2017-2018学年牡丹江高二上期末数学试卷(理科)(含答案)-(新课标人教版)

2017-2018学年黑龙江省牡丹江高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1．（5分）两个整数1908和4187的最大公约数是（）A．53 B．43 C．51 D．672．（5分）要从已编号（1～70）的70枚最新研制的某型导弹中随机抽取7枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的7枚导弹的编号可能是（）A．5，10，15，20，25，30，35 B．3，13，23，33，43，53，63C．1，2，3，4，5，6，7 D．1，8，15，22，29，36，433．（5分）下列各组事件中，不是互斥事件的是（）A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C．播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒D．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%4．（5分）=（）A． B． C． D．5．（5分）执行如图的程序框图，那么输出的S值是（）A．54 B．56 C．90 D．1806．（5分）某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某一焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）A．5种 B．6种 C．63种 D．64种7．（5分）随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表：餐费（元）678人数102020这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是（）A．7.2，0.56 B．7.2， C．7，0.6 D．7，8．（5分）一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为（）A．4种 B．12种 C．24种 D．120种9．（5分）把十进制的23化成二进制数是（）A．00110（2） B．10111（2） C．101111（2） D．11101（2）10．（5分）某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示：收入x（亿元）2.22.64.05.35.9支出y（亿元）0.21.52.02.53.8根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）A．4.5亿元 B．4.4亿元 C．4.3亿元 D．4.2亿元11．（5分）如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分．当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）A．11 B．10 C．8 D．712．（5分）甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数，当点P（a，b）落在直线x+y=m（m为常数）上的概率最大时，则m的值为（）A．6 B．5 C．7 D．8二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．（5分）某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%．”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为．①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%14．（5分）在数轴上0和4之间任取一个实数x，则使“log2x＜1”的概率为．15．（5分）张明与张华两人做游戏，下列游戏中不公平的是．①抛掷一枚均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则张华获胜②同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则张华获胜③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则张华获胜④张明、张华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同张明获胜，否则张华获胜．16．（5分）用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2、5相邻，则这样的五位数的个数是（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，求此点取自黑色部分的概率．18．（12分）为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位：m/s）的数据如下：甲273830373531乙332938342836（1）画出茎叶图，由茎叶图求出甲乙运动员的中位数；（2）估计甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更合适．19．（12分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m=56，请计算此时π的估计值．20．（12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如所示．组号分组频数频率第1组[160，165）50.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30②第4组[175，180）200.200第5组[180，185）100.100合计1001.00（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱．（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．22．（12分）已知抛物线C：y2=4x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过M点的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点．（1）若m=1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；（2）是否存在定点M，使得不论直线l：x=ky+m绕点M如何转动，恒为定值？

2017-2018学年黑龙江省牡丹江高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1．（5分）两个整数1908和4187的最大公约数是（）A．53 B．43 C．51 D．67【解答】解：∵4187=1908×2+371，1908=371×5+53，371=53×7+0，∴两个整数1908和4187的最大公约数是53，故选A．2．（5分）要从已编号（1～70）的70枚最新研制的某型导弹中随机抽取7枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的7枚导弹的编号可能是（）A．5，10，15，20，25，30，35 B．3，13，23，33，43，53，63C．1，2，3，4，5，6，7 D．1，8，15，22，29，36，43【解答】根据系统抽样的定义则编号间距为70÷7=10，则满足条件是3，13，23，33，43，53，63，故选：B3．（5分）下列各组事件中，不是互斥事件的是（）A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C．播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒D．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%【解答】解：A中，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6，不可能同时发生，故A中两事件为互斥事件．B中，当平均分等于90分时，两个事件同时发生，故B中两事件不为互斥事件．C中，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒，不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件．D中，检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%，不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件．故选B4．（5分）=（）A． B． C． D．【解答】解：===．故选：D．5．（5分）执行如图的程序框图，那么输出的S值是（）A．54 B．56 C．90 D．180【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S=22+32+42+52+62的值，S=22+32+42+52+62=90．故选：C．6．（5分）某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某一焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）A．5种 B．6种 C．63种 D．64种【解答】解：根据题意，这个回路中共6个焊点，按其脱落与否，共2×2×2×2×2×2=26=64种情况，如果电路畅通，则每个焊点都不能脱落，有一种情况，现今回路不通，至少有一个焊点脱落，与电路畅通对立，故焊点脱落情况的可能有64﹣1=63种，故选C．7．