中考数学专项复习：隐圆问题（含答案及解析）

德图同败M种模逐

压轴题密押

通用的解题思路：

隐圆一般有如下呈现方式：（D定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心，等线

段长为半径构造辅助圆；（2）定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时,通常把张角转化为圆

周角构造辅助圆。当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。（3）四点共圆:对角互补的四边形的四个顶

点共圆。隐圆常与线段最值结合考查。

压轴题预测

类型1：定点定长

遒用】（2023•新城区校级三模）圆的定义:在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形.

（1）已知：如图1,请利用圆规画出过A、B.。三点的圆.若/AOB=70°,贝。=

如图，RtAABC中，AABC=90°,ABCA=30°,AB=2.

⑵已知，如图2.点P为AC边的中点,将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、。的对应点分别为

点。、E、F,求四边形BDFC的面积和2BEA的大小.

（3）如图3,将AC边沿BC方向平移a个单位至DF,是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q,满足

/BQA=45°且此时四边形B4DF的面积最大？若存在，求出四边形历LDF面积的最大值及平移距离a,

若不存在，说明理由.

图3

图2

题目0（2024•兰州模拟）综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问

题，如图，在AABC中，AB=AC,/BAC=90°,点。为平面内一点（点A,B,。三点不共线），4E为

△ABD的中线.

【初步尝试】（1）如图1,小林同学发现:延长AE至点Af,使得=连接DW.始终存在以下两个结

论，请你在①，②中挑选一个进行证明：

①DM=AC-,②ZMDA+/DAB=180°；

【类比探究】（2）如图2,将AO绕点A顺时针旋转90°得到A尸，连接CF.小斌同学沿着小林同学的思考进

一步探究后发现：=请你帮他证明；

【拓展延伸】（3）如图3,在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点。在以点A为圆心，4。为半径的圆

上运动（AO>AB）,直线AE与直线CF相交于点G,连接5G,在点。的运动过程中BG存在最大值.若

AB=4,请直接写出BG的最大值.

图1图2图3

题目⑶（2022•番禺区二模）己知抛物线y=瀛+所一卷（a>0）与t轴交于点两点，OA<OB,AB

=4.其顶点。的横坐标为一1.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设点。在抛物线第一象限的图象上，。垂足为〃;y轴交直线于点F,当ADEF面积

等于4时，求点D的坐标；

（3）在⑵的条件下，点加■是抛物线上的一点,〃■点从点B运动到达点C,FM±FN交直线BD于点N,延

长与线段DE的延长线交于点点P为N,F,H三点构成的三角形的外心，求点P经过的路线长.

题目区（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得:小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何

问题,如果添加辅助圆,运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.

例如:如图1,在NABC中，48=AC,ABAC=80°,。是XABC外一点，且人。=力。,求ABDC的度数.

若以点人为圆心，AB为半径作辅助圆OA,则点必在0A上，/-BAC是。力的圆心角，而ABDC是

圆周角，从而可容易得到ZBDC=_40°_.

（2）问题解决：

如图，在四边形中，/BAD=/BCD=90°,/BDC=25°,求/区4。的度数.

（3）问题拓展：

抛物线9=——1y+3与沙轴交于点4顶点为B,对称轴BC与c轴交于点。，点P在抛物线上，直线

PQ//BC交缶轴于点Q,连接BQ.

①若含45°角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与。重合，直角顶点D在上，另一顶点E在

PQ上，求Q的坐标；

②若含30°角的直角三角板一个顶点与点。重合，直角顶点。在BQ上，另一个顶点E在PQ上，点。与点

B,点Q不重合，求点P的坐标.

类型2：定弦定角

［题目回（2022•雁塔区校级三模）问题提出

（1）如图①,已知A4BC为边长为2的等边三角形，则AABC的面积为—及

问题探究

（2）如图②，在AABC中，已知NBAC=120°,BC=6①，求AABC的最大面积；

问题解决

（3）如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD,其宽AB=20米，长BC=24米，为了能够监控到礼

堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头河进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙

面区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点河出发的观测角/4WB=45°,请你通过所学知识进

行分析，在墙面CD区域上是否存在点满足要求？若存在，求出朋。的长度;若不存在,请说明理由.

图①图②图③

6l（2023・潘桥区校级模拟）问题提出：（1）如图①，AABC为等腰三角形，/。=120°,47=3。=8,。

是AB上一点，且CD平分^ABC的面积，则线段CD的长度为.

