2023年山东省潍坊市中考数学真题（解析版）

2023年潍坊市初中学业水平考试

数学试题

注意事项：

L本试题满分150分，考试时间120分钟；

2.答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚；

3.请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置.

第I卷（选择题共44分）

一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分.每小题的四个选项中只有一项正确）

1.在实数1，-1,0,灰中，最大的数是（）

A.1B.-1C.OD.72

【答案】D

【解析】

【分析】正数大于。，负数小于。，两个正数；较大数的算术平方根大于较小数的算术平方根.

【详解】解：2>1，・•・加>/=1

•*.V2>1>0>-1

故选：D.

【点睛】本题考查实数的大小比较，二次根式的化简，掌握二次根式的性质公式是解题的关键.

2.下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180。，如果旋转后的图形与另一个

图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴时称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线

两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得.

【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意；

B、不是釉对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；

C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意；

D、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键.

3.实数a,4c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（）

ab0c

A.-c<bB.a>-cc.\a-b\=b-aD.\c-ci\=a-c

【答案】C

【解析】

【分析】根据数轴的性质可得a<〃<0<0,|4>网>|c],据此逐项判断即可得.

【详解】解：由数轴可知，a<〃<Ovc,同>例>同.

A、-c>b,则此项错误，不符合题意；

B、。<一c,则此项错误，不符合题意；

C、Qa-bv。,

:.\a-b\=b-af则此项正确，符合题意；

D、・・・c-a>0,

:.\c-a\=c-a,则此项错误，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了数轴、绝对值的性质，熟练掌握数轴的性质是解题关键.

4.在我国古代建筑中经常使用桦卯构件，如图是某种样卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（

a-

怦卯

•

■*.■

•■,.

OI

［美］C

【解析】

【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得.

【详解】解：卯的俯视图是::,

,•

故选：C.

【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键.

3

5.如图，在直角坐标系中，一次函数X=x-2与反比例函数为=一的图象交于A，B两点,下列结论正确

x

的是（）

A.当x>3时，y\<y2B.当xv-l时，y\<y2

C.当Ovx<3时，y>为D.当一l<x<0时，y]<y2

【答案】B

【解析】

【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得.

【详解】解：A、当X>3时，y,>y2,则此项错误，不符合题意;

B、当x<—l时，y\<y2,则此项正确，符合题意；

C、当0<xv3时，则此项错误，不符合题意：

D、当一lvx<0时，%则此项错误，不符合题意：

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象，熟练掌握函数图象法是解题关键.

6.如图，在直角坐标系中，菱形Q43C的顶点A的坐标为（-2,0）,ZAOC=60°.将菱形0A3C沿工轴

向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形Q4'6'C',其中点5'的坐标为（)

c.（-Ai）D.（-73,73-1）

【答案】A

【解析】

【分析】如图，过。作轴于〃，求解。4=A5=2,A8〃0C,可得NBA"=NAOC=60。，

求解AH=O8-cos600=l,BH=d*-f=百，可得川―3,6）,再利用平移的性质可得

昨2,6-1）.

【详解】解：如图，过8作轴于”，

•・•菱形Q48C的顶点A的坐标为（一2,0）,NAOC=60。.

：,OA=AB=2,AB//OC,

・•・NZM”=ZAOC=60。，

:.AH=OBcos60°=LBH=\l»=百，

・・・可-3,@,

•・•将菱形043。沿x轴向右平移1个单位长度，再沿），轴向下平移1个单位长度,

:.2,5/3—；

故选A

【点睛】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，图形的平移，熟练的求解3

的坐标是解本题的关键.

二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.每小题的四个选项中，有多项正确，全

部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分）

7.下列运算正确的是（）

A.^^64=4B.74=2C.（-3。丫=9。2D./.〃3=〃6

【答案】BC

【解析】

【分析】根据立方根与算术平方根、积的乘方、同底数累的乘法法则逐项判断即可得.

【详解】解：A、V石=—4,则此项错误，不符合题意；

B、〃=2,则此项正确，符合题意；

C、（一3。『=9。2,则此项正确，符合题意；

D、/.优=优，则此项错误，不符合题意；

故选:BC.

【点睛】本题考查了立方根与算术平方根、积的乘方、同底数某的乘法，熟练掌握各运算法贝!是解题关

键.

