中考数学重难点题型专训：平行线中的四大基本模型（4大题型+20道拓展培优）含答案及解析

平行线中的四大基本模型重难点题型专训

（4大题型+20道拓展培优）

旨【题型目录】

题型一平行线基本模型之M模型

题型二平行线四大模型之铅笔模型

题型三平行线四大模型之“鸡翅”模型

题型四平行线四大模型之“骨折”模型

K【经典例题一平行基本模型之M模型】

【结论1]若AB〃CD,贝l]NB0C=NB+NC

【结论2］若NB0C=NB+NC,贝【JAB〃CD.

【结论3】如图所示，AB/7EF,则NB+ND=NC十NE

朝向左边的角的和二朝向右边的角的和

结论3的模型也称为锯齿模型;

锯齿模型的变换解题思路

拆分成猪蹄模型和内错角拆分成2个猪蹄模型

【例1】（2023春•山东济宁•七年级统考阶段练习）如图所示，如果AB||CD,贝吐a、4|3、4之间的关系

为（）

A.Za+Z.p+Z.y=180°B.Za—Z.p+Zy=180°

C.za+zp—z.y=180°D.Za—zp—Zy=180°[

产【变式训练】

【变式1]（2023春・全国•七年级专题练习）如图，直线a//b,一块含60。角的直角三角板ABC（zA=60°）

按如图所示放置.若4=43。，则Z2的度数为（）

A.101°B.103°C.105°D.107°

【变式2】（2023秋・辽宁鞍山•八年级统考期中）如图，已知35平分/ABC,。石平分/APC,

=80°,/BCD=n。,则NBED的度数为.（用含〃的式子表示）

D

【变式3】（2023春・山东聊城•七年级统考阶段练习）已知直线48〃CD,是截线，点M在直线/8、CD

之间.

⑴如图1,连接GM,HM.求证：LM=UGM+乙CHM；

（2）如图2,在NG//C的角平分线上取两点M、Q,使得乙4GM=LHGQ.试判断与NGQH之间的数量关

系，并说明理由.

个【经典例题二平行基本模型之铅笔模型】

【结论1】如图所示，AB〃CD,贝l]NB+NB0C+NC=360°

【结论2】如图所示，NB+NB0C+NC=360°,贝I]AB〃CD.

变异的铅笔头：拐点数n,NA+...+NC=180°X（n+1）

【例2】（2023下•重庆巴南•七年级重庆市实验中学校联考期中）如图，已知ABCD,E尸，AB于点品

NBFH=ZEGH=30°,ZW=5O°,则/FEG的度数是（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

【变式训练】

【变式1】（2020下,山东烟台•七年级统考期中）如图阴//CB”,贝吐1+/2+N3+…+/n=（）

A.540°B.180°nC.180°(n-l)D.180°(n+l)

【变式2](2021下•七年级课时练习)如图，已知AB//DE,ZB=150°,ZD=145°,则NC=_度.

【变式3］（2023下・甘肃庆阳•七年级校考期中）（1）问题发现：如图①，直线AB〃CD,E是AB与CD之

间的一点，连接3E,CE,可以发现NB+NC=NBEC.

请把下面的证明过程补充完整：

图①图②图③

证明：过点E作所〃AB,

：AB//CD(已知)，EF//AB(已作)，

.-.EF//CD().

:.NC=NCEF().

EF//AB,

:.ZB=（）,

---ZCEF+ZBEF=ZBEC,

:.NB+NC=NBEC（等量代换）.

（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：NB,NC,NBEC

之间的关系是—；

（3）解决问题：如图③，AB//DC,NC=120。，NAEC=80。，请求出/A的度数.

J［经典例题三平行基本模型之“鸡翅”模型】

【例3】（2023秋・全国•八年级专题练习）①如图1,AB//CD,则NA+NE+NC=36O。；②如图2,AB//

CD,贝1|/P=NA-NC；③如图3,AB//CD,则/E=NA+/1；④如图4,直线A8〃CZ）//斯，点O

在直线上，则Na-4+/y=18O。.以上结论正确的个数是（）

产【变式训练】

【变式1］（2023秋•八年级课时练习）（1）已知：如图（a）,直线。石〃AB.求证：ZABC+ZCDE=ZBCD；

（2）如图1）,如果点C在N2与即之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么

新的猜想？

(a)

【变式2】（2023春•广东东莞•七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（1）N8IICD猜想N8P0与48、

乙0的关系，说出理由.

（2）观察图（2）,已知/8IICD,猜想图中的NBPD与NB、乙D的关系，并说明理由.