问题探究：⑵如图②，^ABC中，120°,AB=W,试分析和判断A4BC的面积是否存在最大值，若存

在，求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

问题解决：（3）如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场

旁规划一个四边形花圃ABCD,满足BC=600米，CD=300米，60°,/A=60°,主办方打算过BC

的中点加■点（入口）修建一条径直的通道ME（宽度忽略不计）其中点E（出口）为四边形ABCD边上一点,

通道山石把四边形ABCD分成面积相等并且尽可能大的两部分,分别规划成不同品种的花圃以供影迷休

闲观赏.问是否存在满足上述条件的通道人石？若存在，请求出点A距出口的距离AE的长;若不存在，请

说明理由.

题目0（2023-柯城区校级一模）如图，点A与点B的坐标分别是（1,0）,（5,0）,点P是该直角坐标系内的一

个动点.

（1）使AAPB=30°的点P有个；

（2）若点P在?/轴上，且AAPB=30°,求满足条件的点P的坐标；

（3）当点P在？/轴上移动时，是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时/APB最大的理由;

若没有，也请说明理由.

5-

4-

3-

2-

1-AB

Illi—I1IIIi

-4-3-2-IO12345x

-1-

-4

类型3:四点共圆

［题目回（2022・中原区校级模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务.

西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为:过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点

作三边或其延长线的垂线,则三垂足共线（此线常称为西姆松线）.

某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理.

如图（l）,已知AABC内接于。O,点P在。。上（不与点A,g,。重合），过点P分别作AB,

BC,4。的垂线，垂足分别为点D,E,F.求证:点0,E,尸在同一条直线上.

如下是他们的证明过程（不完整）：

如图⑴，连接取PC的中点Q,连接QE.QF,

则EQ=FQ=^PC=PQ=CQ,（依据1）

•.•点E,F,P,C四点共圆，

ZFCP+AFEP=180°.（依据2）

又ZACP+ZABP=180°,

ZFEP=AABP.

同上可得点B,D,P,E四点共圆，

任务：

（1）填空：

①依据］指的是中点的定义及；

②依据2指的是.

（2）请将证明过程补充完整.

（3）善于思考的小虎发现当点P是比的中点时，BD=CF,请你利用图（2）证明该结论的正确性.

P工P

图⑴图⑵

题目包（2021-哈尔滨模拟）（1）【学习心得】

于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使

问题变得非常容易.

例如:如图1,在AABC中，AB=AC,乙民4。=90°,。是ZL4BC外一点，且AD=AC,求的度数.

若以点A为圆心，AB为半径作辅助0A,则点。、。必在0A上，乙BAG是0A的圆心角，而乙8。。是圆

周角，从而可容易得到/加。=°.

（2）【问题解决】

如图2,在四边形ABCD中，/BAD=/BCE>=90°,25°,求/BAC的度数.

（3）【问题拓展】

如图3,如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=OF.连接CF交BD于点G,连接

BE交AG于点、H.若正方形的边长为2,则线段长度的最小值是

［题目WJ(2022•潢川县校级一模)如图1,点8在直线，上，过点B构建等腰直角三角形ABC,使/氏4。=

90°,且=过点。作CD,直线Z于点。，连接AD.

(1)小亮在研究这个图形时发现，/34。=/8。。=90°,点人，。应该在以3。为直径的圆上,则乙4。8的

度数为。，将射线入。顺时针旋转90°交直线Z于点E,可求出线段CD的数量关系为

(2)小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD,BD,CD的数量关

系是否变化,请说明理由；

(3)在旋转过程中，若CD长为1,当AABD面积取得最大值时,请直接写AO的长.

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德图同败M种模逐

压轴题密押

通用的解题思路：

隐圆一般有如下呈现方式：（D定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心，等线

段长为半径构造辅助圆；（2）定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时,通常把张角转化为圆

周角构造辅助圆。当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。（3）四点共圆:对角互补的四边形的四个顶

点共圆。隐圆常与线段最值结合考查。

压轴题预测

类型1：定点定长

遒用】（2023•新城区校级三模）圆的定义:在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形.

（1）已知：如图1,请利用圆规画出过A、B.。三点的圆.若/AOB=70°,则=

_35°_.

如图，RtAABC中，AABC=90°,ABCA=30°,AB=2.