8.下列命题正确的是（）

A.在一个三角形中至少有两个锐角

B.在圆中，垂直于弦的直径平分弦

C.如果两个角互余，那么它们的补角也互余

D.两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等

【答案】AB

【解析】

【分析】根据三角形的内角和定理、垂径定理、互余与互补、平行线的性质逐项判断即可得.

【详解】解：A、在一个三角形中至少有两个锐角，原命题正确，则此项符合题意；

B、在圆中，垂直于弦直径平分弦，原命题正确，则此项符合题意；

C、设NA与N3互余，

」.ZA+NB=90°,

.\180o-ZA+180°-ZB=360°-90°=270°,

・•・如果两个角互余，那么它们的补角也互余，命题错误，则此项不符合题意；

D、两条平行直线被第三条直线所截，同位角一定相等，原命题错误，则此项不符合题意；

故选：AB.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、垂径定理、互余与互补、平行线的性质，熟练掌握各定理和性

质是解题关键.

9.已知抛物线》=加-51一3经过点(-1,4),则下列结论正确的是()

A.抛物线的开口向下

B.抛物线的对称轴是X=』

4

C.抛物线与工轴有两个交点

49

D.当时，关于x的一元二次方程依2-5工一3-1=0有实根

8

【答案】BC

【解析】

【分析】将点(-1,4)代入可求出一次函数的解析式,再根据一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次

方程的联系逐项判断即可得.

【详解】解：将点(一1,4)代入—3得：。+5-3=4,解得4=2,

(sY49

y=2f-5工一3=2x——----，

“I4J8

二•抛物线的开口向上，抛物线的对称轴是x=选项A错误，选项B正确；

4

方程2/一5%-3=0根的判别式△=(一5『一4x2x(-3)=49>0,

・•・方程2/一5%一3二0有两个不相等的实数根，

..・抛物线与x轴有两个交点，选项C正确：

549

由二次函数的性质可知，这个抛物线的开口向上，且当x=一时，V取得最小值-一，

48

40

.•.当——时，y=ar?-5乂-3与y=，没有交点，

8

49

.•.当r<一时，关于X的一元二次方程依2一5工一3-，=0没有实根，选项D错误；

O

故选：BC.

【点睛】本题考杳了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象

与性质是解题关键.

10.发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图.图②中，

点A在直线/上往复运动，推动点4做圆周运动形成OO,A8与3。表示曲柄连杆的两直杆，点C、。是

直线/与0。的交点；当点A运动到七时，点8到达C；当点人运动到产时，点B到达。.若八5=12,

08=5,则下列结论正确的是（）

图I图2

A.FC=2B.EF=\2

C.当AB与OO相切时，£4=4D.当O3_LCD时，EA=AF

【答案】AC

【解析】

【分析】如图，由题意可得：AB=CE=\2,AB+BO=OE=17,FD=AB=12,OC=OB=OD=5,

从而可判断A,B,如图，当AB与OO相切时，求解AO7AB'OB?=13，可得

EA=EO-AO=\7-\3=4,可判断C；当QB_LC。时，如图，可得=J12?-5?=Jj而，

AE=EO-AO=\7-y/\A9AF=AO-OF=y/l\9-2-5=-7»可判断D；从而可得答案.

AB=CE=\2,AB+BO=OE=V7,FD=AB=\2>OC=OB=OD=5,

AFC=FD-CD=\2-\0=2,故A符合题意；

EF=CE-CF=12-2=13故B不符合题意；

如图，当A3与。。相切时，

AO=yjAB1+OB1=13>

/.LA-EO-AO-17-\3-4,故C符合题意;

当QB_LC£）时，如图,

E

・•・AO=7122-52=VH9»

，AE=EO-AO=17-VH9»AF=AO-OF=y/\\9-2-5=yf\A9-7»

AAE^AF^故D不符合题意；

故选AC

【点睛】本题考查的是线段的和差运算，圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意熟练的利用数形结

合的方法解题是关键.

第n卷（非选择题共106分）

三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分.只写最后结果）

11.从-④、G，述中任意选举两个数，分别填在算式（计0）2+夜里面的“口”与中，计算该

算式的结果是.（只需写出一种结果）

【答案】1夜一26（或4夜一2几或白J5+6,写出一种结果即可）

【解析】

【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得.

【详解】解:①选择—行和G，

则（-夜+6）2+&=（2-2指+3卜近

=（5-2指/拉

=5+>/2—2^6+\/2

=-V2-25/3.

