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文档简介

德图同败M种模逐

压轴题密押

通用的解题思路:

隐圆一般有如下呈现方式:(D定点定长:当遇到同一个端点出发的等长线段时,通常以这个端点为圆心,等线

段长为半径构造辅助圆;(2)定弦定角:当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时,通常把张角转化为圆

周角构造辅助圆。当遇到直角时,通常以斜边为直径构造辅助圆。(3)四点共圆:对角互补的四边形的四个顶

点共圆。隐圆常与线段最值结合考查。

压轴题预测

类型1:定点定长

遒用】(2023•新城区校级三模)圆的定义:在同一平面内,到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形.

(1)已知:如图1,请利用圆规画出过A、B.。三点的圆.若/AOB=70°,贝。=

如图,RtAABC中,AABC=90°,ABCA=30°,AB=2.

⑵已知,如图2.点P为AC边的中点,将AC沿BA方向平移2个单位长度,点A、P、。的对应点分别为

点。、E、F,求四边形BDFC的面积和2BEA的大小.

(3)如图3,将AC边沿BC方向平移a个单位至DF,是否存在这样的a,使得直线DF上有一点Q,满足

/BQA=45°且此时四边形B4DF的面积最大?若存在,求出四边形历LDF面积的最大值及平移距离a,

若不存在,说明理由.

图3

图2

题目0(2024•兰州模拟)综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上,“希望小组”的同学们以三角形为背景,探究图形变化过程中的几何问

题,如图,在AABC中,AB=AC,/BAC=90°,点。为平面内一点(点A,B,。三点不共线),4E为

△ABD的中线.

【初步尝试】(1)如图1,小林同学发现:延长AE至点Af,使得=连接DW.始终存在以下两个结

论,请你在①,②中挑选一个进行证明:

①DM=AC-,②ZMDA+/DAB=180°;

【类比探究】(2)如图2,将AO绕点A顺时针旋转90°得到A尸,连接CF.小斌同学沿着小林同学的思考进

一步探究后发现:=请你帮他证明;

【拓展延伸】(3)如图3,在(2)的条件下,王老师提出新的探究方向:点。在以点A为圆心,4。为半径的圆

上运动(AO>AB),直线AE与直线CF相交于点G,连接5G,在点。的运动过程中BG存在最大值.若

AB=4,请直接写出BG的最大值.

图1图2图3

题目⑶(2022•番禺区二模)己知抛物线y=瀛+所一卷(a>0)与t轴交于点两点,OA<OB,AB

=4.其顶点。的横坐标为一1.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)设点。在抛物线第一象限的图象上,。垂足为〃;y轴交直线于点F,当ADEF面积

等于4时,求点D的坐标;

(3)在⑵的条件下,点加■是抛物线上的一点,〃■点从点B运动到达点C,FM±FN交直线BD于点N,延

长与线段DE的延长线交于点点P为N,F,H三点构成的三角形的外心,求点P经过的路线长.

题目区(2021•红谷滩区校级模拟)(1)学习心得:小刚同学在学习完“圆”这一章内容后,感觉到有一些几何

问题,如果添加辅助圆,运用圆的知识解决,可以使问题变得非常容易.

例如:如图1,在NABC中,48=AC,ABAC=80°,。是XABC外一点,且人。=力。,求ABDC的度数.

若以点人为圆心,AB为半径作辅助圆OA,则点必在0A上,/-BAC是。力的圆心角,而ABDC是

圆周角,从而可容易得到ZBDC=_40°_.

(2)问题解决:

如图,在四边形中,/BAD=/BCD=90°,/BDC=25°,求/区4。的度数.

(3)问题拓展:

抛物线9=——1y+3与沙轴交于点4顶点为B,对称轴BC与c轴交于点。,点P在抛物线上,直线

PQ//BC交缶轴于点Q,连接BQ.

①若含45°角的直线三角板如图所示放置,其中,一个顶点与。重合,直角顶点D在上,另一顶点E在

PQ上,求Q的坐标;

②若含30°角的直角三角板一个顶点与点。重合,直角顶点。在BQ上,另一个顶点E在PQ上,点。与点

B,点Q不重合,求点P的坐标.

