函数与导数二轮复习选填层级问题特训专题卷解析版 2025年3月17日-1

函数与导数近两年高考数学真题选填特训专题卷解析版2025年4月1日一、单选题1．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.2．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A．B．C． D．【答案】C【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误；对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误；对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；对于D，因为，，显然在上不单调，D错误.3．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（

）A．B．C． D．【答案】B【详解】，又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，又，故可排除D.4．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，则，即该切线方程为，即，令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.5．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为在上递增，且，所以，所以，即，因为在上递增，且，所以，即，所以.6．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；对B，设，函数定义域为，且，则为偶函数，故B正确；对C，设，，，则不是偶函数，故C错误；对D，设，函数定义域为，因为，且不恒为0，则不是偶函数，故D错误.7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】C解：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得；则当时，，故，所以；时，，故，所以；故，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D解：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意.9．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（

）A．B．C． D．【答案】D【详解】由题意得，则，即，所以.10．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（

）A．B．C． D．【答案】B【详解】因为当时，所以，又因为，则，，，，，则依次下去可知，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.11．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（

）A．B．C． D．【答案】B【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误，二、多选题12．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（

）A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在a，使得点为曲线的对称中心【答案】AD【详解】A选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上，，于是,即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确.13．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（

）A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴【答案】BC【详解】A选项，令，解得，即为零点，令，解得，即为零点，显然零点不同，A选项错误；B选项，显然，B选项正确；C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，的对称轴满足，显然图像的对称轴不同，D选项错误.14．（2024·广东江苏·高考真题）设函数，则（

）A．是的极小值点 B．当时，C．当时， D．当时，【答案】ACD【详解】对A，因为函数的定义域为R，而，易知当时，，当或时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；对B，当时，，所以，而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，所以，即，正确；对D，当时，，所以，正确；15．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【详解】函数的定义域为，求导得，因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，因此方程有两个不等的正根，于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.三、填空题16．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则．【答案】64【详解】由题，整理得，或，又，所以，故.17．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.【答案】【详解】由得，，故曲线在处的切线方程为；由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.18．（2023·北京·高考真题）已知函数，则．【答案】1【详解】函数，所以.19．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则．【答案】2【详