2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列专题271 成比例线段【七大题型】（举一反三）（人教版）含解析

2023.2024学年九年级数学下册举一反三系列专题27.1成比例线段

【七大题型】

【人教版】

【题型।成比例线段的概念】....................................................................1

【题型2成比例线段的应用】....................................................................2

【题型3比例的证明】..........................................................................3

【题型4利用比例的性质求比值】...............................................................4

【题型5利用比例的性质求参】.................................................................4

【题型6比例的性质在阅读理解中的运用】.......................................................4

【题型7黄金分割】............................................................................6

”2产一九三

【知识点1成比例线段的概念】

1.比例的项：

在比例式。:力=c:d（即3=£）中，〃,d称为比例外项，力,C称为比例内项.特别地，在比例式爪C

bd

（即3=2）中，力称为mc的比例中项，满足〃=收.

bc

2.成比例线段：

四条线段由b,c,d中，如果。和力的比等于c和d的比，即9=£,那么这四条线段a,b,c,d

bd

叫做成比例线段，简称比例线段.

【题型1成比例线段的概念】

【例1】（2022秋•南岗区校级月考）不能与2,4,6组成比例式的数是（）

4

A.-B.3C.8D.12

3

【变式1-1]（2022秋•义乌市月考）已知线段〃=2,〃=6,则它们的比例中项线段为

【变式1-2]（2022秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（）

A.2：4=1.5：3B.3：1.5=4：2C.2：3=1.5：4D.1.5：2=3：4

【变式1-3]（2022秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形AECD,AB=Scm,BC=\2cm,A'B,

=4cm,8C=6cm.则线段A'B）AB,8C,BC是成比例线段吗?

Ai--------------------------iD

A'-------------,Dr

31---------------------------lcBf\--------------lcr

【题型2成比例线段的应用】

[ft2]（2022秋•渭滨区期末）已知△A8C的三边分别为a,b,c,且（a・c）：（a+b）：Cc-b）=-

2：7：1,试判断△ABC的形状.

【变式2-1]（2022秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地

图上，甲乙两地的距离是（）

A.0.8cmB.8cmC.80。〃D.800。〃.

【变式2-2]（2022秋♦杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（）

A.3：2B,1：3C,4：5D.3：1

【变式2-3]（2022•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团

的人数比例.若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列

叙述何者正确？（）

舞蹈社溜冰社魔术社

上学期345

下学期432

A.舞蹈社不变，溜冰社减少

B.舞蹈社不变，溜冰社不变

C.舞蹈社增加，溜冰社减少

D.舞蹈社增加，溜冰社不变

【知识点2比例的性质】

比例的性质示例剖析

xy__

(1)基本性质：—=—<=>ad=bc(bd0)—=—<=>3x=2y

bd23“

(2)反比性质：R=W=2=L(abcdwO)xy23

-=-T<=>-=-⑶¥0)

bdac23xy

Hit3Hacab4

(3)更比性质：7=~;0—=-7或

baca；=；=土=彳或2=：(个=0)

23y3x2

—=—(abed*0)

ba

,Ait”-aca+bc+d人i八、x2x+y2+3/八、

(4)合比性质：-=-<=>——=——(bd0)「a)=3("0)

baba

（5）分比性质：：=:。胃=三&Sd*O）一。3卫”0)

bdhdx2x2

,八人八"3Haca+bc+d

(6)合分比性质：-=-<=>--=-一-

baa-bc-dx2x+y2+3,八、

y3%—y2—3

(bd±O,awb,c±d)

(7)等比性质：

234

acm...八、已知--，则当x+y+zwO时，

—=-=•••=—(b+d-\---xyz

bdn2342+3+4

a+c+-+ma..,八、

=-----------=一(b+d+LT+”工0)xyzx+y+z'

》+〃+•••+〃h

【题型3比例的证明】

【例3】（2022秋•汝州市校级月考）已知线段〃，b,c，d（后必。），如果户冷的求证：奇=鬻

【变式3-1］（2022春•江阴市期中）如图，点从C在线段上，且A&BC=AD：CD,求证：2+白=白

ZBADAC

ABCD

【变式3-2］（2022秋•秦都区校级期中）已知：如图，点。为三角形ABC内部的任意一点，连接AO并延

长交于点。.

证明：（|）必改=必殁；（？）包四=..

