中考数学重难点题型之函数专练：二次函数与图形问题（解析版）

专题04二次函数与图形问题

考法一：定长围面积最大

1.（2022•辽宁沈阳•统考中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个"日"字型框架

ABCD,铁丝恰好全部用完.

⑴若所围成矩形框架/BCD的面积为144平方厘米，则N2的长为多少厘米?

⑵矩形框架ABCD面积最大值为平方厘米.

【答案】（1）/5的长为8厘米或12厘米.

（2）150

若里厘米，然后根据题意可得方程

【分析】（1）设的长为x厘米，则有AO=

7-144,进而求解即可;

60-3r3

（2）由（1）可设矩形框架/8CO的面积为S,则有5=^—犬=一］（无一10）9+150,然

后根据二次函数的性质可进行求解.

【详解】（1）解：设N3的长为x厘米，则有AD=W厘米，由题意得:

60-3x…

------元=144,

2

整理得：尤2—20X+96=0,

解得：玉=8,x2=12,

60-3%八

团-------->0,

2

EI0<x<20,

回龙1=8,%=12都符合题意，

答：N8的长为8厘米或12厘米.

（2）解：由（1）可设矩形框架/BCD的面积为S平方厘米，则有:

S=—~--x=——x2+30x=—3（无一10）~+150,

222V'

3

0—<0,且0<无<20,

2

回当x=10时，S有最大值，即为S=150；

故答案为：150.

【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量

关系.

2.(2022・山东威海•统考中考真题)某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三

边用木栅栏围成.已知墙长25m,木栅栏长47m,在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口

(另选材料建出入门).求鸡场面积的最大值.

出入口

【答案】288m2

【分析】设与墙平行的一边为xm(x<25),则与墙垂直的一边长为jm,设鸡场面积

为》m2,根据矩形面积公式写出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求出最值即

可.

【详解】解：设与墙平行的一边为xm(x<25),则与墙垂直的一边长为jm,设鸡场

面积为ynA

根据题意，得y=x.出丁।=一；/+24x=-i(x-24)2+288,

回当x=24时，y有最大值为288,

回鸡场面积的最大值为288m2.

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确列出二次函数解析式.

3.如图，某养殖户利用一面长20加的墙搭建矩形养殖房，中间用墙隔成两间矩形养殖

房，每间均留一道1加宽的门.墙厚度忽略不计，新建墙总长34加，设的长为x米，养殖

房总面积为S.

I*-------------------20m-------------------►!

~^"1^1\D

B'——J--------------L

⑴求养殖房的最大面积.

⑵该养殖户准备400元全部用于购买小鸡和小鹅养殖，小鸡每只5元，小鹅每只7元，并

且小鸡的数量不少于小鹅数量的2倍.该养殖户有哪几种购买方案？

【答案】⑴108平方米

（2）5种购买方案.

小鹅05101520

小鸡8073665952

【分析】（1）根据矩形的面积列出函数解析式，再根据函数的性质求最大值；

（2）设买小鸡a只，小鹅6只，根据5a+76=400,且位26,求出a,b的整数解即可.

【详解】（1）解：由题意得：

S=x（34-3x+2）=x（36-3x）=-3『+36x=-3（x-6）2+108,

回-3<0,

团当x=6时，S有最大值，最大值为108,

国养殖房的最大面积为108平方米；

（2）设买小鸡。只，小鹅6只，

则5。+76=400,且a>2b,

400—7b,

回〃=-------=80------->2b,

55

则陪且於。，

又加，6都为非负整数,

勖可为0,5,10,15,20,

此时a对应为80,73,66,59,52,

回该养殖户共有5种购买方案：方案1：小鸡80只，小鹅0只；方案2：小鸡73只，小鹅

5只；方案3：小鸡66只，小鹅10只；方案4：小鸡59只，小鹅15只；方案5：小鸡52

只，小鹅20只.

【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据矩形的面积列出函数解析式.

4.（2022・江苏无锡•统考中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资

源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m）,另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把

它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为xm（如

图）.