（2）已知，如图2.点P为AC边的中点,将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、。的对应点分别为

点。、E、F,求四边形BDFC的面积和ABEA的大小.

（3）如图3,将AC边沿BC方向平移a个单位至DF,是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q,满足

ZBQA=45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形B4DF面积的最大值及平移距离a,

若不存在，说明理由.

图3

图2

【分析】（1）利用圆的定义知A,B,。三点共圆，再利用圆周角定理求解.

（2）根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解.

（3）因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出。点能够向右移动的最大距离，

求出四边形的最大面积.

【解答】（1）以。为圆心，OA为半径作辅助圆，如图，

ZAOB=70°,

乙4cB=35°,

故答案为35°.

⑵连接PB,PE,如图，

RtAABC中，AABC=90°,ABCA=30°,AB=21.

AC=4,ABAC=60°,BC=2V3.

P为RtAABC斜边AC中点，

：.BP=^-AC=2,

线段AC平移到OF之后，AB=AD=PE=2,BP=AE=2,

二.四边形4BPE为菱形，

•/ABAC=60°,

：./BE力=30°,

•/CF〃BD,且/ABC=90°,

四边形BDFC为直角梯形，

.•.S=《(BD+CF)XBC=-^X6X2A/3=6A/3,

(3)如图所示，以AB为斜边在AB的右侧作等腰直角三角形O4B,以O为圆心，OA为半径作OO,

当AC边沿BC方向平移a个单位至。F时，

满足ABQA=45°且此时四边形BADF的面积最大，

直线。F与OO相切于点Q,

连接OQ交AD于G,过点。作08,AD于

则ZAHO=AOHG=ZDQG=90°,/OAF/=45°,ZGDQ=30°,

•：NABC=90°,ZBCA=30°,AB=2,

BC=2A/3,OA=OB=OQ=V2,

AH=OH=1,HG=^-,OG=^-,

oo

：.GQ^V2-^-,DG=2GQ^2V2-^~,

oo

2

：.AD^AH+HG+GD^l+^+2V2-^-^l+2V2-V3,

oo

.，.a=1+2y/2—V3,

此时直角梯形ABF。的最大面积为：

S—~~x（BF+AD）xAB—x（2A/3+1+2A/^—V3+1+2,\/2^—A/3）x2—4\/2-+2.

【点评】本题主要考查图形的平移，圆心角，圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求解.

［题目|2］（2024-兰州模拟）综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问

题，如图，在AABC中，AB=AC,/氏4。=90°,点。为平面内一点（点A,B,D三点不共线），4E为

AABD的中线.

【初步尝试】（1）如图1,小林同学发现:延长AE至点刊,使得ME=AE,连接DM.始终存在以下两个结

论，请你在①,②中挑选一个进行证明：

①DM=AC-,②ZMDA+NDAB=180°；

【类比探究】（2）如图2,将人。绕点A顺时针旋转90°得到AF，连接CF.小斌同学沿着小林同学的思考进

一步探究后发现：=请你帮他证明；

【拓展延伸】（3）如图3,在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点。在以点人为圆心，人。为半径的圆

上运动（AD>AB）,直线4E与直线CF相交于点G,连接BG,在点。的运动过程中BG存在最大值.若

4B=4,请直接写出BG的最大值.

图1图2图3

【分析】（1）利用SAS证明^ABE=^MDE，可得AB=DM，再结合AB=AC,即可证得DM=AC;由全

等三角形性质可得ABAE=ADME，再运用平行线的判定和性质即可证得NMDA+ADAB=180°;

（2）延长AE至点“，使得ME=AE,连接DM.利用SAS证得XACFw'DMA，可得CF=AM,再由

AE=^AM,可证得AE=-yCF；

⑶延长DA至M,使AM^AD,设AM交CF于N,连接■交CF于K,取AC中点P,连接GP,可证得

^ACF会^ABM（SAS'），利用三角形中位线定理可得AE〃,即AG〃JW，利用直角三角形性质可得

GP=/AC=J4B=2,得出点G在以P为圆心，2为半径的。P上运动，连接BP并延长交OP于G，，

可得BG，的长为BG的最大值,再运用勾股定理即可求得答案.