类型2:定弦定角

[题目回(2022•雁塔区校级三模)问题提出

(1)如图①,已知A4BC为边长为2的等边三角形,则AABC的面积为—及

问题探究

(2)如图②,在AABC中,已知NBAC=120°,BC=6①,求AABC的最大面积;

问题解决

(3)如图③,某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD,其宽AB=20米,长BC=24米,为了能够监控到礼

堂内部情况,现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头河进行观测,并且要求能观测到礼堂前端墙

面区域,同时为了观测效果达到最佳,还需要从点河出发的观测角/4WB=45°,请你通过所学知识进

行分析,在墙面CD区域上是否存在点满足要求?若存在,求出朋。的长度;若不存在,请说明理由.

图①图②图③

6l(2023・潘桥区校级模拟)问题提出:(1)如图①,AABC为等腰三角形,/。=120°,47=3。=8,。

是AB上一点,且CD平分^ABC的面积,则线段CD的长度为.

问题探究:⑵如图②,^ABC中,120°,AB=W,试分析和判断A4BC的面积是否存在最大值,若存

在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

问题解决:(3)如图③,2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行,主办方要在会场

旁规划一个四边形花圃ABCD,满足BC=600米,CD=300米,60°,/A=60°,主办方打算过BC

的中点加■点(入口)修建一条径直的通道ME(宽度忽略不计)其中点E(出口)为四边形ABCD边上一点,

通道山石把四边形ABCD分成面积相等并且尽可能大的两部分,分别规划成不同品种的花圃以供影迷休

闲观赏.问是否存在满足上述条件的通道人石?若存在,请求出点A距出口的距离AE的长;若不存在,请

说明理由.

题目0(2023-柯城区校级一模)如图,点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0),点P是该直角坐标系内的一

个动点.

(1)使AAPB=30°的点P有个;

(2)若点P在?/轴上,且AAPB=30°,求满足条件的点P的坐标;

(3)当点P在?/轴上移动时,是否有最大值?若有,求点P的坐标,并说明此时/APB最大的理由;

若没有,也请说明理由.

5-

4-

3-

2-

1-AB

Illi—I1IIIi

-4-3-2-IO12345x

-1-

-4

类型3:四点共圆

[题目回(2022・中原区校级模拟)阅读下列材料,并完成相应的任务.

西姆松定理是一个平面几何定理,其表述为:过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点

作三边或其延长线的垂线,则三垂足共线(此线常称为西姆松线).

某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理.

如图(l),已知AABC内接于。O,点P在。。上(不与点A,g,。重合),过点P分别作AB,

BC,4。的垂线,垂足分别为点D,E,F.求证:点0,E,尸在同一条直线上.

如下是他们的证明过程(不完整):

如图⑴,连接取PC的中点Q,连接QE.QF,

则EQ=FQ=^PC=PQ=CQ,(依据1)

•.•点E,F,P,C四点共圆,

ZFCP+AFEP=180°.(依据2)

又ZACP+ZABP=180°,

ZFEP=AABP.

同上可得点B,D,P,E四点共圆,

任务:

(1)填空:

①依据]指的是中点的定义及;

②依据2指的是.

(2)请将证明过程补充完整.

(3)善于思考的小虎发现当点P是比的中点时,BD=CF,请你利用图(2)证明该结论的正确性.

P工P

图⑴图⑵

题目包(2021-哈尔滨模拟)(1)【学习心得】

于彤同学在学习完“圆”这一章内容后,感觉到一些几何问题如果添加辅助圆,运用圆的知识解决,可以使

问题变得非常容易.

例如:如图1,在AABC中,AB=AC,乙民4。=90°,。是ZL4BC外一点,且AD=AC,求的度数.

若以点A为圆心,AB为半径作辅助0A,则点。、。必在0A上,乙BAG是0A的圆心角,而乙8。。是圆

周角,从而可容易得到/加。=°.

(2)【问题解决】

如图2,在四边形ABCD中,/BAD=/BCE>=90°,25°,求/BAC的度数.