（3）观察图（3）和(4),已知4BIICD,猜想图中的乙BPD与乙8、乙0的关系，不需要说明理由.

【变式3］（2023•全国•七年级假期作业）已知，AE//BD,AA=ZD.

（1）如图1,求证：AB//CD；

（2）如图2,作/BAE的平分线交C£）于点/，点G为A8上一点，连接FG,若/"G的平分线交线段AG

于点连接AC,ZACE=ZBAC+ZBGM,过点H作HM_LFTf交FG的延长线于点M,且

3ZE-5ZAFH=18°,求NE4F+NGMH的度数.

【经典例题四平行基本模型之“骨折”模型】

【例4】（2023・全国•九年级专题练习）如图所示,48||8/£=37。,4。=20。,则乙以2的度数为

Ar-------------------------B

CD

E

【变式训练】

【变式11（2023春・湖北黄冈•七年级校考期中）如图，已知至///组,^2。=80。/。。£=140。,则乙BCD=

【变式2］（2023春・江苏盐城•七年级景山中学校考阶段练习）如图，若ABHCD,则N1+N3-N2的度数为

E

【变式3］（2023春・全国•七年级专题练习）（1）如图，ABUCD,CF平分乙DCE,若乙DC尸=30。，"=20。,

求乙4BE的度数；

（2）如图，ABHCD,乙EBF=2乙4BF,CF平分乙DCE,若N尸的2倍与NE的补角的和为190。，求乙48E的度

数.

E

（3）如图，尸为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分乙BPG,GNUPQ,GA/平分ADGP,

若48=30。，求NA/GN的度数.

/【拓展培优】

1.（2023下•上海•七年级期中）如图，若AB〃EF,用含々、0、7的式子表示x,应为（）

A.a+P+yB.P+y-aC.180。一0一/+尸D.18O°+oc+y+P

2.（2023下•浙江温州•七年级校联考期中）如图，已知AB〃CD,点石，尸分别在A3,8上，点G,H

在两条平行线A3,CD之间，/AEG与N77/G的平分线交于点若NEGH=84。,ZHFD=20°f则

的度数为（）.

A.64°B.54°C.42°D.32°

3.（2023下・浙江杭州•七年级校联考阶段练习）如图所示，ABCD,^Z3=|3Z1,Z4=13Z2,下列各式:

@Z1+Z2=ZE@Z1+Z2+Z3+Z4=ZF③N3+N4+NF=360°④5NE+2N尸=720°

其中正确的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①④

4.（2023下•山东德州•七年级统考期中）如图，AB//DE,则下列说法中一定正确的是（）

B.Zl+Z2-Z3=180°

C.Zl+Z2+Z3=270°D.Zl-Z2+Z3=90°

5.（2023上•四川宜宾•七年级四川省宜宾市第二中学校校考阶段练习）如图，已知：ABCD,CD//EF,

AE平分/BAC,A71CE,有下列结论：@AB//EF；（2）2Z1-Z4=90°；③2N3—N2=180。；（4）

N3+g/4=135。.结论正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.（2023下•湖北武汉•七年级武汉市卓刀泉中学校考阶段练习）如图，直线。b,

180°-（Z3+Z2）=Z2-Zl=rf>0.其中/3>90。，4=50。，则N4的最大整数值是（）

D.115°

7.（2023下•重庆北倍•七年级西南大学附中校考期中）如图，已知AB〃CD,ZBEH=/CFG,EI、FK分别

为ZAEH、NCFG的角平分线，FKLFJ,则下列说法正确的有（）个.

①EH〃GF

②Z.CFK=NH

③FJ平分/GFD

④ZAEI+NGFK=90。

A.4B.3C.2D.1

8.（2021下•重庆九龙坡•七年级重庆市杨家坪中学校考期中）如图，AB〃CD,点£在8上，点G,F,

I在AB,8之间，且GE平分NCEF,BI平分NFBH,GF//BI.若NBFE=52。,则NG的度数为（）.

A.112°B.114°C.116°D.118°

9.（2023上•黑龙江哈尔滨•八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）已知：如图，AB//CD,NABG的平分

线与NCDE的平分线交于点ZM=45°,NR=64。，NE=66。,则/G=；

10.（2023上•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）如图，ABCD,BE平分NABF,

NDCF=NECF,已知ZF—NE=15。，贝I]ZABE+NDCF=度.