【解答】（1）证明：①：AE为^ABD的中线，

:.BE=DE,

（BE=DE

在和'MDE中，（/AEB=/MED,

［AE=ME

：.\ABE"MDE（SAS）,

・・.AB=DM,

・・・AB=AC9

：.DM=AC;

②由①知'ABE=\MDE,

・•・/BAE=/DME,

・・.AB//DM,

・•.AMDA+/.DAB=180°;

⑵证明：延长AS至点河，使得=连接ZW.

由旋转得：4尸=AD,ADAF=90°f

・・・ZBAC=90°,ADAF+ABAC+ZBAD+ACAF=360°,

・•・ZBAD-iACAF=180°,

由(1)②得：AMDA+ADAB=180°,DM=AB=AC,

：./CAF=/MDA,

(AF=AD

在A4CF和^DMA中，INC4F=AMDA,

[AC=DM

・・・^ACF=^DMA{SAS),

：.CF=AM,

-：AE=^-AM,

・•.=

⑶如图3,延长D4至河，使AD,设4河交CF于N,连接BA/交CF于K,取4。中点P,连接GP,

由旋转得ADAF=90°f

：.AF=AM,AMAF=180°-90°=90°,

・・•ZBAC=90°,

・•.AMAF+ZCAM=ABAC+/CAM,

即ZCAF=ABAM,

(AC=AB

在AAC尸和^ABM中，(ACAF=/.BAM,

[AF=AM

：.^ACF=^ABM(SAS),

・・・ZAFC=4AMB,即乙AFN=/KMN,

・・・/ANF=/KNM,

：.4FAN=ZMKN=90°,

：.BM_LCFf

・・・E、4分别是DB、DM的中点，

・・・AE是bBDM的中位线，

・・・AE〃BM,即AG〃BM,

・・・AGYCF,

：.ZAGC=90°f

・・•点P是AC的中点，

・•.GP=yAC=-j-AB=2,

.♦.点G在以P为圆心，2为半径的。P上运动,

连接并延长交。P于G，，

BG，的长为BG的最大值，

在R1AABP中，BP=y/AB'2+AP2=V42+22=275,

BG'=BP+PG'=2V5+2,

.•.BG的最大值为2瓶+2.

【点评】本题是几何综合题，考查了三角形的全等的性质与判定，两直线垂直的判定，三角形中位线定理，勾

股定理，圆的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键.

题目©（2022•番禺区二模）己知抛物线沙=g2+法—?（a>0）与立轴交于点4B两点，

=4.其顶点。的横坐标为一1.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设点。在抛物线第一象限的图象上，DEL4。垂足为E,DF〃沙轴交直线4。于点F,当ADEF面积

等于4时，求点。的坐标；

（3）在⑵的条件下，点河是抛物线上的一点,M点从点B运动到达点C,FM±FN交直线BD于点N,延

长砂与线段DE的延长线交于点〃，点P为N,F,H三点构成的三角形的外心，求点P经过的路线长.

（分析】（1）利用对称性，求得人和B的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；

（2）证明ACGA和^DEF都为等腰直角三角形，利用等面积法求得DF=4,再求得直线AC的解析式为y

=x-l,设点D的坐标，得到点F的坐标,然后求解即可；

⑶先求得ZBr>F=45°,推出点P的运动路径时HM的中点绕点F逆时针旋转90°得至IN2H的中点之间

的弧长，证明四边形DMEE为正方形，即可求解.

【解答】解：（1”.•点点B两点关于直线/=一1对称，43=4,

.­.A(l,0),B(-3,0),

=

2Q+b—2'0

代入g=ax+bx—^得,，解得:

9Q—3b—1~—0

抛物线的解析式为9=^X2+x-y.

⑵如图1所示:

・・・OF〃。轴〃GC,

：.AGCA=ZDFEf

二,抛物线的解析式为g=]42+力__1_=_|_(力+1)2—2,

：•顶点(7(—1,—2),

v4(1,0),

・・.AG=2,CG=2,

・・・ACG4为等腰直角三角形,

：.ZGCA=ADFE=45°,

•：DE±AC,

・・・ZVD石F为等腰直角三角形,

:・DE=EF,DF=V^DE,

,•*S、DEF=*DE•EF—4,

:.DE=2四,

图1

.,.DF=gx2，^=4,

设直线AC的解析式为v=+b,则

直线AC的解析式为U=c—：1,

设点D^X,^-X2+X—1~),则F{x,x—1),

DF=^-X2+X-y-(a;-1)=-j-x2一■y=4,

解得：1=3或6=—3(舍),

・•・0(3,6),尸(3,2).

