函数基础知识与一次函数（2大模块知识清单 5种方法清单 3种易错清单 12个考试清单真题专练）

知识必备03函数基础知识与一次函数各象限角平分线[第一、三象限角平分线上的平面直角坐标系点对称都变号平面直角坐标系点P的坐标向左平移a个单位向右平移a个单位向上平移b个单位向下平移b个单位点到坐标轴及原点的距离平面直角坐标系与函数平面直角坐标系与函数两点间的距离等，(如图)中的距{【满分技法】中点公式：平面内任意两点P(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)的中点M(x,y)一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y,如果对于x的值与它对应，那么我们称x是自变量，y是x的函数的取值范围含有分式与兼以上两种或两种以上结构函数的表示方法及图象的画法yy象限象限象限象限第④二、四象限yy象限象限象限象限第④二、四象限与坐标轴的右减，等号上加下减”直线y=k(x+m)+b向左平移m(m>0)个单位长度一次函数图向右平移m(m>0)个单位长度直线y=k(x-m)+b向上平移m(m>0)个单位长度向下平移m(m>0)个单位长度与x轴交于点(即令y=0),与y轴交于点06(0,b)(即令x=0)移动方向象限y=kx+b(k,b为常数，k≠0)(特别地，当b=0时，y=kx为正比例函数，正比例函数图象经过原点)的增减性图象与y轴的交点位置函数图象与函数图象与函数图象经过⑤原点函数图象与函数图象与函数图象经过⑧原点直线y=kx+b次方程(组)、等式的关系一元一次不等次方程(组)、等式的关系一元一次不等yo方法一：平面直角坐标系中的规律问题1.(2023·花都区一模)数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为1cm,若在数轴上随意画一条长为2015cm的线段AB,则线段AB盖住的整点的个数为()A.2015B.2014C.2015或2014D.2015或20162.(2023·太平区二模)如图，在左面ABCD上建立平面直角坐标系，每个小正方形边长为一个单位长度，小球从点P(-4,0)出发，撞击桌面的边缘发生反弹，反射角等于入射角，若小球以每秒√2个单位的速度沿图中箭头方向运动，则第2023秒时小球所在位置的纵坐标为()从点A(2,6)出发沿直线向点B运动，到达点B时被第一次反弹，每当小球P沿直线运动碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球P第100次碰到矩形的边时，小球P所在位置的坐标为()A.(4,0)B.(8,6)C.(5,12)D.(12,C(-1,-1)、D(-1,1),y轴上有一点P(0,2).作点P关于点A的对称点P,作P关于点B的对称点P₂,作点P₂关于点C的对称点P₃,作P关于点D的对称点P,作点P₄关于点A的对称点P,作P₅关于点B的对称点P…,按如此操作下去，则点P₂o的坐标为()A.(0,2)B.(2,0)C.(0,-2)5.(2023·方城县模拟)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点0出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A₁(0,1)、A₂(1,1)、A₃(1,0)、A₄(2,0),那么点A202的坐标为()A.(1011,0)B.(1011,1)C.(2022,6.(2023·利津县一模)如图，在单位为1的方格纸上，△A₁A₂A,△A₃A₄A,△A₅A₆A,…,都是斜边在x轴上，斜边长分别为2,4,6,.…的等腰直角三角形，若△A₁A₂A₃的顶点坐标分7.(2022·钢城区)规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°,由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换.例如：如图，点00,0)按序列“011…”作变换，表示点0先向右平移一个单位得到O₁(1,0),再将O₁(1,0)绕原点顺时针旋转90°得到O₂(0,-1),再将O₂(0,-1)绕原点顺时针旋转90°得到O₃(-1,0)…依次类推.点(0,1)经过“011011011”变换后得到点的坐标8.(2023·孟村县校级模拟)一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0,1),然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→...,且每秒跳动一个单位，那么第36秒时跳蚤所在位置的坐标是9.(2023·东昌府区二模)在直角坐标系中，点A从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为A₂(1,0),A₃(1,1),A₄(-1,1),A₅(-1,-1),A₆(2,-1),A,(2.2),…..则A₂₀23的坐标为一.填空题(共4小题)如果已知点A在直线y=x+3上，点B在00的内部，00的半径长为3√2(如图所示),那么点A的横坐标x的取值范围是2.(2023·荆州模拟)如图，在平面直角坐标系中，长为3的线段CD(点D在点C右侧)在3.(2023·四川模拟)已知二次函数y=x²-a(a>0)交x轴于AB(点A在B的左侧)两点，平面上有任意点P,使得PA=2PB,则△PAB面积的最大值为.(用含有a的代数式表示)(4,1),(3,0),点P为线段AB上的一个动点，连接PC,过点P作PQ⊥PC交y轴于点Q,当点P在AB上运动时，点Q随之运动，设点Q的坐标为(0,t),则t的取值范围是_一.选择题(共8小题)1.(2023·铁锋区三模)把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，1min后将容器内注满.那么容器内水面的高度h(cm)与注水时间t(s)之间上一动点，过点P作直线1⊥AB,交折线ACB于点Q.设AP=x,CQ=y,则y关于x的函数3.(2023·海淀区校级模拟)下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函A.圆的面积y与它的半径xB.正方形的周长y与它的边长xC.小丽从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度xD.用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x4.(2023·龙岩模拟)已知点A(-1,m),B(1,-m),C(-2,m-1)在同一个函数图象上，则这个函A.f可可可可与四边形ABCD重叠部分的面积为y,则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是()7.(2023·绥中县二模)如图，四边形ABCD是正方形，AB=2,点P为射线BC上一点，连长为x,四边形BFEP的面积为y,下列图象能正确反映出y与x函数关系的是()8.