LC谐振回路课件

LC谐振回路1.2LC谐振回路的选频特性

1.2.1并联谐振回路图1.21(a)是电感L、电容C和外加信号源组成的并联谐振回路。r是电感L的损耗电阻，电容的损耗一般可以忽略。(b)图是其等效转换电路，ge0和Re0分别称为回路谐振电导和回路谐振电阻。根据电路分析基础知识，可以直接给出LC并联谐振回路的某些主要参数及其表达式：(1)回路谐振电导

(2)回路总导纳Y=(3)谐振频率ω0=(4)回路两端谐振电压U00=(5)回路空载Q值Q0=(6)单位谐振曲线。谐振时，回路呈现纯电导，且谐振导纳最小（或谐振阻抗最大）。回路电压U与外加信号源频率之间的幅频特性曲线称为谐振曲线。谐振时，回路电压U00最大。任意频率下的回路电压U与谐振时回路电压U00之比称为单位谐振函数，用Ｎ（ｆ）表示。Ｎ（ｆ）曲线称为单位谐振曲线。Ｎ（ｆ）＝

由Ｎ（ｆ）定义可知，它的值总是小于或等于１。由式（１．２．３）和式（１．２．５）可得:

所以Ｎ(f)=定义相对失谐ε=，当失谐不大时，即ｆ与ｆ0相差很小时,

ε＝所以N(f)=

根据式（１．２．１０）可作出单位谐振曲线Ｎ（ｆ）。该曲线如图１．２．２所示。

(7)通频带、选择性、矩形系数。由图１．２．２可知，Ｑ0越大，谐振曲线越尖锐，选择性越好。为了衡量回路对于不同频率信号的通过能力，定义单位谐振曲线上Ｎ（ｆ）≥所包含的频率范围为回路的通频带，用ＢＷ0.7表示。在图上ＢＷ0.7＝ｆ2－ｆ1，取可得将式（１．２．１１）减去式（１．２．１２），可得到:

所以

BW0.7

=f2-f1=(1.2.13)

可见，通频带与回路Ｑ值成反比。也就是说，通频带与回路Ｑ值(即选择性)是互相矛盾的两个性能指标。选择性是指谐振回路对不需要信号的抑制能力，即要求在通频带之外，谐振曲线Ｎ（ｆ）应陡峭下降。所以，Ｑ值越高，谐振曲线越陡峭，选择性越好，但通频带却越窄。一个理想的谐振回路，其幅频特性曲线应该是通频带内完全平坦，信号可以无衰减通过，而在通频带以外则为零，信号完全通不过，如图１．２．２所示宽度为ＢＷ0.7、高度为１的矩形。

为了衡量实际幅频特性曲线接近理想幅频特性曲线的程度，提出了“矩形系数”这个性能指标。矩形系数Ｋ0.1定义为单位谐振曲线Ｎ（ｆ）值下降到０．１时的频带范围ＢＷ0.1与通频带ＢＷ0.7之比，即:

由定义可知，Ｋ01是一个大于或等于１的数，其数值越小，则对应的幅频特性越理想。例１．１求并联谐振回路的矩形系数。解：取

利用图1.2.2，用类似于求通频带ＢＷ0.7的方法可求得:

由上式可知，一个单谐振回路的矩形系数是一个定值，与其回路Ｑ值和谐振频率无关，且这个数值较大，接近１０，说明单谐振回路的幅频特性不大理想。

1.2.2串联谐振回路图１．２．３是串联ＬＣ谐振回路的基本形式，其中ｒ是电感Ｌ的损耗电阻，ＲL是负载电阻。下面按照与并联ＬＣ回路的对偶关系，直接给出串联ＬＣ回路的主要基本参数。回路总阻抗Z＝RL+r+j

回路空载Ｑ值Q0=

回路有载Ｑ值Qe=谐振频率f0=单位谐振函数N(f)=通频带BW0.7

=

其中Ｉ是任意频率时的回路电流，Ｉ00是谐振时的回路电流。

1.2.3串、并联谐振回路阻抗特性比较串联谐振回路空载时阻抗的幅频特性和相频特性表达式分别为：

Z=r+j

并联谐振回路空载时阻抗的幅频特性和相频特性表达式分别为：

图１．２．４（ａ）、（ｂ）分别是串联谐振回路与并联谐振回路空载时的阻抗特性曲线。由图可见，前者在谐振频率点的阻抗最小，相频特性曲线斜率为正；后者在谐振频率点的阻抗最大，相频特性曲线斜率为负。所以，串联回路在谐振时，通过电流Ｉ00最大；并联回路在谐振时，两端电压U