(3)【问题拓展】

如图3,如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=OF.连接CF交BD于点G,连接

BE交AG于点、H.若正方形的边长为2,则线段长度的最小值是

[题目WJ(2022•潢川县校级一模)如图1,点8在直线,上,过点B构建等腰直角三角形ABC,使/氏4。=

90°,且=过点。作CD,直线Z于点。,连接AD.

(1)小亮在研究这个图形时发现,/34。=/8。。=90°,点人,。应该在以3。为直径的圆上,则乙4。8的

度数为。,将射线入。顺时针旋转90°交直线Z于点E,可求出线段CD的数量关系为

(2)小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转,当旋转到图2位置时,线段AD,BD,CD的数量关

系是否变化,请说明理由;

(3)在旋转过程中,若CD长为1,当AABD面积取得最大值时,请直接写AO的长.

10

德图同败M种模逐

压轴题密押

通用的解题思路:

隐圆一般有如下呈现方式:(D定点定长:当遇到同一个端点出发的等长线段时,通常以这个端点为圆心,等线

段长为半径构造辅助圆;(2)定弦定角:当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时,通常把张角转化为圆

周角构造辅助圆。当遇到直角时,通常以斜边为直径构造辅助圆。(3)四点共圆:对角互补的四边形的四个顶

点共圆。隐圆常与线段最值结合考查。

压轴题预测

类型1:定点定长

遒用】(2023•新城区校级三模)圆的定义:在同一平面内,到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形.

(1)已知:如图1,请利用圆规画出过A、B.。三点的圆.若/AOB=70°,则=

_35°_.

如图,RtAABC中,AABC=90°,ABCA=30°,AB=2.

(2)已知,如图2.点P为AC边的中点,将AC沿BA方向平移2个单位长度,点A、P、。的对应点分别为

点。、E、F,求四边形BDFC的面积和ABEA的大小.

(3)如图3,将AC边沿BC方向平移a个单位至DF,是否存在这样的a,使得直线DF上有一点Q,满足

ZBQA=45°且此时四边形BADF的面积最大?若存在,求出四边形B4DF面积的最大值及平移距离a,

若不存在,说明理由.

图3

图2

【分析】(1)利用圆的定义知A,B,。三点共圆,再利用圆周角定理求解.

(2)根据图形的平移性质,判定平移后图形形状,继而确定面积的计算方式和方法,角度问题也迎刃而解.

(3)因角度不变,借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想,判断出。点能够向右移动的最大距离,

求出四边形的最大面积.

【解答】(1)以。为圆心,OA为半径作辅助圆,如图,

ZAOB=70°,

乙4cB=35°,

故答案为35°.

⑵连接PB,PE,如图,

RtAABC中,AABC=90°,ABCA=30°,AB=21.

AC=4,ABAC=60°,BC=2V3.

P为RtAABC斜边AC中点,

:.BP=^-AC=2,

线段AC平移到OF之后,AB=AD=PE=2,BP=AE=2,

二.四边形4BPE为菱形,

•/ABAC=60°,

:./BE力=30°,

•/CF〃BD,且/ABC=90°,

四边形BDFC为直角梯形,

.•.S=《(BD+CF)XBC=-^X6X2A/3=6A/3,

(3)如图所示,以AB为斜边在AB的右侧作等腰直角三角形O4B,以O为圆心,OA为半径作OO,

当AC边沿BC方向平移a个单位至。F时,

满足ABQA=45°且此时四边形BADF的面积最大,

直线。F与OO相切于点Q,

连接OQ交AD于G,过点。作08,AD于

则ZAHO=AOHG=ZDQG=90°,/OAF/=45°,ZGDQ=30°,

•:NABC=90°,ZBCA=30°,AB=2,

BC=2A/3,OA=OB=OQ=V2,

AH=OH=1,HG=^-,OG=^-,

oo

:.GQ^V2-^-,DG=2GQ^2V2-^~,

oo

2

:.AD^AH+HG+GD^l+^+2V2-^-^l+2V2-V3,

oo

.,.a=1+2y/2—V3,

此时直角梯形ABF。的最大面积为:

S—~~x(BF+AD)xAB—x(2A/3+1+2A/^—V3+1+2,\/2^—A/3)x2—4\/2-+2.

