2024-2025学年河北省唐山市路北区九年级（上）期末数学试卷(含详解)

第1页（共1页）2024-2025学年河北省唐山市路北区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2分）下列等式中，p，q两个量成反比例关系的是（）A．p+q＝0 B．pq＝﹣1 C．p＝2q D．p＝q22．（2分）如图，从点D观测点E的俯角是（）A．∠EDB B．∠CED C．∠CDB D．∠CDE3．（2分）抛物线y＝﹣2x2+mx﹣5的对称轴是x＝1，则m＝（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣44．（2分）如图，在△ABC中，若∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sinA＝（）A．35 B．53 C．455．（2分）夕夕用软件绘制抛物线y＝4x2时，将“4”按成了“5”，和原图象相比，发生改变的是（）A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标6．（2分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD，若AE：BE＝1：2，DF＝3，则FC＝（）A．3 B．5 C．6 D．97．（2分）若A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数y=2x的图象上，且x1＜0＜xA．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1＝﹣y28．（2分）如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件，仍不能使△ABC∽△ADE的是（）A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C．ABAD=AC9．（2分）若关于x的一元二次方程4x2﹣6x+m＝0没有实数根，则m的最小整数值是（）A．2 B．3 C．4 D．510．（2分）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为6cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长是（）A．12 B．18 C．24 D．3611．（2分）一个矩形周长为64cm，不能围成的面积是（）A．220cm2 B．240cm2 C．256cm2 D．320cm212．（2分）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，又是等边△DEF的外接圆，则EFBCA．13 B．23 C．12二、填空题（本大题有4个小题，共14分.13～14题各3分，15～16题每空2分.）13．（3分）tan45°＝．14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，则∠C＝．15．（4分）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则：（1）CEDE=（2）AE＝．16．（4分）如图，点A（3，4）在反比例函数L：y=kx的图象上，点B（3，1），以点O为位似中心，在AB的右侧方将线段AB放大为原来的n倍得到线段A1B1（（1）k＝；（2）若线段A1B1与L总有交点，则n的最大值为．三、解答题（本大题有8道小题，共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0．（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求k的值；（2）若k＝0，解此方程．18．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cosA=32，AC=3319．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．（1）实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D．求证：AB与⊙D相切．20．（7分）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝360cm，AB＝180cm，球目前在点E位置处，BE＝120cm．若瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹进底袋D处．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．21．（7分）如图，四边形OABC是矩形，反比例函数y=kx(x＞0)的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，且点D（1）求反比例函数的表达式和点E的坐标；（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在矩形OABC的内部，直接写出点P的横坐标m的取值范围．22．（8分）如图，遮阳伞的截面示意图为轴对称图形，支撑杆AB垂直于地面，通过调节点E的高度控制遮阳伞的开合，已知AC＝AD＝2m，AB⊥CD于点E．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）（1）若∠DAE＝75°，求遮阳宽度CD；（2）若将∠DAE由75°减到60°，求点E下降的高度．23．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标；（2）若L经过点（1，2），求L的解析式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围；（3）当x≤0时，若L的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．24．（10分）如图，在▱ABCD中，BC＝8，点E是BC的中点，过点E在BC上方作EC，且与CD相切于点C，其圆心为O，连接OC，OE．发现随着∠B的变化，EC所在圆的大小及其圆心O的位置也随之变化，设∠B＝α．（1）如图1，当α＝54°时，求∠OEC的度数；（2）如图2，点O在BC下方，EO∥CD．求EC的长；（3）若点O在∠ABC内部（角的边为射线，不含边界），直接写出α的取值范围．

