难点01 平面向量的综合问题（八大难点+真题精炼）（解析版）-1

难点01平面向量的综合问题热点一平面向量共线定理的推论（需联立）例1．已知中，分别为边上的点，且，.与的交点为，若，则.【答案】【详解】由三点共线，得：，又，所以有，解得.故答案为：.例2．在中，D，E分别是线段BC，AC的中点，，P是直线AD与EF的交点，则．【答案】【详解】因为，所以．因为E是线段AC的中点，所以．因为E，P，F共线，所以．因为D是线段BC的中点，所以．因为A，P，D共线，所以，则解得，故．故答案为：.变式1-1．在中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且，求t的值．【答案】【详解】如图所示：因为，所以，所以，即，所以点P是AB的一个三等分点（靠近A点），又因为A，M，Q三点共线，且Q为BC的中点，设，则，，因为，所以，则，解得，所以t的值是.变式1-2．在△中，已知，，且AD与BC的交点为M，E是OA中点，又直线ME与线段OB交于点F，若，则实数的值为．【答案】【详解】由题设，可得如下示意图，且，且，且，所以，可得，即，所以，可得.故答案为：.变式1-3．平面内有四边形，，且，，，是的中点．（1）试用，表示；（2）上有点，和的交点，，求和．【答案】(1)；(2)【详解】(1)由于M是CD的中点，则；(2)设，则，设，由于不共线，则有，解得.故.共线定理的推论：设是平面内的任意一点，点共线的充要条件是存在唯一实数使得.若线段与线段交于点，则可利用推论得到，然后利用题意将转化成和，然后对应系数相等得到二元一次方程组热点二数量积的最值范围问题例3．是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．-2【答案】B【详解】设的中点为的中点为E则有，则，而而，，故当P与E重合时，有最小值，所以的最小值为，故选：B.例4．如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则，若点为线段（含端点）上的动点，则的最小值为．

【答案】【详解】，，故，，故；点为线段（含端点）上的动点，设，，，，其中，，故当时，取得最小值，最小值为.故答案为：，【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.变式2-1．如图，在等腰直角中，，，为的中点，将线段绕点旋转得到线段设为线段上的点，则的最小值为．【答案】【详解】连接，，，因为，为，的中点，所以四边形为矩形，则，，．设，则，当且仅当时，取等号，所以的最小值为．故答案为：.变式2-2．（多选）正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值可能为（

）A． B． C．12 D．16【答案】ABC【详解】连接与相交于点，由正六边形的几何性质，⊥，，正六边形ABCDEF的边长为2，故，，故，故点在上的投影为，当点与点重合时，此时的投影向量为，与方向相同此时取得最大值，最大值为，故当与重合时，的投影向量为，与方向相反，此时取得最小值，最小值为，故，ABC正确，D错误.故选：ABC变式2-3．在等腰梯形中，，，，．

(1)若与垂直，求的值；(2)若为边上的动点(不包括端点），求的最小值．【答案】(1)(2)【详解】（1）过作于，等腰梯形中易知，又，故可得，如图所示：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，

则，所以，故因为与垂直，所以，解得；（2）设，，则，，则，则，对，其对称轴，故其最小值为，所以的最小值为.平面向量求最值范围的常用方法：1.定义法：先利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题2.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论3.坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解4.数形结合法：结合条件进行向量关系推导，然后利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹，结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围。热点三模的最值范围问题例5．在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的最大值是【答案】/【详解】动点的轨迹为以为圆心的单位圆，则设为，则.等号成立当且仅当，且规定是锐角，.故答案为：.例6．如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【详解】，所以，所以，即，解得..故选：D变式3-1．已知平面非零向量和单位向量，若与的夹角为与的夹角为，则的最小值为．【答案】【详解】，，如图作，

，则，，所以，即，又为单位向量，所以，在中，由正弦定理，则，所以点的轨迹在如图以为圆心，半径为的圆上，由图可知，当且所在直线过圆心点时最小，作于，于，于，则，，则，所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：设，关键能够根据已知条件确定的轨迹为圆，从而当且所在直线过圆心点时最小，即可求解.变式3-2．平面向量满足，且，则的最小值为．【答案】【详解】由，则，设，设，，，因为，所以，设，则表示，而，所以点在线段上，，设，则表示，设点关于的对称点为，则点的坐标为，由图可知的最小为的长，则，则，所以的最小值为，故答案为：．

