第二十三章旋转（章末小结）（课件）九年级数学上册（人教版）2

旋转章末小结1.梳理本章的知识要点，回顾与复习本章知识;2.进一步明确旋转、中心对称、中心对称图形的概念及性质,并会作图;(重、难点)3.能熟练说出一个点关于原点对称的坐标;(重点)4.能灵活应用平移、旋转、轴对称变换进行图案设计,体会数学的美感.(难点)

在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.OP′P旋转中心旋转角对应点一、旋转的定义及相关概念这个定点称为旋转中心.转动的角称为旋转角.转动的方向分为顺时针与逆时针.如果图形上的点P经过旋转变为点P'，这两个点叫做这个旋转的对应点.旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.旋转前、后的图形全等.理解两点：1.旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角；2.旋转中心可以是图形上的某一点，也可以是图形内或图形外的某一点.一、旋转的性质三、旋转作图的条件：(1)有原图形(2)有旋转中心(3)有旋转方向(4)有旋转角四、旋转作图的步骤：(1)确定图形的关键点；(2)作出旋转后的对应点；(3)顺次连线即可.五、中心对称的定义像这样，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，(简称中心).这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.轴对称中心对称1有一条对称轴

——直线有一个对称中心

——点2图形沿轴对折（翻转

180°）图形绕中心旋转

180°3翻转后和另一个图形重合旋转后和另一个图形重合1ABCC1AB1O六、中心对称与轴对称的异同像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.中心对称图形的性质：中心对称图形上对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分.七、中心对称图形及其性质两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(-x，-y).作关于原点对称的图形的一般步骤：(1)写出各点关于原点对称的点的坐标；(2)在坐标平面内描出这些对称点；(3)参照原图形顺次连接各点，即为所求作的对称图形.八、关于原点对称的点的坐标旋转的性质及应用1例1.以原点为中心,将点P(4,5)按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限B例2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是(

)A．AC＝DEB．BC＝EFC．∠AEF＝∠DD．AB⊥DF旋转的性质及应用1D例3.

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是(

)A．50°B．70°C．110°D．120°D旋转的性质及应用1

D旋转的性质及应用1

D【1-2】如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°＜β＜90°)得到AF，连接EF.若AB＝3，AC＝2，且α＋β＝∠B，则EF＝______．

【1-3】如图，平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A的坐标为(-1,2).(1)将△ABC向右平移3个单位得到△DEF，请在图中画出平移后的图形;(2)将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到△MNC,请在图中画出旋转后的图形，并写出点M，N的坐标.解:(1)如图，△DEF为所作;(2)如图，△MNC为所作，M(-3,-2),N(-2，-4).中心对称图形典型应用2例5.下列四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（）【分析】本题考查识别中心对称图形．掌握使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合的图形是中心对称图形是解题关键．A．是中心对称图形，符合题意；B．不是中心对称图形，不符合题意；C．不是中心对称图形，不符合题意；D．不是中心对称图形，不符合题意．A中心对称图形典型应用2例6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，其中A、B、C分别和D、E、F对应，则旋转中心的坐标是（）A.（0，0）

B.(1,0) C.(1,-1) D.(0.5,0.5)C【分析】根据对应点连接线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，作出旋转中心，可得结论；如图，点Q即为所求，Q(1,-1)；例7.如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2020A2021B2021的顶点A2021的坐标是___________.

中心对称图形典型应用2

CA

B关于原点对称的点的坐标3例8.若点P(m，－m＋3)关于原点的对称点Q在第三象限，则m的取值范围是(

)A．0＜m＜3B．m＜0C．m＞0D．m≥0

A例9.平面直角坐标系第二象限内的点P(x2+2x,3)与另一点Q(x+2,y)关于原点对称,试求x+2y的值.关于原点对称的点的坐标3解:根据题意,得x2+2x+x+2=0,y=-3∴x1=-1,x2=-2,y=-3∵x2+2x＜0,∴x=-1∴x+2y=-7.例10.如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（1，-4）．(1)作出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；(2)将△A1B1C1向右平移5个单位长度，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；(3)如果△ABC可以通过一次旋转得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标是

