高等数学 课件 第二节 数列的极限

第一章函数、极限与连续PARTTWO第二节

数列的极限学习目标：1.了解数列极限的概念和特性，理解数列极限的有关性质定理.2.了解数列极限的定义，能正确叙述数列极限的定义.3.掌握数列的性质极限的四则运算法则.例如1.数列的定义一、数列极限的定义注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数下页返回上页问题1:当

无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题2:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.下页返回上页观察以下数列的变化趋势下页返回上页2.数列极限的定义用数学语言

表示：（“ε-N”语言）.定义注意：(1)不等式|

xn-a|<ε刻画了xn与a的无限接近；（3）N的作用：说明n任意大的程度，与任意给定的正数ε有关，且不唯一；（4）ε与N的关系：ε越小，N越大.（2）ε的作用：控制xn与

a的接近程度;数列极限的几何解释当n>N

时，就有|xn-a|<ε

当n>N时，就有a-ε<xn<a+ε

对于任意给定的正数ε,总存在一个正整数N，使得所有下标大于N的项xn都落在邻域内；

而在之外，数列{xn}中的项至多只有限个（有Ｎ个）.数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证明：所以,注意：总结：利用定义2证明数列极限的一般步骤，；；；.例1已知

证明：|xn

a|

e

0

为了使|xn

0|

e（设

<1），

例3证明：（设

<1）

定理1二、收敛数列极限的四则运算若注：上述法则可推广到有限个数列的加，减，乘，除，但不能推广到无限个数列情形。特别地，如果C是常数，那么

几个常见数列的极限二、收敛数列极限的四则运算

例4求下来数列的极限

解：分析：这里不加证明的引用了在无理式的极限中常用到的一个极限的运算性质：解：

这种求极限的方法称为“有理化法”baxb+

证明:

（反证法）假设{xn}

收敛,但极限不唯一,

不妨设b<a,取即a

b.由极限定义,

1,当n>N1时,

N2,当n>N2时,取N=max{N1,N2},从而当n>N时,有矛盾,故极限唯一.则当n>N时,上两式同时成立.三、收敛极限的性质定理2(极限的唯一性)

如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一.证明:由定义,注意：1.定理2的逆命题不成立2.无界数列必定发散.定理3（收敛数列的有界性）

如果数列{xn}收敛，则数列{xn}有界|xn|

|(xn

a)a|

|xn

a||a|

1|a|例如

数列{(-1)n}有界，但它不收敛.故{xn}有界.则对一切自然数n，皆有|xn|<M.设xn

a(n),a>0.,由极限定义，

自然数N,当n>N时,有定理4(收敛数列的保号性)若

,而a>0(a<0).

则

N,当n>N时,有xn>0(xn<0).证明:取xa0故当n>N时,类似可证a<0的情形.推论:

设有数列{xn},若自然数N,当n>N时,,则有xn0(xn0).且a0(a0).证明:

假设a<0，由定理3,

N1,当n>N1时,有xn<0.取N2=max(N1,N),则当n>N2(>N)时,有xn<0,此与条件矛盾.定义3构成一个新的数列，称它为{xn}的一个子列.在数列{xn}中保持原有的次序自左向右任意选取无穷多个项，例如，为{xn}的一个子数列.证明：（略）

课堂小结：1.数列极限的概念2.收敛数列极限的四则运算

⑴法则只能在极限存在的前提下使用；⑵法则只能使用