00最大。在实际选频应用时，串联回路适合与信号源和负载串联连接，使有用信号通过回路有效地传送给负载；并联回路适合与信号源和负载并联连接，使有用信号在负载上的电压振幅增大。

串、并联回路的导纳特性曲线正好相反。前者在谐振频率处的导纳最大，且相频特性曲线斜率为负；后者在谐振频率处的导纳最小，且相频特性曲线斜率为正。读者可自己写出相应的幅频和相频特性表达式，画出相应的曲线。

1.3变压器或ＬＣ分压式阻抗变换电

考虑信号源内阻Ｒs和负载电阻ＲL后，并联谐振回路的电路如图１．３．１所示。由式（１．２．５）可知，回路的空载Ｑ值Q0=而回路有载Ｑ值Q0=

其中回路总电导gΣ=gs+gL+ge0=，回路总电阻RΣ=Rs‖RL‖Re0，ｇs和ｇL分别是信号源内电导和负载电导。

可见，Ｑe＜Ｑ0，且并联接入的Ｒs和ＲL越小，则Ｑe越小，回路选择性越差。另外，由式（１．２．４）可知，谐振电压Ｕ00也将随着谐振回路总电阻的减小而减小。实际上，信号源内阻和负载不一定是纯电阻，可能还包括电抗分量。如要考虑信号源输出电容和负载电容，由于它们也是和回路电容Ｃ并联的，所以总电容为三者之和，这样还将影响回路的谐振频率。因此，必须设法尽量消除接入信号源和负载对回路的影响。

采用阻抗变换电路可以改变信号源或负载对于回路的等效阻抗。若使Ｒs或ＲL经变换后的等效电阻增加，再与Ｒe0并联，可使回路总电阻ＲΣ减小不多，从而保证Ｑe与Ｑ0相差不大；若信号源电容与负载电容经变换后大大减小，再与回路电容Ｃ并联，可使总等效电容增加很少，从而保证谐振频率基本保持不变。下面介绍几种常用的阻抗变换电路。

1.3.1自耦变压器电路

图1．3．2(a)所示为自耦变压器阻抗变换电路，（ｂ）为考虑次级后的初级等效电路，Ｒ′L是ＲL等效到初级的电阻。在图中，负载ＲL经自耦变压器耦合接到并联谐振回路上。设自耦变压器损耗很小，可以忽略，则初、次级的功率P1、P2近似相等，且初、次级线圈上的电压U1和U2之比应等于匝数之比。设初级线圈与抽头部分次级线圈匝数之比Ｎ1∶Ｎ2＝１∶ｎ，则有：

Ｐ1=Ｐ2，U1／U2＝１／ｎ因为P1=′所以R′L=

对于自耦变压器，ｎ总是小于或等于１,所以,ＲL等效到初级回路后阻值增大，从而对回路的影响将减小。ｎ越小,则Ｒ′L越大，对回路的影响越小。所以，ｎ的大小反映了外部接入负载（包括电阻负载与电抗负载）对回路影响大小的程度，可将其定义为接入系数。

1.3.2变压器阻抗变换电路

图1．3．3（ａ）为变压器阻抗变换电路，（ｂ）为考虑次级后的初级等效电路，Ｒ′L是ＲL等效到初级的电阻。若Ｎ1、Ｎ2分别为初、次级电感线圈匝数，则接入系数ｎ＝Ｎ2／Ｎ1。利用与自耦变压器电路相同的分析方法，将其作为无损耗的理想变压器看待，可求得ＲL折合到初级后的等效电阻

1.3.3电容分压式电路

图1．3．4（ａ）是电容分压式阻抗变换电路，（ｂ）是ＲL等效到初级回路后的初级等效电路。

利用串、并联等效变换公式，在ω2R2L(C1+C2)2>>1时，可以推导出ＲL折合到初级回路后的等效电阻

其中ｎ是接入系数，在这里总是小于１。如果把RL折合到回路中1，2两端，则等效电阻

1.3.4电感分压式电路

图1．3．5（ａ）所示为电感分压式阻抗变换电路，它与自耦变压器阻抗变换电路的区别在于Ｌ1与Ｌ2是各自屏蔽的，没有互感耦合作用。（ｂ）图是ＲL等效到初级回路后的初级等效电路，Ｌ＝Ｌ1＋Ｌ2。ＲL折合到初级回路后的等效电阻其中ｎ是接入系数，在这里总是小于１。