．关于原点对称的点的坐标3例10.如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（1，-4）．(1)作出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；(1)解：∵由图可知：A(2,-2),B(1,-4),C(4,-3),∴A1(-2,2),B1(-1,4),C1(-4,3),如图所示：△A1B1C1，即为所求；关于原点对称的点的坐标3例10.如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（1，-4）．(2)将△A1B1C1向右平移5个单位长度，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；(2)解：∵由图可知：A1(-2,2),B1(-1,4),C1(-4,3),∴将△A1B1C1向右平移5个单位长度，得到A2(3,2),B2(4,4),C2(1,3),如图所示：△A2B2C2，即为所求；关于原点对称的点的坐标3例10.如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（1，-4）．(3)如果△ABC可以通过一次旋转得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标是

．(3)解：如图连接AA2,CC2，线段AA2与线段CC2交点即为所求，旋转中心坐标为（2.5,0）关于原点对称的点的坐标3【3-1】己知点P1(a,-3)和P2(-4,b)关于x轴对称，则(a+b)2000的值为()A.1B.-1C.72000D.-72000【3-2】已知点P的坐标为(2-a,3a+6)，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P关于原点0对称点的坐标为()A.(-3，3)B.(-3，-3)C.(-6，6)D.(-3，-3)或(-6，6)AD

利用旋转进行证明或计算4

利用旋转进行证明或计算4

B例12.如图,在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=45°,将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后,点B的对应点恰好与点A重合,得到△ACE.(1)求证:AE⊥BD;利用旋转进行证明或计算4(1)证明:由旋转可得AC=BC∵∠ABC=45°,∴∠BCA=90°.设BD与AC、AE分别交于点M、N,如图所示.:∠AMN=∠BMC,

∠CAE=∠CBD,∴∠ANM=∠MCB=90°，即AE⊥BD.例12.如图,在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=45°,将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后,点B的对应点恰好与点A重合,得到△ACE.(2)若AD=2,CD=3,试求四边形ABCD的对角线BD的长.利用旋转进行证明或计算4

利用旋转进行证明或计算4例13.如图甲，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．(1)探究线段MD、MF的位置及数量关系，直接写出答案即可；(2)将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图乙），令CG＝2BC其他条件不变，结论是否发生变化，并加以证明；(3)将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变．探究：线段MD，MF的位置及数量关系，并加以证明．利用旋转进行证明或计算4例13.如图甲，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．(1)探究线段MD、MF的位置及数量关系，直接写出答案即可；

利用旋转进行证明或计算4例13.如图甲，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．(1)探究线段MD、MF的位置及数量关系，直接写出答案即可；又∵正方形CGEF，∴∠FCE＝∠NEF＝45°，FC＝FE，∠CFE＝90°又∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°．∴∠DCF＝∠NEF＝45°

∴△FDC≌△FNE∴FD＝FN，∠5＝∠6∵∠CFE＝90°，∴∠DFN＝90°

利用旋转进行证明或计算4例13.如图甲，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．(2)将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图乙），令CG＝2BC其他条件不变，结论是否发生变化，并加以证明；

利用旋转进行证明或计算4例13.如图甲，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．(2)将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图乙），令CG＝2BC其他条件不变，结论是否发生变化，并加以证明；∴△AMD≌△EMN，∴AD＝EN，MD＝MN，∵CG＝2BC∴CF＝2CD=2AD，EF＝CF=2AD=2EN，

∴FD＝FN．又∵∠DFN＝90°，∴FM⊥MD，MF＝MD；利用旋转进行证明或计算4例13.如图甲，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．(3)将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变．探究：线段MD，MF的位置及数量关系，并加以证明．

利用旋转进行证明或计算4例13.如图甲，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．(3)将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变．探究：线段MD，MF的位置及数量关系，并加以证明．

利用旋转进行证明或计算4例13.如图甲，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．(3)将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变．探究：线段MD，MF的位置及数量关系，并加以证明．

∴∠DFN＝90°，∴FM⊥MD，MF＝MD．【4-1】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE.若AB＝3，BC＝4，则BD＝______(提示：可连接BE)．5

45°60°

【4-2】把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将△O'CD固定，△OAB绕点O顺时针旋转，旋转角α（0°≤α＜90°），OB与DC交于点E．(2)如图2，在旋转过程中，当△ODE有两个角相等时，α＝

；

【4-2】把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将