2024届北京师范大朝阳某中学中考数学模试卷含解析

2024届北京师范大朝阳附属中学中考数学模试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（）

厂n

A.6(m-n)B.3(m+n)C.4nD.4m

2.如图，A4BC中，AD是中线，BC=8,ZB=ZDACt则线段AC的长为（）

A.473B.472C.6

3.如图，一把带有60“角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm,三角尺最短边和平行线成

45。角，则三角尺斜边的长度为（）

A.12cmB.12立cmC.24cmD.24夜cm

4.如图，三棱柱ABC・AiBiG的侧棱长和底面边长均为2,且侧棱AAi_L底面ABC,其正（主）视图是边长为2的

正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（）

D.4

5.如图，矩形纸片45co中，AB=4,BC=6,将二ABC沿AC折叠，使点4落在点£处，CE交AD于息F,

则0b的长等于（)

575

C.-D.-

5334

6.计算3-（-9）的结果是（)

B.-12C.6

7.某班要推选学生参加学校的“诗词达人”比赛，有7名学生报名参加班级选拔赛，他们的选拔赛成绩各不相同，现取

其中前3名参加学校比赛.小红要判断自己能否参加学校比赛，在知道自己成绩的情况下，还需要知道这7名学生成

绩的（）

A.众数B.中位数C.平均数D.方差

8.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

A.中B.国C.文D,化

9.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4

米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（）

A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米

10.一元二次方程f-2工=0的根是()

A.Xj=0,x2=-2B.X]=1,x?=2

==

C.X]1»X2-2D.X]=0,x2=2

11.如座，圆弧形拱桥的跨径A4=12米，拱高C力=4米，则拱桥的半径为（）米

IlliI

ADR

A.6.5B.9C.13D.15

12.已知OO的半径为5,且圆心O到直线1的距离是方程x2.4x・12=0的一个根，则直线I与圆的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.无法确定

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么NAOC度数为___度.

14.己知扇形的圆心角为120“，弧长为则扇形的面积是____.

15.如图，甲和乙同时从学校放学，两人以各自送度匀速步行回家，甲的家在学校的正西方向，乙的家在学校的正东

方向，乙家离学校的距离比甲家离学校的距离远3900米，甲准备一叵家就开始做什业，打开书包时发现错拿了乙的练

习册.于是立即步去追乙，终于在途中追上了乙并交还了练习册，然后再以先前的速度步行回家，（甲在家中耽搁和交

,还作业的时间忽略不计）结果甲比乙晚回到家中，如图是两人之间的距离y米与他们从学校出发的时间x分钟的函数

关系图，则甲的家和乙的家相距米.

16.一个不透明的袋子中装有5个球，其中3个红球、2个黑球，这些球除颜色外无其它差别，现从袋子中随机摸出

一个球，则它是黑球的概率是____.

17.如图，在RtAABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,点P、Q分别在边」BC、AC±,PQ〃AB,把△PCQ绕点P

旋转得到4PDE（点C、Q分别与点D、E对应），点D落在线段PQ上，若AD平分NBAC,则CP的长为

A

18.2的平方根是.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B(-1,4),C(-3,2)画

出AABC关于点B成中心对称的图形△A】BG；以原点O为位似中心，位似比为1：2,在y轴的左侧画出△ABC放

大后的图形△A2B2c2,并直接写出C2的坐标.

-1。1

20.(6分)如图，平面直角坐标系中，直线AB：-〃交y轴于点A(0,1),交x轴于点B.直线x=l交AB

于点D,交x轴于点E,P是直线x=l上一动点，且在点D的上方，设P(Ln).求直线AB的解析式和点B的坐标;

求△ABP的面积(用含n的代数式表示)；当SAABP=2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC,求出点C的

坐标.

21.(6分)某校九年级数学测试后，为了解学生学习情况，随机抽取了九年级部分学生的数学成绩进行统计，得到相

关的统计图表如下.

