专题5.1 导数的概念及其意义（9类必考点）（人教A版2019选择性必修第二册）（原卷版）-1

专题5.1导数的概念及其意义TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【知识梳理】 1【考点1：变化率问题】 3【考点2：导数的定义】 4【考点3：求曲线切线的斜率（倾斜角）】 5【考点4：已知切线（斜率）求参数】 5【考点5：在曲线上一点的切线方程】 6【考点6：过一点的切线方程】 7【考点7：两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 8【考点8：利用导数的几何意义求最值】 9【知识梳理】1．瞬时速度(1)平均速度设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=.(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==.2．抛物线切线的斜率(1)抛物线割线的斜率设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=.(2)抛物线切线的斜率一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==.3．函数的平均变化率函数平均变化率的定义

对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)-f().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率.4．函数在某点处的导数的几何意义(1)切线的定义在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线.(2)函数在某点处的导数的几何意义函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线的斜率，即f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为.5．导函数的定义从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f'()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=.在曲线上一点的切线方程—解题秘籍：①求出切点的坐标②求出函数在点处的导数③得切线方程.过一点的切线方程—解题秘籍：设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴然后解出的值，有几个值，就有几条切线.公切线—解题秘籍：①设切点，②建立切线方程，③代入点到切线方程中，利用此时切点在切线且在曲线上，即同时满足方程：解出切点坐标，从而写出切线方程．利用导数的几何意义求最值—解题秘籍：①两个动点分别在一个函数图象和一条直线上.若两个动点分别在函数和直线上，那么当在点处的切线与直线平行时，到直线的距离.②若两个动点分别在函数和函数上，那么当直线与直线平行时，且与相切，则切点到的距离.【考点1：变化率问题】【知识点：变化率问题】1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）函数在区间上的平均变化率为（

）A．6 B．3 C．2 D．12．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）函数在区间上的平均变化率为（

）A． B． C． D．3．（2025高二下·河南商丘·开学考试）函数从到的平均变化率为（

）A． B． C． D．4．（2025高二·全国·课堂例题）物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（

）A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度5．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示.下列叙述中正确的是（

）A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率6．（2025高二上·全国·课后作业）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（

）A． B．1 C．2 D．【考点2：导数的定义】【知识点：导数的定义】1．（24-25高二上·安徽六安·期末）若函数的导函数存在，且，则（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知函数在处可导，且，则等于（

）A． B． C．1 D．3．（2025高二下·浙江温州·开学考试）若函数满足，则（

）A．1 B．2 C． D．4．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处可导，则（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·江苏镇江·期末）若，则（

）A． B．6 C．3 D．-36．（2025高三·上海·随堂练习）已知函数，其中，(1)求曲线在，，，处的切线的斜率；(2)说明这些斜率值是如何变化的．【考点3：求曲线切线的斜率（倾斜角）】【知识点：求曲线切线的斜率（倾斜角）】1．（2025高二下·全国·课前预习）若函数在处的导数，则曲线在处的切线的倾斜角．2．（24-25高二上·湖南邵阳·期末）已知抛物线上一点，则在点处的切线的倾斜角为（

）A． B． C． D．3．（2025高二下·全国·课后作业）已知函数，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是（

）

A．B．C．D．

4．（2025高二上·江苏·阶段练习）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（

）A． B．C． D．【考点4：已知切线（斜率）求参数】【知识点：已知切线（斜率）求参数】1．（2025·四川·模拟预测）若曲线在点处的切线方程是，则．2．（2025高三上·湖南·阶段练习）曲线的一条切线为，则．3．（24-25高二上·福建三明·期末）若曲线在点处的切线方程是，则．4．（2025高三下·上海宝山·阶段练习）已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为.5．（2025高三下·广东惠州·阶段练习）若直线与曲线相切，则（

）A． B．1 C． D．6．（2025高三上·安徽·阶段练习）已知函数的图象与x轴相切，则a的值为（

）A． B． C． D．【考点5：在曲线上一点的切线方程】【知识点：在曲线上一点的切线方程】1．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．2．（2025高二上·全国·课后作业）已知曲线上一点，求：(1)曲线在点处的切线的斜率；(2)曲线在点处的切线方程.3．（2025高二上·全国·课后作业）已知函数．(1)求曲线上任意一点处的切线斜率；(2)求曲线在点处的切线方程．【考点6：过一点的切线方程】【知识点：过一点的切线方程】1．（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（

）A． B．C．或 D．或2．（2025高二下·河北·开学考试）已知函数（，）的图象过点，且．(1)求，的值；(2)求曲线过点的切线方程．3．（24-25高二上·重庆·期末）已知曲线，(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求过点且与曲线相切的直线方程.【考点7：两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】【知识点：两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】1．（24-25高二上·陕西西安·期末）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（

）A．－4 B．－3 C．4 D．32．（24-25高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（

）A．1 B． C．2 D．33．（24-25高二下·江西·期中）设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（

）A． B．C． D．4．（24-25高二下·湖北·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则（

）．A．26 B．23 C．15 D．115．（2025高三·全国·专题练习）若直线与函数和的图象分别相切于点，则（

）A．2 B． C． D．6．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.7．（24-25高三上·辽宁·期中）已知直线是曲线和的公切线，则的值为.8．（2025高三上·广西南宁·阶段练习）已知曲线与的公切线为，则实数.【考点8：利用导数的几何意义求最值】【知识点：利用导数的几何意义求最值】1．（2025高二下·福建宁德·阶段练习）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．2．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知