(2023·武威模拟)如图矩形ABCD中，AB=3,BC=4,动点P由点A出发，沿A→B→C的路径匀速运动，过点P向对角线AC作垂线，垂足为Q,设AQ=x,△APQ的面积为y,则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是()方法四：从函数图象中获取信息1.(2023·南宁一模)人体生命活动所需能量主要由食物中的糖类提供.如图是小南早餐后一段时间内血糖浓度变化曲线图.下列描述正确的是()A.从9时至10时血糖呈下降状态B.10时血糖最高C.从11时至12时血糖呈上升状态D.这段时间有3个时刻血糖浓度达到7.0mmol·L¹2.(2023·西宁一模)如图1,矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C,设B,P两点间的距离为x,PA-PE=y,点P运动时y随x变化的函数图象如图2所示，则BC的长是()AADC图1图2A.2√6B.5C.63.(2023·广饶县校级模拟)如图1,Rt△ABC中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C,设B,P两点间的距离为x,PA-PE=y,图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为()A.6B.84.(2023·西工区一模)如图①,在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D(BD>AD),动点P从B点出发，沿折线BA→AC方向运动，运动到点C停止，设点P的运动路程为x,△BPD的面积为y,y与x的函数图象如图②,则BC的长为()A.3B.6C.85.(2023·延津县三模)如图(1),在矩形ABCD中，点E是边AD的中点，动点P从点B出发，沿着折线BEDC运动到点C停止.设动点P运动的路程为x,△BPC的面积为y(当点P与点B,C重合时，令y=0),y与x的函数关系的图象如图(2)所示，则△ABE的面积为()A.4.86.(2023·海安市模拟)如图1,在矩形ABCD中，AB<AD,对角线AC,BD相交于点E,动点P从点A出发，沿A→B→C→D向点D运动，设点P的运动路程为x,△AEP的面积为y,y与x的函数关系图象如图2所示，①四边形ABCD的面积为12;②AD边的长为4;③当x=2.5时，△AEP是等边三角形；④△AEP的面积为3时，x的值为3或10,则以上结论正确的有()方法五：一次函数的实际应用一.选择题(共5小题)1.(2023·延庆区一模)如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm,它的邻边长为ym.当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是()A.一次函数关系B.二次函数关系C.正比例函数关系D.反比例函数关系2.(2023·南岗区校级二模)在全民健身越野比赛中，乙选手匀速跑完全程，甲选手1.5小时后的速度为每小时10千米，甲、乙两选手的行程y(千米)随时间z(时)变化的图象(全程)如图所示.下列说法：①起跑后半小时内甲的速度为每小时16千米；②第1小时两人都跑了10千米；③两人都跑了20千米；④乙比甲晚到0.3小时.其中正确的个数有()3.(2023·肃州区三模)甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示.则①A,B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，4.(2023·江岸区二模)如图，是某工程队修路的长度y(单位：m)与修路时间t(单位：天)之间的函数关系.该工程队承担了一项修路任务，任务进行一段时间后，工程队提高了工作效率，则该工程队提高效率前每天修路的长度是()米.A.150B.1105.(2023·东西湖区模拟)如图，甲、乙两人沿同一直线同时出发去往B地，甲到达B地后)小时第一次相遇.二.填空题(共3小题)6.(2023·西藏一模)学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练.在直线跑道上，甲同学从A处匀速跑向B处，乙同学从B处匀速跑往A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动.设甲同学跑步的时间为x(秒),甲、乙两人之间的距离为y(米),y与x之间的函数关系如图所示，则图中t的值是7.(2023·吴桥县校级模拟)如图，甲，乙，丙三个容器内的液体体积分别用V甲，V乙，V丙(单位：cm³)表示，某时刻计时为t=0,此时V丙=50cm³.t=0时打开甲的开关，以6cm³/min的速度向乙容器注水5min,且t=5时，V乙=70cm³,此时关闭甲容器的开关，同时打开乙容器的开8.(2023·市北区二模)为了预防“流感”,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例(如图).现测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg.研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg才有效，那么此次消毒的有效时间是分三.解答题(共6小题)9.(2023·新华区校级二模)在平面直角坐标系中，放置一面平面镜AB,如图所示，其中A(4,B(4,6),从点C(-1,0)发射光线，其解析式为y=mx+n(m≠0,x...-1).(1)点D为平面镜的中点，若光线恰好经过D点，求3m+2n的值；(2)若入射光线y=mx+n(m≠0,x...-1)与平面镜AB有公共点，求n的取值范围；(3)光线y=mx+n(m≠0,x...-1)经过平面镜反射后，反射光线与y轴交于点E,直接写出点E的纵坐标的最大值.们生活的一部分.越来越多的人选择通过快递公司代办点邮寄包裹，那么选择哪家快递公司更合算呢?以此为驱动问题，某校八年级开展了项目学习.如表是李华同学帮家人选择更优惠的快递公司的活动报告(不完整),请仔细阅读并完成相应任务.经了解我家附近有甲、乙两个不同的快递公司代办点，服务质量同等，爸爸妈妈邮寄快递通常是随机去其中的一个代办点.他们邮寄的快递都是省外且在10kg以内，体积一般较小.快递费通常是由首重费和续重费组成，以1kg为单位计费，不足1kg按1kg计费.取实际重量和体积重量(长×宽×高/6000,单位cm)中两者较大值作为物品重量计费.甲：首重1kg收费8元，续重5元/kg;(即所寄物品重量不超过1kg时收费8元，重量超过Ikg时超过部分按每千克加收5元计费)乙：首重1kg收费10元，续重4元/kg.1.发现所寄物品的快递费用y(元)与物2.在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象(如图，不完整),两图象交于点A.(1)请将函数图象补充完整(在图中画出yz的函数图象),直接写出点A的坐标，并根据(2)同一个问题可以有不同的解决策略，李华借助一次函数的图象解决了这个问题，请你想想，此问题还可以借助哪些知识解决；(3)同一策略可以帮助我们解决生活中的许多共性问题，例如以上策略还可以解决哪款手机套餐资费更划算的问题，请你再举出一个利用以上策略解决的实际问题.11.