【点评】本题主要考查图形的平移,圆心角,圆周角之间的关系,解题的关键是数形结合,找到极值点求解.

[题目|2](2024-兰州模拟)综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上,“希望小组”的同学们以三角形为背景,探究图形变化过程中的几何问

题,如图,在AABC中,AB=AC,/氏4。=90°,点。为平面内一点(点A,B,D三点不共线),4E为

AABD的中线.

【初步尝试】(1)如图1,小林同学发现:延长AE至点刊,使得ME=AE,连接DM.始终存在以下两个结

论,请你在①,②中挑选一个进行证明:

①DM=AC-,②ZMDA+NDAB=180°;

【类比探究】(2)如图2,将人。绕点A顺时针旋转90°得到AF,连接CF.小斌同学沿着小林同学的思考进

一步探究后发现:=请你帮他证明;

【拓展延伸】(3)如图3,在(2)的条件下,王老师提出新的探究方向:点。在以点人为圆心,人。为半径的圆

上运动(AD>AB),直线4E与直线CF相交于点G,连接BG,在点。的运动过程中BG存在最大值.若

4B=4,请直接写出BG的最大值.

图1图2图3

【分析】(1)利用SAS证明^ABE=^MDE,可得AB=DM,再结合AB=AC,即可证得DM=AC;由全

等三角形性质可得ABAE=ADME,再运用平行线的判定和性质即可证得NMDA+ADAB=180°;

(2)延长AE至点“,使得ME=AE,连接DM.利用SAS证得XACFw'DMA,可得CF=AM,再由

AE=^AM,可证得AE=-yCF;

⑶延长DA至M,使AM^AD,设AM交CF于N,连接■交CF于K,取AC中点P,连接GP,可证得

^ACF会^ABM(SAS'),利用三角形中位线定理可得AE〃,即AG〃JW,利用直角三角形性质可得

GP=/AC=J4B=2,得出点G在以P为圆心,2为半径的。P上运动,连接BP并延长交OP于G,,

可得BG,的长为BG的最大值,再运用勾股定理即可求得答案.

【解答】(1)证明:①:AE为^ABD的中线,

:.BE=DE,

(BE=DE

在和'MDE中,(/AEB=/MED,

[AE=ME

:.\ABE"MDE(SAS),

・・.AB=DM,

・・・AB=AC9

:.DM=AC;

②由①知'ABE=\MDE,

・•・/BAE=/DME,

・・.AB//DM,

・•.AMDA+/.DAB=180°;

⑵证明:延长AS至点河,使得=连接ZW.

由旋转得:4尸=AD,ADAF=90°f

・・・ZBAC=90°,ADAF+ABAC+ZBAD+ACAF=360°,

・•・ZBAD-iACAF=180°,

由(1)②得:AMDA+ADAB=180°,DM=AB=AC,

:./CAF=/MDA,

(AF=AD

在A4CF和^DMA中,INC4F=AMDA,

[AC=DM

・・・^ACF=^DMA{SAS),

:.CF=AM,

-:AE=^-AM,

・•.=

⑶如图3,延长D4至河,使AD,设4河交CF于N,连接BA/交CF于K,取4。中点P,连接GP,

由旋转得ADAF=90°f

:.AF=AM,AMAF=180°-90°=90°,

・・•ZBAC=90°,

・•.AMAF+ZCAM=ABAC+/CAM,

即ZCAF=ABAM,

(AC=AB

在AAC尸和^ABM中,(ACAF=/.BAM,

[AF=AM

:.^ACF=^ABM(SAS),

・・・ZAFC=4AMB,即乙AFN=/KMN,

・・・/ANF=/KNM,

:.4FAN=ZMKN=90°,

:.BM_LCFf

・・・E、4分别是DB、DM的中点,

・・・AE是bBDM的中位线,

・・・AE〃BM,即AG〃BM,

・・・AGYCF,

:.ZAGC=90°f

・・•点P是AC的中点,

・•.GP=yAC=-j-AB=2,

.♦.点G在以P为圆心,2为半径的。P上运动,

连接并延长交。P于G,,

BG,的长为BG的最大值,

在R1AABP中,BP=y/AB'2+AP2=V42+22=275,

BG'=BP+PG'=2V5+2,

.•.BG的最大值为2瓶+2.

