2024届北京朝阳区第十某中学学中考五模数学试题含解析

2024届北京朝阳区第十七中学中考五模数学试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5亳米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05亳米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.已知实数a、b满足a>b,则（）

A.a>2bB.2a>bC.a-2>b—2D.2—a<l—b

2.-2的倒数是（）

D.2

3.一元二次方程x2+2x-15=0的两个根为（）

A.xi=-3,X2=-5B.xi=3,X2=5

C.xi=3fxz=-5D.xi=-3,xz=5

4.已知两组数据，2、3、4和3、4、5,那么下列说法正确的是（）

A.中位数不相等，方差不相等

B.平均数相等，方差不相等

C.中位数不相等，平均数相等

D.平均数不相等，方差相等

5.当函数y=（x-1）Z2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（）

A.x>0B.x<lC.x>lD.x为任意实数

6.若一次函数y=（2m-3）x-1+m的图象不经过第三象限，则m的取值范图是（）

3333

A.1<///<-B.l<m<-C.\<m<-D.l<m<-

〜9A9M199

7.如图，在QABCD中，AB=6,AD=9,NBAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG±AE,垂足为

G,若BG=4V2，则4CEF的面积是（）

A.2>/2B.y/2C.3后D.4V2

8.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=LBD=3,那么由下列条件能够判断DE〃BC的是（）

DE1„DE1AE1AE1

A.-----=—B.=-C.=—D.----=一

BC3BC4AC3AC4

9.根据文化和旅游部发布的《“五一”假日旅游指南》，今年“五一”期间居民出游意愿达36.6%,预计“五一”期间全固

有望接待国内游客L49亿人次，实现国内旅游收入880亿元.将880亿用科学记数法表示应为（）

A.8xlO7B.880x10sC.8.8xl09D.8.8xlO10

10.如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）

ADAB

A.ZABD=ZCB.ZADB=ZABCC.——=——

BDCDAB-AC

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90。至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋

转90。至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次.若AB=4,AD=3,则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总

长为

D£

①®③

B

12.如图，在矩形ABCD中，AB=V3,AD=1,把该矩形绕点A顺时针旋转a度得矩形ABO,点落在AB的

延长线上，则图中阴影部分的面积是

7T

13.如图，“人字梯”放在水平的地面上，当梯子的一边与地面所夹的锐角a为60时，两梯角之间的距离BC的长为3m.

周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使a为60，后又调整a为45，则梯子顶端离地面的高度AD下降了m（结

果保留根号）.

B

14.分解因式："一a=.

15.如图，等边三角形A〃。内接于。0,若。。的半径为2,则图中阴影部分的面积等于

3

17.若点A（l,m）在反比例函数y=—的图象上，则m的值为.

x

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP

绕点A顺时针旋转90。得到线段AQ,连接BP,DQ.

（1）依题意补全图1:

（2）①连接DP,若点P,Q,D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2；

②若点P,Q,C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为：—.

19.（5分）某校七年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题中选择一个，七年级每名

学生按要求都上交了一份征文,学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调

查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

学生选择征文主题条形统计图学生选择征文主贰扇形统计图

（2）在扇形统计图中，选择“爱国”主题所对应的圆心角是多少度？

（3）如果该校七年级共有1200名考生，请估计选择以“友善”为主题的七年级学生有多少名？

3

20.（8分）如图，抛物线），=32-2（〃和）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标

为（4,0）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究AAbC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M是线段5C下方的抛物线上一点，求AMBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标.

21.（10分）甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1,2,3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明

的口袋中.求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次

摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？

请说明理由.

22.（10分）如图1所示，点E在弦所对的优弧上，且m为半圆，C是m上的动点，连接C4、CB,己知48=4c,〃,

BEBE

设5、C间的距离为xc/〃，点C到弦48所在直线的距离为A、C两点间的距离为y2cm.