(2023·秦都区校级一模)尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品.某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费.已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元.该班班长准备购买x支钢笔和(x+10)本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为y₁元，选择第二种方案购买所需费用为y₂元.(1)请分别写出y₁,y₂与x之间的关系式；(2)若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠.12.(2023·郸城县二模)某校教务处为了升级教学设施，购置了A、B两款翻页笔，已知B款(充电款)比A款(电池款)每支贵5元，且200元购买B款翻页笔的数量与175元购买A款翻页笔的数量相同.(2)若学校共购买75支翻页笔，若要求A款数量不超过B款数量的2倍，请问如何购买才州2022年亚运会”,将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州举行.杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”,出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”.它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”.某专卖店购进A,B两种杭州亚运会吉祥物礼盒共50个，共花去7500元，这两种吉祥物礼盒的进价、售价如表：进价(元/个)售价(元/个)(2)由于销售情况很好，第一次购进的50个礼盒很快就销售完了，专卖店老板又计划用不超过12000元购进A,B两种礼盒共80个，则应该如何进货，才能使得第二批礼盒全部售完后获得最大利润?最大利润为多少?14.(2023·东西湖区模拟)骑行是广大青少年健身的一种流行运动.如图所示的是两条互相垂直的“丁字形”道路，AB=CD=20km,且点B是CD的中点，甲从A地匀速向B地骑行，同时乙从C地匀速向D地骑行，他们的速度都是10km/h,设两人出发t小时后，甲到达点P,乙到达点Q,记y=PQ².(3)设两人出发t₁、t₂小时，甲分别到达点P、P₂,乙分别到达点Q、Q,记y₁=PQ²,y₂=P₂Q,若t₁>t..1,比较y₁,y₂的大小.一.填空题(共2小题)1.(2023·花溪区模拟)已知点A(-2,3),B(2,1),直线y=kx+k与线段AB相交，则k的取值范围是2.(2023·阜新一模)已知A,B两地之间有一条长240千米的公路.甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发半小时后，乙车从A地出发沿同一路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回A地.两车之间的距离y(千米)与甲车行驶时间x(小时)之间的函数关系如图所示，则乙车的行驶时间为·二.解答题(共2小题)(1)求k,b的值；(2)关于x的方没有实数根，请直接写出n的取值范围.4.(2023·平谷区一模)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(m,n),我们将点M的横纵坐标交换位置得到点N(n,m).给出如下定义：对于平面上的点C,若满足NC=1,则称点C为点M的“对炫点”.(1)已知点A(2,0),①下列各点：Q(0,1),Q₂(1,1),Q₃(-1,2)中为点A的“对炫点”的是;②点P是直线y=x+2上一点，若点A是点P的对炫点，求出点P的坐标；(2)设点A(a,b)是第一象限内一点，点P是直线y=x+b上一点，至少存在一个点P,使得点A的对炫点也是点P的对炫点，求a、b的取值范围.易错点二：一次函数解析式的求法以及一次函数与几何图形的关系应用。注意解析式中字母表示的几何意义。1.(2023·珠晖区一模)如图，在平面直角坐标系中，直线AB交坐标轴于点A(0,6),B(8,0),点C为x轴正半轴上一点，连接AC,将△ABC沿AC所在的直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合.(2)点P为直线AB上的点，请求出点P的坐标使2.(2023·道里区二模)已知：在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，点C在x轴正半轴上，连接AB和AC,过点C作CD⊥AB,垂足为点D,若∠BAC=2∠BCD,直线AC的解析式为y=-√3x+b.(1)如图1,求证：△ABC是等边三角形；(2)如图2,过点A作BC的平行线，过点C作AB的平行线，两条平行线交于点E,点F是CE中点，连接AF和FO,FO与AC相交于点Q,请直接写出△AOF是等边_三角形；连接LK和LC,使LK=LC,点P是LC的中点，连接KP并延长交AC于点M,在AE上取一点N,使AN=AM,连接KN,若KN=√97,KM=7,求点Q的坐标.3.(2023·阿城区一模)在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=kx+6k(k≠0)与x轴交于点A,四边形OABC是平行四边形，BC边与y轴交于点E.(1)求点A的坐标；(2)如图1,过B作AB的垂线交y轴负半轴于点D,EC=ED,设点B的横坐标为t,OD长为d,求d与t的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);(3)如图2,在(2)的条件下，连接AD、OB、CD,当以CD,OB,AD的长为三边长构成的三角形面积是8时，在OB上取中点F,在OE上取点N,将射线FN绕点F顺时针旋转45°交x轴正半轴于点M,连接MN,若△OMN的周长为6,直线y=kx+6k经过点N,求k的值.4.(2023·南岗区二模)已知：如图1,在平面直角坐标系中，0为坐标原点，直线y=kx+b过点B(-1,9),E(2,6)且交x轴于点A,交y轴于点C.(1)求直线AC的解析式；(2)如图2,点F是线段AC上的点，点F的横坐标为t,连接FO,△AFO的面积为s,求S与t的函数关系式；(不要求写自变量t的取值范围)(3)在(2)的条件下，点G是线段OA上的一点，连接FG并延长，在FG的延长线上取一点K,使FG=KG,连接AK,且KF=上一点连接KJ,交CG于点H,CH:GK=6:5,连接CG并延长，交AK于点L,J是线段AC且,连接GJ,求线段GJ的5.(2023·老河口市校级一模)如图1,在坐标系中的△ABC,点A、B在x轴，点C在y轴，且∠ACB=90°,∠B=30°,AC=4,D是AB的中点.(1)求直线BC的表达式.(2)如图2,若E、F分别是边AC,CD的中点，矩形EFGH的顶点都在△ACD的边上.②将矩形EFGH沿射线AB向右平移，设矩形移动的距离为m,矩形EFGH与△CBD重叠部分的时，请直接写出平移距离m的值.