S

6BODS“ODS“c。CD

A

O

BDc

【变式3-3］（2022秋•岳阳县期中）若a,b,c,d是非零实数且求证堂=鬻.

bdab+cdb2+d2

【题型4利用比例的性质求比值】

［ft4］（2022秋•炎陵县期末）已知二二1则三二.

3a-b4b---

【变式4-1］（2022春•霍邱县期末）若等=：,那么料值等于（）

A.-5B.-4C.--5D.--4

【变式4-2］（2022春•沙坪坝区校级期末）若?=：二"阻6-24+3尸0,则三黑的值为（

baf3b-2d+3f)

A.-6B.-3C.-2D.-6

【变式4-3］（2022春•栖森市期末）下列结论中，错误的是（）

A.若泻,则那

B.若？=g则£

b6b6

C.若E=：=］（b・d¥0）,则衿=：

ba3b-a3

D.若£=右则a=3,b=4

【题型5利用比例的性质求参】

【例5】（2022秋•蜀山区校级期中）已知：生=庄=上=七则攵=

xyz------

【变式5-1］（2022秋•灌云县期末）已知彳=/且工+尸24.则工的值是（）

•5D

A.15B.9C.5D.3

【变式5-2］（2022秋•高州市期中）已知：=?=：,且3y=2z+6,求x,），的值.

356

【变式5-3］（2022•雨城区校级开学）我们知道：若2=与且HdWO,那么？=：=的.

babao+d

（1）若b+d=O,那么a、c满足什么关系？

（2）若比=等="=3求户2的值.

abc

【题型6比例的性质在阅读理解中的运用】

【例6】（2022秋•渝中区期末）阅读理解：

己知：a,b,c,4都是不为0的数，且£=；，求证：等=等・

・・・E+1=：+L

ba

.a+bc+cl

■*b~d'

根据以上方法，解答下列问题：

(1)若£=£求管的值；

(2)若?且。于从“d,证明?=*♦

bda+bc+d

【变式6-1】阅读材料：

已知g=?=求也干的值.

346x-y+z

解：设(&#()),则x=3A,y=4&,z=6k.(第一步)

.x+y-z_3k+4k-6k_k_1(第一中、

**x-y+z3fc-4fc+6k5k5''

(1)回答下列问题：

①第一步运用了的基本性质，

②第二步的解题过程运用了的方法，

由白得:利用了的基本性质.

*3»vO

(2)模仿材料解题：

己知4：户z=2：3：4,求x,y+z的值.

•x-2y+3z

【变式6-2](2022秋•椒江区校级月考)阅读下列解题过程，然后解题：

题目：己知—(以氏c互不相等)，求x+y+z的值.

a-bb-cc-a/

解：设=占=-^-=&,则x=Z(a-b),y=k(b-c))z=k(c-a),

a-bb-cc-a,

.\x+y+z=k(a-b+b-c+c-a)=&・0=0,/.x+)?+z=0.

依照上述方法解答下列问题：

a,b,c为非零实数，且a+A+cWO,当竺"£=竺=W上时，求妇皿簪侬的值.

cbaabc

【变式6-3](2022春•鼓楼区校级期中)阅读下面的解题过程，然后解题：

题目：己知七二=二上(以权。互相不相等)，求x+广z的值.

a-bb-cc-a

解：设^-=上=-^-=匕贝Jx=&(a-b'),y=k(b-c'),z=k(c-a)于是，x+y+z=k(a-b+b-

a-bb-cc-a,

c+c-a)=A・0=(),

依照上述方法解答下列问题：己知：匕=9=力a+），+zwo）,求索的值.

xyzx+y+z

【知识点3黄金分割】

如图，若线段上一点C,把线段分成两条线段AC和8C（AC>3。），且使AC是和BC

的比例中项（即AC2=A8・8C）,则称线段被点C黄金分割，点C叫线段4〃的黄金分割点，其中

AC八4B0.618A/"/儿'=三正月4a0.38243,AC'与AB的比叫做黄金比.（注怠：对于线段

22

A5而言，黄金分割点有两个.）

【题型7黄金分割】

【例7】（2022•青羊区校级模拟）如图，点/?是正方形48C。的AB边上线段AB的黄金分割点，且AR>

RB,S表示以AR为边长的正方形面积；S2表示以BC为长，8R为宽的矩形的面积，S3表示正方形除去

Si,S2剩余的面积，则8：S2的值为

【变式7-1]（2022秋•杨浦区期末）己知点尸是线段八6_1_的一点，线段AF是26和A6的比例中项，下

列结论中，正确的是（）

.PBV5+1「PB、石+1厂AP匹-1cAPV5-1

、77=—B.-=—C.-=—D.-=—

【变式7-2]（2022秋•江都区校级月考）已知，点。是线段A8的黄金分割点，若

（1）若人B=IOc、〃b则人。=；

（2）如图，请用尺规作出以力4为腰的黄金三角形A3G

（3）证明你画出的三角形是黄金三角形.