变式3-3．如图，边长为4的正方形中心与单位圆圆心重合，M，N分别在圆周上，正方形的四条边上运动，则的取值范围是（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，的反向延长线与单位圆交于点，则，，所以，又由题意的最大值是，最小值是2，而在单位圆上，因此的最大值是，最小值是，即所求值域是．故选：B．

热点四夹角的最值范围问题例7．如图在直角梯形中，，，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H.

(1)求向量与夹角的余弦值；(2)若向量，求实数x，y的值；(3)若向量与的夹角为，求的最小值.【答案】(1)(2)，(3)0【详解】（1）易得，且为正三角形，所以，.以点为原点，、分别为、轴正方向建立平面直角坐标系，，得，，所以.

（2），又因为，，三点共线，所以，解得.，，解得，（3）法一：点为中点，因为，所以以为直径的圆与圆外切.因为圆周角大于圆外角，所以的最大值为，即的最小值为0.法二：设，且如（1）所建平面直角坐标系，则，，.当时，取到最小值0，所以的最小值为0.例8．在中，点D满足且，则当角A最大时，cosA的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意得到点的轨迹，利用圆的切线的几何性质求得最大时，的值.【详解】由于，所以在以为直径的圆上（除两点）.所以当直线与圆相切时，最大.当直线与圆相切时，，由于，设，则，.，.故选：C【点睛】本题的关键条件为“”，由此可以判断出点的轨迹，从而可结合圆的切线的几何性质来进行求解.变式4-1．已知是平面向量，满足，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，，由题意，知B在以O为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，由，知B在以A为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示则B只能在阴影部分区域，要最小，则应最大，此时.故选：B.【点睛】本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题.变式4-2．已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，所以，又因为O为的外心，所以为直角三角形且，O为斜边BC的中点，过作的垂线，垂足为，因为在上的投影向量为，所以在上的投影向量为，又因为，所以，因为，所以，即的取值范围为．故选：D.

变式4-3．已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，即，；，即，；设向量与所成夹角为，（当且仅当时取等号）；又，.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查向量夹角最值的求解问题，解题关键是能根据向量夹角的计算公式，将向量夹角的余弦值表示为关于的函数的形式，利用基本不等式求解函数的最小值即可得到夹角的最大值.热点五利用等和弦解决系数和差商方问题例9．在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【详解】如图所示，△ABC中，，∴（），又点E在线段AD（不含端点）上移动，设k，0＜k＜1，∴，又，∴，∴．∵在（0，1）上单调递减，∴λ的取值范围为（，+∞），故选C．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与基本不等式的应用问题，是中档题．例10．如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的最小值是（

）A．4 B． C． D．2【答案】B【详解】设，，，，则，，，，.所以，当且仅当，时等号成立.所以的最小值是.故选：B变式5-1．如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为【答案】【详解】取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,如图：则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点）当与重合时，根据,可知，当与重合时,由共线可知，即，结合图形可知.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，加法平行四边形法则，三点共线，数形结合的思想方法，属于难题.变式5-2．如图，矩形中，，，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为．

【答案】【详解】由题意，易知不为，建立如图所示坐标系，

设点，，，，，，，，，即，，，，，故，即，设，当三点共线时，在直线的异侧，故，则，则，即，故，即，解得或（舍去）；故答案为：．变式5-3．在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是．【答案】/0.9【详解】如图所示，中，，∴，又点点在线段上移动，设，，∴，又，∴，∴，∴当时，取到最小值，最小值为.故答案为：．平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。①当等和线恰为直线时，；②当等和线在点和直线之间时，；③当直线在点和等和线之间时，；④当等和线过点时，；⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；热点六平面向量的“四心”问题例11．（多选）已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（