(3)如图3,在(2)的条件下，在矩形EFGH平移过程中，当点F在边BC上时停止平移，再将矩形EFGH绕点G按顺时针方向旋转，当点H落在直线CD上时，此时矩形记作E₁FGH₁,由H₁向x轴作垂线，垂足为Q,则图1易错点3:利用图像求不等式的解集和方程(组)的解，利用图像性质确定增减性。此类题目对学生数形结合的思想掌握利用要求比较高，注意细心审题，找准问题问的是什么。也很容易对数轴直线的增减性与解析式中的字母结合理解出错。1.(2022·徐州)若一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于的不等式的解集一.点的坐标(共1小题)1.(2023·衢州)在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为(0,二.坐标与图形性质(共1小题)2.(2023·台湾)如图，坐标平面上直线L的方程式为x=-5,直线M的方程式为y=-3,P点的坐标为(a,b).根据图中P点位置判断，下列关系何者正确()A.a<-5,b>-3三.函数自变量的取值范围(共2小题)3.(2023·黄石)函的自变量x的取值范围是()A.x≥0B.x≠1C.x≥0且x≠14.(2023·无锡)函数中，自变量x的取值范围是()A.x>2B.x≥2C.x≠2D.四.函数的图象(共4小题)5.(2023·淄博)下列函数图象中，能反映y的值始终随x值的增大而增大的是()6.(2023·浙江)如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度(y)与注水时间(x)关系的是()7.(2023·贵州)今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y(km)与所用时间x(h)之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是()A.小星家离黄果树景点的路程为50kmB.小星从家出发第1小时的平均速度为75km/hC.小星从家出发2小时离景点的路程为125kmD.小星从家到黄果树景点的时间共用了3h8.(2023·温州)【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等.【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧,他离入口的路程s与时间t的关系(部分数据)如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟.【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为()A.4200米B.4800米五.动点问题的函数图象(共2小题)9.(2023·齐齐哈尔)如图，在正方形ABCD中，AB=4,动点M,N分别从点A,B同时出发，沿射线AB,射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM,MN,ND.设运动的路程为x(0≤x≤4),△DMN的面积为S,下列图象中能反映S与x之间函数关系可可10.(2023·深圳)如图1,在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s,其中BP长与运动时间t(单位：s)的关系如图2,则AC的长为()A.B.√427C.17六.一次函数图象与系数的关系(共1小题)11.(2023·巴中)一次函数y=(k-3)x+2的函数值y随x增大而减小，则k的取值范围A.k>0B.k<0C.k>3D.k<3七.一次函数图象上点的坐标特征(共2小题)12.(2023·杭州)在“探索一次函数y=kx+b的系数k,b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A(0,2),B(2,3),C(3,1).同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y₁=kix+bi,y₂=k₂x+b2,y3=k₃x+b₃.分别计算k₁+b₁,k₂+b₂,k₃+b₃的值，其中最大的值等于 ·八.待定系数法求一次函数解析式(共2小题)14.(2023·温州)如图，在直角坐标系中，点A(2,m)在直线上，过点A的直线交y轴于点B(0,3).(1)求m的值和直线AB的函数表达式；(2)若点P(t,y1)在线段AB上，点Q(t-1,y₂)在直线上，求yi-v₂的最大值.15.(2023·绍兴)一条笔直的路上依次有M,P,N三地，其中M,N两地相距1000米.甲、乙两机器人分别从M,N两地同时出发，去目的地N,M,匀速而行.图中OA,BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y(米)与行走时间x(分钟)的函数关系图象.(1)求OA所在直线的表达式；(2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇?(3)甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P,M两地间的距离.九.一次函数的应用(共6小题)16.(2023·济南)学校提倡“低碳环保，绿色出行”,小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进.如图所示，L和l₂分别表示两人到小亮家的距离s(km)和时间t(h)的关系，则出发h后两人相遇.17.(2023·成都)2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行.“当好东道主，热情迎嘉宾”,成都某知名小吃店计划购买A,B两种食材制作小吃.已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元.(2)该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A,B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少?并求出最少总费用.18.(2023·宜昌)某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度.小聪想用刻度不超过100℃的温度计测算出这种食用油沸点的温度.在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：时间t/s0油温y/℃(1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点.经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y(单位：℃)与加热的时间t(单位：s)符合初中学习过的某种函数关系，可能是函数关系(请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”);(2)根据以上判断，求y关于t的函数解析式；(3)当加热110s时，油沸腾了，请推算沸点的温度.