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文档简介

第一章函数、极限与连续PARTSEVEN第七节

无穷小的比较学习目标1.理解无穷小的阶(高阶、低阶、同阶和等价).2.掌握用等价无穷小替换法求极限.

两个无穷小比值的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度．在x

0的过程中，x2

0比3x

0“快些”，反过来3x

0比x2

0“慢些”，而sinx

0与x

0“快慢相仿”．一、无穷小的阶

观察两个无穷小比值的极限：观察与比较：阶的定义：

设a及b都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小．就说b是比a高阶的无穷小，记为b=o(a)；就说b是比a低阶的无穷小．就说b与a是同阶无穷小；就说b是关于a的k

阶无穷小．就说b与a是等价无穷小，记为a~b．举例：所以当x

3时，x2-9与x

-3是同阶无所以当x

0时，3x2是比x

高阶的无穷小，即3x2=o(x)(x

0)．穷小．阶无穷小．所以当x

0时，1-cosx

是关于x

的二即sinx~x(x

0)．所以当x

0时，sinx

与x是等价无穷小，证明：证明二、无穷小的替换定理1

b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a)．

证明：(1)证明必要性.设a~b，则因此b-a=o(a)，即b=a+o(a)．(2)证明充分性.设b=a+o(a)，则因此a~b．

定理2表明，求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替．因此，如果用来代替的无穷小选取得适当，那么就可以使计算简化．：举例：

解：当x

0时，tan2x~2x

，sin5x~5x，所以

解：当x

0时sinx~x，无穷小x3+3x

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