小明根据学习函数的经验，分别对函数》、以岁自变量X的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程,

请补充完整.按照下表中自变量X的值进行取点、画图、测量，分别得到了川、”与X的几组对应值：

x/cm0123456

yi/cni00.781.762.853.984.954.47

yi/cm44.695.265.965.944.47

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x,JI）,（x,jz）,并画出函数”、J2

的图象；结合函数图象，解决问题：

①连接BE,则的长约为c%

②当以/I、〃、C为顶点组成的三角形是直角三角形时，5C的长度约为cm.

23.（12分）如图，四边形ABCD,AD/7BC,DCJ_BC于C点，AE_LBD于E,且DB=DA.求证：AE=CD.

24.（14分）数学兴趣小组为了解我校初三年级1800名学生的身体健康情况，从初三随机抽取了若干名学生，将他们

按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5〜46.5；B：46.5〜53.5；C：53.5—60.5；D：60.5—67.5；E：67.5〜

74.5）,并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图.

补全条形统计图，并估计我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有多少名.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解题分析】

根据不等式的性质进行判断.

【题目详解】

解：A、a>b,但a>2b不一定成立，例如：l=2x?故本选项错误；

22

B、a>b»但2a>b不一定成立，例如：一1>一2,-lx2=-2,故本选项错误；

C、a>b时,a—2>b-2成立,故本选项正确：

D、a>b时，一a<-b成立，则2-a<l-b不一定成立，故本选项错误；

故选C.

【题目点拨】

考查了不等式的性质•要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）

同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0,而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须

改变.

2、B

【解题分析】

根据倒数的定义求解.

【题目详解】

-2的倒数是

故选B

【题目点拨】

本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握

3、C

【解题分析】

运用配方法解方程即可.

【题目详解】

解；X2+2X-15=X2+2X+1-16=(X+1)2-16=0»BP(X+1)2=16>解得，xi=3>xz=-5.

故选择C.

【题目点拨】

本题考查了解一元二次方程，选择合适的解方程方法是解题关键.

4、D

【解题分析】

分别利用平均数以及方差和中位数的定义分析，进而求出答案.

【题目详解】

|1?

2、3、4的平均数为：一(2+3+4)=3,中位数是3,方差为：一[(2-3)2+(3-3)2+(3-4)2]=-；

333

119

3、4、5的平均数为：一(3+4+5)=4,中位数是4,方差为：一[(3-4)2+(4-4)2+(5-4)21=-；

333

故中位数不相等，方差相等.

故选：D.

【题目点拨】

本题考杳了平均数、中位数、方差的意义，解答本题的关键是熟练掌握这三种数的计算方法.

5、B

【解题分析】

分析：利用二次函数的增减性求解即可，画出图形，可直接看出答案.

详解：对称轴是；x=L且开口向上，如图所示，

，当xVl时，函数值)，随着x的增大而减小；

故选B.

点睛：本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质.

6、B

【解题分析】

根据一次函数的性质，根据不等式组即可解决问题:

【题目详解】

•・,一次函数y=(2m-3)x・l+m的图象不经过第三象限，

2机—3V0

-1+m2()’

3

解得1<m<—.

2

故选：B.

【题目点拨】

本题考查一次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

7、A

【解题分析】

解：TAE平分NBAD,

/.ZDAE=ZBAE；

又,:四边形ABCD是平行四边形，

，AD〃BC,

，ZBEA=ZDAE=ZBAE,

AAB=BE=6,

VBG1AE,垂足为G,

AAE=2AG.

在RtAABG中，VZAGB=90°,AB=6,BG=4人，

工AG7AB2-BG?=2,

AAE=2AG=4；

:.SAABE=-AE-BG=-x4x4夜=872.

22

VBE=6,BC=AD=9,

/.CE=BC-BE=9-6=3,

ABE：CE=6：3=2：1,

•・・AB〃FC,

AAABE^AFCE,

ASAABE：SACEF=(BE：CE)2=4：1,贝!JSACEF=丁SAABE=2拉.

故选A.

AD

G

【题目点拨】

本题考查1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题

关键.