优惠方案所有商品按八折出售(1)当购物金额为80元时，选择超市(填“A”或“B”)更省钱；当购物金额为130元时，选择超市(填“A”或“B”)更省钱；(2)若购物金额为x(O≤x<200)元时，请分别写出它们的实付金额y(元)与购物金额x(元)之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱?(3)对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为20%(注：).若在B超市购物，购物金额越优惠率一定越大吗?请举例说明.20.(2023·广州)因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用y₁(元)与该水果的质量x(千克)之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用y2(元)与该水果的质量x(千克)之间的函数解析式为y2=10x(x(2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些?21.(2023·遂宁)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售.经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同.(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元?(2)该超市计划购进这两种粽子共200个(两种都有),其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元.①求W与m的函数关系式，并求出m的取值范围；②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元?十.一次函数综合题(共2小题)22.(2023·兰州)在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线EF的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”.例如：如图1,已知点A(1,2),B(3,2),P(2,2)在线段AB上，则点P是直线EF:x轴的“伴随点”.(1)如图2,已知点A(1,0),B(3,0),P是线段AB上一点0),两点，当点P是直线EF的“伴随点”时，求点P的坐标；(2)如图3,x轴上方有一等边三角形ABC,BC⊥y轴，顶点A在y轴上且在BC上方，OC=√5,点P是△ABC上一点，且点P是直线EF:x轴的“伴随点”,当点P到x轴的距离最小时，求等边三角形ABC的边长；(3)如图4,以A(1,0),B(2,0),C(2,1)为顶点的正方形ABCD上始终存在点P,使得点P是直线EF:y=-x+b的“伴随点”,请直接写出b的取值范围.23.(2023·鄂州)如图1,在平面直角坐标系中，直线ILy轴，交y轴的正半轴于点A,且OA=2,点B是y轴右侧直线I上的一动点，连接OB.(1)请直接写出点A的坐标；(2)如图2,若动点B满足∠ABO=30°,点C为AB的中点，D点为线段OB上一动点，连接CD.在平面内，将△BCD沿CD翻折，点B的当CP⊥AB时，求线段DQ的长；(3)如图3,若动点B满!,EF为△OAB的中位线，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；(4)如图4,OC平分∠AOB交AB于点C,AD⊥OB于点D,交OC于点E,AF为△AEC的一条中线.设△ACF,△ODE,△OAC的周长分别为C,C2,C₃.试探究：在B点的运动过程中，时，请直接写出点B的坐标.十一.关于x轴、y轴对称的点的坐标(共2小题)B向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B',则关于点A,B'的位置描述正确A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点O对称D.关于直线y=x对称25.(2023·通辽)点Q的横坐标为一元一次方程3x+7=32-2x的解，纵坐标为a+b的值，其中a,b满足二元一次方程组则点Q关于y轴对称点Q的坐标为一十二.坐标与图形变化-平移(共1小题)26.(2023·黄石)如图，已知点A(1,0),B(4,m),若将线段AB平移至CD,其中点平面直角坐标系与函数平面直角坐标系与函数x轴上点的纵坐标为0,即(x,0);y轴上点的横坐标为0,即(0,y)关于谁对称，谁不变，点P的坐标向左平移a个单位向右平移a个单位向上平移b个单位向下平移b个单位坐标系(如图)(如图)【满分技法】中点公式：平面内任意两点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)的中点M(x,y)满足一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y,如果对于x的值与它对应，那么我们称x是自变量，y是x的函数的取值范围应使该问题有实际意义含有分式与兼以上两种或两种以上结构[三种表示方法：解析式法、列表法、图象法y=kx+b(k,b为常数，k≠0)(特别地，当b=0时，y=kx为正比例函数，正比例函数图象经过原点)的增减性图象与y轴的交点位置函数图象与函数图象与函数图象经过⑤原点函数图象与函数图象与函数图象经过⑧原点直线y=kx+b一次函数解析式的确定步骤{找出函数图象上的两个点P₁(a₁,b₁的解集(如图2)=y=kx+b的解集(如图2)=y=kx的解集(如图2)=y=kx+b的解集(如图2)=y=kx+b一元一次不等yyo时y象限象限象限象限第④二、四y象限象限象限象限第④二、四象限与坐标轴的向左平移m(m>0)个单位长度直线y=k(x+m)+b知识延伸：一次函数图向右平移m(m>0)个单位长度直线y=k(x-m)+b向上平移m(m>0)个单位长度向下平移m(m>0)个单位长度象限与x轴交于点5(即令y=0),与y轴交于点6(0,b)(即令x=0)1.两直线平行则k,=k,[2.两直线垂直则k₁·k₂=-1方法一：平面直角坐标系中的规律问题1.(2023·花都区一模)数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为1cm,若在数轴上随意画一条长为2015cm的线段AB,则线段AB盖住的整点的个数为()A.2015B.2014C.2015或2014D.2015或2016【分析】根据数轴与实数的对应关系，分线段AB起点在整数点与不在整数点两种情况讨论.【解答】解：依题意可知，当线段AB起点在整数点时，能覆盖2016个数；当线段AB起点不在整数点，即在两个整点之间时，能覆盖2015个数，【点评】本题考查数轴与实数的对应关系，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关2.(2023·太平区二模)如图，在左面ABCD上建立平面直角坐标系，每个小正方形边长为一个单位长度，小球从点P(-4,0)出发，撞击桌面的边缘发生反弹，反射角等于入射角，若小球以每秒√2个单位的速度沿图中箭头方向运动，则第2023秒时小球所在位置的纵坐标为()A.2B.1【分析】根据小球的运动方向可得出小球运动一周所走的路程4√2×4=16√2,再由运动速度得出运动一周所用的时间，从而得出第2023秒的小球所在位置【解答】解：根据题意得：∵2023-16=126.