【点评】本题是几何综合题,考查了三角形的全等的性质与判定,两直线垂直的判定,三角形中位线定理,勾

股定理,圆的性质,熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键.

题目©(2022•番禺区二模)己知抛物线沙=g2+法—?(a>0)与立轴交于点4B两点,

=4.其顶点。的横坐标为一1.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)设点。在抛物线第一象限的图象上,DEL4。垂足为E,DF〃沙轴交直线4。于点F,当ADEF面积

等于4时,求点。的坐标;

(3)在⑵的条件下,点河是抛物线上的一点,M点从点B运动到达点C,FM±FN交直线BD于点N,延

长砂与线段DE的延长线交于点〃,点P为N,F,H三点构成的三角形的外心,求点P经过的路线长.

(分析】(1)利用对称性,求得人和B的坐标,然后用待定系数法求得抛物线的解析式;

(2)证明ACGA和^DEF都为等腰直角三角形,利用等面积法求得DF=4,再求得直线AC的解析式为y

=x-l,设点D的坐标,得到点F的坐标,然后求解即可;

⑶先求得ZBr>F=45°,推出点P的运动路径时HM的中点绕点F逆时针旋转90°得至IN2H的中点之间

的弧长,证明四边形DMEE为正方形,即可求解.

【解答】解:(1”.•点点B两点关于直线/=一1对称,43=4,

.­.A(l,0),B(-3,0),

=

2Q+b—2'0

代入g=ax+bx—^得,,解得:

9Q—3b—1~—0

抛物线的解析式为9=^X2+x-y.

⑵如图1所示:

・・・OF〃。轴〃GC,

:.AGCA=ZDFEf

二,抛物线的解析式为g=]42+力__1_=_|_(力+1)2—2,

:•顶点(7(—1,—2),

v4(1,0),

・・.AG=2,CG=2,

・・・ACG4为等腰直角三角形,

:.ZGCA=ADFE=45°,

•:DE±AC,

・・・ZVD石F为等腰直角三角形,

:・DE=EF,DF=V^DE,

,•*S、DEF=*DE•EF—4,

:.DE=2四,

图1

.,.DF=gx2,^=4,

设直线AC的解析式为v=+b,则

直线AC的解析式为U=c—:1,

设点D^X,^-X2+X—1~),则F{x,x—1),

DF=^-X2+X-y-(a;-1)=-j-x2一■y=4,

解得:1=3或6=—3(舍),

・•・0(3,6),尸(3,2).

(3)如图2所示,

・・•ANFH是直角三角形,

^NFH的外心是斜边NH的中点,

当点河位于点B时,秘iFH、,其外心是斜边的中点,

当点河位于点。时,得ZYMFE,其外心是斜边N,H2的中点,即明石的中点,

•••。(3,6),3(—3,0),

tanZBDF==1,

6

NBDF=45°,

由⑵得,/FDE=45°,

/DBA=ZBAC=45°,

:.BD//AC,

:.FN±BD,

。?平分4BDE,4BDE=90°,

.♦.点D,N,F,H四点共圆,

.♦.点P在线段OF的垂直平分线上,即点P在ME上运动,即点P的运动轨迹是一条线段.

2DN?F=ZN.QH=4DHF=90°,FN?=FE,

:.四边形DN2FE为正方形,

此时点P在。F上,且EP=2;

当点河与点。重合时,此时点P在。F上,即为£,且Fg=朋=2,

由题意,BN2=BD-DN2=4,BF=2V10,N2F=272,FN2//DH,,

・•.\BFN2〜/\BH1D,

二鬻=需,解得FHi=VW,

:.FPF瓜

由勾股定理可得:_R8=1,

即点P的运动轨迹长为1.

【点评】本题主要考查二次函数的综合问题,包括待定系数法确定函数解析式,三角形外接圆的性质,弧长

公式,勾股定理,三角函数解直角三角形等,理解题意,作出相应辅助线是解题的关键.

题目回(2021•红谷滩区校级模拟)(1)学习心得:小刚同学在学习完“圆”这一章内容后,感觉到有一些几何

问题,如果添加辅助圆,运用圆的知识解决,可以使问题变得非常容易.