成绩/分120-111110-101100-9190以下

成绩等级ABCD

请根据以上信息解答下列问题;

（1）这次统计共抽取了名学生的数学成绩，补全频数分布直方图；

（2）若该校九年级有1000名学生，请据此估计该校九年级此次数学成绩在B等级以上（含B等级）的学生有多少人?

（3）根据学习中存在的问题，通过一段时间的针对性复习与训练，若A等级学生数可提高40%,B等级学生数可提

高10%,请估计经过训练后九年级数学成绩在B等级以上（含B等级）的学生可达多少人？

22.（8分）现有两个纸箱，每个纸箱内各装有4个材质、大小都相同的乒乓球，其中一个纸箱内4个小球上分别写有1、

2、3、4这4个数，另一个纸箱内4个小球上分别写有5、6、7、8这4个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是:

从这两个纸箱中各随机摸出一个小球.然后把两个小球上的数字相乘,若得到的积是2的倍数，则甲得1分，若得到

积是3的倍数，则乙得2分.完成一次游戏后，将球分别放回各自的纸箱，摇匀后进行下一次游戏，最后得分高者胜出

⑴请你通过列表（或树状图）分别计算乘积是2的倍数和3的倍数的概率；

⑵你认为这个游戏公平吗?为什么?若你认为不公平，请你修改得分规则，使游戏对双方公平.

23.（8分）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为6。。，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为

45。，已知OA=100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i=l：2,且O、A、B在同一条直线上.求电视塔OC的

高度以及此人所在位置点P的铅直高度.（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）

24.（10分）已知：如图，AB=ADtAC=AE,求证：BC=DE.

25.（10分）图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，AABC的顶点均在

格点上

（1）画出将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90。后所得到的△AiBCi；

（2）画出将△ABC向右平移6个单位后得到的4A2B2C2;

（3）在（D中，求在旋转过程中△ABC扫过的面积.

26.（12分）如图，在一个平台远处有一座古塔，小明在平台底部的点C处测得古塔顶部8的仰角为60。，在平台上

的点E处测得古塔顶部的仰角为30。.已知平台的纵截面为矩形OCFE,DE=2米，OC=20米，求古塔的高（结

果保留根号）

DCA

27.（12分）（1）计算：（-2018）°+>/8-9x

x—1>2（x—3）,

（2）解不等式组：6x-l.

------>2x.

2

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、D

【解析】

解：设小长方形的宽为处长为心则有〃=月・3q，

阴影部分的周长：

2(m-b)+2(in-3a)+2fi=2in-2b+2m-6a+2ii=4m-2(n-3a)-6a+2n=4ni-2ii+6a-6a+2ii=4m.

故选D.

2、B

【解析】

由已知条件可得一ABC〜二D4C,可得出可求出AC的长.

DCAC

【详解】

解：由题意得：ZB=ZDAC,八3=ZACD,所以.ABC〜jDAC,根据“相似三角形对应边成比例”，得坐二空,

DCAC

又AD是中线，BC=8,得DC=4,代入可得AC=4\/^,

故选B.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定与性质.灵活运用相似的性质可得出解答.

3、D

【解析】

过A作AD_LBF于D,根据45。角的三角函数值可求出AB的长度，根据含30。角的直角三角形的性质求出斜边AC的

长即可.

【详解】

如图，过A作AD_LBF于D,

VZABD=45°,AD=12,

••AB=")=12y/2，

sin45z

又TRSABC中，ZC=30°,

?.AC=2AB=24V2，

故选：D.

【点睛】

本题考查解直角三角形，在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角三角函数值是解题关键.

4、B

【解析】

分析：易得等边三角形的高，那么左视图的面积=等边三角形的高x侧棱长，把相关数值代入即可求解.

详解：・・•三棱柱的底面为等边三角形，边长为2,作出等边三角形的高CD后，

・••等边三角形的高=百,.••侧(左)视图的面积为2xJJ=26，

故选B.