⑴若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；

⑵当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

【答案】⑴x的值为2m；

（2）当x=g时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为号m2

【分析】（1）由3C=x,求得5D=3x,AB=8-x,利用矩形养殖场的总面积为36m?，列一元

二次方程，解方程即可求解；

（2）设矩形养殖场的总面积为S,列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根

据二次函数的性质求解即可.

【详解】（1）解：05C=x,矩形CZ）£F的面积是矩形BE面积的2倍，

SCD=2x,

EL8D=3x,AB=CF=DE=^（2^-BD）=8-x,

依题意得：3x（8-x）=36,

解得：xi=2,芯=6（不合题意，舍去），

此时x的值为2m；

（2）解：设矩形养殖场的总面积为S,

由（1）得：S=3x（8-x）=-3（x-4尸+48,

团墙的长度为10,

0O<3x<lO,

10

0O<x<—,

3

0-3<0,

取V4时，S随着x的增大而增大，

团当x==T时，S有最大值，最大值为一3x（?-4）2+48=个^,

即当X=乎时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为当m2.

33

【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练

掌握二次函数的性质是解题的关键.

5.北重一中计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，墙的最大可用长度

为12米.另三边用总长为26米的木板材料围成.车棚形状如图中的矩形ABCZK为了方

便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门。

⑴求这个车棚的最大面积是多少平方米？此时与AD的长分别为多少米？

⑵如图2,在（1）的结论下，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的

小路，使得停放自行车的面积为70平方米，那么小路的宽度是多少米？

【答案】（1）最大面积为96平方米，此时AD=12米，AB=8米；

⑵小路的宽为1米

【分析】（1）设4）为x米，则A2为26+；7米,列出车棚面积的函数表达式，求出x

的取值范围，再求出函数的最大值，同时求出/。和N8的长即可；

（2）设小路宽为加米.根据题意列出方程，解方程即可.

【详解】（1）解：设AD为x米，则A3为26+；一*米,

木艮据题意得：5=X-26+^~%=-1（%-14）2+98,

26+2—x

-------->0

2

由题意得x<12,

x>0

解得0<K12,

=--<0,开口向下，

2

回当x<14时，S随x的增大而增大，

0O<x<12,

回当x=12时，S有最大值，5鹏=96,

此时AD=x=12,4B=26+2_-=8,

2

答：最大面积为96平方米，此时AD=12米，AB=8米.

(2)解：设小路宽为加米.

根据题意得(12-2m)(8-m)=70

解得叫=13(舍)，m=1

答：小路的宽为1米.

【点睛】此题主要考查了二次函数和一元二次方程的应用，读懂题意，列出函数表达式和

一元二次方程是解题的关键.

6.(2022・湖南湘潭,统考中考真题)为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的

意见》，某校准备在校园里利用围墙(墙长12m)和21nl长的篱笆墙，围成回、回两块矩形劳

动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费

篱笆墙)，请根据设计方案回答下列问题：

41/〃〃〃〃〃〃〃/〃//〃〃///〃/<R

H

F

I区Il区

DG

图①图②

(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在园区中留一个宽度AE=1m的水池且需

保证总种植面积为32m2,试分别确定CG、DG的长；

(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问8c应设计为多长？此时最

大面积为多少？

【答案】(1)CG长为8加，0G长为4"?

7147

⑵当BC=-m时，围成的两块矩形总种植面积最大=丁/

【分析】(1)两块篱笆墙的长为12m,篱笆墙的宽为/O=G8=8C=(21：2)+3=3m,设CG为

am,Z)G为(12-a)m,再由矩形面积公式求解；

(2)设两块矩形总种植面积为y,2c长为xm,那么4D=77G=8C=xm,DC=(21-3x)m,由

题意得，围成的两块矩形总种植面积最大=2CxDC,代入有关数据再把二次函数化成顶点

式即可.

【详解】(1)解：两块篱笆墙的长为12m,篱笆墙的宽为4Q=G//=5C=(21-12H3=3m,

设CG为am,DG为(12-a)m,那么

ADxDC-AExAH=32

即12x3-lx(12-a)=32

解得：a=8

团CG=8m,Z)G=4m.