E

11.（2021下•湖北武汉•七年级校考阶段练习）如图，已知AB〃CD,8E和。尸分别平分NA即和/CDE,

若2/E-N尸=51°,贝IJNCZ）E=

12.（2023下•湖南长沙•七年级统考期末）（1）如图一，ABCD,NB=10。，/O=30。，则NOEB=

22

（2）如图二，ABCD,ZABF=-ZABE,ZCDF=-ZCDE,DQ,8。分别平分/GDE和NHBE,

则ZDFB,/DQB满足的数量关系为.

CD

图一

13.（2022上•广东广州•八年级广州市黄埔军校纪念中学校考开学考试）如图①所示，四边形MVBD为一张

长方形纸片.如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（/BAE、ZAEC.NECD）,则

ZBAE+ZAEC+ZECD=（度）；

N------------------F

MD

图①

（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（/BAE、ZAEF,NEF、/FCD）,则

ZBAE+ZAEF+ZEFC+NFCD=（度）；

（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（NBAE、ZAEF,NEFG、/FGC、/GCD）,

贝|J/BAE+/AEF+/EFG+ZFGC+/GCD=（度）；

（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪”刀，剪出〃+1个角，那么这”+1个角的和是（度）.

14.（2022下•山东德州•七年级统考期末）已知ABCD,AM平分NBAP,NPCM=2ZMCD,

2ZM—ZP=10°,贝NPCD=.

15.（2024上•陕西榆林•八年级校考期末）综合与探究

某学习小组发现一个结论:己知直线a.b,若直线aPc,贝帖Pc.他们发现这个结论运用很广、请你利

用这个结论解决以下问题.

已知直线ABC。，点E在A8,CD之间，点P,。分别在直线A8,CD±.,连接尸E,EQ.

⑴如图1,作运用上述结论，探究4EQ与NAPE+NCQE的数量关系，并说明理由.

（2）如图2,ZEPF=3NBPF,ZEQF=3ZDQF,求出N歹与/E之间的数量关系.

（3）如图3,直接写出Nl,Z2,NE,ZF,NG之间的数量关系：.

16.(2024上•陕西咸阳•八年级统考期末)阅读理解：

两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化.例如：如图1,MN//PQ,点C、B

分别在直线MN、PQ上,点A在直线建V、尸。之间.

M------N

A\

PT-0

图1图2

(1)求证：NCAB=ZMCA+NPBA；

类比应用：

(2)如图2,已知直线AB〃CD,P为平面内一点，连接PA,PD.若NA=50。，ZD=150°,求NAPD的

度数.

17.(2024下•江西九江•八年级校考期末)如图1,直线AB〃CD,将一把直角三角尺的直角顶点尸放在两

平行线之间，两直角边分别交AB,CD于点E,F.

图1图2

⑴请你判断ZBEP与/£»仪之间的数量关系，并说明理由；

(2)如图2,若N8E尸和NOFP的平分线相交于点G,求NG的度数；

(3)如图2,若NPEG:NBEP=NPFG:/DFP=1:n,请用含〃的式子表示NG.

18.（2024上•湖南衡阳•七年级校联考期末）如图，直线尸。〃凡N,一副直角三角板A5C,ZJE尸中,

ZACB=ZEDF=90°,ZABC=ZBT^C=45°,/DFE=30°,ZDEF=60°.

（1）若口。£尸按如图1摆放，当£7）平分/PE尸时，］U!jZDFM=；

⑵若口ABC,DEF按如图2摆放，则；

（3）若图2中"C固定.将DE尸沿着AC方向平行移动，边与直线PQ相交于点G,作NQGF和NGE4

的角平分线GH、9相交于点〃（如图3）,求NGE店的度数.

（4）若图2中固定，（如图4）将ABC绕点/以每秒5。的速度顺时针旋转，旋转时间为f秒，线段AC

与直线AN首次重合时停止旋转，当线段BC与DEE的一条边平行时，请求出旋转时间/的值.

19.（2024上•陕西汉中•七年级统考期末）【问题情境】已知，Z1=Z2,EG平分/AEC交BD于点G.

【问题探究】（1）如图1,ZMAE=45°,ZFEG=15°,4NCE=75。.试判断E尸与CD的位置关系，并说

明理由;

【问题解决】（2）如图2,ZAME=140°,NFEG=3O0,当AB〃CD时，求/NCE的度数;

【问题拓展】（3）如图2,若AB〃CD,试说明NNCE=/M4E—2/FEG.

20.(2023下・浙江•七年级专题练习)已知：直线a〃火点48在直线。上，点C,。在直线6上,

(1)连接AD,BC,BE平分NABC,OE平分ZADC,且BE,OE所在直线交于点E.

