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天津市2024-2025学年高一数学下学期第一次月考模拟练习试卷01一、选择题(本题共有9个小题,每小题5分,共45分.每个小题只有一个正确选项,请将答案涂在答题卡相应位置上,答在试卷上的无效)1.设为单位向量,有下列命题:①若为平面内的某个向量,则;②若与平行,则;③若与平行且,则.其中假命题的个数是()A.0 B.1C.2 D.32.关于向量,,,下列命题中正确的是()A.若,则 B.若,,则C.若,则 D.若,则3.已知非零向量,满足,若,则与的夹角为()A. B. C. D.4.设为所在平面内一点,若,则下列关系中正确是A. B.C. D.5.已知向量,,且与的夹角为,则的值为()A. B. C. D.6.已知点是的重心,则()A. B.C. D.7.已知点,,,,若是与方向相同的单位向量,则向量在方向上的投影向量为()A. B. C. D.8.已知正方形的边长为,点满足,则()A.4 B.5 C.6 D.89.如图,在中,,是上一点,若,则实数的值为() B. C. D.填空题(每小题5分,共6个小题,共30分)10.已知复数(i是虚数单位),则的共轭复数是______.11.在平行四边形ABCD中,点P满足,若,则的值是________.12.在中,已知,,,则()A.1 B. C. D.313.在中,角所对的边分别为.已知,则______.15.已知向量满足,与的夹角为,则______;______三、解答题(共3个题,共45分)16.已知向量,,且与共线.(1)求的值;(2)若与垂直,求实数的值.17.已知中,.(1)求;(2)求;(3)求面积.18.设,.(1)求函数的单调增区间;(2)设为锐角三角形,角所对的边,角所对的边.若,求的面积.天津市2024-2025学年高一数学下学期第一次月考模拟试卷01一、选择题(本题共有9个小题,每小题5分,共45分.每个小题只有一个正确选项,请将答案涂在答题卡相应位置上,答在试卷上的无效)1.设为单位向量,有下列命题:①若为平面内的某个向量,则;②若与平行,则;③若与平行且,则.其中假命题的个数是()A.0 B.1C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】由向量的概念一一判定即可.【详解】向量是既有大小又有方向的量,与的模相等,但方向不一定相同,故①是假命题;若与平行,则与的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.故选:D.2.关于向量,,,下列命题中正确的是()A.若,则 B.若,,则C.若,则 D.若,则【答案】C【解析】【分析】利用向量相等、向量共线的条件、向量模的定义,逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】选项A,因为,只说明两向量的模长相等,但方向不一定相同,故选项A错误;选项B,当时,有,,但可以和不平行,故选项B错误;选项C,若,由向量相等的条件知:,故选项C正确;选项D,因向量不能比较大小,只有模长才能比较大小,故选项D错误.故选:C3.已知非零向量,满足,若,则与的夹角为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量垂直,数量积为0,可求得的值,从而求出与的夹角.【详解】因为,所以,则,又,则,所以,又,则与的夹角为.故选:C.4.设为所在平面内一点,若,则下列关系中正确是A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】∵∴−=3(−);∴=−.故选A.5.已知向量,,且与的夹角为,则的值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先表示出,然后根据求解出的值.【详解】因为,,所以,所以,解得或(舍去),故选:B.6.已知点是的重心,则()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角形重心性质,结合平面向量的线性运算,即可求得答案.【详解】设的中点为D,连接,点是的重心,则P在上,且,由此可知A,B,C错误,D正确,故选:D7.已知点,,,,若是与方向相同的单位向量,则向量在方向上的投影向量为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出、的坐标,再求出、,最后根据向量在方向上的投影向量为计算可得.【详解】因为,,,,所以,,所以,,又是与方向相同的单位向量,所以向量在方向上的投影向量为.故选:D8.已知正方形的边长为,点满足,则()A.4 B.5 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系并写出各点坐标,根据题意求相应向量的坐标,再根据数量积的坐标运算进行求解即可.【详解】建立坐标系如图,正方形的边长为2,则,,,可得,点满足,所以.故选:C.9.如图,在中,,是上一点,若,则实数的值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】确定,得到,根据计算得到答案.【详解】,故,则,又是上一点,所以,解得.故选:A.填空题(每小题5分,共6个小题,共30分)10.已知复数(i是虚数单位),则的共轭复数是______.【答案】【解析】【分析】利用复数的四则运算,结合共轭复数的定义即可得解.【详解】因为,所以,,所以,则其共轭复数为.故答案为:.11.在平行四边形ABCD中,点P满足,若,则的值是________.【答案】##【解析】【分析】根据平面向量的基本定理及向量的加、减法法则得出结果.【详解】由得出点P为的中点,在平行四边形ABCD中,,,,所以,,则.故答案为:.12.在中,已知,,,则()A.1 B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程,解方程即可求得边长.【详解】设,结合余弦定理:可得:,即:,解得:(舍去),故.故选:D.13.在中,角所对的边分别为.已知,则______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理,结合大边对大角即可得解.【详解】依题意,由正弦定理,得,所以,因为,则,所以,所以.故答案为:.14.已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件建立坐标系,求出点的坐标,利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可.【详解】建立如图所示的坐标系,以中点为坐标原点,则,,,设,则,,,则当,时,取得最小值,故选:.15.已知向量满足,与的夹角为,则______;______【答案】①.1②.2【解析】【分析】根据给定条件,利用数量积的定义及运算律求解作答.【详解】因为向量满足,与的夹角为,所以,.故答案为:1;2三、解答题(共3个题,共45分)16.已知向量,,且与共线.(1)求的值;(2)若与垂直,求实数的值.【答案】(1),(2).【解析】【分析】(1),然后利用与共线求出答案即可(2)利用数量积相关知识直接计算即可.【详解】(1)因为与共线,所以,解得.(2)由(1)知,所以由与垂直,得,所以,解得.17.已知中,.(1)求;(2)求;(3)求面积.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)由正弦定理求解即可;(2)由余弦定理求解即可;(3)由三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】由正弦定理可得:,即,所以.小问2详解】因为,由余弦定理可得:,即,即,解得:,因为,所以.【小问3详解】的面积.18.设,.(1)求函数的单调增区间;(2)设为锐角三角形,角所对的边,角所对的边.若,求的面
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