ADB面同意，不得复:制发布日期：2022/9/1522:55:34；用户：小不1825600716

号：20699374

【变式7-3】（2022春•兖州区期末）再读教材：

宽与长的比是亨（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国

许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片

折叠黄金矩形.（提示：MN=2）

第一步,在矩形纸片•端，利用图①的方法折出•个正方形，然后把纸片展平.

第二步,如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平.

第三步,折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图③中所示的AD处.

第四步,展平纸片，按照所得的点。折出DE,使。则图④中就会出现黄金矩形.

图①图②

图④

（1）图③中八8=（保留根号）；

（2）如图③，判断四边形的形状，并说明理由;

（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由.

专题27.1成比例线段【七大题型】

【人教版】

"外妈宫巾

【题型।成比例线段的概念】....................................................................1

【题型2成比例线段的应用】....................................................................2

【题型3比例的证明】..........................................................................3

【题型4利用比例的性质求比值】...............................................................4

【题型5利用比例的性质求参】.................................................................4

【题型6比例的性质在阅读理解中的运用】.......................................................4

【题型7黄金分割】............................................................................6

。。髭中一五三

【知识点1成比例线段的概念】

1.比例的项：

在比例式（即N=£）中，G,d称为比例外项，6c称为比例内项.特别地，在比例式

bd

（即g=2）中，力称为4C的比例中项，满足从=仇3

bc

2.成比例线段：

四条线段。，b,C,d中，如果。和b的比等于C和d的比，即:二£,那么这四条线段a,b,c,d

ba

叫做成比例线段，简称比例线段.

【题型1成比例线段的概念】

【例1】（2022秋•南岗区校级月考）不能与2,4,6组成比例式的数是（）

A.gB.3C.8D.12

【分析】利用表示两个比相等的式子，叫做比例式，然后分别求出4、B、。、。选项的比值，即可判断.

【解答】解:A、/2=4：6,故A不符合题意；

B、2：3=4：6,故B不符合题意；

C、2：4#6：8,故C符合题意；

D、2：4=6：12,故。不符合题意；

故选：C.

【变式1・1】（2022秋♦义乌市月考）己知线段。=2,6=6,则它们的比例中项线段为，百一

【分析】由题意线段c是。、b的比例中项，可知。2=外，由此即可解决问题.

【解答】解：•・•线段c是。、〃的比例中项，

•.（r=ab,

b=6,

AC2=12,

Vc>0,

Ac=2V3,

故答案为：2V3.

【变式1-2]（2022秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（）

A.2：4=1.5：3B.3：1.5=4：2C.2：3=1.5：4D.1.5：2=3：4

【分析】根据对于四条线段。、氏c、4如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比

相等，如（即〃/=/“、），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，进而分别判断即

可.

【解答】解：A、2：4=1：2=1.5：3,能组成比例，错误；

B、3：1.5=2：1=4：2,能组成比例,错误;

C、2：3W1.5：4；不能组成比例,正确;

D、1.5：2=3：4,能组成比例，错误；

故选：C.

【变式1-3]（2022秋•八步区期中）如图所示，有矩形48co和矩形4ECD',AB=ScmtBC=l2cm,AH'

=4皿BC=6cm.则线段Ab,AB,B'C,BC是成比例线段吗?

AD

A'D'

BCB1C'

【分析】求出嚓，器的值判断即可.

ABBC

【解答】解：•••A8=8a〃，BC=12cm,A'B'=4cm,B'C=6an,

.A>Bf41B，C，61

••———,—————9

AB82BC122

•AfBfBfCf

■■--=---，

ABBC

AB,BC,BC是成比例线段.

【题型2成比例线段的应用】

[ft2]（2022秋•渭滨区期末）己知△A8C的三边分别为。一，c,且（a-c）：（。+人）：（”〃）=-

2：7：1,试判断△48C的形状.