例１．２某接收机输入回路的简化电路如图例1.2所示。已知Ｃ1=5pF，Ｃ2=15pF，Ｒs=75Ω，ＲL=300Ω。为了使电路匹配，即负载ＲL等效到ＬＣ回路输入端的电阻Ｒ′L＝Ｒs，线圈初、次级匝数比Ｎ1／Ｎ2应该是多少？解：由图可见，这是自耦变压器电路与电容分压式电路的级联。ＲL等效到Ｌ两端的电阻

R″L

=

Ｒ″L等效到输入端的电阻R′L

=如要求Ｒ′L＝Ｒs，则16

RL=Rs。所以

在以上介绍的四种常用阻抗变换电路中，所导出的接入系数ｎ均是近似值，但对于实际电路来说，其近似条件容易满足，所以可以容许引入的近似误差。

采用以上四种电路虽然可以在较宽的频率范围内实现阻抗变换，但严格计算表明，各频率点的变换值有差别。如果要求在较窄的频率范围内实现理想的阻抗变换，可采用下面介绍的ＬＣ选频匹配网络。1.4ＬＣ选频匹配网络

1.4.1阻抗电路的串—并联等效转换由电阻元件和电抗元件组成的阻抗电路的串联形式与并联形式可以互相转换，而保持其等效阻抗和Ｑ值不变。

由图1．4．1可写出：

Zp=Rp‖jXp

=Zs=Rs+jXs

要使Ｚp＝Ｚs，必须满足:

Rs

=按类似方法也可以求得:

Rp=Rp=

将上式代入式(1.4.3)、(1.4.4)可以得到下述统一的阻抗转换公式，同时也满足式(1.4.1)和(1.4.2)。

由式(1.4.7)可知，转换后电抗元件的性质不变。当Qe>>1时，则简化为：

Rp≈Q2eRs

(1.4.8)

Xp≈Xs

(1.4.9)

1.4.2选频匹配原理

LC选频匹配网络有倒L型、T型、π型等几种不同组成形式，其中倒L型是基本形式。现以倒L型为例，说明其选频匹配原理。倒L型网络是由两个异性电抗元件X1、X2组成，常用的两种电路如图1.4.2(a)、(b)所示，其中R2是负载电阻，R1是二端网络在工作频率处的等效输入电阻。对于图1.4.2(a)所示电路，将其中X2与R2的串联形式等效变换为Xp与Rp的并联形式，如图1.4.2(c)所示。在X1与Xp并联谐振时，有X1+Xp=0,R1=Xp

根据式(1.4.6)，有

R1=(1+Q2e)R2(1.4.10)所以

Qe=

由式(1.4.5)可以求得选频匹配网络电抗值|X2|=QeR2=|X1|=|Xp|=

由式(1.4.10)可知，采用这种电路可以在谐振频率处增大负载电阻的等效值。对于图1.4.2(b)所示电路，将其中X2与R2的并联形式等效变换为Xs与Rs的串联形式，如图1.4.2(d)所示。在X1与Xs串联谐振时，可求得以下关系式：

R1=Rs=|X1|=|Xs|=QeR1=

由式(1.4.13)可知，采用这种电路可以在谐振频率处减小负载电阻的等效值。

T型网络和π型网络各由三个电抗元件(其中两个同性质，另一个异性质)组成，如图1.4.3所示，它们都可以分别看作是两个倒L型网络的组合，用类似的方法可以推导出其有关公式。例1.3已知某电阻性负载为10Ω，请设计一个匹配网络，使该负载在20MHz时转换为50Ω。如负载由10Ω电阻和0.2

μH电感串联组成，又该怎样设计匹配网络?

解由题意可知，匹配网络应使负载值增大，故采用图1.4.2(a)所示倒L型网络。由式(1.4.11),(1.4.12)可求得所需电抗值

|X2|==20Ω

|X1|=50×=25Ω

所以

L2=

由0.16μH电感和318pF电容组成的倒L型匹配网络即为所求，如图例1.3(a)虚线框内所示。如负载为10Ω电阻和0.2μH电感相串联，在相同要求下的设计步骤如下：因为0.2μH电感在20MHz时的电抗值为：

XL=ωL=2π×20×106×0.2×10-6=25.1Ω

而

X2-XL=20-25.1=-5.1Ω

所以

C2=

由1560pF和318pF两个电容组成的倒L型匹配网络即为所求，如