①如图1,若NABC=60。，NADC=70。，则NBED的度数为二

②如图2,设乙钻C=a,AADC=P,则NBE。的度数为一(用含有a,£的式子表示).

(2)如图3,EF斗令ZMEN,NP平分ZEND,EQ//NP,则/FEQ和的数量关系是

22

(3)如图4,若NBAPngNBAC,ZDCP=-ZACD,且AE平分NBAP,CF平分/DCP,猜想/E+/F的

结果并且证明你的结论;

平行线中的四大基本模型重难点题型专训

（4大题型+20道拓展培优）

囱【题型目录】

题型一平行线基本模型之M模型

题型二平行线四大模型之铅笔模型

题型三平行线四大模型之“鸡翅”模型

题型四平行线四大模型之“骨折”模型

41经典例题一平行基本模型之M模型】

【结论1］若AB〃CD,则NB0C=NB+NC

【结论2］若NB0C=NB+NC,则AB〃CD.

【结论3】如图所示，AB/7EF,则NB+ND=NC+NE

朝向左边的角的和=朝向右边的角的和

1由

结论3的模型也称为锯齿模型;

锯齿模型的变换解题思路

拆分成猪蹄模型和内错角拆分成2个猪蹄模型

【例1】（2023春・山东济宁•七年级统考阶段练习）如图所示，如果AB||CD，则Na、zp,4之间的关系

为（）

A.Za+zp+z.y=180°B.Za—zp+zy=180°

C.Za+Zp-Zy=180°D.Za—zp—Zy=180°

【答案】c

【分析】过E作EFIIAB,由平行线的质可得EFIICD,Za+zAEF=180°,zFED=Zy,由Np=NAEF+NFED即

可得Na、4|3、/丫之间的关系.

【详解】解：过点E作EFHAB,

.•.Za+ZAEF=18O°（两直线平行，同旁内角互补）,

•••ABHCD,

•••EFIICD,

.-.ZFED=ZEDC（两直线平行，内错角相等）,

•••z.p=z.AEF+z.FED,

又・・・Ny=NEDC,

.•.Za+zp-Zy=180°,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键.

产【变式训练】

【变式1】（2023春・全国•七年级专题练习）如图，直线a//b,一块含60。角的直角三角板ABC（zA=60°）

按如图所示放置.若41=43。，贝此2的度数为（）

A.101°B.103°C.105°D.107°

【答案】B

【分析】如图，首先证明NAMO=N2；然后运用对顶角的性质求出NANM=43。，借助三角形外角的性质求出

zAMO即可解决问题.

【详解】解：如图，•・・直线a||b,

；.NAMO=N2；

•­•zANM=zl,z.l=43°,

.■•ZANM=43°,

.•.zAMO=zA+zANM=60°+43o=103°,

.•.Z2=ZAMO=103°.

故选：B.

【点睛】该题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题;

牢固掌握平行线的性质、对顶角的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础.

【变式2】（2023秋•辽宁鞍山•八年级统考期中）如图，已知AB〃CD,8E平分NABC,DE平分，ADC,

ZBAD=S0°,ZBCD=n°,则的度数为.（用含"的式子表示）

B

40。+'°

【答案】2

【分析】首先过点E作所〃AB,由平行线的传递性得AB〃CD〃£F,再根据两直线平行，内错角相等，

ZABE=-n°

得出/RD=/应="。，ZBAD=ZADC=S0°,由角平分线的定义得出2,ZEDC=40°,再

Z.BEF=Z.ABE=—if

由两直线平行，内错角相等得出2/FED=NEDC=40°,由/BED=/BEP+/尸即即可

得出答案.

【详解】解：如图，过点E作所〃AB,则AB〃CD〃EF,

AB//CD,

.-.ZBCD=Z.ABC=n°,ZBAD=ZADC=S0°,

又♦；BE平分/ABCtDE平分/ADC,

ZABE=-ZABC=-n°

,.•22，

ZEDC=-ZADC=-x80°=40°

22,

...AB//EF//CD,

ZBEF=ZABE=-n°

2,

/FED=NEDC=40°,

/BED=ZFED+ZBEF=40°+-n°

2,

40°+-n°

故答案为：2.

【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是作出正确的辅助线，掌握平行线的性质和

角平分线的定义.