8、D

【解题分析】

如图，VAD=1,BD=3,

.AD1

•・----=—，

AB4

AE1_ADAE

AC4ABAC

又・・・NDAE=NBAC,

/.△ADE^AABC,

AZADE=ZB,

ADE/7BC,

而根据选项A、B、C的条件都不能推出DE〃BC,

故选D.

9、D

【解题分析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中l$|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1。时，n是正数；当原数的绝对值VI时，n是负

数.

【题目详解】

880亿=8800000OOOO=8.8xlO,0,

故选D.

【题目点拨】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lWa|V10,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

10、C

【解题分析】

由NA是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等

的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用.

【题目详解】

VZA是公共角，

，当NABD=NC或NADB=NABC时，△ADBs2\ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合

题意要求；

当AB：AD=AC：AB时，△ADBSZ\ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，

不符合题意要求；

AB：BD=CB：AC时，NA不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，

故选C.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、3026兀

【解题分析】

分析：首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可.

详解：VAB=4,BC=3,

,,AC=BD=5f

90nx4c

转动一次4的路线长是：------=271>

180

90nx55

转动第二次的路线长是：------=-7lf

1802

90兀x33

转动第三次的路线长是：---------=-7T,

180---2

转动第四次的路线长是：0,

以此类推，每四次循环，

53

故顶点A转动四次经过的路线长为：一兀+—兀+2兀=6兀，

22

72017-4=504...1,

・・・顶点A转动四次经过的路线长为：6兀x504+2兀=3026兀

故答案为3026兀

点睛：考查旋转的性质和弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键.

12、

24

【解题分析】

;在矩形ABCD中，AB=V3,ZDAC=60°,

・,.DC=6，AD=L

由旋转的性质可知：DC=C，AD'=1,

.••tanND'AC'=——=y/3,

/.ZDrACr=60°.

，NBAB，=30。，

SAAB,C=-xlxx/3=>

22

«30兀（Ct_兀

b扇形BAB,=----------------------="•

3604

qyq3兀

>阴影一AB'C'・S磨形BAB,--------------•

24

故答案为且

【题目点拨】

错因分析中档题.失分原因有2点：（1）不能准确地将阴影部分面积转化为易求特殊图形的面积；（2）不能根据矩形

的边求出a的值.

爪3使-闾

2

【解题分析】

根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出答案.

【题目详解】

解：如图1所示：

过点A作AD_LBC于点D,

由题意可得：ZB=NC=60>

则ABC是等边三角形，

故BC=AB=AC=3m，

则AD=3sin60

2

如图2所示：

过点A作AE_LBC于点E,

由题意可得：ZB=/C=60,

则一ABC是等腰直角三角形，BC=AB=3m,

则AE=3sin45=m>

2

故梯子顶端离地面的高度AD下降了型!二0m

2

故答案为：3回血).

2

【题目点拨】

此题主要考查了解直角三角形的应用，正确画出图形利用锐角三角三角函数关系分析是解题关键.

14、6/(x+l)(x-l)

【解题分析】

先提公因式，再套用平方差公式.

【题目详解】

AX2—a=a(x2-l)=a(x+l)(x—l)

故答案为：«(x+l)(x-l)

【题目点拨】

掌握因式分解的一般方法：提公因式法，公式法.

3

【解题分析】

分析：题图中阴影部分为弓形与三角形的和，因此求出扇形AOC的面积即可，所以关键是求圆心角的度数.本题考查

组合图形的求法.扇形面积公式等.

360°

详解：连结OC,•,.△ABC为正三角形，/.ZAOC=-------=120。，

3

•・•5,八。8=,・・・图中阴影部分的面积等于S宿形

.，皿‘120乃"40n42西攵支心4

••S身形AOC=-----=---------=一乃即S阴影=—71cm?.故答案为—71・

360360333

点睛：本题考查了等边三角形性质，扇形的面积，三角形的面积等知识点的应用，关键是求出NAOC的度数，主要考

查学生综合运用定理进行推理和计算的能力.