点睛：本题主要考查的是由三视图判断几何体.解决本题的关键是得到求左视图的面积的等量关系，难点是得到侧面

积的宽度.

5、B

【解析】

由折叠的性质得到AE=AB,NE=NB=90。，易证RtAAEF^RtACDF,即可得至lj结论EF=DF；易得FC=FA,设FA=x,

则FC=x,FD=6-x,在RtACDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=4?+(6-x)2,解方程求出x即可.

【详解】

・・,矩形ABCD沿对角线AC对折，使乙ABC落在△ACE的位置，

AAE=AB,ZE=ZB=9()0,

又丁四边形ABCD为矩形，

/.AB=CD,

/.AE=DC,

WZAFE=ZDFC,

•・•在△AEFCDF中，

NAFE=NCFD

</E=ND,

AE=CD

.,.△AEF^ACDF(AAS),

AEF=DF；

・・•四边形ABCD为矩形，

AAD=BC=6,CD=AB=4,

VRtAAEF^RtACDF,

/.FC=FA,

设FA=x,则FC=x,FD=6-x,

在RtACDF中，CF^CD^+DP,即M=42+(6-x):解得x=，,

3

5

则nlFD=6-x=-.

3

故选B.

【点睛】

考查了折登的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等.也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与

性质以及勾股定理.

6、A

【解析】

根据有理数的减法，即可解答.

【详解】

3-(-9)=3+9=12,

故选A.

【点睛】

本题考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟记减去一个数等于加上这个数的相

反数.

7、B

【解析】

由于总共有7个人，且他们的成绩互不相同，第4的成绩是中位数，要判断自己能否参加学校比赛，只需知道中位数

即可.

【详解】

由于总共有7个人，且他们的成绩互不相同，第4的成绩是中位数，要判断自己能否参加学校比赛，故应知道中位数

是多少.

故选B.

【点睛】

本题考查了统计的有关知识，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键.

8、A

【解析】

根据轴对称图形的概念判断即可.

【详解】

A、是轴对称图形；

B、不是轴对称图形；

C、不是轴对称图形；

D、不是轴对称图形.

故选：A.

【点睛】

本题考查的是轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

9、C

【解析】

在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.

【详解】

在RtAA'BD中，VZAfDB=90°,A'D=2米，BD2+ArD2=ArB,2,/.BD2+22=6.25,/.BD2=2.25,VBD>0,ABD=1.5

米，・・・CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.故选C.

c3D

【点睛】

本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.

10、D

【解析】

试题分析：此题考察一元二次方程的解法，观察发现可以采用提公因式法来解答此题.原方程可化为：>=0,

因此Y=0或工一2=0,所以工=0：三=2.故选D.

考点：一元二次方程的解法——因式分解法——提公因式法.

11>A

【解析】

试题分析：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O.连接OA.根据垂径定理和勾股

定理求解.得AD=6设圆的半径是r,根据勾股定理，得产=36+(r-4)2,解得口6.5

考点；垂径定理的应用.

12、C

【解析】

首先求出方程的根，再利用半径长度，由点O到直线a的距离为d,若dvr,则直线与圆相交;若d=i•，则直线与圆相切;若d>r,

则直线与与圆相离.

【详解】

Vx2-4x-12=0,

(x+2)(x-6)=0,

解得:xi=-2(不合题意舍去)，X2=6,

丁点O到直线1距离是方程X2-4X-12=0的一个根，即为6,

・••点O到直线1的距离d=6,r=5,

Ad>r,

・・・直线1与圆相离.

故选：C

【点睛】

本题考核知识点：直线与圆的位置关系.解题关键点：理解直线与圆的位置关系的判定方法.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、1.

【解析】

首先根据垂径定理得到OA=AB,结合等边三角形的性质即可求出NAOC的度数.

【详解】

解：•弦AC与半径OB互相平分，

AOA=AB,

VOA=OC,

/.△OAB是等边三角形，

.\ZAOB=60°,

AZAOC=1°,

故答案为1.