(2)解：设两块矩形总种植面积为yrM,5c长为xm,那么4Z)=//G=5C=xm,£>C=(21-

3x)m,由题意得，

两块矩形总种植面积SCxDC

即y=x-(21-3x)

0y=-3x2+21x

,7㈠147

=-3(x-—)2+-----

24

团21-3x412

0x>3

7147

回当BCugm时，

【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系列出

方程.

考法二：动点函数图象判断

7.(2022•山东荷泽•统考中考真题)如图，等腰RtABC与矩形OE/G在同一水平线上，

AB=DE=2,DG=3,现将等腰RtABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C

到达DE之时开始计算，至48离开G尸为止.等腰RtABC与矩形DEFG的重合部分面积

记为乃则能大致反映y与x的函数关系的图象为()

【答案】B

【分析】根据平移过程，可分三种情况，当OWx<l时，当14x<3时，当3VxW4时，利

用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图

象即可求解.

【详解】过点C作CW48于N,DG=3,

在等腰RtABC中，AB=2,

:.CN=\,

①当OWx<l时，如图，CM=x,

PQ=2x,

11

92

.,.）二].PQCM=—x2x-x=xf

0O<x<l,y随x的增大而增大;

②当l〈x<3时，如图，

y=SABC=—x2xl=l,

团当14x<3时，y是一个定值为1；

③当3VxW4时，如图，CM^x-3,

y=~AB-CN-^PQ-CM=^x2xl-^x2x(x-3)2=l-(x-3)\

当x=3,y=l,当3a<4,y随x的增大而减小，当x=4,y=0,

结合ABCD选项的图象，

故选：B.

【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分

情况讨论是解题的关键.

8.(2022•辽宁鞍山•统考中考真题)如图，在RtABC中，ZACB=90°,ZA=30°,

AB=4y/3cm,CD±AB,垂足为点。，动点〃从点A出发沿AB方向以括cm/s的速度匀

速运动到点8,同时动点N从点C出发沿射线。C方向以Icm/s的速度匀速运动.当点M

停止运动时，点N也随之停止，连接MN,设运动时间为人，一脑⑦的面积为Sen?,则

下列图象能大致反映S与r之间函数关系的是()

【答案】B

【分析】分别求出〃在AD和在BD上时AMVD的面积为S关于t的解析式即可判断.

【详解】解：幽4c3=90°,EL4=30°,AB=4小,

005=60",BC=3AB=26,AC=-J3BC=6,

0CDEL4S,

fflCD=_AC=3,AD=y/3CD=3-^3,BD=—BC=yfi,

国当Af在40上时，0</<3,

MD=AM-AD=3A/3-V3Z,DN=DC+CN=3+t,

EIS=；MZ）.Z）N=g（36_4）（3+f）=_1严+竽，

当M在上时，3〈出4,

MD=AD-AM=y/3t-3y/3,

!3S=；MDZ）N=g（®_3@（3+r）=¥〃一竽，

故选：B.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广

泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问

题的能力.

9.（2022・广东东莞・东莞市万江第三中学校考三模）如图，等边..ABC的边长为6,尸沿

CfBfA运动，。沿3->AfC运动，且速度都为每秒2个单位，VBPQ面积为>,则

y与运动时间x秒的函数的图象大致为（）

【答案】C

【分析】分两个阶段进行计算：当尸在8C上运动时，即当0043时，如图，当尸在N8上

运动时，即当3<xS6时，如图，分别根据三角形面积公式代入求面积即可，得到解析式后

确定函数图象形状，作判断.