例如:如图1,在AABC中,AB=AC,乙氏4。=80°,。是AABC外一点,且40=47,求乙8。。的度数.

若以点A为圆心,AB为半径作辅助圆。A,则点。、。必在。A上,ZBAC是。A的圆心角,而NBDC是

圆周角,从而可容易得到乙BDC=_40°_.

(2)问题解决:

如图,在四边形ABCD中,/BAD=ZBCD=90°,ABDC=25°,求ABAC的度数.

(3)问题拓展:

抛物线y=-j(cc-iy+3与y轴交于点4顶点为B,对称轴BC与c轴交于点。,点P在抛物线上,直线

PQ〃BC交c轴于点Q,连接BQ.

①若含45°角的直线三角板如图所示放置,其中,一个顶点与。重合,直角顶点D在上,另一顶点E在

PQ上,求Q的坐标;

②若含30°角的直角三角板一个顶点与点。重合,直角顶点。在上,另一个顶点E在PQ上,点。与点

点Q不重合,求点P的坐标.

【分析】(1)利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解.

(2)由?1、B、C、D共圆,得出2BDC=NBAC,

(3)①先求出抛物线顶点的坐标,再由点D、C、Q、E共圆,得出/CQB=ZOED=45°,求出CQ,再求点

Q的坐标.

②分两种情况,I、当30°的角的顶点与点。重合时,II、当60°的角的顶点与点C重合时,运用点。、。、

Q、E共圆,求出CQ即点P的横坐标,再代入抛物线求出点P的纵坐标,即可求出点P的坐标.

【解答】解:(I):AB=AC,AD=AC,

:.以点A为圆心,点6、。、。必在<34上,

•••/A4C是。人的圆心角,而是圆周角,

A4BDC=40°,

(2)如图2,

•/"4D=/BCD=90°,

.•.点A、B、C、_D共圆,

NBDC=ABAC,

•:/BOG=25°,

ABAC=25°,

(3)①如图3

•.•点B为抛物线y=—十(,-1)2+3的顶点,

.•.点B的坐标为(1,3),

•••45°角的直角三角板如图所示放置,其中,一个顶点与。重合,直角顶点。

在B。上,另一顶点E在PQ上,•M

・••点。、。、。、石共圆,

:.4CQB="JED=%

:.CQ—BC—3,

JOQ=4,

・••点。的坐标为(4,0),

②如图4,

I、当30°的角的顶点与点。重合时,

.,直角三角板30°角的顶点与点。重合,直角顶点。在石。上,另一个顶点E在P。上

,•点Z?、C、Q、石共圆,

・・/CQB=4CED=6N,

*.OQ—1+V3,

,•把1+V3代入g=―:(/—1)2+3得g=*,

♦.点P的坐标是(1+,§,[■)

当60°的角的顶点与点。重合时,

•.•直角三角板60°角的顶点与点。重合,直角顶点。在BQ上,另一个顶点E在PQ上

・,・点。、。、Q、E共圆,

・•・ZCQB=ZCED=30°,

:.CQ=V3BC=3V3,

・•・OQ=1+3V3,

,才巴1+3A/3代入g=―^(rc—1)2+3得?/=—与,

・••点P的坐标是(1+3A/3,—1")

综上所述,点P的坐标是(1+V3,或(1+3A/3,—.

【点评】本题主要考查了圆的综合题,解题的关键就是运用同弦对的圆周角相等.

类型2:定弦定角

〔题目|5)(2022-雁塔区校级三模)问题提出

(1)如图①,已知A4BC为边长为2的等边三角形,则的面积为—农

问题探究

(2)如图②,在AABC中,已知/BAC=120°,BC=6遍,求^ABC的最大面积;

问题解决

(3)如图③,某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD,其宽AB=20米,长BC=24米,为了能够监控到礼

堂内部情况,现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头河进行观测,并且要求能观测到礼堂前端墙

面区域,同时为了观测效果达到最佳,还需要从点河出发的观测角/4WB=45°,请你通过所学知识进

行分析,在墙面CD区域上是否存在点州满足要求?若存在,求出MC的长度;若不存在,请说明理由.

