专项突破卷：立体几何中的截面问题（原卷版）

专题突破卷15立体几何中的截面问题

量题好嵬

判断正方体截面的形状

星题好z破

题型一：判断正方体截面的形状

I.如图，在正方体A8CD-aqqq中，E为AB中点，尸为线段上一动点，过。,E,P

的平面截正方体的截面图形不可能是（）

c.梯形D.菱形

2.已知正方体48aAqQR的棱长为2,点M、N、P分别为棱A3、CC、、Q2的中点,

则平面MNP截正方体所得截面的面积为（）

A.BB.3拒C.6应D.6

2

3.已知正方体的棱长为6,点E,尸分别在棱AA，2G上，且满足

D}ED,F1

点。为底面”8的中心，过点石，F,。作平面EFO,则平面EFO截

正方体AB。-A瓦G2所得的截面面积为（）

A.8722B.6A/22C.4A/22D.2夜

4.在长方体ABC。-A瓦£2中，AB=2AO=2AA，点可是线段GQ上靠近2的四等分

点，点N是线段CG的中点，则平面AMN截该长方体所得的截面图形为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

5.如图，在棱长为2的正方体ABC。-A瓦GR中，内部有一个底面垂直于A。的圆锥，当

该圆锥底面积最大时，圆锥体积最大为（）

C.4D.手兀

2

6.在正方体ABCO-ABCD中，点及尸分别为棱AB，A。的中点，过点E,£G三点作该正

方体的截面，则（）

A.该截面多边形是四边形

B.该截面多边形与棱BBX的交点是棱BB,的一个三等分点

c.4cl.平面G所

D.平面4片2〃平面a所

7.在正方体ABCD-ABCQ中，瓦尸,G分别为BC,C£>,的中点，若AS=4,则平面EFG

截正方体所得截面的面积为（）

A.6也B.6A/3C.1272D.12右

8.已知正方体A8C。-A与GQ的边长为1,现有一个动平面a,且a〃平面A03,当平

面a截此正方体所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为S,周长为/,则（）

A.S不为定值，/为定值B.S为定值，/不为定值

C.S与/均为定值D.S与/均不为定值

9.已知正方体A8CD-的棱长为4,M为棱。C的中点，N为侧面BG的中心，过点

M的平面。垂直于DN,则平面a截正方体AG所得的截面面积为（）

A.4（遥+©B.25/3

C.5-^3D.4#

10.在棱长为1的正方体A8C。-A瓦G2中，E,F,G分别为棱A4,BC,CQ的中点,

动点"在平面ERG内，且。"=1.则下列说法正确的是（）

A.存在点打，使得直线与直线尸G相交

B.存在点打，使得直线。耳，平面EFG

JT

C.直线用以与平面EFU所成角的大小为g

D.平面/G被正方体所截得的截面面积为空

2

题型二：球的截面性质与计算

11.已知正三棱锥A-BCD的外接球是球。，正三棱锥底边BC=3,侧棱48=2/，点E在

线段应＞上，且BE=DE,过点E作球。的截面，则所得截面圆面积的最大值是（）

9兀

A.2兀B.——C.3兀D.4兀

4

12.已知球。的体积为*，点A到球心。的距离为3,则过点A的平面a被球。所截的

截面面积的最小值是（）

A.9兀B.12JIC.16兀D.2071

13.在正六棱柱ABCDM-44£〃与耳中，AAl=2AB=6,。为棱441的中点，以。为球心，

6为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（）

A.(3+\/3)7tB.(6+A/3)TCC.(3+2A/3)7CD.(6+25/3)71

14.已知S«=2,底面半径QA=4的圆锥内接于球。，则经过S和。田中点的平面截球。所

得截面面积的最小值为（）

252525

A.—兀B.—兀C.—7CD.5兀

234

15.已知边长为6的正方体与一个球相交，球与正方体的每个面所在平面的交线都为一个面

积为16兀的圆，则该球的表面积为（）

A.96TIB.IOOTCC.125兀D.204兀

16.已知三棱锥O-A5c的体积是如，42,C是球。的球面上的三个点，且NACB=60。，

36

AB=6AC+BC=2,则球。的表面积为（）.

A.36兀B.24TIC.1271D.8兀

17.已知球0半径为4,圆0］与圆O?为球体的两个截面圆,它们的公共弦长为4,若|=3,

|OO2|=A/3,则两截面圆的圆心距|OQ|=（）

A.百B.空C.3+73D.2在

18.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆面叫做球冠的底，垂直于圆面的直径被

截得的一段叫做球冠的高.球冠也可看作圆弧绕过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲

面.假设球面对应球的半径是R，球冠的高是人，那么球冠的表面积公式为S=2成鼠据中

国载人航天工程办公室消息，北京时间2023年12月21日21时35分，经过约7.5小时的

出舱活动，航天员汤洪波、唐胜杰已安全返回天和核心舱，神舟十七号航天员乘组第一次出

舱活动取得圆满成功.若航天员汤洪波出仓后站在机械臂上，以背后的地球为背景，如图所

示，面向镜头招手致意，此时汤洪波距离地球表面约为400km（图中的点A处），设地球半

径约为Rkm,则此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为（）

IOOTIT?220071/?240071H2800兀F

A.km2B.km2C.km2D.km2

R+4007?+4007?+4007?+400

19.若正四面体P-ABC的棱长为26，M为棱上4上的动点,则当三棱锥ABC的外接

球的体积最小时，三棱锥M-A3C的体积为（）

4"