…7(秒),∴第2023秒的小球所在位置为(3,-1)∴纵坐标为-1,故选：C.【点评】本题考查了规律型：点的坐标，坐标确定位置，掌握勾股定理以及坐标的表示方法是解题的关键.3.(2023·通州区一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OCDE是一个矩形，小球P从点A(2,6)出发沿直线向点B运动，到达点B时被第一次反弹，每当小球P沿直线运动碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球P第100次碰到矩形的边时，小球P所在位置的坐标为()A.(4,0)B.(8,6)C.(5,12)【分析】按照原题所给规律依次求出小球坐标发现小球坐标的变化是每6次循环，用100除以6,余数4,则第4次为答案.【解答】如图，小球第1次碰到矩形边时的坐标为(8,0),小球第2次碰到矩形边时的坐标为(12,4),小球第3次碰到矩形边时的坐标为(10,6),小球第4次碰到矩形边时的坐标为(4,0),小球第5次碰到矩形边时的坐标为(0,4),小球第6次碰到矩形边时的坐标为(2.6),小球第7次碰到矩形边时的坐标为(8,0),∴小球坐标的变化是6次循环，∴当小球P第100次碰到矩形的边时，小球P所在的位置坐标为(4,0).C(-1,-1)、D(-1,1),y轴上有一点P(0,2).作点P关于点A的对称点P,作P关于点B的对A.(0,2)B.(2,0)C.(0,-2)【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化以及正方形的性质，根据图形的变化得出点P₂o的坐标与P₃坐标相同是解决问题的关键.5.(2023·方城县模拟)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点0出发，按向上、向右、那么点A₂₀2的坐标为()A.(1011,0)B.(1011,1)C.(2022,0)【分析】观察图形结合点的坐标的变化，可得出点An+2(n为自然数)的坐标为(2n+1,1),依此规律即可得出结论.∴点An+3(n为自然数)的坐标为(2n+1,0),故选：A.【点评】本题属于循环类规律探究题，考查了学生归纳猜想的能力，结合图象找准循环节是解决本题的关键.二.填空题(共4小题)6.(2023·利津县一模)如图，在单位为1的方格纸上，△A₁A₂A₃,△A₃A₄A₅,△A₅A₆A,,…,都是斜边在x轴上，斜边长分别为2,4,6,.….的等腰直角三角形，若△AA₂A₃的顶点坐标分【分析】首先确定角码的变化规律，利用规律确定答案即可.【解答】解：∵各三角形都是等腰直角三角形，∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，∴点A₂021在x轴正半轴，横坐标是0,横坐标是(2021+3)÷2=1012,故答案为：(1012,0).【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2021是奇数，求出点的角码是奇数时的变化规律是解题的关键.7.(2022·钢城区)规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°,由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换.例如：如图，点00,0)按序列“011…”作变换，表示点0先向右平移一个单位得到O₁(1,0),再将O₁(1,0)绕原点顺时针旋转90°得到O₂(0,-1),再将O₂(0,-1)绕【分析】根据定义的规定平移再旋转即可.【解答】解：将点(0,1)经过一次011变换，再绕点0顺时针旋转90得到(1,-1),再绕点0顺时针旋转90得到(-1,-1);如此将点(-1,-1)经过011变换得到点(0,1),再将点(0,1)经过011变换得到点(-1,-1).故答案为：(-1,-1).【点评】本题考查了点的坐标，平移变换，旋转变换等知识，理解定义的变换方式并灵活运用是解题关键.8.(2023·孟村县校级模拟)一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0,1),然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→...,且每秒跳动一个单位，那么第36秒时跳蚤所在位置的坐标是【分析】根据题目中所给的质点运动的特点，从中找出规律，即可得出答案.【解答】解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到(2,0)用4秒，到(2,2)用6秒，到(0,2)用8秒，到(0,3)用9秒，到(3,3)用12秒，到(4,0)用16秒，可知当点离开x轴时的横坐标为时间的平方，当点离开y轴时的纵坐标为时间的平方，依此类推，到(6,0)用36秒.则第36秒时跳蚤所在位置的坐标是(6,0).故答案为：(6,0).【点评】本题主要考查点的坐标问题，解决本题的关键是读懂题意，能够正确确定点运动的规律，从而可以得到到达每个点所用的时间.9.(2023·东昌府区二模)在直角坐标系中，点A从原点出发，沿如图所示的方向运动，到坐标为_【分析】?找到点的运动的循环节，用2023除以循环节，由余数得到点的位置，再探究同一位置的点的坐标的规律即可.【解答】解：由图得点A的运动规律为每4次运动一循环，【点评】本题考查了坐标系中点的规律先关应用，准确找到点的运动的循环节及数列规律是解题关键.一.填空题(共4小题)如果已知点A在直线y=x+3上，点B在00的内部，00的半径长为3√2(如图所示),那么点A的横坐标x的取值范围是【分析】根据题意设点A的坐标为(a,a+3),则点B的坐标为(2a+3,-3),利用两点间距离公式表示出OB,根据点B在00的内部可得到不等式，解出不等式即可.【解答】解：∵点A在直线y=x+3上，:设点A的坐标为(a,a+3),则点B的坐标为(2a+3,-3),∵点B在00的内部，整理得：a²+3a<0,∴点A的横坐标x的取值范围是-3<x<0.故答案为：-3<x<0.【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、点与圆的位置关系，理解新定义，熟知两点间的距离公式，并根据点与圆的位置关系列出不等式是解题关键.2.(2023·荆州模拟)如图，在平面直角坐标系中，长为3的线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动，点A(0,2)、B(0,4)是y轴上定点，连接AC、BD,则AC+BD的最小值为【分析】平移CD使点D落在点B处，连接B'C,则点C平移后为点B',即B'C=BD,进而得出B'(-3,4),再作点A关于x轴的对称点A',则A(0,-2),进而得出AC+BD的最小值为A'B',即可求解答案.