）A．若点O为的重心，则，B．若点O为的外心，则C．若点O为的垂心，则，D．若点O为的内心，则．【答案】ABD【详解】选项A：如图，点O为的重心时，，故A正确；

选项B：若点O为的外心，如图，为线段的垂直平分线，则，同理，，故B正确；

选项C：当时，则为的垂心，，重合，此时，故C错误；

选项D：若点O为的内心，在的平分线上，则，故D正确.故选：ABD例12．（多选）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，为中点，且，，则下列各式正确的有（

）A．B．C．D．【答案】BC【详解】由是的重心可得，所以，故A项错误；过的外心分别作，的垂线，垂足为，，如图(1)，易知，分别是，的中点，则，故B项正确；因为是的重心，所以有，故，由欧拉线定理可得，故C项正确：如图(2)，由于，所以，故D错误．故选:BC.变式6-1．（多选）下列说法中正确的是（

）A．若是内一点，且，则为的垂心B．若是内一点，且，则为的外心C．在四边形中，若，则四边形为菱形D．若是内一点，且，则为的内心【答案】ABC【详解】因为，所以，则，所以是三条高线的交点，为垂心，所以A正确；若，即，即，所以，即，所以为三角形的外心，所以B正确；若四边形中，，即，则四边形为平行四边形，又由，所以，则平行四边形的对角线垂直，所以四边形为菱形，所以C正确；如图所示，因为，又由是以为邻边的平行四边形对角线且过中点，设中点为，则，所以，即，因为是中点，所以三点共线，则为的重心，所以D不正确.故选：ABC.变式6-2．已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【答案】C【详解】解：因为，根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上，而向量与共线，点的轨迹过的内心.故选：．变式6-3．（多选）对于给定的，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．若三点共线，则存在实数使【答案】AD【详解】解：对于A：给定的，其外心为，所以，故A正确；对于B：由于点为给定的的重心，故，故B错误；对于C：点为给定的的垂心，所以，因为重心为G，则有，，所以，若，则点H为重心，与题意矛盾，因为故C错误；对于D：由于点在的平分线上，所以为单位向量，所以在的平分线上，所以存在实数使，故D正确．故选：AD．1.重心向量式设是的重心,为平面内任意一点,则有①;②③若,则动点的轨迹经过三角形的重心④若,则动点的轨迹经过三角形的重心2.垂心向量式若是的垂心,为平面内任意一点,则有:①;②③,则动点的轨迹通过的垂心3.内心向量式若是的垂心,则有：①②,则动点的轨迹经过三角形的内心4.外心向量式若是的外心,为平面内任意一点,则①②③,则动点的轨迹通过外心.④若热点七奔驰定理例13．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”的很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，,,的面积分别为,,，则.若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是.（填序号）①是的外心；②；③；④【答案】②③④【详解】对①，因为同理,故为的垂心，故①错误；对②，因为，所以，又因为，所以,又因为，所以，故②正确；对③，延长交于点，如图，则,同理可得,所以，故③正确；对④，,同理可得,所以,又因为，所以，故④正确，故答案为：②③④例14．如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（

）A．若是的重心，则有B．若成立，则是的内心C．若，则D．若是的外心，，，则【答案】AB【详解】对于A：如图所示：因为分别为的中点，所以，，同理可得、，所以，又因为，所以.正确；对于B：记点到的距离分别为，，因为，则，即，又因为，所以，所以点是的内心，正确；对于C：因为，所以，所以，所以，所以，化简得：，又因为不共线，所以，所以，所以，错误；对于D：因为是的外心，，所以,，所以，因为，则，化简得：，由题意知同时为负，记，，则，因为，所以，所以，所以，错误.故答案为：AB.变式7-1．在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的心.【答案】内【详解】，，，，，分别是，方向上的单位向量，向量平分，即平分，同理平分，为的内心，故答案为：内变式7-2．（多选）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中正确的有（

）A．若是等边三角形，为内任意一点，且点到三边的距离分别是，则有B．若为内一点，且，则是的内心C．若为内一点，且，则D．若的垂心在内，是的三条高，则【答案】ACD【详解】因为为内任意一点，所以两两不共线；对A：是等边三角形，设其高为，则，，，代入奔驰定理得，，即，故A正确；对B：由且，根据平面向量基本定理得，则是的重心，故B不正确；对C：，即，又，由平面向量基本定理得，故C正确；对D：由点是的垂心，则，所以，同理可得，，，代入，得，即，故D正确；故选：ACD．变式7-3．（多选）O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（