【分析】设。・c=・2火，a+b=7,c-b=\,再利用A分别表示出。、b、c,然后利用勾股定理的逆定理

进行判断.

【解答】解：,:（a-c）：（。十〃）:（c-Z?）=-2：7：1,

（a-c=-2k（a=3k

・•・设a+b=7k,解得b=4k,

c—b=kvc=Sk

'：a2+b2=（3k）2+（4k）2=25lc=（5k）?=d,

・•・△ABC为直角三角形，ZC=90°.

【变式2-1]（2022秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地

图上，甲乙两地的距离是（）

A.O.ScmB.8c〃？C.80。〃D.SOOcm.

【分析】设地图上，甲乙两地口勺距离是x。〃，根据比例尺的定理列出方程，解之可得.

【解答】解：设地图上，甲乙两地的距离是比小，

根据题意，得:40000000—500000,

解得：x=80,

即地图上，甲乙两地的距离是805?,

故选：C.

【变式2-2]（2022秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（）

A.3：2B.1：3C.4：5D.3：1

【分析1根据人数必须是整数，所以男、女生人数占的总分数必须能被30整除，然后进行计算即可解答.

【解答】解：A、30+（312）=6,能得出整数的结果，故工符合题意;

B、304-(1+3)=7.5,不能得出整数的结果，故3不符合题意;

C、30+(4+5)=y,不能得出整数的结果，故C不符合题意；

D、30+(3+1)=7.5,不能得出整数的结果，故。不符合题意；

故选：A.

【变式2-3)(2022•台湾)某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团

的人数比例.若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列

叙述何者正确？()

舞蹈社溜冰社魔术社

上学期345

下学期432

A.舞蹈社不变，溜冰社减少

B.舞蹈社不变，溜冰社不变

C.舞蹈社增加，溜冰社减少

D.舞蹈社增加，溜冰社不变

【分析】若甲：乙：丙=a：b：c,则甲占全部的」一,乙占全部的士,丙占全部的七.

a+b+ca+b+ca+b+c

【解答】解：由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：

舞蹈社溜冰社魔术社

_5__15

上学期±=±2=竺

1236123612—36

28

下学期£=竺3=12-=

936936936

・•・舞蹈社增加，溜冰社不变.

故选：O.

【知识点2比例的性质】

比例的性质示例剖析

xy__

(1)基本性质：—=—<=>ad=bc(bd0)—=—<=>3x=2y

bd23“

(2)反比性质：R=W=2=L(abcdw0)xy23

-=-T<=>-=-⑶¥0)

bdac23xy

Hit3Hacab4

(3)更比性质：7=~;0—=-7或

baca；=；=土=彳或2=：(个=0)

23y3x2

—=—(abed*0)

ba

,Ait”-aca+bc+d人i八、x2x+y2+3/八、

(4)合比性质：-=-<=>——=——(bd0)「a)=3("0)

baba

(5)分比性质：：=:。胃=三&Sd±0)一。3卫”0)

bdhdx2x2

,八人八"3Haca+bc+d

(6)合分比性质：-=-<=>--=-一-八、

baa-bc-dx2x+y2+3,

y3%—y2—3

(bd±0,awb,c±d)

(7)等比性质：

234

已知--，则当时，

acm...八、x+y+zwO

—=-=•••=—(b+d-\-----xyz

bdn2342+3+4

a+c+-+ma..,八、

=-----------=一(b+d+LT+”工0)xyzx+y+z'

》+〃+•••+〃h

【题型3比例的证明】

【例3】(2022秋•汝州市校级月考)已知线段小b,c,d(b¥d/0),如果E=：=M求证：W

bdb-db+d

【分析】根据比例线段的性质证明即可.

【解答】证明：由三二：=匕

ba

可得：ci=bk,c=dk,

把c="代入总=若=处

把『从’『"代入篝=富=鼠

可得:公a+c

b-db+d

【变式3-1](2022春♦江阴市期中)如图，点B,C在线段A。上，且"：BC=AD：CD,求证：神:=工

ABADAC

BCD

AC-ABAD-AC

【分析】由已知条件得到*弟即，两边同除以即可得到结论.

ABADAC,

【解答】证明：,・e=给

DCCD

谭吟，即AC-ABAD-AC

ABAD

・谭T=I-第

-2_2-=^-

**AB+ADAC

【变式3-2］（2022秋•秦都区校级期中）己知：如图，点。为三角形ABC内部的任意一点，连接人。并延

长交4c于点Q.