【解答】解：如图，平移CD使点D落在点B处，连接B'C,则点C的对应点为B',即B'C=BD,∵CD=3,B(0,4),作点A关于x轴的对称点A',此时点A',C,B'在同一条线上时，AC+BD最小，连接A'B',则AC+BD的最小值为A'B'=√(-3)²+(4+2)²=3√5.【点评】此题主要考查了对称的性质，平移的性的关键.3.(2023·四川模拟)已知二次函数y=x²-a(a>0)交x轴于AB(点A在B的左侧)两点，平面上有任意点P,使得PA=2PB,则△PAB面积的最大值为.(用含有a的代数式表示)【分析】设点P的坐标为(m,n),先求出二次函数与x轴的交点坐标得A(-Ja,0),B(Ja,0),再根据两点间的距离公式得PA²=(m+√a)²+n²,PB²=(m-√a)²+n²,根据PA=2PB得PA²=4PB²,进而得到(m+√a)²+n²=4[(m-√a)²+n²],整理得3m²-10Vam+3a+3n²=0,再由根的判别式得,求出其最大值即可.【解答】解：设点P的坐标为(m,n),在二次函数y=x²-a=(x+√a)(x-√a)(a>0)中，令y=0得(x+√a)(x-√a)=0,解得：x=±√a,【点评】本题主要考查二次函数与抛物线的交点，两点间的距离公式、根的判别式，根据两点间的距离公式得出关于m的方程，再根据根的判别式得出n的取值范围是解题关键.(4,1),(3,0),点P为线段AB上的一个动点，连接PC,过点P作PQ⊥PC交y轴于点Q,当点P在AB上运动时，点Q随之运动，设点Q的坐标为(0,t),则t的取值范围是【分析】分三种情况讨论：①当点P在AB之间时，当延长BA交y轴于点N,即过点C作NQ=y,从而得到y与x的函数关系式，求出最值，从而求出t的最值即可；②过点C作CM⊥AB,延长BA交y轴于点N,连接CQ,当点P运动到点A处时，根据已知条件求出N,M两点坐标，再根据其它各点坐标求出AN,NQ,o0,AM,MC,从而根据勾股定理求出AQ和AC的平方和，0Q于OC的平方和，列出方程求出t即可；③过点B作BM⊥x轴于点M,延长BA交y轴于点N,连接CQ,当点P运动到点B时，根据已知条件求出N,M两点坐标，再根据其它各点坐标求出ON,BN,BM,CM,从而根据勾股定理求出BC,BQ,BQ和BC的平方和，0Q于OC的平方和，列出方程求出t即可；设PN=x,则PM=3-x,NQ=y,②如图1所示，过点C作CM⊥AB,延长BA交y轴于点N,连接CQ,当点P运动到点A时，),B(4,1),B(4,1),CM⊥AB,③如图2所示，过点B作BM⊥x轴于点M,延长BA交y轴于点N,连接CQ,当点P运动到∴t的取值范围是：综上可知：故答案为：【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，解题关键是根据已知条件求出有关点的坐标和有关线段.方法三：根据题目信息识别和判断函数图象1.(2023·铁锋区三模)把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，1min后将容器内注满.那么容器内水面的高度h(cm)与注水时间t(s)之间的函数关系图象大致是()【分析】根据题意可知，在注满水的过程中，水面均是匀速上升，下面部分的底面积小于上面部分，所以水面上升速度较快，由此可得出答案.【解答】解：根据题意可知，按一定的速度向容器内均匀注水，所以函数图象均为匀速上升，由此可排除B,C选项，刚开始时由于长方体铁块在圆柱体容器内，注水部分的底面积为圆柱体容器的底面积减去长方体的底面积，所以水面以较快速度均匀上升，当水淹没长方体铁块后一直到水注满容器，底面积是圆柱体的底面积，所以水面以较慢速度均匀上升，所以排除A选项，选项D符合题意，故选：D.【点评】本题考查函数图象的意义，深刻理解实际问题中函数图象所代表的意义，是快速解出这道题的关键.上一动点，过点P作直线1⊥AB,交折线ACB于点Q.设AP=x,CQ=y,则y关于x的函数【分析】分两种情况：当点Q在AC时，当点Q在BC时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解.即综上所述，y关于x的函数图象大致是：【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键.3.(2023·海淀区校级模拟)下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函A.圆的面积y与它的半径xB.正方形的周长y与它的边长xC.小丽从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度xD.用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x【分析】根据每个选项的描述，分别写出两个变量之间的函数关系即可判断.【解答】解：A.圆的面积y与它的半径x的关系式为y=πx²,:变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；C.设小丽从家骑车去学校的路程为s(s为常数),则:变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；D.设铁丝的长度为a(a为常数),则∴变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，故符合题意.【点评】本题考查了函数的图象，解题关键在于根据选项的描述，正确判断出两个变量之间满足的函数关系式.4.(2023·龙岩模拟)已知点A(-1,m),B(1,-m),C(-2,m-1)在同一个函数图象上，则这个函【分析】由点A(-1,m),B(I,-m),C(-2,m-1)在同一个函数图象上，可得A与B关于原点对称，当x<0时，y随x的减小而减少，继而求得答案.故选：B.【点评】此题考查了函数的图象.注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键.点P以每秒2cm的速度沿A→B→C运动，点Q【分析】分两种情况：当点P在AB上，即O≤x≤2时，此时y=SAPg,利用三角形面积公式而可得y关于x的分段函数，根据函数解析式即可判断函数图象.【解答】解：当点P在AB上，即O≤x≤2时，当点P在BC上，即2<x≤4时，如图，故选：B.【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键.E是线段AB上一动点，BE=x,EF⊥AB交BC于点F,将△BEF沿EF折叠得到△GEF,△GEF与四边形ABCD重叠部分的面积为y,则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是()【分析】先求出当点E在不超过BA中点时的情况，再求超过中点但未超过点A时的情况即过点A作AM⊥BC于点M,则MC=1.5,BM=5.5-1.5=4,AM=2,则,故所以所以,得得所以即【点评】本题是一道动点函数图象题，得出重合部分的面积y与x的函数表达式是解题的关键.7.(2023·绥中县二模)如图，四边形ABCD是正方形，AB=2,点P为射线BC上一点，连接DP,将DP绕点P顺时针旋转90°得到线段EP,过B作EP平行线交DC延长线于F.设BP长为x,四边形BFEP的面积为y,下列图象能正确反映出y与x函数关系的是()A.