16、，

2

【解题分析】

分别利用零指数哥(ar0),负指数幕a-P=」(aRO)化简计算即可.

d

【题目详解】

解：(h・3)。・2"=1•修.

22

故答案为：，.

2

【题目点拨】

本题考查了零指数幕和负整数指数幕的运算，掌握运算法则是解题关键.

17、3

【解题分析】

试题解析：把4(1,m)代入丁=3得：in=3.

x

所以机的值为3.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)详见解析；(1)①详见解析；②BP=AB.

【解题分析】

(1)根据要求画出图形即可；

(D①连接BD,如图1,只要证明△ADQgaABP,NDPB=90。即可解决问题；

②结论:BP=AB,如图3中，连接AC,延长CD至！］N,使得DN=CD,连接AN,QN.由4ADQ^AABP.AANQ^AACP,

推出DQ=PB,ZAQN=ZAPC=45",由NAQP=45",推出NNQC=90。，由CD=DN,可得DQ=CD=DN=AB；

【题目详解】

(1)解：补全图形如图1:

,・•线段AP绕点A顺时针旋转90。得到线段AQ,

AAQ=AP,ZQAP=90°,

丁四边形ABCD是正方形，

AAD=AB,ZDAB=90°,

AZ1=Z1.

/.△ADQ^AABP,

ADQ=BP,NQ=N3,

,:在RtAQAP中，ZQ+ZQPA=90°,

:.ZBPD=Z3+ZQPA=90°,

丁在RtABPD中，DP1+BP1=BDLXVDQ=BP,BD^IAB1,

/.DP^DQ^IAB1.

②解：结论：BP=AB.

理由：如图3中，连接AC,延长CD到N,使得DN=CD,连接AN,QN.

B

VAADQ^AABP,△ANQ^AACP,

ADQ=PB,ZAQN=ZAPC=45°,

VZAQP=45°,

.\ZNQC=90°,

VCD=DN,

ADQ=CD=DN=AB,

APB=AB.

【题目点拨】

本题考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题,

属于中考压轴

19、（1）条形统计图如图所示，见解析；（2）选择“爱国”主题所对应的圆心角是144。；（3）估计选择以“友善”为主题

的七年级学生有360名.

【解题分析】

（1）根据诚信的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，用总人数乘以友善所占的百分比，即可补全统计图；

（2）用360。乘以爱国所占的百分比，即可求出圆心角的度数；

（3）用该校七年级的总人数乘以“友善”所占的百分比，即可得出答案.

【题目详解】

解：（1）本次调查共抽取的学生有3・6%=50（名）

选择“友善”的人数有50x30%=15（名）

・••条形统计图如图所示：

学生送译征文三装要比蜿h雪

(2)•・•选择“爱国”主题所对应的百分比为20・50=40%,

・・・选择“爱国”主题所对应的圆心角是40%x360°=144°；

(3)该校七年级共有1200名学生，估计选择以“友善”为主题的七年级学生有1200x30%=360名.

故答案为：(1)条形统计图如图所示，见解析；(2)选择“爱国”主题所对应的圆心角是144。；(3)估计选择以“友善”

为主题的七年级学生有360名.

【题目点拨】

本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研

究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.

］、33

20、(1)y=-x~X—2；(2)(一，0)；(3)M(2,-3).

222

【解题分析】

试题分析：方法一：

(1)该函数解析式只有一个待定系数，只需将8点坐标代入解析式中即可.

(2)首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，

由此确定圆心坐标.

(3)△MBC的面积可由SAMBl^BCxh表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最

2

大，若设一条平行于8C的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点

方法二：

(1)该函数解析式只有一个待定系数，只需将8点坐标代入解析式中即可.

(2)通过求出A,B,C三点坐标，利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC_L3C,从而求出圆心坐标.

(3)利用三角形面积公式，过M点作x轴垂线，水平底与铅垂高乘积的一半，得出AMBC的面积函数，从而求出M

点.