②选择和而，

-y

则（-夜+时+/=（2-2而+6卜血

=（8-2>/12）4->/2

=8-5/2-2712-5/2

=4叵-2瓜.

③选择G和6，

•y

贝|J（G+何♦&=（3+2炳+6卜加

=（9+6及）+垃

=9+夜+6夜+夜

「a+6.

2

故答案为：■|也一26（或40—2#或10+6,写出一•种结果即可）.

【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键.

12.用与教材中相同型号的计算器，依次按键^^^^^^^，显示结果为

己己王口印叫「.借助显示结果，可以将一元二次方程Y+x-1=0的正数解近似表示为.（精

确到0.001）

【答案】0.618

【解析】

【分析】先利用公式法求出一元二次方程的解，再根据精确度的概念即可得.

【详解】解:一元二次方程/+工一1=（）中的〃=1力=1,。二一1,

则（二7±肝一4><1><（_1）二一］±石

12^1-—2~

所以这个方程的正数解近似表示为一"逐x―"2236067977之。618，

22

故答案为：0.618.

【点睛】本题考查了近似数、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键.

13.投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率是____.

【答案】7

6

【解析】

【分析】先画出树状图，从而可得投掷两枚骰子，朝上一面的点数的所有等可能的结果，再找出投掷两枚骰

子，朝上一面的点数之和为7的结果，然后利用概率公式计算即可得.

【详解】解：由题意，画出树状图如下：

由图可知，投掷两枚骰子，朝上一面的点数的所有等可能的结果共有36种，其中，投掷两枚骰子，朝上

一面的点数之和为7的结果有6和，

则投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率为=!，

366

故答案：--.

6

【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画舟树状图是解题关键.

14.在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测景塔高的问题：如图所示，A8表示塔的高度，CO表

示竹竿顶端到地面的高度，耳'表示人眼到地面的高度，A8、CD、族在同一平面内，点A、C、£在

一条水平直线上.已知AC=20米，CE=10米，CO=7米，七/=1.4米，人从点尸远眺塔顶视线

恰好经过竹竿的顶端。，可求出塔的高度.根据以上信息，塔的高度为米.

【答案】18.2##18二

【解析】

【分析】如图，过尸作尸。_148于。，交CD于H,可得Q”=7—1.4=5.6,证明©尸。尸台。,

DHFH

可得----=----可得Q〃=16.8,从而可得答案.

BQFQ

【详解】解：如图，过尸作尸。，A8于。，交.CD于H,

则m=CE=10,QH=AC=20tFQ=AE=AC-^-CE=30fEF=CH=AQ=\A,

・•・DH=7-14=5.6,

B

•:DC//BA,

FDHSdFBQ.

.DHFH

''~BQ~~FQ'

105.6

,解得：Q3=16.8,经检验符合题意；

30QB

・•・48=AQ+Q8=1.4+16.8=18.2（米）；

故答案为：18.2

【点睛】本题考查的是相似三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键.

四、解答题（共8小题，共90分.请写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

…（211X2-4X+4

15.（1）化简：--------+—―

yxx-\Jx-lx

3（x+4）>2（l-x）

（2）利用数轴，确定不等式组，E-l2x的解集.

-----<3------

23

【答案】（1）—；（2）画图见解析，不等式组的解集为：-2<.r<3.

x-1

【解析】

【分析】（1）先通分计算括号内的分式的减法，再通分计算分式的加法运算即可；

（2）分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分即

可.

x2-4x+4

【详解】解:

X2-2X

2x-2-x(x-2)'

x(x-1)x(x-2)

x-2।x-2

x(x-l)X

x-2—3x+2

X(JI-1)x(x-l)

X2-2X

一伞T)

x(x-2)

、(1)

x-2

x-1,

3(x+4)>2(l-x)®

⑵②，

23

由①得：3x+12>2-2x,

解得：x>-2,

由②得：3x—3<18—4x,

解得：x<3,

两个不等式的解集在数轴上表示如下:

-5-4-3-2-1012345

・•・不等式组的解集为：-2Wxv3.

【点睛】本题考查的是分式的加减运算，一元一次不等式组的解法，熟记分式的加减运算的运算法则与解

不等式组的方法与步骤是解本题的关犍.

16.如图，在中，CO平分NAC8,重足为点E,过点E作麻〃8。、交AC于点八

G为BC的中点，连接尸G.求证：FG=^-AB.

