高等数学 课件 第四章 不定积分

第四章

不定积分CONTENTS目录第一节

不定积分的概念与性质第二节

换元积分法第三节

分部积分法第四节

几种特殊类型的函数的积分PARTONE第一节

不定积分的概念与性质学习目标：1.了解原函数的概念.2.了解不定积分的概念.3.了解并掌握不定积分的性质.一、原函数与不定积分的概念（一）原函数的概念若是定义在某区间

I

上的已知函数，如果存在一个

，

对于区间

I

内的每一点

处都满足那么称是已知函数在区间I

内的一个原函数.一、原函数与不定积分的概念例如

，则

是

的一个原函数；又比如

以及

，则

及

都是

的一个原函数，可见，原函数不是唯一的.一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念（二）原函数存在定理存在原函数.一、原函数与不定积分的概念（三）不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念解：由原函数的定义可知，是

的一个原函数.因此，根据原函数与不定积分的关系，可得一、原函数与不定积分的概念（四）积分曲线二、不定积分的性质三、基本积分公式三、基本积分公式三、基本积分公式解：由不定积分的性质

，可得根据基本积分公式1、2、4、6，得三、基本积分公式解：因为

，所以此题用公式三、基本积分公式解：由题可知，应用半角公式三、基本积分公式解：观察分母可知，与

相差

，

考虑把分母分成两部分三、基本积分公式解：观察分子与分母的最高次，可用公式三、基本积分公式解：根据公式，可得三、基本积分公式三、基本积分公式三、基本积分公式小结1.本节主要了解原函数与不定积分的概念.2.掌握不定积分的性质.3.运用基本积分公式进行计算.谢谢聆听第四章

不定积分CONTENTS目录第一节

不定积分的概念与性质第二节

换元积分法第三节

分部积分法第四节

几种特殊类型的函数的积分PARTTWO第二节

换元积分法直接应用不定积分基本运算法则与基本公式求解不定积分的数量是很有限的，因此应该扩大不定积分基本公式的应用范围.学习目标：1.了解不定积分的基本积分公式.2.掌握不定积分第一换元积分法并学会运算.3.掌握不定积分的第二换元积分法并学会运算.一、第一类换元积分法（凑微分法）（一）第一类换元积分法设

具有原函数

，

可导，对于被积函数则有换元公式在求积分时，用到了微分公式

，因此第一类换元积分法也叫凑微分法.一、第一类换元积分法（凑微分法）（二）几个常用的凑微分等式一、第一类换元积分法（凑微分法）解：由题可知与公式

结构一致，因此可用换元法或凑微分法①换元法：令

，则

②凑微分法：一、第一类换元积分法（凑微分法）解：因为根据公式

，可得一、第一类换元积分法（凑微分法）解：因为根据公式

，可得一、第一类换元积分法（凑微分法）解：由题可知与公式

结构一致，因此一、第一类换元积分法（凑微分法）解：因为根据公式

，可得二、第二类换元积分法（去根号）（一）第二类换元积分法设函数

严格单调、可导，且

，设

具有

原函数，则其中

是

的反函数.二、第二类换元积分法（去根号）（二）常用积分代换二、第二类换元积分法（去根号）解：根据常用积分代换公式1，令

，则二、第二类换元积分法（去根号）二、第二类换元积分法（去根号）二、第二类换元积分法（去根号）二、第二类换元积分法（去根号）二、第二类换元积分法（去根号）小结1.本节主要掌握的方法是两类换元积分法.2.学会运用换元积分法来进行运算.谢谢聆听第四章

不定积分CONTENTS目录第一节

不定积分的概念与性质第二节

换元积分法第三节

分部积分法第四节

几种特殊类型的函数的积分PARTTHREE第三节

分部积分法考试中分部积分法是常考内容，主要解决两个不同类型函数的乘积的不定积分计算.学习目标：1.了解并掌握分部积分法的公式.2.学会运用分部积分法进行计算.分部积分法设

与

均为

的连续可微函数.由函数乘积的求导公式，有

，为方便起见，以上公式常写成下面的等式：对这个等式两边求不定积分，得分部积分法分部积分法分部积分法分部积分法分部积分法分部积分法分部积分法分部积分法分部积分法分部积分法分部积分法分部积分法分部积分法小结一.本节主要掌握的方法是分部积分法.二.分部积分法一般按照反对幂指三的顺序进行分部.谢谢聆听第四章

不定积分CONTENTS目录第一节

不定积分的概念与性质第二节

换元积分法第三节

分部积分法第四节

几种特殊类型的函数的积分PARTFOUR第四节

几类特殊类型的函数积分学习目标：1.了解并掌握待定系数法.2.了解并掌握三角函数换元法.一、分母不高于两次多项式的有理函数一、分母不高于两次多项式的有理函数一、分母不高于两次