【详解】解：根据题意得：PC=BQ=2x,

如图，当0WxV3时，BP=6-2x,过点。作。。勖C于点。，

团曲8c是等边三角形，

0/2=60°,sin60°=变，

BQ

2

回y=SZRPQ=3PB.QD=—^6_2x),,\/3x=—A/3X+35/3x,

当34x46时，BP=AQ=2x-6,过点0作。于点E,

ffl£e=y--（2x-6）=V3（x-3）,

回>=SAW。=/（2尤—6）•君（彳-3）=—3）,

综上所述，当04x43时，y=-A/3X2+3y/3x,y是x的二次函数，且开口向下；当

3WxW6时，y=V3（%-3）2,y是x的二次函数，且开口向上，

故选：C

【点睛】本题考查了两个动点运动的问题，明确动点运动的距离和位置是关键，利用数形

结合的思想，把不同阶段时面积的解析式求出即可作出判断.

10.（甘肃•模拟预测）如图，矩形4BCD中，48=3,BC=4,动点尸由点/出发，沿

8fC的路径匀速运动，过点尸向对角线NC作垂线，垂足为0,设西/5。的面

积为丹则下列图象中，能表示/与x的函数关系的图象大致是（）

【答案】A

【分析】根据勾股定理可得/C=5,然后分两段讨论：当点尸在上时，当点P在BC

上时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解.

【详解】解：在矩形/8CD中，48=3,BC=4,05=90°,

由勾股定理得NC=5,

根据点尸的运动，需要分段讨论：

①当点尸在上时，

ELPgEWC,

EEL4QP=05=90°,

圆册4C=曲IC,

圆明尸。回胤4c5,

即0：BC=AQ^AB=AP^ACf

0P0：AQ：AP=BC：AB：AC=4：3：5,

^\AQ=x,

45

^\PQ=—x,AP=—x；

59

此时BP0<0<x<-,

i49c

回y==,是开口向上的一段抛物线;

233

当点。在上时，

SP02L4C,

瓯。。尸=鲂=90°,

团勖。=勖。，

团团。尸0团团NC5,

^C^AB=PQ^CB=CP^AC,

回。0：PQ：CP=BC：AB：AC=4：3：5,

^\AQ=x,

团C0=5-x,

35

^\PQ=—（5-x）＞AP=—（5-x）；

44

59

此时0＜—（5-工）＜4,即一＜xW5,

45

By=---（5-）X=--X2+—X,开口向下的抛物线，

24'X，88

故选：A.

【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信

息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解

决问题的能力.解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出了与x的函数关系式.也涉及

到了相似三角形的判定和性质，抛物线的性质.

11.（2022•辽宁锦州•中考真题）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E,点产

分别为边AD,8中点，点。为正方形的中心，连接OE,。尸，点尸从点£出发沿

E-O—F运动,同时点。从点2出发沿8c运动，两点运动速度均为lcm/s,当点尸运动

到点尸时，两点同时停止运动，设运动时间为rs,连接V8PQ的面积为Sen?,

下列图像能正确反映出S与f的函数关系的是（）

AED

【答案】D

【分析】分040和1〈区2两种情形，确定解析式，判断即可.

【详解】当04档1时，回正方形/BCD的边长为2,点。为正方形的中心，

团直线EO垂直BC,

回点P到直线BC的距离为2-6BQ=t,

11,

回s=a（2-+.；

当1〈名2时，团正方形4BCZ）的边长为2,点尸分别为边AD,CO中点，点。为正方形

的中心，

团直线ai38C,

回点尸到直线BC的距离为1,BQ=t,

as4；

故选D.

【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面

积，从而确定解析式是解题的关键.

12.（2022•辽宁盘锦•中考真题）如图，四边形/BCD是正方形，N8=2,点P为射线

上一点，连接。尸，将。尸绕点尸顺时针旋转90。得到线段EP,过3作£尸平行线交DC延

长线于足设长为x,四边形5EE尸的面积为外下列图象能正确反映出〉与无函数关

系的是（）

【答案】D

【分析】方法一：根据P点在C点右侧时，2尸越大，则四边形2回的面积越大，即可以

得出只有。选项符合要求；

方法二：分两种情况分别求出y与x的关系式，根据x的取值判断函数图象即可.