(3)如图2所示,

・・•ANFH是直角三角形，

^NFH的外心是斜边NH的中点，

当点河位于点B时，秘iFH、，其外心是斜边的中点，

当点河位于点。时，得ZYMFE,其外心是斜边N,H2的中点，即明石的中点，

•••。（3,6）,3（—3,0）,

tanZBDF==1,

6

NBDF=45°,

由⑵得，/FDE=45°,

/DBA=ZBAC=45°,

：.BD//AC,

：.FN±BD,

。?平分4BDE,4BDE=90°,

.♦.点D,N,F,H四点共圆,

.♦.点P在线段OF的垂直平分线上，即点P在ME上运动，即点P的运动轨迹是一条线段.

2DN?F=ZN.QH=4DHF=90°,FN?=FE,

：.四边形DN2FE为正方形，

此时点P在。F上，且EP=2;

当点河与点。重合时，此时点P在。F上，即为£,且Fg=朋=2,

由题意，BN2=BD-DN2=4,BF=2V10,N2F=272,FN2//DH,,

・•.\BFN2〜/\BH1D,

二鬻=需，解得FHi=VW,

:.FPF瓜

由勾股定理可得：_R8=1,

即点P的运动轨迹长为1.

【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形外接圆的性质，弧长

公式，勾股定理，三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题的关键.

题目回（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得:小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何

问题,如果添加辅助圆,运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.

例如:如图1,在AABC中，AB=AC,乙氏4。=80°,。是AABC外一点，且40=47,求乙8。。的度数.

若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆。A,则点。、。必在。A上，ZBAC是。A的圆心角，而NBDC是

圆周角，从而可容易得到乙BDC=_40°_.

（2）问题解决：

如图，在四边形ABCD中,/BAD=ZBCD=90°,ABDC=25°,求ABAC的度数.

（3）问题拓展：

抛物线y=-j（cc-iy+3与y轴交于点4顶点为B,对称轴BC与c轴交于点。，点P在抛物线上,直线

PQ〃BC交c轴于点Q,连接BQ.

①若含45°角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与。重合，直角顶点D在上，另一顶点E在

PQ上，求Q的坐标；

②若含30°角的直角三角板一个顶点与点。重合，直角顶点。在上，另一个顶点E在PQ上，点。与点

点Q不重合，求点P的坐标.

【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解.

（2）由？1、B、C、D共圆，得出2BDC=NBAC,

（3）①先求出抛物线顶点的坐标，再由点D、C、Q、E共圆，得出/CQB=ZOED=45°,求出CQ,再求点

Q的坐标.

②分两种情况，I、当30°的角的顶点与点。重合时，II、当60°的角的顶点与点C重合时，运用点。、。、

Q、E共圆，求出CQ即点P的横坐标，再代入抛物线求出点P的纵坐标，即可求出点P的坐标.

【解答】解：（I）：AB=AC,AD=AC,

：.以点A为圆心，点6、。、。必在＜34上，

•••/A4C是。人的圆心角，而是圆周角，

A4BDC=40°,

（2）如图2,

•/"4D=/BCD=90°,

.•.点A、B、C、_D共圆，

NBDC=ABAC,

•：/BOG=25°,

ABAC=25°,

（3）①如图3

•.•点B为抛物线y=—十（，-1）2+3的顶点，

.•.点B的坐标为（1,3）,

•••45°角的直角三角板如图所示放置，其中，一个顶点与。重合，直角顶点。

在B。上，另一顶点E在PQ上，•M

・••点。、。、。、石共圆，

：.4CQB="JED=%

:.CQ—BC—3,

JOQ=4,

・••点。的坐标为（4,0）,

②如图4,

I、当30°的角的顶点与点。重合时,

.,直角三角板30°角的顶点与点。重合，直角顶点。在石。上，另一个顶点E在P。上

,•点Z?、C、Q、石共圆，

・・/CQB=4CED=6N,

*.OQ—1+V3,

,•把1+V3代入g=―：(/—1)2+3得g=*,

♦.点P的坐标是(1+，§,[■)

当60°的角的顶点与点。重合时，

•.•直角三角板60°角的顶点与点。重合，直角顶点。在BQ上，另一个顶点E在PQ上

・，・点。、。、Q、E共圆，

・•・ZCQB=ZCED=30°,

:.CQ=V3BC=3V3,

・•・OQ=1+3V3,

，才巴1+3A/3代入g=―^(rc—1)2+3得?/=—与，

・••点P的坐标是(1+3A/3,—1")

综上所述，点P的坐标是(1+V3,或(1+3A/3,—.