【点睛】

本题主要考查了垂径定理的知识，解题的关键是证明AOAB是等边三角形，此题难度不大.

14、277r

【解析】

1207rIxQ~

试题分析：设扇形的半径为r.则:一二6",解得k9,・・・扇形的面积=上二-=27兀故答案为27九

180360

考点：扇形面积的计算.

15、5200

【解析】

设甲到学校的距离为x米，则乙到学校的距离为(3900+x),甲的速度为4y(米/分钟)，则乙的速度为3y(米/分钟)，依题意

得：

70x3j=x+3900

4yx20=/

所以甲到学校距离为2400米，乙到学校距离为6300米，

所以甲的家和乙的家相距8700米.

故答案是：8700.

【点睛】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息.

16、2

5

【解析】

用黑球的个数除以总球的个数即可得出黑球的概率.

【详解】

解：・・•袋子中共有5个球，有2个黑球，

，从袋子中随机摸出一个球，它是黑球的概率为|;

2

故答案为

【点睛】

本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事

件A的概率P(A)=—.

n

17、1

【解析】

连接AD,根据PQ〃AB可知NADQ=NDAB,再由点D在NBAC的平分线上，得出NDAQ=NDAB,故NADQ=NDAQ,

AQ=DQ.在R3CPQ中根据勾股定理可知，AQ=ll-4x,故可得出x的值，进而得出结论.

【详解】

连接AD,

VPQ/7AB,

/.ZADQ=ZDAB,

・・,点D在NBAC的平分线上，

AZDAQ=ZDAB,

AZADQ=ZDAQ,

/.AQ=DQ,

在RtAABC中，VAB=5,BC=3,

/.AC=4,

•・・PQ〃AB,

/.△CPQ^ACBA,

ACP：CQ=BC：AC=3：4,设PC=3x,CQ=4x,

在RtACPQ中，PQ=5x,

VPD=PC=3x,

，DQ=lx,

VAQ=4-4x,

A”2

:.4-4x=lx,解得x=—,

3

/.CP=3x=l；

故答案为：1.

【点睛】

本题考查平行线的性质、旋转变换、等腰三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是

学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.

18、±72

【解析】

直接根据平方根的定义求解即可(需注意一个正数有两个平方根).

【详解】

解：2的平方根是土夜故答案为土也.

【点睛】

本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；。的平方根是0;负数没有平方根.

三、解答题，(木大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)画图见解析；(2)画图见解析，C2的坐标为(・6,4).

【解析】

试题分析：(1)利用关于点对称的性质得出A，G的坐标进而得出答案；

(2)利用关于原点位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案.

试题解析：(l)AAIG如图所示.

(2)AA2&C2如图所示，点C2的坐标为(-6,4).

13

20、(1)AB的解析式是y=・-x+L点B(3,0).(2)-n-l；(3)(3,4)或(5,2)或(3,2).

32

【解析】

试题分析：(1)把A的坐标代入直线AB的解析式，即可求得b的值，然后在解析式中，令y=0,求得x的值，即可

求得B的坐标；

(2)过点A作AM_LPD,垂足为M,求得AM的长，即可求得△BPD和△PAB的面积，二者的和即可求得；

3

(3)当SAABP=2时，-n-l=2,解得n=2,贝ljNOBP=4S。，然后分A、B、P分别是直角顶点求解.

2

试题解析：(1);丫:-；x+b经过A(0,1),

Ab=l,

，直线AB的解析式是y=・gx+L

当y=0时，0=--x+l,解得x=3,

・••点B(3,0).

.211211

..PD=n--,SAAPD=—PD*AM=—xlx(n--)=—n--

322323

由点B(3,0),可知点B到直线x=l的距离为2,即^BDP的边PD上的高长为2,

.I2

SABPD=—PDx2=n--，

23

1123

・・SAPAB=SAAPD+SABPD=-n--+n—=—n-1；

2332

3

(3)当SAABP=2时，-n-l=2,解得n=2,

2

・,•点P(1,2).