【详解】方法一：由题意知，当尸点在C点右侧时，8尸越大，则则四边形尸的面积越

大，

故。选项符合题意；

方法二：如下图，当尸点在8c之间时，作以曲BC于8,

EBZ)PE=90°,

^\DPC+WPH=90°,

回皿尸c+0Poe=90°,

'3EEPH=^PDC,

在E£7狙和即DC中,

'Z.EPH=APDC

<ZPHE=ZDCP,

EP=PD

^EPH^PDC(AAS)f

^\BP=x,AB—BC—2,

^PC=EH=2-x,

回四边形AP斯的面积>>=无(2-x)=-X2+2X,

同理可得当尸点在C点右侧时，EH=PC=x-2,

综上所述，当0〈尤<2时，函数图象为开口方向向下的抛物线，当x>2时，函数图象为开

口方向向上的抛物线，

故选：D.

【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，熟练根据题意列出函数关系式是解题的关

键.

13.（2022・辽宁•统考中考真题）如图，在等边三角形4BC中，BC=4,在必EDE产中，

血）尸=90。，附=30。，DE=4,点2,C,D,E在一条直线上，点C,。重合，0Age沿

射线。E方向运动，当点3与点E重合时停止运动.设a43C运动的路程为X,的2c与

尺间0跖重叠部分的面积为S,则能反映S与x之间函数关系的图象是（）

s

C.o'2~4D.o'2~4

【答案】A

【分析】分三种情形团①当0<xW2时，重叠部分为回CDG,②当2<x“时，重叠部分为

四边形/G0C,③当4<立8时，重叠部分为鲂EG,分别计算即可.

【详解】解：过点/作/M03C,交3C于点W,

在等边EL43c中，EL4C5=60°,

在RZQDE/中，瓯=30。，

aaFED=60°,

函4c8=EFE。，

^AC//EF,

在等边E1XBC中，AM^BC,

EIW—C"=；8c=2,AM=6BM=20

此A8C=JBC・AM=46,

①当0<x42时，设4C与。尸交于点G,此时EL48c与R他。£尸重叠部分为EICDG,

由题意可得CD=x,DG=y/3x

M=gC£)・£)G=3x4

22

②当2<x"时，设N3与。尸交于点G,此时a48c与我硕E尸重叠部分为四边形

05=-X—N+40%-473=-—(%-4)2+46,

22

③当4<建8时，设4B与EF交于点G,过点G作GM勖C,交5c于点

此时胡BC与上亚历尸重叠部分为勖EG,

^\BE=x-(x-4)-(%-4)=8-x,

回口/=4-

在上勖GM中，GM=6(4-gx),

I2S=—BE*GM——(8-x)x百(4--x),

回5=组(x-8)2,

4

综上，选项A的图像符合题意，

故选：A.

【点睛】本题考查了特殊三角形的性质，二次函数的图形等知识，灵活运用所学知识解决

问题，利用割补法求多边形的面积是解题的关键.

14.(2022・辽宁锦州•统考中考真题)如图，在RJABC中，ZABC=90°,AB=2BC=4,动

点尸从点/出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段A2匀速运动，当点P运动到点3

时，停止运动，过点尸作尸QIA3交AC于点0,将△AP。沿直线PQ折叠得到A'PQ,

设动点尸的运动时间为1秒，一APQ与二ABC重叠部分的面积为S,则下列图象能大致反映

S与，之间函数关系的是（）

【答案】D

【分析】由题意易得AP=r,tanZA=1,贝U有PQ=5,进而可分当点P在中点的左

侧时和在AB中点的右侧时，然后分类求解即可.

【详角军】解：回ZABC=90°,AB=2BC=4,

八

团tanNA=—1,

2

由题意知：AP=t,

团PQ=APtanZA=—t,

由折叠的性质可得：AT=AP,ZAPQ=ZAfPQ=90°,

当点尸与45中点重合时，则有，=2,

当点尸在45中点的左侧时，即0W，＜2,

2

0-AP0与ABC重叠部分的面积为SA闸=^A'P-PQ=^t-t=^t.

