高等数学 课件 第六章 微分方程

第六章

微分方程目

录O1第一节

微分方程的基本概念O2第二节

一阶微分方程的初等解法O3第三节

二阶常系数线性微分方程第一节

微分方程的基本概念PARTONE学习目标：1.了解微分方程的阶及其解、通解、初始条件和特解等相关概念.2.了解线性微分方程和非线性微分方程.解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:引例1一、微分方程的基本概念一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的切线斜率为2x,求该曲线的方程.

由①得由②得C=1,因此所求曲线方程为(C为任意常数)①②引例2列车在平直路上以20m/s的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.

已知由前一式两次积分,可得利用后两式可得说明:

利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.

因此所求运动规律为-0.4m/s2，一、微分方程的基本概念一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫作微分方程.一元函数——常微分方程多元函数——偏微分方程未知函数

注：微分方程中未知函数的导数是不可缺少的微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数一般地,n

阶常微分方程的形式是例如：一阶微分方程四阶微分方程三阶微分方程二阶微分方程n阶方程的初始条件(或初值条件)：定解条件—

确定通解中任意常数的条件.微分方程的解

—

使方程成为恒等式的函数.通解—

解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同特解—

不含任意常数的解,其图形称为积分曲线.引例1通解特解引例2例1

验证

为方程

的解.解：

由于

代入方程

的左端，得函数式

满足微分方程方程

故

为方程

的解.练习1.下列各微分方程的阶数：二阶一阶一阶2.指出下列各题中的函数是不是所给微分方程的解.是不是谢谢聆听第六章

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微分方程的基本概念O2第二节

一阶微分方程的初等解法O3第三节

二阶常系数线性微分方程第二节

一阶微分方程的初等解法PARTTWO学习目标：1.掌握可变量分离方程，学会用变量分离法求微分方程的通解.2.掌握一阶线性微分方程的求解方法.一、变量分离法（一）变量分离方程形如

的方程，称为变量分离方程.

变量分离方程解法：

①分离变量

②两边积分例1

求微分方程

的解.解：分离变量，得两边积分，得因此，通解为例2

求微分方程

满足初值条件

的特解.解：分离变量，得两边积分，得两边积分，得所以微分方程满足初值条件

的特解为（二）齐次微分方程

作变换

，即

，于是

代入原方程得

，整理后，

得到

，变成了变量分离方程.例3

求解方程

解：将方程改写为

，这是齐次微分方程.

代入原方程变为作变换

，即

，两边微分

分离变量得两边积分，得到通解即当

时，即得原方程通解二、一阶线性微分方程（一）齐次线性方程方程

称为一阶线性微分方程.

如果

，那么该方程称为齐次的；如果

，那么该方程称为非齐次的.用变量分离法求其通解得：（二）非齐次线性方程用常数变易法求其通解——把齐次线性方程通解中的C换成未知数

的函数即作变换两边对

求导，得代入原方程得

，即故原方程通解为将上式改写成两项之和上式右端第一项是对应齐次线性方程的通解，第二项是非齐次线性方程的一个特解.由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和.例4求下列微分方程的通解.解：

(1)整理得

该方程为一阶齐次线性方程，知因此所求通解为谢谢聆听第六章

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微分方程的基本概念O2第二节

一阶微分方程的初等解法O3第三节

二阶常系数线性微分方程第三节

二阶常系数线性微分方程PARTTHREE学习目标：1.掌握用降阶法求解高阶微分方程.2.了解二阶线性微分方程解的结构.3.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法.一、二阶常系数线性微分方程的概念（一）一般方程（非齐次）（二）齐次方程（三）解的结构定理（四）解的性质二、齐次方程

的通解求齐次方程的通解的步骤如下：1.写出方程的特征方程2.求特征方程的两个根3.根据

的不同情形，按表1写出方程的通解.例1求方程

的通解.解：所给方程为齐次方程，其根

是两个不相等的实根，其特征方程为故方程的通解为例2求方程

的通解.解：所给方程为齐次方程，其特征方程为其根

是两个相等的实根，故方程的通解为例3求方程

的通解.解：所给方程为齐次方程，其特征方程为其根

是一对共轭复根，故方程的通解为练习求下列方程的通解.三、非齐次方程

的通解解的结构定理注意：可用语言描述为“非齐次通解=齐次通解+非齐次特解”，便于记忆.四、非齐次线性方程的特解形式对于方程例1求方程

的特解形式.解：例2求方程

的特解形式.解：例3求方程