VE(1,0),

.\PE=BE=2,

AZEPB=ZEBP=45O.

第I种情况，如图1,ZCPB=90°,BP=PC,过点C作CNJ_直线x=l于点N.

VZCPB=90°,ZEPB=45°,

/.ZNPC=ZEPB=45°.

XVZCNP=ZPEB=90°,BP=PC,

/.△CNP^ABEP,

APN=NC=EB=PE=2,

ANE=NP+PE=2+2=4,

/.C(3,4).

第2种情况，如图2NPBC=90。，BP=BC,

过点C作CF_Lx轴于点F.

VZPBC=90°,ZEBP=45°,

/.ZCBF=ZPBE=45°.

XVZCFB=ZPEB=90°,BC=BP,

/.△CBF^APBE.

/.BF=CF=PE=EB=2,

AOF=OB+BF=3+2=5,

AC(5,2).

AZCPB=ZEBP=45O,

在^PCB和^FEB中，

CP=EB

{ZCPB=ZEBP

BP=BP

.,.△PCB^APEB(SAS),

APC=CB=PE=EB=2,

AC（3,2）.

，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC,点C的坐标是（3,4）或（5,2）或（3,2）.

考点；一次函数综合题.

21、（1）1人；补图见解析；（2）10人；（3）610名.

【解析】

（1）用总人数乘以A所占的百分比，即可得到总人数；再用总人数乘以A等级人数所占比例可得其人数，继而根据

各等级人数之和等于总人数可得D等级人数，据此可补全条形图；

（2）用总人数乘以（A的百分比+B的百分比），即可解答；

（3）先计算出提高后A,B所占的百分比，再乘以总人数，即可解答.

【详解】

1AQ

解：（1）本次调查抽取的总人数为15+k=l（人），

360

72

则A等级人数为lx——=10（人），D等级人数为1・（10+15+5）=20（人），

360

补全直方图如下：

故答案为1.

（2）估计该校九年级此次数学成绩在B等级以上（含B等级）的学生有1000X竺祟=10（人）；

（3）•・•A级学生数可提高40%,B级学生数可提高10%,

・・・B级学生所占的百分比为：30%x（1+10%）=33%,A级学生所占的百分比为：20%x（1+40%）=28%,

AlOOOx（33%+28%）=610（人），

，估计经过训练后九年级数学成绩在B以上（含B级）的学生可达610名.

【点睛】

考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键,条

形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

22、(1)

乘\

飞

5678

15678

210121416

315182124

420242832

（2）游戏不公平，修改得分规则为：把两个小球上的数字相乘，若得到的积是2的倍数，则甲得7分，若得到的积是

3的倍数，则乙得12分

【解析】

试题分析：（1）列表如下：

乘\

飞

5678

15678

210121416

315182124

420242832

共有16种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中，乘积是2的倍数的有12种，乘积是3的倍数的有7种.

AP（两数乘积是2的倍数）■；

P（两数乘积是3的倍数）=捻

J5

（2）游戏不公平，修改得分规则为：把两个小球上的数字相乘，若得到的积是2的倍数，则甲得7分，若得到的积是

3的倍数，则乙得12分

考点：概率的计算

点评：题目难度不大，考查基本概率的计算，属于基础题。本题主要是第二问有点难度，对游戏规则的确定，需要一

概率为基础。

23、电视塔0C高为100G米，点2的铅直高度为1cxy3

(米).

3

【解析】

过点P作PF_LOC,垂足为F,在RtAOAC中利用三角函数求出OC=100Q,根据山坡坡度=1：2表示出PB=x,AB

=2x,在R3PCF中利用三角函数即可求解.

【详解】

过点P作PF_LOC垂足为F.

在RMOAC中，由NOAC=600,OA