【变式3】（2023春・山东聊城•七年级统考阶段练习）已知直线/8〃CD,£尸是截线，点M在直线/8、CD

（1）如图1,连接GM,HM.求证：乙M=，4GM+乙CHM；

（2）如图2,在NG8C的角平分线上取两点M、Q,使得乙4GN=N»GQ.试判断W与NG0H■之间的数量关

系，并说明理由.

【答案】（1）证明见详解

⑵/G"=18（r-NM；理由见详解

【分析】（1）过点“作由AB〃CD,可知MV〃至〃CD.由此可知：ZAGM=NGMN,

ZCHM=4HMN,故ZAGM+ZCHM=Z.GMN+ZHMN^ZM.

(2)由(1)可知NAGM+ZCHM^ZM.再由ZCHM=Z.GHM,ZAGM=ZHGQ,可知

NM-HGQ+NGHM,利用三角形内角和是］80。，可得NGQH=180。_/用.

(1)

E

解：如图：过点反作MN〃AB,

,.,MN//AB//CD，

.ZAGM=ZGMN/CHM=/HMN、

...ZM=Z.GMN+AHMN,

...ZM=ZAGM+ZCHM.

(2)解：NGQH=180。—NM,理由如下:

如图：过点"作“N〃A3,

由(1)知NM=NAGM+NCHM,

...HM平分NGHC,

...ZCHM=ZGHM9

vzAGM=zHGQ,

•.,ZM=ZHGQ+ZGHM9

..ZHGQ+ZGHM+ZGQH=180°

•J

.ZGQH=180°-ZM

图2

【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时

这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用.

_。【经典例题二平行基本模型之铅笔模型】

【结论1】如图所示，AB〃CD,贝l]NB+NB0C+NC=360°

【结论2】如图所示，NB+NB0C+NC=360°,贝I]AB〃CD.

变异的铅笔头：拐点数n,NA+...+NC=180°X(n+1)

则/FEG的度数是（）

C.140°D.150°

【答案】C

【分析】如图所示，过点E作EKAB,过点打作HM//AB,根据平行线的性质，可求出ZKEG=ZEGD的

度数，根据垂直的性质可求NFEK的度数，由此即可求解.

【详解】解：如图所示，过点E作瓯AB,过点a作

..ABCD

•,

：,AB//EK//HM//CDi

ZBFH=ZFHM,ZDGH=ZGHM,

...Z.FHM+ZGHM=ZFHG=50°,ZBFH=30。,

...ZGHM=ZDGH=50°-30°=20°,

NEGH=30。,

...ZEGD=ZEGH+ZDGH=300+20°=50°,

・：EK〃CD,

；.NKEG=NEGD=50。,

vEFLAB,

：,ZAFE=ZEFB=90°f

・；AB//EKf

...ZAFE+NFEK=180。,

...ZFEK=180。—ZAFE=180°-90°=90°,

...ZFEG=ZFEK+ZDEG=900+50°=140°,

故选：c.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，垂直的性质，掌握以上知识是解题的关键.

■【变式训练】

【变式1】(2020下•山东烟台•七年级统考期中)如图A4//C”,贝吐1+乙2+乙3+...+”=()

A.540°B.180°nC.180°(n-l)D.180°(n+l)

【答案】C

【分析】根据题意，作。团“A耳，EBJIAB^FBJ/AB',由两直线平行，同旁内角互补，即可求出答案.

【详解】解：根据题意，作DB?//AB、,EB/AB、,FB/AB\,

,.ABJ/CBn

.Nl+N耳氏。=180。ZZ)RR+ZBRE=180oZEB.B.+ZB.B.F=1SO°

•,,o,

,Z1+ZB1B2D+ZDB2B3+ZB2B3E+/EB3B4+NB3B4F=180°x3

,.•N1+N2+N3+L+ZH=180°X(H-1);

故选：c.

【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用两直线平行同旁内角互补进

行证明.

【变式2](2021下•七年级课时练习)如图，已知AB//DE,ZB=150°,ZD=145°,则NC=—度.

【分析】过点C作CF||AB,根据平行公理得AB//c尸//ED,再依据平行线的性质求角即可.

【详解】解：过点C作C「||A8,如图：

AB//DE,

AB//CF//ED

,AB//CF,

...ZB+Z1=18O°,

=150°,

...Zl=30°,

...CFIIED,

...Z2+ZD=18O°,

.,.ZD=145°,

...Z2=35°,

.\ZBCD=Z1+Z2=65°

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是依据平行公理作辅助线，熟练运用平行线的性质解

决问题

【变式3］（2023下・甘肃庆阳•七年级校考期中）（1）问题发现：如图①，直线AB〃CE）,E是AB与CD之

间的一点，连接BE,CE,可以发现NB+NC=NBEC.

