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第一章函数、极限与连续PARTSIX第六节

极限存在准则和两

个重要极限学习目标1.理解极限存在的两个收敛准则(夹逼准则和单调有界准则).2.熟练掌握利用两个重要极限求函数的极限.一、极限存在准则又因yn

xn

zn

，所以当

n>N

时，有

a-e<yn

xn

zn<a+e

，a-e<yn<a+e

，a-e<z

n<a+e

，即|x

n-a|<e

．

证明：由极限的定义，

e>0，即

N

>0，当n>N

时，有|y

n-a|<e

及|z

n-a|<e

，准则1：（夹逼准则）

如果数列{xn

}、{yn}及{zn}满足下列条件：

(1)yn

xn

zn(n=1，2，3，…)，准则1

：如果函数g(x)、f(x)及h(x)满足下列条件：准则2：单调有界数列必有极限单调数列：如果数列{x

n}满足条件x1

x2

x3

…

xn

xn+1

…就称数列{x

n}是单调增加的；

如果数列{x

n}满足条件x1

x2

x3

…

xn

xn+1

…就称数列{x

n}是单调减少的．

单调增加和单调减少数列统称为单调数列．收敛与有界的关系：收敛的数列一定有界，但有界的数列不一定收敛

如果数列不仅有界，并且是单调的，那么这个数列的极限必定存在，也就是这个数列一定收敛几何意义二、两个重要极限第一个重要极限：

因为，令u=a(x)，则u

0，于是

解：=1．

例22202x2sinlim21øöçèæ=®xx

例4：解：令例5求.于是由复合函数的极限运法则得，当x®0时，有t®0.第二个重要极限e是个无理数，它的值是e=2.718281828459045·

·

·

．

还可证明根据准则II，数列{x

n}必有极限．可以证明数列{x

n}是单调增加并且有界．这个极限我们用e来表示．即ee

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