SAABO_S&ACO

证明：（1）(2)=—.

SABODSRCODSAACOCD

【分析】⑴由等高模型可知：事#=由此即可解决问题.

S&BOD°DS&COD0D

（2）利用等高模型以及比例的性质即可解决问题.

【解答】证明：（1）・.・包这=丝也3="

°。^aCODOD

•••S^ABO_S“c。

S^BODSA。。。

(2),•S/ABD_S^OBD_BD

SAADCS4ODCCD'

•SAABD-SAOBD_BP

SbADC-S&ODCC。'

•S—80_gp

S£^ACOCD

【变式3-3】（2022秋•岳阳县期中）若a,b,c,d是非零实数且户?求证就=舞・

【分析】由于(*+/)(b2+d2)=6f2Z>2+c2/>2+a2J2+c2J2,(ab+cd)(ab+cd)=a^kr+labcd+^d1,根据比

例的基本性质得到ad=〃c,可得（a2+（r）（b2+d2）=（.ab+cd）（ab+cd）»从而得证.

【解答】证明：

••(id—be9

222

*/(fl+c)(h+(p)=a2b2+db2+a2d2+c2d2,

(ab+cd)(ah+cd)=a2b2+2abcd+(rd2,

*：2abcd=(rb1+crd1

/.(cr+(r)(/+，)=(ab+cd)(ab+cd),

.a2+c2_ab+cd

ab+cdb2+d2"

【题型4利用比例的性质求比值】

【例4】(2022秋•炎陵县期末)已知昌="则^=4.

【分析】根据/7=：,可得党=一再根据比例的性质即可求解.

3a-b42b3

【解答】解：,•,昌二:,

3a-b4

•3a-b_4

=31

.3a14

•,莉一小丁

■.•一a_11.

b9

故答案为:y.

【变式4-1](2022春•霍邱县期末)若"=那么的值等于()

a4a

A.-B.-C.--D.--

5454

【分析】把厘=：化成1-2=3即可求出2的值.

a4a4a

【解答】解：・・・ga=;,

a4

.,b3

..1-----=

a4

・b1

.qr

故选:B.

【变式4-2](2022春•沙坪坝区校级期末)若？=：=9=；且人-2d+3尸0,则冷普的值为()

baf3o-2a+3/

A.—B.—C.—D.—

6326

【分析】先利用分式的基本性质得到m=w=然后根据等比性质解决问题.

b-2d3/3

【解答】解：・・・？=」=，=;,

baJ3

•••a一=-2c=—3e=_,1

b-2d3/3

而。-2J+3/^0

•_a_-_2_c_+_3e—_1

b-2d+3f-3*

故选：B.

【变式4-3］（2022春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（）

A・若洛，则泻

B•若等=*，贝哈=［

C・花吟甘（人”0）,则言号

D.若三=三，则a=3,6=4

b4

【分析】分别利用比例的基本性质分析得出答案.

【解答】解：4、若L，贝吟=£正确,不合题意;

B、若?=；,则6Ca-b）=b,故6a=7b,则g正确，不合题意；

b6b6

C、若E=：=；e-dwo），则三二j正确，不合题意；

ba3b-a3

D、若£=£无法得出小〃的值，故此选项错误，符合题意.

故选：。.

【题型5利用比例的性质求参】

【例5】（2022秋•蜀山区校级期中）已知："二比=上4，则4=2或-1

xyz----------

【分析】能够根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换.

【解答】解：此题要分情况考虑：

当X+V+ZKO时，则根据比例的等比性质，得仁2x+2y+2z=2：

/x+y+z

当x+y+z=O时，即x+y=-z,则女=-1,故填2或-1.

【变式5-1］（2022秋•灌云县期末）已知且/）=24.则工的值是（）

A.15B.9C.5D.3

【分析】设;气二鼠根据比例的性质求出x=3A,尸5亿根据x+），=24得出弘+54=24,求出我，再求

出，即可.

【解答】解：设则k3鼠），=5匕

•・”+），=24.

・,・3%+5+=24,

解得：k=3,

•**x=3X3=9,

故选:B.

【变式5-2］（2022秋•高州市期中）已知？=5=g且3y=2z+6,求x,y的值.

3561

【分析】由若：=.=可设：=*=这样用&分别表示x、y、Z,即工=3〃，y=5k,z=6k,再利

356356

.用3y=2z+6,可得到关于k的方程，解方程得到攵的值，从而可确定x的值.