A

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】如图，延长AE交BC于”，证明AACEW”CE（ASA）,则AE=证明

ApApACI

^AEF^AHC,则一=—,即笠=：，解得AC=2AF\即尸是AC的中点，FG是_A5C的

ACAHAC2

中位线，进而可得尸G=,A8.

2

【详解】证明：如图，延长AE1交8C于〃，

•••CO平分/4CB,AE1CD,

:."CE=/HCE,ZAEC=AHEC=90°,

VZACE=ZHCE,CE=CE-ZAEC=NHEC=90°,

・•・ACEWHCE(ASA),

：.AE=EH=-AH,

2

♦：EF〃BC,

工ZAEF=ZAHC,ZAFE=ZACH,

・•・dAEFs..AHC,

.AF_AEAp1

即”：=不，解得AC=2AF\

'AC-7^7ACZ

・•・尸是AC的中点，

又・；G是8C的中点，

，R7是的中位线,

・•・FG=-AB.

2

【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，中位线.解题的关

键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

17.如图，/是南北方向的海岸线，码头4与灯塔8相距24千米，海岛。位于码头4北偏东60。方向.一-艘

勘测船从海岛。沿北偏西30。方向往灯塔B行驶，沿线勘测石池资源，勘测发现位于码头A北偏东15。方向

的D处石油资源丰富.若规划修建从。处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结

【答案】（66一6）千米

【解析】

【分析】过点。作力于点M，由垂线段最短可得DM的长印为所求，先求出NACB=90。，再根

据等腰直角三角形的判定与性质可得AC=CE>,然后在RtZiABC中，解直角三角形可得AC8C的长,

从而可得BD的长，最后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得.

【详解】解：如图，过点D作。M/AB于点M,

»1北

A

由垂线段最短可知，DW的长即为所求,

由题意得：=60°,ZBAD=15°,^BCE=30°,AB//EF,AB=24千米,

..NGA。=45。，ZACF=ZBAC=6O°,ZABC=/BCE=30。,

ZACB=180°-ZACF-NBCE=90°，

.•.RL4CO是等腰直角三角形，

...AC=CD，

在RlZ\A8C中，AC=g43=12千米，8C=A8cos30。=126千米,

/.8。=8。一。。二8。一八。二（12有一12）千米，

在RtaEW中，。知="。=仅6-6）千米，

答：输油管道的最短长度是（66-6）千米.

【点睛】本题考直了解直角三角形的应用、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握解直

角三角形的方法是解题关键.

18.为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景卜.做对比实验，收集了该试剂挥发过程

中剩余质量y（克）随时间工（分钟）变化的数据（04x<20）,并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示.

y/£

20.(5.195)20

.(10,16).(5.16)

1515

.(10,1!)

io10

$・(15.6)

.(20.3)

.(20.1)

J510~15—20~7分计O5―10-15-町落计

场景A场景R

（1）从y=ox-十21（。30）,），=&（%H0）,丁二一0.04/+版十。•中，选择适当的函数模型分别模拟两

x

种场景下）'随X变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；

（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克.在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下

发挥作用的时间更长？

【答案】（1）场景A中y随工变化的函数关系为），=-0.04.一-0.5+21,场景B中y随x变化的函数关系

为y=-x+21

（2）场景B

【解析】

【分析】（1）由图象可知，场景A中y随X变化的函数关系为）：=一0.04/+法+c,将（10,16）,

（20,3）代入），=-0.04/+bx+c,进而可得），=-0.04x2-O.lx+21；场景B中y随x变化的函数关系

为旷=火+21（。。0）,将（20,1）代入，进而可得y=-x+2l；

（2）场景A中当），=3时-，x=20；场景B中，将），=3代入y=-x+21,解得，x=24,判断作答即

可.

【小问1详解】

解：由图象可知，场景A中〉随1变化的函数关系为y=—0.04/+"+。，

,.、/、f-0.04xl02+10/?+c=16

«10,16）,（2。,3）代入尸=-0.047/+云+0,得《,，

7V7-[-0.04X202+20/?+C=3

仿=-0.1

解得《力，

c=21

Ay=-0.04x2-0.Lv4-21：

场景B中），随工变化的函数关系为>=依+21（。w0）,

将（20,1）,代入），=or+21,得20a+21=l,解得〃=-1,

y——x+21；

【小问2详解】

解：场景A中当y=3时，x=20；

场景B中，将y=3代入），=-x+21,得3=—x+21,解得％=24,

V24>20,

・•・该化学试剂在场景B下发挥作用的时间更长.