【分析】方法一：根据P点在C点右侧时，BP越大，则四边形BFEP的面积越大，即可以得出只有D选项符合要求；方法二：分两种情况分别求出y与x的关系式，根据x的取值判断函数图象即可.【解答】解：方法一：由题意知，当P点在C点右侧时，BP越大，则四边形BFEP的面积越故D选项符合题意；方法二：如图，当P点在BC之间时，作EHIBC于H,∴四边形BPEF的面积y=x(2-x)=-x²+2x,同理可得当P点在C点右侧时，EH=PC=x-2,∴四边形BPEF的面积y=x(x-2)=x²-2x,综上所述，当0<x<2时，函数图象为开口方向向下的抛物线，当x>2时，函数图象为开口方向向上的抛物线，故选：D.【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，熟练根据题意列出函数关系式是解题的关键.8.(2023·武威模拟)如图矩形ABCD中，AB=3,BC=4,动点P由点A出发，沿A→B→C的路径匀速运动，过点P向对角线AC作垂线，垂足为Q,设AQ=x,△APQ的面积为y,则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是()【分析】由勾股定理可得AC=5,根据点P的运动，需要分段讨论：当点P在AB上时，易证根据三角形面积公式得到；当点P在BC上时，易得△CPQ^ACAB,根据比例可求得PQ的长，再根据三角形面积公式得到y与x的关系，最后结合选项判断即可.【解答】解：在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,由勾股定理可得AC=5,根据点P的运动，需要分段讨论：①当点P在AB上时，2;是开口向上的一段抛物线；排除B,C,当点P在BC上时，,开口向下的抛物线，故选：A.【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力.解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式.方法四：从函数图象中获取信息一.选择题(共6小题)1.(2023·南宁一模)人体生命活动所需能量主要由食物中的糖类提供.如图是小南早餐后一段时间内血糖浓度变化曲线图.下列描述正确的是()早餐A.从9时至10时血糖呈下降状态B.10时血糖最高C.从11时至12时血糖呈上升状态D.这段时间有3个时刻血糖浓度达到7.0mmol·L¹【分析】根据图象逐项判断即可.【解答】解：A.从9时至10时血糖呈下降状态，故说法正确，符合题意；B.9时血糖最高浓度最高，故说法错误，不符合题意；C.从11时至12时，血糖先上升后下降，故说法错误，不符合题意；故选：A.【点评】本题主要考查函数的图象，理解函数图象中横纵坐标的实际意义，从函数图象中获取相关信息是解题关键.2.(2023·西宁一模)如图1,矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C,设B,P两点间的距离为x,PA-PE=y,点P运动时y随x变化的函数图象如图2所示，则BC的长是()A.2√6B.5C.6【分析】根据函数图象可得，当x=0,即点P与点B重合时，BA-PE=1,再根据三角形的三边可得y有最大值为AE=5,设BE=a,则BA=a+1,在Rt△ABE中，利用勾股定理建立方程，求解即可.【解答】解：根据函数图象可得，当x=0,即点P与点B重合时，BA-当且仅当点P与点E重合时有PA-PE=AE,设BE为a,则BA=a+1,利用勾股定理求出线段的长是解题关键.3.(2023·广饶县校级模拟)如图1,Rt△ABC中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动则BC的长为()【分析】当x=0,即P在B点时，BA-BE=2;利用三角形两边之差小于第三边，得到求出BC的长.【解答】解：由函数图象知：当x=0,即P在B点时，BA-BE=2.利用三角形两边之差小于第三边，得到PA-则BA=t+2,【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出BE的长是解题的关键.B点出发，沿折线BA→AC方向运动，运动到点C停止，设点P的运动路程为x,△BPD的面积为y,y与x的函数图象如图②,则BC的长为()【分析】根据题意可得：AB=AC=√13,,然后利用等腰三角形的三线合一性质【解答】解：由题意得：AB+AC=2√13,△ABD的面积=3,∴∠ADB=90°,当BD=3时，AD=5-BD=2,故选：B.【点评】本题考查了动点问题的函数图象，从函数图象中获取信息是解题的关键.5.(2023·延津县三模)如图(1),在矩形ABCD中，点E是边AD的中点，动点P从点B出发，沿着折线BEDC运动到点C停止.设动点P运动的路程为x,△BPC的面积为y(当点P与点B,C重合时，令y=0),y与x的函数关系的图象如图(2)所示，则△ABE的面积为()A.4.8【分析】根据题干条件结合图(1)、图(2),列出相关的等式，最后利用相关联的条件解出a值，问题即可迎刃而解.【解答】解：结合图1、图2可知，当点P从点B运动到点C时，对应横坐标为a,由点E是AD的中点及矩形对边相等知，结合图1、图2可知，当点P从点B运动到点E时，对应横坐标为5,对应的△BPC的面积a,由勾股定理得，;,,解关于a的二次方程，得a=12或a=0(不合题意，舍去).结合③式可得：故选：D.【点评】本题考查了矩形、运动轨迹与图象之间的对应关系等相关知识点，找准图象与线段之间的关联联系，再利用乘法公式适当变形求得a值是解题的关键所在.6.(2023·海安市模拟)如图1,在矩形ABCD中，AB<AD,对角线AC,BD相交于点E,动点P从点A出发，沿A→B→C→D向点D运动，设点P的运动路程为x,△AEP的面积为y,y与x的函数关系图象如图2所示，①四边形ABCD的面积为12;②AD边的长为4;③当x=2.5时，△AEP是等边三角形；④△AEP的面积为3时，x的值为3或10,则以上结论正确的有()【分析】注意图2中的y表示的是△AEP的面积，而图1的△AEP的底边AE是一个不变的量，则△AEP的面积与点P到AE的距离有关，寻找点P的特殊位置，对应y的函数图象，以此即可求解.【解答】解：由图2可知，当点P运动点B时，y=SABE=3,由图2可知，当y=0,x=7,即点P运动到点C,AB+BC=7,解得：或结合图②,当点P运动到点D时，y=SAED=3,∴△AEP的面积为3时，x的值为3或10,故④正确.故正确的结论有①②④,共3个.【点评】本题主要考查动点问题的函数图象、矩形的性质，理解题意，正确理解函数图象，利用特殊点的表示的实际意义解决问题是解题关键.一.选择题(共5小题)1.(2023·延庆区一模)如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm,它的邻边长为ym.当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是()A.一次函数关系B.二次函数关系C.正比例函数关系D.反比例函数关系【分析】矩形的周长为2(x+y)=10,可用x来表示y即可.【解答】解：由题意得，即y与x是一次函数关系，