当点尸在N2中点的右侧时，即2W/W4,如图所示:

由折叠性质可得：A'P=AP=t,ZAPQ=ZA'PQ=90°,tanZA=tanZAf=-,

2

SBP=4-t,

IUA8=27—4,

团BD=A^B,tanNA'=%—2,

回AP。与.ABC重叠部分的面积为

S梯形诙2=；（8。+尸。）,尸8=；。+,-2｝（4-。=-：/+书-4；

综上所述：能反映“4尸。与ABC重叠部分的面积S与f之间函数关系的图象只有D选

项；

故选D.

【点睛】本题主要考查二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函数

是解题的关键.

15.(2022•辽宁本溪•统考三模)如图，在A48C中，EL45C=90°,EL4C5=30°,AB=2,BD

是/C边上的中线，将△BCD沿射线C3方向以每秒百个单位长度的速度平移，平移后的

三角形记为△8/G。/,设△8/GD与△48。重叠部分的面积为乃平移运动时间为x,当点

。与点3重合时，△8/GD停止运动，则下列图象能反映y与x之间函数关系的是

()

【答案】A

【分析】分类讨论：当尤=1时利用平移的性质，构造相似三角形即可求出y值，可解决

C、D；当14V2时，利用三角形相似面积比是相似比的平方，可表示出y的函数解析

式，利用函数图像的性质，即可解决A、B.

【详解】解：如图：

在Rt_ABC中，ZACB=30°,AB=2,

0AC=4,BC=26,

勖。是NC边上的中线，

0AB=AD=CD=BD=2,

回沿射线CB方向平移得到△sc。/,速度为每秒指个单位长度,

回CD=CR=2,CD〃CD,

当犬=1时，BB\=CC]=BC]=K,

^CD//CXDX

三=阻=胆①二也」

BCCDBDADAB2?

回AB=AD=CD=BD=2,

国HD]=HG=BD]=1,

团5”是GA边上的中线，

X

回SBD1H=]SBCR=52XBD[xBC[=—xlxA/3=,

即x=l,y力,

4

当1<XV2时，CG=&，

0BC]=2^/3—A/3X,

团CD〃(JR,

BCCDBDADAB2

回口皿=（2-疗,

q72

°ABD/

回SARD=_S=一x—x2x2A/3=5/3,

ABD2ADBC22,'7

回5初=区立、6，

."HD]4、

回SBHD\=尤2—J^X+，

5\y=~-x2-43x+^3,

当1<XV2时，函数图像是开口向上抛物线.

可判断A正确，B错误.

A、l<x<2图像是开口向上的抛物线的一部分，故选项正确，符合题意；

B、当1<*42时，图像是一条线段故选项错误，不符合题意；

C、当x=l时，y=也,故选项错误，不符合题意；

4

D、当x=l时，y力,故选项错误，不符合题意.

-4

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形相似比、三角形面积比是相似比的平方、平移的性质等知

识，灵活运用相似三角形的性质和准确的分析图像是解决本题的关键.

16.（2022春•九年级课时练习）如图，及△ABC中，ZC=90°,AC=4cm,5c=3cm,

动点P沿折线CA-AB运动，到点8停止，动点0沿历1-AC运动到点C停止，点P运动

速度为2cm/s,点。的运动速度为2.5cm/s,设运动时间为小），△AP。的面积为S,则S

与《0孕<4.5）对应关系的的图象大致是（）.

【答案】B

【分析】分别求出当04/42时，2<区3.6时和3.6<Y4.5时S关于/的函数解析式，再

根据解析式判断函数图象即可.