【点睛】本题考查了函数图象，一次函数解析式，二次函数解析式.解题的关键在于对知识的熟练掌握与

灵活运用.

19.某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件.学期末，学校对七、

八年级的学生投稿情况进行调查.

【数据的收集与整理】

分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表.

投稿篇数（篇.）12345

七年级频数（人）71015126

八年级频数（人）21013214

【数据的描述与分析】

（1）求扇形统计图中圆心角。的度数，并补全频数直方图.

七年级样本学生投八年级样本学生投

稿篇数扇形统计图稿篇数频数直方图

（2）根据频数分布表分别计算有关统计量:

统计量中位数众数平均数方差

七年级33X1.48

八年级mn3.31.01

直接写出表格中，〃、〃的值，并求出—

【数据的应用与评价】

（3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做

出评价.

【答案】（1）。=72。，见解析；（2）m=3.5,〃=4,7=3；（3）见解析

【解析】

【分析】（1）利用360。乘以七年级学生投稿2篇的学生所占百分比即可得a的值；根据八年级学生的投稿

篇数的频数分布表补全频数直方图即可；

（2）根据中位数和众数定义、加权平均数公式即可得；

（3）从中位数、众数、平均数、方差的意义进行分析即可得.

【详解】解：（1）两个年级随机抽取的学生数量为7+10+15+12+6=50（人）,

则a=3600xWxl00%=72。.

50

补全频数直方图如下：

八年级样本学生投

稿篇数频数直方图

-1x7+2x10+3x15+4x12+5x6.

（2）x=--------------------------=3,

50

将八年级学生的投稿篇数按从小到大进行排序后，第25个数和第26个数的平均数即为其中位数，

•.-2+10+13=25,2+10+13+21=46,

3+4

・.•中位数〃?=2—=3.5,

2

•・•在八年级学生的投稿篇数中，投稿篇数4出现的次数最多，

二众数〃=4.

（3）从中位数、众数、平均数来看，八年级学生的均高于七年级学生的，而且从方差来看，八年级学生

的小于七年级学生的，所以八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好.

【点睛】本题考杳了扇形统计图、频数分布表、频数分布直方图、中位数、众数、平均数、方差，熟练学

握统计调查的相关知识是解题关键.

20.工匠师傅准备从六边形的铁皮底/中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示.经测量，

AB//DE4?与OE之间的距离为2米，AB=3米，A/=BC=1米，NA=N8=90。，

ZC=ZF=135°.MH，1IG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当的长度为多少时，矩形铁皮

M7/GH的面积最大，最大面积是多少？

MN

525

【答案】当〃的长度为一米时，矩形铁皮MNG”的面积最大，最大面积是，平方米

48

【解析】

【分析】连接。尸，分别交于点尸，交GN于点Q,先判断出四边形ABC/是矩形，从而可得

ZEFC=ZDCF=45°,再判断出四边形AMPF和四边形BCQN都是矩形，从而可•得

PM=AF=BC=QN=1米,AM=PF,BN=CQ,MH工CF,GN上CF,然后设矩形MVG”的面积

为V平方米，MH=GN=x米,则A"=/W=(x-1)米，BN=GQ=(x-l)米,利用矩形的面积公式

可得》关于k的二次函数，最后利用二次函数的性质求解即可得.

【详解】解：如图，连接。尸，分别交AW于点P，交GN于点。，

AFfBC,

,・・4尸=笈。=1米，

••・四边形A8Cr是平行四边形，

又・・・/4=/B=90。，

••・四边形A3C/是矩形，

ZAFC=ZBCF=90°,CF//AB,

・・・/BCD=ZAFE=135。,

NEFC=NDCF=45。,

四边形M7VG”是矩形，

MH±AB,GNJLAB,GN=MH,

••・四边形AMPF和四边形8CQN都是矩形,

PM=AF=BC=QN=1米,AM=PF,BN=CQ,MH1CF,GN1CF,

.•.Rt_P切和Rt，QCG都是等腰直角三角形，

:.PH=PF,GQ=CQ,

AM=PH,BN=GQ,

设矩形MVG”的面积为）‘平方米，MH=GN=x米,则AM=P”=（1一1）米，BN=GQ=（x-l）

米，

・・・A3=3米，

.•.MV=A8—AW-8V=（5-2x）米，

（5V25

/.y=MHMN=x（5-2x）=-2\x-^\+j,

又「44||OE,A3与OE之间的距离为2米，A/=BC=1米，

l<x<2>

由二次函数的性质可知，当时，y随X的增大而增大；当2<XW2时，5随X的增大而减小，

44

525

则当工=:时，丁取得最大值，最大值为甚,

48

525

答：当的长度为一米时，矩形铁皮MNG”的面积最大，最大面积是七平方米.

