AC的长度：

AC²-3*AC²/2+2.59*√3*AC/√2=25，

AC²/2-2.59*√3*AC/√2=25，

AC²-5.18*√3*AC=50。

这是一个二次方程，我们可以使用配方法或者求根公式来解它。这里我们使用求根公式：

AC=[5.18*√3±√((5.18*√3)²+4*50)]/2，

AC=[5.18*√3±√(26.9049*3+200)]/2，

AC=[5.18*√3±√(80.5147+200)]/2，

AC=[5.18*√3±√280.5147]/2，

AC=[5.18*√3±16.75]/2。

我们只取正数解，因为长度不能为负：

AC=(5.18*√3+16.75)/2≈12.9cm。

由于BC=√3*AC，我们可以得出BC的长度：

BC≈√3*12.9≈22.5cm。

例题4：在三角形ABC中，∠A=30°，∠B=90°，AB=8cm，AC=6cm，求BC的长度。

解答：

在直角三角形ABC中，∠B=90°，∠A=30°，根据30°-60°-90°三角形的性质，我们知道AB是斜边，AC是较短的直角边，BC是另一条直角边，且BC是AC的两倍。

因此，BC=2*AC=2*6cm=12cm。

例题5：在三角形ABC中，∠A=45°，∠B=45°，AB=10cm，求BC和AC的长度。

解答：

由于∠A=∠B=45°，三角形ABC是一个等腰直角三角形。在等腰直角三角形中，斜边是两个直角边的√2倍。

因此，AC=BC=AB/√2=10cm/√2≈7.07cm。内容逻辑关系①本文重点知识点：

-相似三角形的定义：两个三角形的对应角相等，且对应边成比例。

-相似三角形的判定方法：角角相似定理、边边边相似定理、边角边相似定理。