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文档简介
专题突破卷15立体几何中的截面问题
量题好嵬
判断正方体截面的形状
星题好z破
题型一:判断正方体截面的形状
I.如图,在正方体A8CD-aqqq中,E为AB中点,尸为线段上一动点,过。,E,P
的平面截正方体的截面图形不可能是()
c.梯形D.菱形
2.已知正方体48aAqQR的棱长为2,点M、N、P分别为棱A3、CC、、Q2的中点,
则平面MNP截正方体所得截面的面积为()
A.BB.3拒C.6应D.6
2
3.已知正方体的棱长为6,点E,尸分别在棱AA,2G上,且满足
D}ED,F1
点。为底面”8的中心,过点石,F,。作平面EFO,则平面EFO截
正方体AB。-A瓦G2所得的截面面积为()
A.8722B.6A/22C.4A/22D.2夜
4.在长方体ABC。-A瓦£2中,AB=2AO=2AA,点可是线段GQ上靠近2的四等分
点,点N是线段CG的中点,则平面AMN截该长方体所得的截面图形为()
A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形
5.如图,在棱长为2的正方体ABC。-A瓦GR中,内部有一个底面垂直于A。的圆锥,当
该圆锥底面积最大时,圆锥体积最大为()
C.4D.手兀
2
6.在正方体ABCO-ABCD中,点及尸分别为棱AB,A。的中点,过点E,£G三点作该正
方体的截面,则()
A.该截面多边形是四边形
B.该截面多边形与棱BBX的交点是棱BB,的一个三等分点
c.4cl.平面G所
D.平面4片2〃平面a所
7.在正方体ABCD-ABCQ中,瓦尸,G分别为BC,C£>,的中点,若AS=4,则平面EFG
截正方体所得截面的面积为()
A.6也B.6A/3C.1272D.12右
8.已知正方体A8C。-A与GQ的边长为1,现有一个动平面a,且a〃平面A03,当平
面a截此正方体所得截面边数最多时,记此时的截面的面积为S,周长为/,则()
A.S不为定值,/为定值B.S为定值,/不为定值
C.S与/均为定值D.S与/均不为定值
9.已知正方体A8CD-的棱长为4,M为棱。C的中点,N为侧面BG的中心,过点
M的平面。垂直于DN,则平面a截正方体AG所得的截面面积为()
A.4(遥+©B.25/3
C.5-^3D.4#
10.在棱长为1的正方体A8C。-A瓦G2中,E,F,G分别为棱A4,BC,CQ的中点,
动点"在平面ERG内,且。"=1.则下列说法正确的是()
A.存在点打,使得直线与直线尸G相交
B.存在点打,使得直线。耳,平面EFG
JT
C.直线用以与平面EFU所成角的大小为g
D.平面/G被正方体所截得的截面面积为空
2
题型二:球的截面性质与计算
11.已知正三棱锥A-BCD的外接球是球。,正三棱锥底边BC=3,侧棱48=2/,点E在
线段应>上,且BE=DE,过点E作球。的截面,则所得截面圆面积的最大值是()
9兀
A.2兀B.——C.3兀D.4兀
4
12.已知球。的体积为*,点A到球心。的距离为3,则过点A的平面a被球。所截的
截面面积的最小值是()
A.9兀B.12JIC.16兀D.2071
13.在正六棱柱ABCDM-44£〃与耳中,AAl=2AB=6,。为棱441的中点,以。为球心,
6为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为()
A.(3+\/3)7tB.(6+A/3)TCC.(3+2A/3)7CD.(6+25/3)71
14.已知S«=2,底面半径QA=4的圆锥内接于球。,则经过S和。田中点的平面截球。所
得截面面积的最小值为()
252525
A.—兀B.—兀C.—7CD.5兀
234
15.已知边长为6的正方体与一个球相交,球与正方体的每个面所在平面的交线都为一个面
积为16兀的圆,则该球的表面积为()
A.96TIB.IOOTCC.125兀D.204兀
16.已知三棱锥O-A5c的体积是如,42,C是球。的球面上的三个点,且NACB=60。,
36
AB=6AC+BC=2,则球。的表面积为().