【解答】解：设

则x=3k,y=5k,z=6k,

V3y=2z+6,

，3X5A=2X6A:+6,

解得:2=2,

.\x=3k=6,y=5Z=10.

【变式5-3］（2022•雨城区校级开学）我们知道：若2=7且HdWO,那么?=5=分.

bdbdb+d

（l）若b+d=O,那么4、C满足什么关系？

（2）若管=等=?=3求产・L2的值.

【分析】（1）根据比例的性质即可得到结果；

（2）根据比例的性质求得/的值，把，的值代入代数式即可得到结论.

【解答】解：（）・・•？=；从

1ba,d=0,

.,.a+c=O；

（2）①当o+KcHO时，把=叱=健=t==2,

abca+b+c

Ar2-r-2=2-2-2=0,

②当a+h+c=O时，b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c,

•.•b+c1—a,+c=a+b4|,,

abc

Ar2-r-2=0.

【题型6比例的性质在阅读理解中的运用】

【例6】（2022秋•渝中区期末）阅读理解：

已知：a,b,c,d都是不为。的数，且"会求证：等=詈.

证明：•・9=：,

ba

••q+l=5+L

ba

•a+bc+d

•■.

bd

根据以上方法，解答下列问题：

（1）若£=点求学的值；

（2）若？=5,且aWAcWd,证明工=V.

bda+bc+d

【分析】（1）把要求的式子化成华=F+I，再进行计算即可得出答案；

D0

（2）根据比例的性质得出噂=与^,噂=等，再分别相除即可得出答案.

bdbd

【解答】解：（1）•一=：,

b5

•a-bc-d

.,a_+b—___c+d

•b-d'

.a-b.a+b_c-d.c+d

bbdd

.a-bc-d

..-----=-------.

a+bc+d

【变式6-1】阅读材料:

己知g=?=：工0,求也干的值.

346x-y+z

解：设g=（&W0）,则x=3Z,y=4匕z=6k.（第一步）

.x+y-z_3k+4k-6k_k_1（筌—中）

**x-y+z3k-4k+6k5k5，'''

（1）回答下列问题：

①第一步运用了等式的基本性质,

②第二步的解题过程运用了代入消元的方法,

由士得捌用了分式的基本性质.

（2）模仿材料解题：

已知x：y：z=2：3：4,求乎|-的值.

'x-1y+3z

【分析】（1）利用等式的基本性质，代入消元法，分式的基本性质，即可解答:

（2）仿照例题的思路，进行计算即可解答.

【解答】解：（1）①第一步运用了等式的基本性质，

②第二步的解题过程运用了代入消元的方法，

由占得捌用了分式的基本性质，

故答案为：等式，代入消元，分式；

（2）Vx：y：z=2：3：4,

，设x=2亿y=3k,z=4k,

.x+y+z_2k+3k+4k

**x-2y+3zi2k-6k+12k

_9k

-8fc

_9

-8,

【变式6-2］（2022秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：

题目：已知＜=3二上（〃、力、c•互不相等），求x+y+z的值.

解：设-^=4=二=匕则x=A（a-b）,y=k（b-c）,z=k（c-a）,

a-bb-cc-a/

.*.x+y+z=k（a-b+b-c+c-a）=A♦0=0,/..r+}M-z=0.

依照上述方法解答下列问题：

a，b,c为非零实数，且a+HcWO,当"叱a-b+c-a+b+G(a+b)(b+c)(c+a)的值.

【分析】设空弃=一=中£=〃，利用比例的性质得到a+“c=3a-b+c=kb,-a+b+c=ka,

将三式相加可以求得A=l,所以利用等量代换和约分可以求得所求代数式的值.

【解答】解：设”匕a-b+c-a+b+c

所以a+b-c=kc®,

a-b+c=kb②,

-a+b+c=ka③,

由①+②+③，得

a+b+c=k(a+b+c).

•••a+〃+cWO,

/.a+b=2c,b+c=2a,c+a=2b.

.(a+b)(b+c)(c+a)_2cx2ax2b_

••—1—oQ.

【变式6-3］（2022春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：

题目：己知七二」=3（〃、仄c•互相不相等），求卢广z的值.

a-bb-cc-a

解：设贝人=&（。），（〃-）（）「是，人（

a-bb-cc-a=k,Ja-