请把下面的证明过程补充完整:

B

B

图②图③

证明：过点E作所〃

AB//CD（已知），EF//AB（已作）,

.■.EF//CDQ）.

:.NC=NCEFI

EF//AB,

NB=），

NCEF+NBEF=NBEC,

ZB+ZC=ZBEC（等量代换）.

（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置,其他条件不变，进一步探究发现：ZB,/C,ZBEC

之间的关系是

（3）解决问题：如图③，AB//DC,NC=12O。,NAEC=80。，请求出/A的度数.

【答案】（1）平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；々EF；两直线平行，内错角相

等；（2）ZB+ZC+Z5EC=360°.（3）20°.

【分析】（1）过点E作跖〃根据平行线的性质进行选填即可;

（2）利用（1）中的方法和两直线平行，同旁内角互补可得到/3+/C+N3EC=360。；

⑶作所〃如图③，利用平行线的性质得到“+NCEF=180。，NBAE=NAEF,则/CEF=60。，所

以/的=20°,从而得到/A的度数.

【详解】（1）证明：过点£作E尸〃四，如图①,

图①

--AB//CD（已知），EF//AB（辅助线的作法），

■■EF//CD（平行于同一条直线的两直线平行），

:.NC=NCEF（两直线平行，内错角相等），

VEF//AB（作图），

:./B=/BEF,（两直线平行，内错角相等），

:.NB+NC=NCEF+NBEF（等量代换），

即NB+NC=NBEC.

故答案为：平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；^BEF.两直线平行，内错角相等.

（2）解：作即〃A8,如图②，

图②

<AB〃CD,

,\EF//CDf

/.ZC+ZC£F=180°,ZB+ZBEF=180°,

/.ZB+ZC+/BEC=360°.

故答案为：ZB+ZC+ZBEC=360°.

图③

YAB〃DC,

二.EF1/CD,

:.NC+NCEF=180°,/BAE=ZAEF,

/.ZCEF=180°-120°=60°,

-心=*-ACEF=80。-60。=20。，

ZBAE=20°

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质.熟练掌握性质和判定是做题的关键.

41经典例题三平行基本模型之“鸡翅”模型】

【例3】（2023秋•全国•八年级专题练习）①如图1,AB//CD,则NA+/E+NC=360。；②如图2,AB//

CD,贝=③如图3,AB//CD,则NE=NA+/1；④如图4,直线A8〃C£>//ER点O

在直线EF上，则Na-"+Ny=180。.以上结论正确的个数是（）

图4

图1图2图3

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】①过点E作直线EF〃AB,由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；

②如图2,先根据三角形外角的性质得出N1=NC+NP,再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；

③如图3,过点E作直线EFIIAB,由平行线的性质可得出NA+NAEC-41=180。，即得乙^瓦：=180。+41-NA；

④如图4,根据平行线的性质得出Na=NBOF,ZY+ZCOF=180°,再利用角的关系解答即可.

【详解】解：

______B

V

图1图2

①如图1,过点E作直线EFIIAB,

vABIICD,

.-.ABIICDHEF,

.-.zA+zl=180°,z2+zC=180°,

.-.zA+zB+zAEC=360°,

故①错误；

②如图2,,・21是4CEP的外角，

.-.zl=zC+zP,

vABIICD,

••・NA=Z1,

BPzP=zA-zC,

故②正确；

③如图3,过点E作直线EF||AB,

•­•ABIICD,

.­•ABIICDHEF,

.,zA+N3=180°,N1=N2,

••.ZA+ZAEC-41=180°,

即NAEC=18O°+N1-NA,

故③错误；

④如图4,•••ABIIEF,

.,.za=z.BOF,

vCDIIEF,

.•.Zy+ZCOF=180°,

vzBOF=zCOF+zp,

••.zCOF=z.a-z.p,

.,.zy+za-40=180°,

故④正确；

综上结论正确的个数为2,

故选：B.

【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线

是解答此题的关键.

声【变式训练】

【变式1］（2023秋•八年级课时练习）（1）已知：如图（a）,直线。求证：ZABC+NCDE=NBCD；

（2）如图（6）,如果点C在与之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么

新的猜想？

BB

(a)

【答案】（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，ZABC-NCDE=NBCD,见解析

【分析】（1）由题意首先过点C作CFIIAB,由直线ABIIED,可得AB||CF||DE,然后由两直线平行，内错

角相等，即可证得乙ABC+4CDE=4BCD；

（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得乙ABC=4BFD,然后根据三角形外角的性质即可证得

ZABC-ZCDE=Z.BCD.