【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键就是运用同弦对的圆周角相等.

类型2:定弦定角

〔题目|5）（2022-雁塔区校级三模）问题提出

（1）如图①，已知A4BC为边长为2的等边三角形，则的面积为—农

问题探究

（2）如图②，在AABC中，已知/BAC=120°,BC=6遍,求^ABC的最大面积；

问题解决

（3）如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD,其宽AB=20米，长BC=24米，为了能够监控到礼

堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头河进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙

面区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点河出发的观测角/4WB=45°,请你通过所学知识进

行分析,在墙面CD区域上是否存在点州满足要求？若存在，求出MC的长度;若不存在,请说明理由.

【分析】（1）作于。，由勾股定理求出4D的长，即可求出面积；

（2）作的外接圆©O,可知点A在市上运动，当40,BC时，A4BC的面积最大，求出的长，

从而得出答案；

（3）以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形且乙405=90°,过0作1/6!，人3于

交CD于G,利用等腰直角三角形的性质求出04OG的长，则以O为圆心，OA为半径的圆与CD相

交，从而。。上存在点河，满足/4WB=45°,此时满足条件的有两个点河，过M作MF_LAB于F,作

EO_LMF于E,连接OF,利用勾股定理求出OE的长，从而解决问题.

【解答】解：（1）作ADLBC于O,A

是边长为2的等边三角形，/T\

-.BD=1,/\\

AAD=y/AB2-BD2=A/3,L----!----\

1BDC

二AABC的面积为方x2x，^=J^,图①

故答案为：通；

（2）作AABC的外接圆OO,

120°,BC=6A/3,

.•.点A在京？上运动，

当no_LBC时，AAB。的面积最大,

ZBOA=60°,BH=CH=3V3,

:.OH=3,OB=6,

・•.AH=OA-OH=6-3=3,•••

AABC的最大面积为yX6V3X3=9A/3;

⑶存在，以AB为边,在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB,且AAOB=90°,

过。作HG_LAB于交CD于G,

图③

：AB=20米，

AH=OH=10米，。A=10V2米,

•.•BC=24米，

AOG=14米，

V10V2>14,

以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，

。O上存在点朋r，满足ZAMB=45°,此时满足条件的有两个点M,

过M作MF_LAB于F,作EO_LMF于E,连接。F,

/.EF=OH=10米，OM=10^2米，

•••EM=14米，

AOE=y/OM？-MrE2=2米，

CM=BF=8米，

同理CM?=BH+OE=10+2=12（米）,

.♦.MC的长度为8米或12米.

【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定

理，垂径定理等知识，熟练掌握定角定边的基本模型是解题的关键.

题目同（2023-浦桥区校级模拟）问题提出：（1）如图①，AABC为等腰三角形，120°,AC=BC=8,D

是AB上一点，且CD平分AABC的面积，则线段CD的长度为4.

10

MC

B

cc

BA

问题探究：（2）如图②，ZVLB。中，/C=120°,AB=10,试分析和判断XABC的面积是否存在最大值，若存

在，求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

问题解决：（3）如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场

旁规划一个四边形花圃ABCD,满足B0=600米，CD=300米，/C=60°,/A=60°,主办方打算过

的中点"■点（入口）修建一条径直的通道ME（宽度忽略不计）其中点E（出口）为四边形ABCD边上一点,

通道ME把四边形ABCD分成面积相等并且尽可能大的两部分,分别规划成不同品种的花圃以供影迷休

闲观赏.问是否存在满足上述条件的通道ME?若存在，请求出点A距出口的距离AE的长;若不存在，请

说明理由.

【分析】（1）由题意可知，CD是AABC的中线，利用等腰三角形的性质推出CDJ_AB,利用三角函数求解

即可解决问题；

（2）当AABC的4B边上的高CD最大时，三角形48。的面积最大，即CD过圆心O,连接40.求出CD

的最大值即可得出答案；

⑶连接DW,BD.首先证明/BDC=90°,求出BD,推出△BDC的面积是定值，要使得四边形ABCD的

面积最大，只要AABD的面积最大即可，因为为定值，乙4为定角=60°,推出当是等边三角形

时，求出四边形4BCD的面积最大值，然后再求出/MDE=90°,构建方程解决问题即可.

