高中数学 第一章 推理与证明 1.2 综合法与分析法 分析法（1）教学实录 北师大版选修2-2

高中数学第一章推理与证明1.2综合法与分析法分析法（1）教学实录北师大版选修2-2主备人备课成员教材分析高中数学第一章推理与证明1.2综合法与分析法分析法（1）教学实录北师大版选修2-2。本节课以分析法为核心，通过具体例题引导学生掌握分析法的解题步骤和技巧，强调逻辑推理在数学证明中的重要性。课程内容与课本紧密相连，注重培养学生的逻辑思维能力和证明能力。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的逻辑推理能力和数学证明能力，提升其数学抽象和数学建模素养。学生将通过分析法的学习，学会运用逻辑推理解决数学问题，并能够将实际问题转化为数学模型进行求解，从而增强数学应用意识和创新意识。教学难点与重点1.教学重点，

①理解并掌握分析法的定义和基本步骤；

②能够将实际问题转化为数学问题，并运用分析法进行解题；

③熟练运用分析法解决简单的数学证明题，如不等式证明、函数单调性证明等。

2.教学难点，

①分析法思维的形成和运用，对于学生来说，从直观思维向逻辑推理思维的转变是一个难点；

②分析法中逻辑推理的严密性和正确性，学生需要理解和掌握如何确保推理过程无误；

③分析法在解决复杂问题时的适用性和拓展性，学生需要学会灵活运用分析法解决不同类型的问题。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版选修2-2教材，以备查阅相关章节内容。

2.辅助材料：准备与分析法相关的图片、图表，以及相关数学证明过程的视频资料，以帮助学生直观理解分析法的应用。

3.教学工具：准备黑板和粉笔，用于板书和展示解题步骤。

4.教室布置：设置分组讨论区，以便学生进行合作学习和讨论。教学流程1.导入新课

详细内容：

-利用多媒体展示数学证明的经典例子，如勾股定理的证明过程，激发学生对证明的兴趣。

-提问：“同学们，在数学学习中，证明是如何帮助你们理解数学知识的？”

-引出本节课的主题：“今天我们将学习一种重要的证明方法——分析法。”