【详解】解：（1）证明：过点C作CFIIAB,

vABHED,

.-.ABIIEDHCF,

.*.ZBCF=ZABC,ZDCF=ZEDC,

.*.Z.ABC+ZCDE=ZBCD；

(2)结论：ZABC-ZCDE=ZBCD,

证明：如图：

vABIIED,

/.ZABC=ZBFD,

在△DFC中，ZBFD=ZBCD+ZCDE,

•••zABC=zBCD+zCDE,

•••zABC-zCDE=zBCD.

若点C在直线AB与DE之间，猜想NABC+』BCD+ZCDE=360°,

vABHEDIICF,

,ZABC+NBCF=180°,ZCDE+NDCF=180°,

.ZABC+/BCD+ZCDE=ZABC+ZBCF+ZDCF+ZCDE=360

【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注

意掌握辅助线的作法.

【变式2］（2023春・广东东莞•七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（1）4B||CD,猜想NAP。与乙8、

的关系，说出理由.

（2）观察图（2）,已知/8IICD,猜想图中的N8P。与NB、乙0的关系，并说明理由.

（3）观察图（3）和（4）,已知N8IICZ）,猜想图中的乙与N8、乙£）的关系，不需要说明理由.

【答案】（1）zB+zBPD+zD=360°,理由见解析；（2）zBPD=zB+zD,理由见解析；（3）NBPD=ND-NB或

ZBPD=ZB-ZD,理由见解析

【分析】（1）过点P作EFIIAB,根据两直线平行，同旁内角互补即可求解；

（2）首先过点P作PEIIAB,由ABIICD,可得PE||AB||CD,根据两直线平行，内错角相等，即可得41=ZB,

N2=ND,贝阿求得4BPD=NB+ND.

（3）由ABIICD,根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得NBPD与NB、ND的关系.

【详解】解：（1）如图（1）过点P作EFIIAB,

AB

.-.zB+zBPE=180°,

vABIICD,EFHAB,

.-.EFIICD,

.-.ZEPD+ZD=18O°,

/.ZB+ZBPE+ZEPD+ZD=36O°,

zB+zBPD+zD=360°.

(2)zBPD=zB+zD.

理由：如图2,过点P作PE||AB,

AB

(2)

vABIICD,

.-.PEHABHCD,

.,•z.l=z.B,z2=z.D,

zBPD=z1+z2=zB+zD.

理由：・・・AB||CD,

.,•z.l=zD,

vzl=zB+zBPD,

.,.zD=zB+zBPD,

即NBPD=ND-NB；

如图(4),zBPD=zB-zD.

(4)

理由：TAB||CD,

.,.zl=zB,

•■•zl=zD+zBPD,

.•.ZB=ZD+ZBPD,

BPzBPD=zB-zD.

【点睛】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质.此题难度不大，解题的关键是注意掌握平行线的

性质，注意辅助线的作法.

【变式3］（2023•全国•七年级假期作业）已知，AE//BD,ZA=ZD.

（1）如图1,求证：AB//CD-,

（2）如图2,作N2AE的平分线交。于点F,点G为A8上一点，连接FG,若NCRG的平分线交线段AG

于点“，连接AC,若ZACE=NBAC+NBGM,过点H作碗，切交FG的延长线于点加，且

3ZE-5ZAFH^18°,求NEAF+NGMW的度数.

【答案】（1）见解析；（2）72。

【分析】（1）根据平行线的性质得出NA+/B=180。，再根据等量代换可得/3+/。=180。，最后根据平行线

的判定即可得证；

（2）过点E作砂“CD,延长DC至Q,过点M性MNHAB,根据平行线的性质及等量代换可得出

NECQ=NBGM=ZDFG再根据平角的含义得出NECF=ZCFG,然后根据平行线的性质及角平分线的定

义可推出ZBHF=ZCFH,ZCFA=ZFAB.设ZFAB=a,Z.CFH=£,根据角的和差可得出ZAEC=2ZAFH,

结合已知条件3//庇-5/47阳=180。可求得/4尸〃=18。，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可得出

答案.

【详解】（1）证明：•.•AE//3D

/.ZA+ZB=180°

ZA=ZD

.•.ZB+ZD=180°

:.AB//CD.