（5分）随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表：餐费（元）678人数102020这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是（）A．7.2，0.56 B．7.2， C．7，0.6 D．7，【解答】解：根据题意，计算这50个学生午餐费的平均值是=×（6×10+7×20+8×20）=7.2，方差是s2=×[10×（6﹣7.2）2+20×（7﹣7.2）2+20×（8﹣7.2）2]=0.56．故选：A．8．（5分）一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为（）A．4种 B．12种 C．24种 D．120种【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、老师站在正中间，有1种情况，②、将四名学生全排列，安排在两边的4个位置，有A44=24种排法，则5人不同的站法有1×24=24种；故选：C．9．（5分）把十进制的23化成二进制数是（）A．00110（2） B．10111（2） C．101111（2） D．11101（2）【解答】解：23÷2=11…111÷2=5…15÷2=2…12÷2=1…01÷2=0…1故23（10）=10111（2）．故选：B．10．（5分）某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示：收入x（亿元）2.22.64.05.35.9支出y（亿元）0.21.52.02.53.8根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）A．4.5亿元 B．4.4亿元 C．4.3亿元 D．4.2亿元【解答】解：根据表中数据，计算=×（2.2+2.6+4.0+5.3+5.9）=4，=×（0.2+1.5+2.0+2.5+3.8）=2，∴=2﹣0.8×4=﹣1.2，∴回归直线方程为=0.8x﹣1.2，计算x=7时=0.8×7﹣1.2=4.4（亿元），即2017年该公司收入为7亿元时的支出为4.4亿元．故选：B．11．（5分）如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分．当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）A．11 B．10 C．8 D．7【解答】解：根据提供的该算法的程序框图，该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数的平均分．根据x1=6，x2=9，不满足|x1﹣x2|≤2，故进入循环体，输入x3，判断x3与x1，x2哪个数差距小，差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分．因此由8.5=，解出x3=8．故选C．12．（5分）甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数，当点P（a，b）落在直线x+y=m（m为常数）上的概率最大时，则m的值为（）A．6 B．5 C．7 D．8【解答】解：甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数，基本事件总数n=6×6=36，当点P（a，b）落在直线x+y=m（m为常数）上，∴m=2的概率为，m=3的概率为，m=4的概率为，m=5的概率为，m=6的概率为，m=7的概率为，m=8的概率为，m=9的概率为，m=10的概率为，m=11的概率为，m=12的概率为．∴当点P（a，b）落在直线x+y=m（m为常数）上的概率最大时，则m的值为7．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．（5分）某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%．”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为②．①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%【解答】解：某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%．”能代表教练的观点的为该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%．故答案为：②．14．（5分）在数轴上0和4之间任取一个实数x，则使“log2x＜1”的概率为．【解答】解：由log2x＜1，得0＜x＜2，区间长为2，区间[0，4]的长度为4，所以所求的概率为P==．故答案为：．15．（5分）张明与张华两人做游戏，下列游戏中不公平的是②．①抛掷一枚均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则张华获胜②同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则张华获胜③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则张华获胜④张明、张华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同张明获胜，否则张华获胜．【解答】解：在①中，抛掷一枚均匀的骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数的概率均为，故在①中的游戏公平；在②中，同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上的概率p==，两枚都正面向上的概率p′==，故在②中的游戏不公平；在③中，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率均为，故在③中的游戏公平；在④中，张明、张华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同的概率p==，故在④中的游戏公平．故答案为：②．16．（5分）用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2、5相邻，则这样的五位数的个数是24（用数字作答）．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、将2、5看成一个整体，考虑其顺序，有A22=2种情况，②、将这个整体与4全排列，有A22=2种排法，排好后有3个空位，③、在3个空位中任选2个，安排1、3，有A32=6种情况，则符合条件的五位数有2×2×6=24个；故答案为：24．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，求此点取自黑色部分的概率．【解答】解：设正方形的边长为2a（a＞0），则黑色部分的面积为：，结合几何概型的计算公式可得，满足题意的概率值为：．18．（12分）为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位：m/s）的数据如下：甲273830373531乙332938342836（1）画出茎叶图，由茎叶图求出甲乙运动员的中位数；（2）估计甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更合适．【解答】解：（1）茎叶图如下：甲的中位数为：=33，乙的中位数为：=33.5．（2）甲的平均数为：==33，乙的平均数为：=（28+29+33+34+36+38）=33，甲的方差为：=，乙的方差为：=甲、乙的平均数相等，乙的方差更小，则乙的发挥更稳定，故乙参加比赛更合适．19．（12分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m=56，请计算此时π的估计值．【解答】解：由题意，200对都小于1的正实数对（x，y），满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1，且，区域面积为，由已知，解得．20．（12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如所示．组号分组频数频率第1组[160，165）50.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30②第4组[175，180）200.200第5组[180，185）100.100合计1001.00（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．【解答】解：（1）①由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，②第3组的频率为=0.300，频率分布直方图如图所示，（4分）（2）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组：×6=3人，第4组：×6=2人，第5组：×6=1人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．（7分）（3）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从这六位同学中抽取两位同学有15种选法，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），其中第4组的2位同学B1，B2中至少有一位同学入选的有9，分别为：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），∴第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为=．（12分）21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱．（1）求证：平面P