用时：5分钟

2.新课讲授

详细内容：

①分析法的定义与步骤

-介绍分析法的基本概念，强调分析法是通过对结论进行逆向思考，逐步推导出前提的方法。

-展示分析法的基本步骤：从结论出发，逐步寻找能推出结论的前提条件，直至找到基本事实或定义。

-用时：10分钟

②分析法的应用实例

-以课本例题为例，讲解如何将分析法应用于解决具体的数学问题。

-引导学生分析例题，展示如何从结论出发，逐步推导出前提条件。

-用时：10分钟

③分析法的特点与优势

-分析法的特点：简洁、直观、逻辑性强。

-分析法的优势：有助于学生深入理解数学概念，提高解题能力。

-通过比较分析法与其他证明方法，如综合法，让学生认识到分析法的独特之处。

-用时：10分钟

3.实践活动

详细内容：

①学生独立完成练习题

-分发与分析法相关的练习题，要求学生在规定时间内独立完成。

-学生通过练习，巩固对分析法步骤和技巧的理解。

-用时：15分钟

②小组合作解决难题

-将学生分成小组，每个小组选择一道难度较大的证明题进行合作解决。

-小组成员共同讨论，运用分析法进行解题，并分享解题思路。

-用时：15分钟

③学生展示解题过程

-邀请学生展示解题过程，其他学生进行评价和提问。

-教师点评学生的解题方法，指出优点和不足，引导学生进一步思考。

-用时：10分钟

4.学生小组讨论

详细内容：

举例回答：

①如何判断一个数学问题适合用分析法解决？

-学生讨论：观察问题特征，如结论是否清晰，前提条件是否容易找到等。

②分析法在解决不等式证明题中的应用有哪些？

-学生讨论：如何从不等式的结论出发，找到使不等式成立的充分条件。

③分析法与其他证明方法相比，有哪些优势和局限性？

-学生讨论：分析法在解题过程中的便利性以及可能存在的思维局限性。

用时：10分钟

5.总结回顾

内容：

-教师总结本节课的学习内容，强调分析法在数学证明中的重要性。

-举例说明分析法在解决实际问题中的应用，如几何证明、函数证明等。

-引导学生反思本节课的学习，提出进一步的学习建议。

-用时：5分钟

总用时：45分钟知识点梳理1.分析法的定义

-分析法是一种从结论出发，逐步寻找能推出结论的前提条件，直至找到基本事实或定义的证明方法。

2.分析法的步骤

-确定结论：明确要证明的数学命题或结论。

-找到前提：分析结论，找出能推出结论的前提条件。

-逐步推导：从前提条件出发，逐步推导出结论。

-确认基本事实：找到能够直接证明的前提条件，如定义、公理、定理等。

3.分析法的应用

-不等式证明：通过分析不等式的结论，找到使不等式成立的充分条件。

-函数证明：分析函数的性质，如单调性、奇偶性等，从而证明函数的相关结论。

-几何证明：运用分析法证明几何命题，如三角形全等、相似等。

4.分析法的特点

-简洁：分析法通常能以简洁的方式展示证明过程。

-直观：分析法能够直观地展示证明的思路。

-逻辑性强：分析法强调逻辑推理的严密性。

5.分析法与其他证明方法的比较

-综合法：从已知条件出发，逐步推导出结论，与分析法相反。

-归纳法：通过对特殊情况的观察，归纳出一般性的结论。

6.分析法的局限性

-分析法可能需要较高的逻辑思维能力。

-分析法在解决某些问题时可能不如综合法直接。

7.分析法的实际应用

-在数学竞赛和高考中，分析法是解决证明题的重要方法。

-在数学研究、工程应用等领域，分析法有助于深入理解数学概念和解决问题。

8.分析法的教学意义

-培养学生的逻辑思维能力。

-提高学生的证明能力。

-帮助学生建立数学证明的直觉和经验。

9.分析法的教学策略

-引导学生从结论出发，逐步寻找前提条件。

-通过实例讲解分析法的步骤和技巧。

-鼓励学生独立思考，运用分析法解决实际问题。

-组织学生进行小组讨论，分享解题思路。

10.分析法的练习题设计

-设计不同难度和类型的练习题，以巩固学生对分析法的理解和应用。

-练习题应涵盖不同数学领域，如代数、几何、三角等。

-练习题应注重培养学生的逻辑思维能力和证明能力。课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.回顾本节课的主要内容，强调分析法的定义、步骤和应用。

2.总结分析法的特点，如简洁、直观、逻辑性强等。

3.强调分析法在数学证明中的重要性，以及在解决实际问题中的应用价值。

4.鼓励学生在今后的学习中，积极运用分析法解决数学问题。

当堂检测：

1.单项选择题（5题）

-下列哪种证明方法是从结论出发，逐步寻找能推出结论的前提条件的方法？

A.综合法

B.归纳法

C.分析法

D.演绎法

-分析法在解决下列哪种数学问题时特别有效？

A.不等式证明

B.函数证明

C.几何证明

D.数列证明

-分析法的基本步骤不包括以下哪一项？

A.确定结论

B.找到前提

C.直接给出结论

D.逐步推导

-下列哪个选项不是分析法的特点？

A.简洁

B.直观

C.复杂

D.逻辑性强

-分析法在数学证明中的主要作用是什么？

A.帮助学生理解数学概念

B.提高学生的解题能力

C.培养学生的逻辑思维能力

D.以上都是

2.判断题（5题）

-分析法是一种从已知条件出发，逐步推导出结论的证明方法。（）

-分析法在解决几何证明题时，通常比综合法更直接。（）

-分析法在数学证明中的应用非常广泛。（）

-分析法的特点是步骤繁琐，逻辑性不强。（）

-分析法在解决数列问题时，效果不如归纳法。（）

3.简答题（2题）

-简述分析法的定义和基本步骤。

-请举例说明分析法在解决不等式证明题中的应用。

4.练习题（1题）

-证明：对于任意实数x，有（x+1）^2≥0。典型例题讲解例题1：证明：对于任意实数x，有（x+1）^2≥0。

解：

1.从结论出发，观察（x+1）^2≥0，可知结论为非负数。

2.分析（x+1）^2的展开形式，得到x^2+2x+1。

3.由于x^2和1都是非负数，因此x^2+2x+1也是非负数。

4.由此可得（x+1）^2≥0。

例题2：证明：对于任意实数x，有x^2≥0。

解：

1.从结论出发，观察x^2≥0，可知结论为非负数。

2.分析x^2的展开形式，得到x^2。

3.由于x^2总是非负数，因此x^2≥0。

4.由此可得x^2≥0。

例题3：证明：对于任意实数x和y，有（x+y）^2≥0。

解：

1.从结论出发，观察（x+y）^2≥0，可知结论为非负数。

2.分析（x+y）^2的展开形式，得到x^2+2xy+y^2。

3.由于x^2和y^2都是非负数，而2xy的乘积可能为负，但平方后非负。

4.因此x^2+2xy+y^2总是非负数。

5.由此可得（x+y）^2≥0。

例题4：证明：对于任意实数x和y，有x^2+y^2≥2xy。

解：

1.从结论出发，观察x^2+y^2≥2xy，可知结论为非负数。

2.分析x^2+y^2-2xy，得到（x-y）^2。

3.由于（x-y）^2总是非负数，因此x^2+y^2-2xy也是非负数。

4.由此可得x^2+y^2≥2xy。

例题5：证明：对于任意实数x，有x^4≥x^2。

解：

1.从结论出发，观察x^4≥x^2，可知结论为非负数。

2.分析x^4-x^2，得到x^2(x^2-1)。

3.当x≥1或x≤-1时，x^2≥1，因此x^2(x^2-1)≥0。

4.当-1<x<1时，x^2<1，因此x^2(x^2-1)<0。

5.综合上述情况，无论x的取值如何，x^4≥x^2总是成立的。

补充说明：

1.分析法在证明不等式时，首先要观察不等式的形式，判断其是否为非负数。

2.在分析前提条件时，要注意将结论分解为多个部分，以便找到能推出结论的前提条件。

3.在证明过程中，要确保每一步推理都是正确的，避免出现逻辑错误。

4.对于复杂的证明题，可以尝试将分析法与其他证明方法结合使用，以提高证明效率。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.创设情境，激发兴趣

在新课导入环节，我尝试通过展示与生活相关的数学问题，让学生在解决实际问题的过程中感受到数学的实用性和趣味性，从而激发学生的学习兴趣。

2.引导探究，培养能力

在新课讲授过程中，我注重引导学生进行探究，鼓励学生提出自己的观点，通过讨论和交流，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生基础参差不齐

由于学生来自不同的初中学校，数学基础存在较大差异，部分学生在理解分析法的概念和步骤时存在困难。

2.教学方法单一

在教学过程中，我主要采用讲授法，虽然能够清晰地讲解知识点，但缺乏互动性，可能导致学生的参与度不高。

3.评价方式单一

本节课的评价方式主要是通过课堂练习和检测来评价学生的学习效果，缺乏对学生的个性化评价。

反思改进措施（三）改进措施

1.针对学生基础参差不齐的问题，我将采取分层