B.4A/2C.4A/3D.8出

-I-

20.四棱锥尸-ABCD各顶点都在球心。为的球面上，且24,平面ABCD,底面ABCD为

矩形，PA=AD=2,AB=26,设M,N分别是PD,C£＞的中点，则平面AMN截球。所得截

面的面积为（）

A.兀B.3兀C.4兀D.2兀

题型三：求算正方体截面的周长及其它

21.正方体A3。-的棱长为1,E,F,G分别为BC,CG，B⑸的中点，下列结论中

正确的是（）

A.DD,1AF

B.GG〃平面AEF

3

C.直线GG与直线AE所成角的余弦值为:

D.平面的截正方体所得的截面面积为5

O

22.如图，正方体A3CD-AQCQI的棱长为2,E,b分别为5C,CG的中点，则平面4卯

39

A.-B.-C.9D.18

22

23.如图，在棱长为2的正方体ABC。-A4GA中，后为棱3C的中点，用过点A，E,G

的平面截正方体，则截面周长为（）

C.2V2+275D.3V2+2V3

24.如图，正方体ABCD-的棱长为3,点尸是平面人尊内的动点,M,N分别为G，,

与C的中点，若直线8尸与所成的角为6,且sin6=仓，则动点尸的轨迹所围成的图形

5

的面积为（）

25.如图，在棱长为1的正方体A8CO-A用G2中，2机"分别为棱（?，,③,8上的动

点（点户不与点C，G重合）.若CP=CM=CN,则下列说法正确的个数是（）

7T

②直线MN与AD所成角为g；

③BD[//平面PMV；

④用平行于平面丽的平面a去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为

3日

A.1个B.2个C.3个D.4个

26.已知正方体A8C。-ABGR的棱长为3,M,N分别为棱A4,CQ的中点，点。是

棱4。上靠近点A的三等分点，则平面MAQ截该正方体所得截面的面积为（）

A.5夜B.C.4后D.2夜

27.在直四棱柱ABCD-ABGR中，底面A3CD是边长为2的正方形，侧棱招=3,E是

8C的中点，尸是棱CG上的点，且CP=gcq,过A作平面a,使得平面a〃平面AER则

平面a截直四棱柱42aA瓦CR,所得截面图形的面积为（）

A.|B.半C.3D.719

28.在正方体ABCD-4四62中，”,N,P分别为棱AB,CG，CQ的中点，动点Qe平面

MNP,DQ=AB=2,则下列说法错误的是（）

A.月-MBC的外接球面积为9万B.直线P0〃平面A8G

C.正方体被平面MNP截得的截面为正六边形D.点。的轨迹长度为3万

29.如图，在棱长为1的正方体A8CZ）-4瓦G2中，及歹分别为棱AA，AA的中点，G为

线段2。上一个动点，则下列说法不正确的是（）

A.存在点G,使直线4C_L平面跳6

B.存在点G,使平面E尸G//平面8DG

C.三棱锥MG的体积为定值

D.平面跳'G截正方体所得截面的最大面积为延

4

30.已知正方体48。-A片G2的棱长为2,点尸为线段AA的中点，若点Pe平面a,且

AG，平面a,则平面a截正方体ABCD-A4GR所得截面的周长为（）

A.75B.3亚C.30D.672

1.如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体ABCD-A瓦G2）放置在水平面

a的上方，点A恰在平面。内，点3到平面1的距离为2,若容器中装有水，静止时水面与

表面A412n的交线与4。的夹角为0,记水面到平面a的距离为1,则（）

A.平面ABCQ，平面a

B.点2到平面。的距离为8

C.当de（2,8）时，水面的形状是四边形

D.当"=7时，所装的水的体积为工

2.如图，正方体ABCO-ABCQI的棱长为3,点E、F,G分别在棱。4，D©,上,

满足照=&=:，卒，记平面EFG与平面4瓦8的交线为/,贝IJ（）

LJ,/LLziC^iJ

A.V2e(0,l),AC〃平面£FG

B.平面EFG截正方体所得截面图形为六边形的充分不必要条件是AG（0,1）

2

C.%=§时，三棱锥A-反6的外接球表面积为24兀

D.2=羡时，直线/与平面ABCD所成角的正弦值为逅

36

3.如图，棱长为2的正方体ABCZ)-481GA的内切球为球。，E,歹分别是棱AD,2月的

中点，G在棱A3上移动，贝U()

A.对于任意点G,平面EFG

B.直线所被球。截得的弦长为&

C.过直线砂的平面截球。所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为1

D.当G为A3的中点时，过瓦EG的平面截该正方体所得截面的面积为2g

4.如图，棱长为4的正方体A8CD-中，点N为G2中点，点M在正方体内(含

表面)运动，且满足8MLDN,则点M在正方体内运动所形成的图形的面积

为;若在正方体内有一圆锥，圆锥底面圆内切于正方形ABCD,圆锥顶点S

与正方体上底面中心重合，则点〃运动所形成的图形截圆锥表面得到的椭圆的离心率

为.

5.在棱长为6的正方体ABC。-4片G2中，E为棱AA上一动点，且不与端点重合，F,G

分别为R