【解答】解：⑴如图①，C

•••CD平分RABC的面积，

AD=DB,&iB

vAC=BC=8fD

i图①

・・.CD±ABfZACD=ABCD=*ACB=60°,

CD=ACcosZACD=8cos60°=4,

.,.C。的长度为4,

故答案为：4;

（2）存在.如图②，C

；48=10,乙4CB=120°都是定值，三3七％

.♦.点C在4亩上，并且当点。在检的中点时，A4BC的面积最大；4

1/''、'D\

连接OC交AB于点D,则CD_LAB,AD=B_D==AB=5,/'、、；

2:、、、।,

AACD=^-AACB=60°,:0:

2'I

•*-S^ABC--^-AB・CD——户,

答:AABC的面积最大值是受金

O

⑶存在.如图③，连接DM,BD,

•••Af是BC的中点,

：.CM=--BC=3Q0,

:.CM=CD,

又；/。=60°,

AACMD是等边三角形，

AAMDC=4cMD=60°,CM=DM=BM,

：.ACBD=AMDB=30°,图③

ZBDC=90°,

：.BD=CD-tan60°=300V3米,

在^ABD中，BD=300盗米，乙4=60°为定值，

由（2）可知当4B=4。时，即^ABD为等边三角形时^ABD的面积最大,

此时也为四边形ABCD的最大值（ABDC的面积不变），

Smax=SQBDC+SXBDA=yx300x300V3+卓（3006）2=U2500存

•/AABD是等边三角形，

ZADB=6Q°,

：.AADM=AADB+2BDM=90°,

由SbCDM=5Smax，得:

^DEx300+辛x3002=yx11250073,

解得：DE=225g,

AE=AD—DE=300V3-22573=75遍（米）,

答：点A距出口的距离AB的长为75四米.

【点评】本题是圆的综合题，考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识,

解题的关键是理解题意构造辅助圆，灵活运用所学知识解决问题，难度较大，属于中考压轴题.

［题目团（2023•柯城区校级一模）如图，点A与点B的坐标分别是（1,0）,（5,0）,点P是该直角坐标系内的一

个动点.

（1）使AAPB=30°的点P有无数个；

（2）若点P在?/轴上，且AAPB=30°,求满足条件的点P的坐标；

（3）当点P在y轴上移动时，/APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时/APB最大的理由;

若没有，也请说明理由.

y小

5-

4-

3-

2-

1-/B

1111—I1I11i

-4-3-2-1012345X

-4

【分析】（1）已知点人、点B是定点，要使/APB=30°,只需点P在过点人、点B的圆上，且弧AB所对的圆

心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个.

（2）结合（1）中的分析可知：当点P在沙轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定

理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在9轴的负半轴上时，同

理可求出符合条件的点P的坐标.

（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角.要/APB

最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得/4PB最大的点P,然后结合切线的性质、

三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题.

【解答】解：（1）以AB为边,在第一象限内作等边三角形AB。，

以点。为圆心，AC为半径作©C,交"轴于点打、丹.

在优弧ARB上任取一点P,如图1,

则AAPB=yZACB=Jx60°=30°.

.•.使AAPB=30°的点P有无数个.

故答案为：无数.

(2)①当点P在沙轴的正半轴上时，

过点。作垂足为G,如图1.

•.•点幺(1,0),点5(5,0),

:.OA=1,OB=5.

・•・48=4.

・・•点。为圆心，CGLAB,

AG=BG=：AB=2.

OG=OA+AG=3.

•/A4BC是等边三角形，

AAC=BC=AB=4.

：.CG=y/AC2-AG2

=74^

=2V3.

.♦.点。的坐标为(3,2V3).

过点。作轴，垂足为D,连接冲，如图1,

•.•点。的坐标为(3,2V3),

CD=3,OD=2^/3.

•••丹、£是。。与沙轴的交点，

A/ARB=/Af^B=30°.

CB=CA=4,CD=3,

2

：.DP2=y/^-3=V7.

•.•点。为圆心，8_1为£,

/.PQ=P2D=V7.

.-.^(0,2V3-V7).B(O,2V3+V7).

②当点P在夕轴的负半轴上时，

同理可得：8(0,-2代—V7).^(0,-273+77).