2024-2025学年河北省唐山市路北区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号1234567891011答案BDCABCADBAD题号12答案C一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2分）下列等式中，p，q两个量成反比例关系的是（）A．p+q＝0 B．pq＝﹣1 C．p＝2q D．p＝q2【解答】解：根据两个量的乘积为定值时，两个量成反比例关系，进行判断如下：A、p+q＝0，p，q两个量和为定值，不是反比例关系，不符合题意；B、pq＝﹣1，p，q两个量积为定值，是反比例关系，符合题意；C、p＝2q，p，q两个量积不是定值，不是反比例关系，不符合题意；D、p＝q2，p，q两个量积不是定值，不是反比例关系，不符合题意．故选：B．2．（2分）如图，从点D观测点E的俯角是（）A．∠EDB B．∠CED C．∠CDB D．∠CDE【解答】解：根据“俯角是向下看的视线与水平线的夹角”可知：从点D观测点E的俯角是∠CDE，故选：D．3．（2分）抛物线y＝﹣2x2+mx﹣5的对称轴是x＝1，则m＝（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+mx﹣5的对称轴是直线x＝1，∴−b2a=解得：m＝4，故选：C．4．（2分）如图，在△ABC中，若∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sinA＝（）A．35 B．53 C．45【解答】解：由题意可得：∴sinA=BC故选：A．5．（2分）夕夕用软件绘制抛物线y＝4x2时，将“4”按成了“5”，和原图象相比，发生改变的是（）A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标【解答】解：和原图象相比，发生改变的是开口大小，故选：B．6．（2分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD，若AE：BE＝1：2，DF＝3，则FC＝（）A．3 B．5 C．6 D．9【解答】解：在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD，∴AD∥EF∥BC，∴AEEB∵AE：BE＝1：2，DF＝3，∴12∴FC＝6，故选：C．7．（2分）若A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数y=2x的图象上，且x1＜0＜xA．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1＝﹣y2【解答】解：∵在函数y=2x中，∴反比例函数y=2∵A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数y=2x的图象上，且x1＜0＜x∴点A（x1，y1）在第三象限，点B（x2，y2）在第一象限，∴y1＜y2；故选：A．8．（2分）如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件，仍不能使△ABC∽△ADE的是（）A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C．ABAD=AC【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，∴∠BAC＝∠DAE，A、若∠B＝∠D，根据两角分别对应相等的两个三角形相似可判定A不符合题意；B、若∠C＝∠E，根据两角分别对应相等的两个三角形相似可判定B不符合题意；C、若ABAD=ACD、若ABAD=BCDE，无夹角相等，故不能判定△ABC∽△故选：D．9．（2分）若关于x的一元二次方程4x2﹣6x+m＝0没有实数根，则m的最小整数值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由题意可知：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×4m＜0，解得k＞9∴k最小整数＝3．故选：B．10．（2分）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为6cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长是（）A．12 B．18 C．24 D．36【解答】解：设半圆形铁皮的半径为rcm，根据题意得：180πr180解得：r＝12，故选：A．11．（2分）一个矩形周长为64cm，不能围成的面积是（）A．220cm2 B．240cm2 C．256cm2 D．320cm2【解答】解：设矩形的宽为xcm，设面积为ycm2，∵矩形周长为64cm，∴矩形的长为(64根据题意，得y=x(＝﹣x2+32x＝﹣（x﹣16）2+256，∵﹣1＜0，∴抛物线开口方向向下，∴当x＝16时，y有最大值为256，即矩形的面积最大值为256cm2，观察四个选项，只有选项D符合题意，故选：D．12．（2分）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，又是等边△DEF的外接圆，则EFBCA．13 B．23 C．12【解答】解：设⊙O与BC边相切于M点，连接OM，OM与EF交于N点，如图所示根据切线的性质定理可知OM⊥BC，由垂径定理可知ON⊥EF∵△DEF∽△ABC∴EF而OM＝OF，∴EF又∵△ABC与△DEF都是正三角形，O为三角形的内心∴∠OFN＝30°即ON于是可知EF故选：C．二、填空题（本大题有4个小题，共14分.13～14题各3分，15～16题每空2分.）13．（3分）tan45°＝1．【解答】解：tan45°＝1，故答案为：1．14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，则∠C＝90°．