【分析】(1)作于。,由勾股定理求出4D的长,即可求出面积;

(2)作的外接圆©O,可知点A在市上运动,当40,BC时,A4BC的面积最大,求出的长,

从而得出答案;

(3)以AB为边,在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形且乙405=90°,过0作1/6!,人3于

交CD于G,利用等腰直角三角形的性质求出04OG的长,则以O为圆心,OA为半径的圆与CD相

交,从而。。上存在点河,满足/4WB=45°,此时满足条件的有两个点河,过M作MF_LAB于F,作

EO_LMF于E,连接OF,利用勾股定理求出OE的长,从而解决问题.

【解答】解:(1)作ADLBC于O,A

是边长为2的等边三角形,/T\

-.BD=1,/\\

AAD=y/AB2-BD2=A/3,L----!----\

1BDC

二AABC的面积为方x2x,^=J^,图①

故答案为:通;

(2)作AABC的外接圆OO,

120°,BC=6A/3,

.•.点A在京?上运动,

当no_LBC时,AAB。的面积最大,

ZBOA=60°,BH=CH=3V3,

:.OH=3,OB=6,

・•.AH=OA-OH=6-3=3,•••

AABC的最大面积为yX6V3X3=9A/3;

⑶存在,以AB为边,在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB,且AAOB=90°,

过。作HG_LAB于交CD于G,

图③

:AB=20米,

AH=OH=10米,。A=10V2米,

•.•BC=24米,

AOG=14米,

V10V2>14,

以O为圆心,OA为半径的圆与CD相交,

。O上存在点朋r,满足ZAMB=45°,此时满足条件的有两个点M,

过M作MF_LAB于F,作EO_LMF于E,连接。F,

/.EF=OH=10米,OM=10^2米,

•••EM=14米,

AOE=y/OM?-MrE2=2米,

CM=BF=8米,

同理CM?=BH+OE=10+2=12(米),

.♦.MC的长度为8米或12米.

【点评】本题是四边形综合题,主要考查了等边三角形的性质,矩形的性质,等腰直角三角形的性质,勾股定

理,垂径定理等知识,熟练掌握定角定边的基本模型是解题的关键.

题目同(2023-浦桥区校级模拟)问题提出:(1)如图①,AABC为等腰三角形,120°,AC=BC=8,D

是AB上一点,且CD平分AABC的面积,则线段CD的长度为4.

10

MC

B

cc

BA

问题探究:(2)如图②,ZVLB。中,/C=120°,AB=10,试分析和判断XABC的面积是否存在最大值,若存

在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

问题解决:(3)如图③,2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行,主办方要在会场

旁规划一个四边形花圃ABCD,满足B0=600米,CD=300米,/C=60°,/A=60°,主办方打算过

的中点"■点(入口)修建一条径直的通道ME(宽度忽略不计)其中点E(出口)为四边形ABCD边上一点,

通道ME把四边形ABCD分成面积相等并且尽可能大的两部分,分别规划成不同品种的花圃以供影迷休

闲观赏.问是否存在满足上述条件的通道ME?若存在,请求出点A距出口的距离AE的长;若不存在,请

说明理由.

【分析】(1)由题意可知,CD是AABC的中线,利用等腰三角形的性质推出CDJ_AB,利用三角函数求解

即可解决问题;

(2)当AABC的4B边上的高CD最大时,三角形48。的面积最大,即CD过圆心O,连接40.求出CD

的最大值即可得出答案;

⑶连接DW,BD.首先证明/BDC=90°,求出BD,推出△BDC的面积是定值,要使得四边形ABCD的

面积最大,只要AABD的面积最大即可,因为为定值,乙4为定角=60°,推出当是等边三角形

时,求出四边形4BCD的面积最大值,然后再求出/MDE=90°,构建方程解决问题即可.