）

A．O为的外心B．C．D．【答案】BCD【详解】因为，同理，，故O为的垂心，故A错误；根据垂心可得，，所以，又，所以，又，所以，故B正确；，同理，延长CO交AB于点P(如图)，则，同理可得，所以，故C正确；设，，的面积分别为，，，则，同理可得，所以，又，所以，故D正确.故选:BCD.奔驰定理：O是内的一点，且，则热点八新定义问题例15．定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，则.【答案】8【详解】由得，所以，所以.故答案为：.例16．如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.(1)若向量的“完美坐标”为，求；(2)已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；(3)若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）因为的“完美坐标”为，则，又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为，所以,，所以.（2）由（1）知，所以，即.（3）因为向量，的“完美坐标”分别为，，由（2）得.令，则，因为，所以，即，令，因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，所以的值域为.【点睛】思路点睛：本题在求解与之相关的函数问题时，应按照新定义，准确写出函数解析式，对于较复杂的三角式，常常运用整体换元思想，将其转化成熟悉的函数，如二次函数、双勾函数等，利用这些函数的图象性质特征求解即可.变式8-1．（多选）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．在方向上的投影向量为【答案】AD【详解】依题意，，，对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，则在方向上的投影向量为，D正确.故选：AD变式8-2．（多选）定义：，两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（

）A．若平行四边形ABCD的面积为4，则B．在正中，若，则C．若，，则的最小值为D．若，，且为单位向量，则的值可能为【答案】ACD【详解】对于A，因为平行四边形ABCD的面积为4，所以，所以，故A正确；对于B，设正的边边上的中点为，则，因为，所以，所以，所以B错误；对于C，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以C正确；对于D，若，，且为单位向量，则当时，，此时，所以D正确.故选：ACD.变式8-3．（多选）如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，其中，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若，则有序数对叫做向量在夹角为的坐标系xOy中的坐标，记为.已知，则（

）

A． B．C．为等腰三角形 D．【答案】ABD【详解】由题可知，，，，对A：，故A正确；对B：则，故B正确；对C、D：，，可得，故D正确；，显然不是等腰三角形，故C错误.故选：ABD.1．（2024·25高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知为四边形所在平面内的一点，且向量满足等式，为的中点，，与交于点，若则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，即，所以四边形为平行四边形，如图：

设，则，设，所以，所以，解得，所以，故选：B2．（2023·24高二上·广东梅州·期末）在中，为内的一点，，则下列说法错误的是（

）A．若为的重心，则 B．若为的外心，则C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则【答案】A【详解】在中，，，为内的一点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，，对于选项A：若为的重心，则，，则，所以，若，由平面向量基本定理可得：，解得，所以，故选项A不正确；对于选项B：若为的外心，其必在直线上，所以，故选项B正确；对于选项C：若为的垂心，其必在上，设，则，解得，此时，若，由平面向量基本定理可得：，解得，所以，故选项C正确；对于选项D：若为的内心，设内切圆半径为，则，得，则，此时，若，由平面向量基本定理可得：，解得，所以，即选项D正确.故选：A.3．（2024·25高一下·湖南娄底·阶段练习）（多选）抖音上面的一位名为“汤匙不是钥匙”的博主曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉乘运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法正确的是（

）A．若，则存在实数使得B．C．D．【答案】BCD【详解】对于A，因为不共面，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确．故选：BCD.4．（2023·24高一下·河北保定·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题设，外接圆的半径，如下图，由，则，令，且，又，，所以，则，当，即时，有最小值.故选：D5．（2023·24高二上·广东佛山·期末）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的（填“内心”“外心”“重心”或“垂心”．【答案】重心【详解】由，得，令边的中点为，则，于是，即，因此点在射线上（除点外），所以点的轨迹必过的重心.故答案为：重心6．（2023·24高二上·四川凉山·期末）在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心.故选：B7．（2024·25高一上·河北保定