【解答】解：AB是⊙O的直径，点C在圆上，∴∠C＝90°，故答案为：90°．15．（4分）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则：（1）CEDE=2（2）AE＝2513【解答】解：（1）由条件可知∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE，∴△ACE∽△BDE，∴CEDE∴CEDE故答案为：23（2）由勾股定理得，AB=3∵△ACE∽△BDE，∴CEDE∴AEAB∴AE=2故答案为：2516．（4分）如图，点A（3，4）在反比例函数L：y=kx的图象上，点B（3，1），以点O为位似中心，在AB的右侧方将线段AB放大为原来的n倍得到线段A1B1（（1）k＝12；（2）若线段A1B1与L总有交点，则n的最大值为2．【解答】解：（1）∵点A（3，4）在反比例函数y=k∴4=k∴k＝12，故答案为：12；（2）根据题意得B1的坐标为（3n，n），由线段A1B1与L总有交点知n=12解得n＝2或n＝﹣2（舍），∴n的最大值为2，故答案为：2．三、解答题（本大题有8道小题，共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0．（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求k的值；（2）若k＝0，解此方程．【解答】解：（1）由条件可知（﹣1）2+2×（﹣1）+k＝0，解得：k＝1；（2）若k＝0，则x2+2x＝0，因式分解可得x（x+2）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2．18．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cosA=32，AC=33【解答】解：由题意可得：AB=AC∴BC=A19．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．（1）实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D．求证：AB与⊙D相切．【解答】（1）解：如图，AD即为所求．（2）证明：过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝CD，∴DE为⊙D的半径，∴AB与⊙D相切．20．（7分）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝360cm，AB＝180cm，球目前在点E位置处，BE＝120cm．若瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹进底袋D处．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．【解答】（1）证明：由条件可知∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，由题得，∠EFG＝∠DFG，∴∠EFB＝∠DFC，∴△BEF∽△CDF；（2）解：∵△BEF∽△CDF，∴BECD=BF解得：CF＝216cm，经检验符合题意；∴CF的长为216cm．21．（7分）如图，四边形OABC是矩形，反比例函数y=kx(x＞0)的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，且点D（1）求反比例函数的表达式和点E的坐标；（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在矩形OABC的内部，直接写出点P的横坐标m的取值范围．【解答】解：（1）∵y=kx(x＞0)与AB∴1=k∴k＝4，∴y=4∵D（4，1），∴A（4，0），又点D为AB的中点，∴B（4，2），∵四边形OABC是矩形，∴BC∥AO，BA⊥OA，∵B（4，2），∴设E（m，2），又点E在y=4∴2=4∴m＝2，∴点E的坐标（2，2）；（2）∵E（2，2），D（4，1），且点P在该反比例函数图象上，且在矩形OABC的内部，∴2＜m＜4．22．（8分）如图，遮阳伞的截面示意图为轴对称图形，支撑杆AB垂直于地面，通过调节点E的高度控制遮阳伞的开合，已知AC＝AD＝2m，AB⊥CD于点E．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）（1）若∠DAE＝75°，求遮阳宽度CD；（2）若将∠DAE由75°减到60°，求点E下降的高度．【解答】解：（1）∵sin∠DAE=DE∴DE＝AD•sin∠DAE＝1.94（m），∵AC＝AD，∴CD＝2DE＝3.88（m），∴遮阳宽度CD为3.88m．（2）∵cos∠DAE=AE当∠DAE＝75°时，AE＝AD•cos∠DAE＝2×0.26＝0.52（m），当∠DAE＝60°时，AE＝AD•cos∠DAE＝2×0.5＝1（m），∴1﹣0.52＝0.48（m），∴点E下降的高度为0.48m．23．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标；（2）若L经过点（1，2），求L的解析式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围；（3）当x≤0时，若L的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣1，∴点A的坐标：（0，﹣1）；（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1得，2＝12﹣2a﹣1，解得：a＝﹣1，∴y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，∵1＞0，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴x的取值范围为x＞﹣1；（3）∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1，∴抛物线的对称轴为x＝a，顶点坐标为（a，﹣a2﹣1