【解答】解:⑴如图①,C

•••CD平分RABC的面积,

AD=DB,&iB

vAC=BC=8fD

i图①

・・.CD±ABfZACD=ABCD=*ACB=60°,

CD=ACcosZACD=8cos60°=4,

.,.C。的长度为4,

故答案为:4;

(2)存在.如图②,C

;48=10,乙4CB=120°都是定值,三3七%

.♦.点C在4亩上,并且当点。在检的中点时,A4BC的面积最大;4

1/''、'D\

连接OC交AB于点D,则CD_LAB,AD=B_D==AB=5,/'、、;

2:、、、।,

AACD=^-AACB=60°,:0:

2'I

•*-S^ABC--^-AB・CD——户,

答:AABC的面积最大值是受金

O

⑶存在.如图③,连接DM,BD,

•••Af是BC的中点,

:.CM=--BC=3Q0,

:.CM=CD,

又;/。=60°,

AACMD是等边三角形,

AAMDC=4cMD=60°,CM=DM=BM,

:.ACBD=AMDB=30°,图③

ZBDC=90°,

:.BD=CD-tan60°=300V3米,

在^ABD中,BD=300盗米,乙4=60°为定值,

由(2)可知当4B=4。时,即^ABD为等边三角形时^ABD的面积最大,

此时也为四边形ABCD的最大值(ABDC的面积不变),

Smax=SQBDC+SXBDA=yx300x300V3+卓(3006)2=U2500存

•/AABD是等边三角形,

ZADB=6Q°,

:.AADM=AADB+2BDM=90°,

由SbCDM=5Smax,得:

^DEx300+辛x3002=yx11250073,

解得:DE=225g,

AE=AD—DE=300V3-22573=75遍(米),

答:点A距出口的距离AB的长为75四米.

【点评】本题是圆的综合题,考查了勾股定理,垂径定理,解直角三角形,等边三角形的判定和性质等知识,

解题的关键是理解题意构造辅助圆,灵活运用所学知识解决问题,难度较大,属于中考压轴题.

[题目团(2023•柯城区校级一模)如图,点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0),点P是该直角坐标系内的一

个动点.

(1)使AAPB=30°的点P有无数个;

(2)若点P在?/轴上,且AAPB=30°,求满足条件的点P的坐标;

(3)当点P在y轴上移动时,/APB是否有最大值?若有,求点P的坐标,并说明此时/APB最大的理由;

若没有,也请说明理由.

y小

5-

4-

3-

2-

1-/B

1111—I1I11i

-4-3-2-1012345X

-4

【分析】(1)已知点人、点B是定点,要使/APB=30°,只需点P在过点人、点B的圆上,且弧AB所对的圆

心角为60°即可,显然符合条件的点P有无数个.

(2)结合(1)中的分析可知:当点P在沙轴的正半轴上时,点P是(1)中的圆与y轴的交点,借助于垂径定

理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标;当点P在9轴的负半轴上时,同

理可求出符合条件的点P的坐标.

(3)由三角形外角的性质可证得:在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角.要/APB

最大,只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆,切点就是使得/4PB最大的点P,然后结合切线的性质、

三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题.

【解答】解:(1)以AB为边,在第一象限内作等边三角形AB。,

以点。为圆心,AC为半径作©C,交"轴于点打、丹.

在优弧ARB上任取一点P,如图1,

则AAPB=yZACB=Jx60°=30°.

.•.使AAPB=30°的点P有无数个.

故答案为:无数.

(2)①当点P在沙轴的正半轴上时,

过点。作垂足为G,如图1.

•.•点幺(1,0),点5(5,0),

:.OA=1,OB=5.

・•・48=4.

・・•点。为圆心,CGLAB,

AG=BG=:AB=2.

OG=OA+AG=3.

•/A4BC是等边三角形,

AAC=BC=AB=4.

:.CG=y/AC2-AG2

=74^

=2V3.

.♦.点。的坐标为(3,2V3).

过点。作轴,垂足为D,连接冲,如图1,

•.•点。的坐标为(3,2V3),

CD=3,OD=2^/3.

•••丹、£是。。与沙轴的交点,

A/ARB=/Af^B=30°.

CB=CA=4,CD=3,

2

:.DP2=y/^-3=V7.

•.•点。为圆心,8_1为£,

/.PQ=P2D=V7.

.-.^(0,2V3-V7).B(O,2V3+V7).

②当点P在夕轴的负半轴上时,

同理可得:8(0,-2代—V7).^(0,-273+77).

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