试题解析：解：方法一：

⑴将B(l,0)代入抛物线的解析式中，得：0=16。--xl-2,即：。=二，J抛物线的解析式为：y=-x2--x-2.

2222

(2)由(1)的函数解析式可求得：4(-1,0)、C(0,-2)；

：.OA=ltOC=2fOB=lf即：OC?=OA・OB,又：OCLAB9：.^OAC^>^OCBt得：NOCA=NOBC；

：.ZACB=ZOCA+ZOCB=ZOBC+ZOCB=90°f.・•△A〃。为直角三角形，43为△ABC外接圆的直径;

3

所以该外接圆的圆心为A3的中点，且坐标为：(一，0).

2

(3)已求得：B(1,0)、C(0,-2),可得直线8c的解析式为：产;x・2；

设直线/〃3C,则该直线的解析式可表示为：尸;x+b,当直线/与抛物线只有一个交点时，可列方程:

II3I

122

-x+h=-x一一x-2,即：-x-2x-2-b=0t且△=0；

2222

/.1-1x—(-2■力)=0,即Z>=-1；

2

；・直线/：y=-x-1.

2

x=2

所以点M即直线/和抛物线的唯一交点，有:解得:

,'=一3

即M(2,-3).

x

过M点作MNA.X轴于MSABMC=S梯形OCMV+SAMNB~SAOCB=-2x(2+3)+—x2x3----x2xl=l.

222

方法二:

3iiQ

(1)将5(1,0)代入抛物线的解析式中，得：0=16。--xl・2,即：归一，J抛物线的解析式为：J=-X2--^-2.

22,22

(2)(x-l)(x+l),：.A(-1,0),B(l,0).C(0,-2),：.KAC=^^-=-2,=一,...KACXK*=

2-1-04-02

・L・・・4C_LBC,•••△ABC是以AB为斜边的直角三角形，小川片。的外接圆的圆心是48的中点，AABC的外接圆的

3

圆心坐标为(一，0).

2

1113

(3)过点M作x轴的垂线交5。于0),C(0,-2),：.lc：y=-x-2,设H(t,一，・2),M(t,-C一一Z-2),

B2222

22

.*.5AWBC^-x("y・My)(By-Cx)=-x(-1-2--/+-/+2)(1-0)=-t+Ut・,•当Z=2时,5有最大值1,

22222

(2,-3).

点睛：考查了二次函数综合题，该题的难度不算太大，但用到的琐碎知识点较多，综合性很强.熟练掌握直角三角形

的相关性质以及三角形的面积公式是理出思路的关键.

21、(1)(2)这个游戏不公平，理由见解析.

【解题分析】

(1)由把三个分别标有1,2,3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可

求得答案；

(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜，乙胜的情况，即可求得求概率，比较大

小，即可知这个游戏是否公平.

【题目详解】

解：(1)由于三个分别标有1,2,3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，

故从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为：

(2)这个游戏不公平.

画树状怪得：

开始

123

/N/N/N

123123123

•・•共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种

情况，

54

，P（甲胜）=-,P（乙胜）=-.

，P（甲胜）杯（乙胜），

故这个游戏不公平.

【题目点拨】

本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.

22、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①6；②6或4.1.

【解题分析】

（1）由题意得出5C=3cm时，CD=2.85cm,从点C与点5重合开始，一直到〃C=4,CD、AC随着3C的增大而增

大，则CD一直与AB的延长线相交，由勾股定理得出桢=\辰2c1y/0.9367（cm）,得出4。=4笈+80=4.9367（°机）,

再由勾股定理求出AC即可；

（2）描出补全后的表中各组数值所对应的点（X,Jl）,（X,J2）,画出函数》、丁2的图象即可；

（3）①时，CD=4C=4.1,即点C与点K重合，C。与人C重合，NC为直径，得出耳E=〃C=6即可；

②分两种情况：当/。8=90。时，AC=CDt即图象》与也的交点，由图象可得：«C=6；

当NC氏4=90。时，BC=ADt由圆的对称性与NCA8=90。时对称，