48

【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题

关键.

21.如图，正方形ABC。内接于Q。，在A8上取一点E，连接AE，DE.过点A作AG_LAE,交C。

于点G,交DE于点、F,连接CG,DG.

（1）求证：△AED四△CGO；

（2）若AB=2,ZBAE=30°,求阴影部分的面积.

【答案】（1）证明见解析

乃+百一3

⑵S阴影=

【解析】

【分析】（1）如图，连接EG,证明/EDG=/£4G=90o=NEOC+NCr）G,再证明NADC=90。，

AD=CD,可得NAD/=NCQG,结合ND4b=NDCG,从而可得结论；

（2）如图，连接04,0D,过”作PK_LA。于K,设RK=x,在AO上取Q,使。厂=。。，证明

ZOAE=75°,Z£AD=30o+90o=120°,ZE4£>=120°-90°=30°,可得A尸=2x,AK=VIr，求

解NAZ邛=180。一30。—135。=15。，而。/=。。，可得/长。/=30。，FQ=2x=QD,QK=瓜,

可得2jlr+2x=2,再求解修利用S阴影=S.c+S弓形仞进行计算即可.

【小问1详解】

解：如图，连接EG,

VAE±AG,则N%G=90c,

・•・/EDG=ZE4G=90°=ZEDC+ZCDG,

•・•正方形ABC。，

・・・ZADC=90。，AD=CD,

•\ZADF+ZEDC=90°.

:.ZADF=/CI)G,

•・•/DAF=/DCG,

:.4AFDqACGD.

【小问2详解】

如图，连接04,0D,过尸作五K_LAZ）于K，设尸K=x,在AO上取Q,使。尸=。。,

•・・。为正方形中心，

/.£OAB=ZCMD=ZODA=45°,Z4QD=90。，而NB4E=30。,

:.4OAE=75°，ZEAD=300+90°=120°，

•・•ZE4G=90°,

・•・ZfXD=120°-90°=30%

••A尸=2x9AK=\/3x，

■:ZAEZ)=-ZAOD=45°,

2

・•・ZAFD=ZAED-^-ZEAF=450+90°=l35°，

/./ADF=180°-30°-135°=15°»而QF=QD,

・•.AQFD=ZQDF=\5°,

r.Z/fQF=30°,

***FQ=2.x=QZ),QK=>/3x，

而正方形的边长AB=2=AD，

・•・?瓜+2x=2.

解得：x二正二1,

2

:,SAFD=^AD・FK=

VAD=2,ZAQD=90°,OA=OD,

・•・OA=OD=ADx2=&，

2

:.S=—x5/2xy/2=1,

AA/ivn/tny2

907rx

而q1

国形=—7T

JACW~3602

g1一百一14+后一3

S阴影=2^~2-=------2-----

【点睛】本题考查的足正多边形与圆，圆周角定理的应用，全等二角形的判定与性质，勾股定理的应用,

含30。的直角三角形的性质，扇形面积的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键.

22.［材料阅读］

用数形结合的方法，可以探究4+/+/+...+/+…的值，其中

1]

例求士+-+的值.

2⑴

方法1：借助面积为I的正方形，观察图①可知

/]、3

1

---+…++的结果等于该正方形的面积,

2⑴4-

方法2：借助函数），=gx+/和y=x的图象，观察图②可知

见…等各条竖直线段的长度之和,

+的结果等于q,a2,a3

即两个函数图象的交点到工轴的距离.因为两个函数图象的交点（U）到/轴的距为I,

图①

实践应用】

完W+2

任务一的求值过程.

图③

、3

2（722f2

方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知~+-4-十•+4-

3⑶13,5

22

方法2：借助函数），=§工+§和y=x的图象，观察图④可知

因为两个函数图象的交点的坐标为—

22f2?9

所以，-++++4-

31313