（2）过点E作石尸”CD,延长DC至Q,过点M作

■:AB//CD

ZQCA=ZCAB/BGM=NDFG,NCFH=/BHF,ZCFA=FAG

VZACE=ZBAC+/BGM

/.NECQ+ZQCA=ABAC+ZBGM

ZECQ=ZBGM=ZDFG

•・・ZECQ+ECD=180°,ZDFG+CFG=180°

.\ZECF=ZCFG

AB//CD

:.AB//EP

/PEA=NEAB,ZPEC=ZECF

VZAEC=ZPEC-ZPEA

ZAEC=Z.ECF-/EAB

,ZECF=ZAEC+NEAB

AF平分

ZEAF=/FAB=-ZEAB

2

FH平分NCbG

，ZCFH=ZHFG=-/CFG

2

QCD//AB

ZBHF=ZCFH,ZCFA=ZFAB

^ZFAB=a,ZCFH=/3

ZAFH=NCFH—NCFA=NCFH—NFAB

:.ZAFH=/3-aZBHF=ZCFH=13

ZECF+2ZAFH=ZAEC+/EAB+2ZAFH=ZAEC+2/3

ZECF+2ZAFH=N£+2ZBHF

,\ZAEC=2ZAFH

•/3ZAEC-5ZAFH=180°

:.ZAFH=18°

,FH_LHM

:.ZFHM=90°

/GHM=90。—。

VZCFM+ZNMF=180°

/.ZHMB=AHMN=90°-/3

ZEAF=ZFAB

ZEAF=ZCFA=ZCFH-ZAFH=/7-18°

ZEAF+ZGMH=/7—18。+90。一£二72。

.•.NEAF+NGMH=72。

【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是

解此题的关键.

,41经典例题四平行基本模型之“骨折”模型】

【例4】（2023・全国•九年级专题练习）如图所示,/和。。/£=37。,乙。=20。,则乙以5的度数为

【答案】57°

【分析】根据三角形内角和180。以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如

果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可.

.・2E=37。,4C=20°,

.­.zCFE=180o-37°-20o=123°,

.-.ZAFD=123°,

vABHCD,

.-.ZAFD+ZEAB=18O°,

.­.ZEAB=18O°-123°=57°,

故答案为：57。.

【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键.

■【变式训练】

【变式1］（2023春•湖北黄冈•七年级校考期中）如图，已知乙42c=80。,4。。£=140。，则乙BCD=

【答案】40。

【分析】延长交BC于M,根据两直线平行，内错角相等证明ZBMD=NABC,再求解N。血,再利用

三角形的外角的性质可得答案.

【详解】解：延长E。交BC于M,

...AB//DE,

.•.ZBMD=ZABC=8O°,

ZCMD=180。一ZBMD=100。：

又•2CDE=NCMD+NC,

...ZBCD=/CDE—NCMD=140°-100°=40°

故答案是：40°

【点睛】本题考查了平行线的性质.三角形的外角的性质，邻补角的定义，掌握以上知识是解题的关键.

【变式2］（2023春•江苏盐城•七年级景山中学校考阶段练习）如图，若AB/ICD,则N1+/3-N2的度数为

E

【答案】180°

【分析】延长EA交CD于点F,贝IJ有N2+NEFC=N3,然后根据相〃8可得N1NEFD,最后根据领补角及

等量代换可求解.

【详解】解：延长EA交CD于点F,如图所示：

ABHCD,

•.zl=zEFD,

z2+zEFC=z3,

Z£TC=Z3-Z2,

ZEFC+ZEFD=180。,

N1+N3—N2=180°：

故答案为180°.

【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是

解题的关键.

【变式3］（2023春・全国•七年级专题练习）（1）如图，ABUCD,CF平分4DCE,若乙DCF=30。，"=20。,

求乙43E的度数;

（2）如图，ABUCD,AEBF=2乙ABF,CF平分乙DCE,若乙F的2倍与乙£的补角的和为190。，求乙4AB的度

数.

（3）如图，尸为（2）中射线3E上一点，G是CD上任一点，PQ平■分乙BPG,GN//PQ,GM平分乙DGP,

若乙8=30。，求NMGN的度数.

D

4B

M

【答案】(1)ZABE=4O°；(2)ZABE=3O°；(3)zMGN=15°.

【分析】(1)过E作EM〃AB,根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可；

(2)过E作EM〃AB,过F作FN〃AB,根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程

解答即可；

(3)过P作PL〃AB,根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相

邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可.

【详解】解：(1)过E作EM〃AB,

图1

・・・AB〃CD,

・・・CD〃EM〃AB,

.-.ZABE=ZBEM,zDC