A.36兀B.24TIC.1271D.8兀
17.已知球0半径为4,圆0]与圆O?为球体的两个截面圆,它们的公共弦长为4,若|=3,
|OO2|=A/3,则两截面圆的圆心距|OQ|=()
A.百B.空C.3+73D.2在
18.球面被平面所截得的一部分叫做球冠,截得的圆面叫做球冠的底,垂直于圆面的直径被
截得的一段叫做球冠的高.球冠也可看作圆弧绕过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲
面.假设球面对应球的半径是R,球冠的高是人,那么球冠的表面积公式为S=2成鼠据中
国载人航天工程办公室消息,北京时间2023年12月21日21时35分,经过约7.5小时的
出舱活动,航天员汤洪波、唐胜杰已安全返回天和核心舱,神舟十七号航天员乘组第一次出
舱活动取得圆满成功.若航天员汤洪波出仓后站在机械臂上,以背后的地球为背景,如图所
示,面向镜头招手致意,此时汤洪波距离地球表面约为400km(图中的点A处),设地球半
径约为Rkm,则此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为()
IOOTIT?220071/?240071H2800兀F
A.km2B.km2C.km2D.km2
R+4007?+4007?+4007?+400
19.若正四面体P-ABC的棱长为26,M为棱上4上的动点,则当三棱锥ABC的外接
球的体积最小时,三棱锥M-A3C的体积为()
4"
B.4A/2C.4A/3D.8出
-I-
20.四棱锥尸-ABCD各顶点都在球心。为的球面上,且24,平面ABCD,底面ABCD为
矩形,PA=AD=2,AB=26,设M,N分别是PD,C£>的中点,则平面AMN截球。所得截
面的面积为()
A.兀B.3兀C.4兀D.2兀
题型三:求算正方体截面的周长及其它
21.正方体A3。-的棱长为1,E,F,G分别为BC,CG,B⑸的中点,下列结论中
正确的是()
A.DD,1AF
B.GG〃平面AEF
3
C.直线GG与直线AE所成角的余弦值为:
D.平面的截正方体所得的截面面积为5
O
22.如图,正方体A3CD-AQCQI的棱长为2,E,b分别为5C,CG的中点,则平面4卯
39
A.-B.-C.9D.18
22
23.如图,在棱长为2的正方体ABC。-A4GA中,后为棱3C的中点,用过点A,E,G
的平面截正方体,则截面周长为()
C.2V2+275D.3V2+2V3
24.如图,正方体ABCD-的棱长为3,点尸是平面人尊内的动点,M,N分别为G,,
与C的中点,若直线8尸与所成的角为6,且sin6=仓,则动点尸的轨迹所围成的图形
5
的面积为()
25.如图,在棱长为1的正方体A8CO-A用G2中,2机"分别为棱(?,,③,8上的动
点(点户不与点C,G重合).若CP=CM=CN,则下列说法正确的个数是()
7T
②直线MN与AD所成角为g;
③BD[//平面PMV;
④用平行于平面丽的平面a去截正方体,得到的截面为六边形时,该六边形周长一定为
3日
A.1个B.2个C.3个D.4个
26.已知正方体A8C。-ABGR的棱长为3,M,N分别为棱A4,CQ的中点,点。是
棱4。上靠近点A的三等分点,则平面MAQ截该正方体所得截面的面积为()
A.5夜B.C.4后D.2夜
27.在直四棱柱ABCD-ABGR中,底面A3CD是边长为2的正方形,侧棱招=3,E是
8C的中点,尸是棱CG上的点,且CP=gcq,过A作平面a,使得平面a〃平面AER则
平面a截直四棱柱42aA瓦CR,所得截面图形的面积为()
A.|B.半C.3D.719
28.在正方体ABCD-4四62中,”,N,P分别为棱AB,CG,CQ的中点,动点Qe平面
MNP,DQ=AB=2,则下列说法错误的是()
A.月-MBC的外接球面积为9万B.直线P0〃平面A8G
C.正方体被平面MNP截得的截面为正六边形D.点。的轨迹长度为3万
29.如图,在棱长为1的正方体A8CZ)-4瓦G2中,及歹分别为棱AA,AA的中点,G为
线段2。上一个动点,则下列说法不正确的是()
A.存在点G,使直线4C_L平面跳6
B.存在点G,使平面E尸G//平面8DG
C.三棱锥MG的体积为定值
D.平面跳'G截正方体所得截面的最大面积为延
4
30.已知正方体48。-A片G2的棱长为2,点尸为线段AA的中点,若点Pe平面a,且
AG,平面a,则平面a截正方体ABCD-A4GR所得截面的周长为()
A.75B.3亚C.30D.672
1.如图,一个棱长为6的透明的正方体容器(记为正方体ABCD-A瓦G2)放置在水平面
a的上方,点A恰在平面。内,点3到平面1的距离为2,若容器中装有水,静止时水面与
表面A412n的交线与4。的夹角为0,记水面到平面a的距离为1,则()
A.平面ABCQ,平面a
B.点2到平面。的距离为8
C.当de(2,8)时,水面的形状是四边形
D.当"=7时,所装的水的体积为工
2.如图,正方体ABCO-ABCQI的棱长为3,点E、F,G分别在棱。4,D©,上,
满足照=&=:,卒,记平面EFG与平面4瓦8的交线为/,贝IJ()
LJ,/LLziC^iJ
A.V2e(0,l),AC〃平面£FG
B.平面EFG截正方体所得截面图形为六边形的充分不必要条件是AG(0,1)
2
C.%=§时,三棱锥A-反6的外接球表面积为24兀
D.2=羡时,直线/与平面ABCD所成角的正弦值为逅
36
3.如图,棱长为2的正方体ABCZ)-481GA的内切球为球。,E,歹分别是棱AD,2月的
中点,G在棱A3上移动,贝U()
A.对于任意点G,平面EFG
B.直线所被球。截得的弦长为&
C.过直线砂的平面截球。所得的所有截面圆中,半径最小的圆的面积为1
D.当G为A3的中点时,过瓦EG的平面截该正方体所得截面的面积为2g
4.如图,棱长为4的正方体A8CD-中,点N为G2中点,点M在正方体内(含
表面)运动,且满足8MLDN,则点M在正方体内运动所形成的图形的面积
为;若在正方体内有一圆锥,圆锥底面圆内切于正方形ABCD,圆锥顶点S
与正方体上底面中心重合,则点〃运动所形成的图形截圆锥表面得到的椭圆的离心率
为.
5.在棱长为6的正方体ABC。-4片G2中,E为棱AA上一动点,且不与端点重合,F,G
分别为R
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