【详解】解：由题意得：4B=《BC2+AC2=/32+42=5cm，

当0W/W2时，点尸在ZC上，点0在N5上，

则AP=4C-CP=4-2t,AQ=AB-BQ=5-25t,

如图，过点。作0朋区4c于

QM”即上二

0sinEL4=——

AQAB5-2.5t5

^QM=3-1.5r,

113

此时5=24尸.叫=5、（4-2"（3—1.57）=5产一61+6,

当2</W3.6时，点尸在NB上，点0在/C上,

则AP=2»—4,AQ=2.5t-5,

如图，过点尸作尸NEL4c于N,

此时S=gAQJN=gx（2.5—5）[^^]=|〃_6f+6,

3.=-6=2

回二次函数5=彳/-6/+6的图象开口向上，对称轴为一。3一，

22x-

3

回当0W/V3.6时，函数图象为二次函数S=5/一6f+6的图象的一部分，

当3.6</44.5时，点。与点C重合，点尸在A8上，

1“八小，1，（6/-12^1224

此时SujAC•尸N=^X4X|---=—r--

回当3.6</（4.5时，函数图象为直线的一部分，

故选：B.

【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，正确表示出△AP。的面积并能够根据函数解析

式选择相应的函数图象是解题的关键.

17.（2022・辽宁抚顺・统考三模）如图，在矩形48CD中，AB=2cm,BC=4百cm,E是AD

的中点，连接BE,C瓦点尸从点2出发，以百cm/s的速度沿2c方向运动到点C停止，

同时点。从点8出发，以lcm/s的速度沿BE-EC方向运动到点C停止，若站PQ的面积为

y（cm2）,运动时间为x（s）,则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）

848x

o\I4b.o\I4C.o\I4

4,

D.48^

【答案】D

【分析】先利用勾股定理计算出仍与EC的长，以及尸、。运动到终点所用的时间，将整

个运动过程分为两段，分别计算0<xW4与4VXV8时y的表达式，进而分析其函数图

象.

【详解】解：E是4）的中点，

AE^-AD=2y[3,

2

在RtABE中，BE=《AB。+A.?=百+（2后=4,

同理，CE=4.

S—346X2=4月.

①当0<元44时，点尸在5c上，点。在3月上，BP=,BQ=X（如图①所示），

图1

由三角形高相同可得：

_c_x_x&-x瓜n一62

dABCE

yv-^ABPQ--^ABPE_4ZJ3_44^V，

函数y=3/的图象是一条开口向上的抛物线，故排除AC；

4

②当4<xv8时，点尸与点C重合，点。在EC上，CQ=8-x（如图2所示）,

图2

y=SABPQ代=84一石龙,

函数y=84-底的图象是一条直线，排除B.

故选：D.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点尸和。的位置不同确定三角形面积的

表达式不同，解决本题的关键是分类讨论思想的运用，以及函数关系式的建立.

4

18.（2022・河南周口・统考二模）如图，ABC中，tan/B=1,点。为边BC上一个不与

B、C重合的一个动点，过点。作DE工AB与点E,作RtADE4的中线EF,当点。从8

点出发匀速运动到点C时，设即的面积为y,BD=x,y与尤的函数图象如图2所

示，则ABC的面积为（）

【答案】A

【分析】分析可知当x=8,此时，动点。运动到点C,此时BC=8,求出班=沼,

DE=—,利用S△e=5><5.Z）E.AE=L98,求出Z）E=£,进一■步求出43,再利用

S^AEF=1.DE.AB=|XyX6=y即可求出结果.

【详解】解：由题意可知：

当x=8,此时，动点。运动到点C,此时BC=8,

、4

设BE1=3〃，回tanZB=—,团DE=4a，

3

8

0BE2+DE2=BEr,回5a=8,即：a=-,

2432

团3E=——，DE=——,

55

回*^AAEF=万*~^*DE*AE-1.98,回DE=一,

SAB=AE+BE=-+—=6,

55

回S△皿=；.OE.A8=；X/X6=£.

故选：A.

【点睛】本题考查动点问题、勾股定理、正切值、二次函数，解题的关键是结合函数图象

找出49,的长.

19.（2022•安徽合肥•统考二模）如图，在矩形/BCD中，AB=3,/。=2,点£是。的

中点，射线/£与3c的延长线相交于点尸，点“从/出发，沿/玲3玲厂的路线匀速运动

到点尸停止.过点M作M何厂于点N.设NN的长为x,S4MV的面积为S,则能大致反

映S与x之间函数关系的图象是（）

【答案】B

【分析】先根据矩形的性质、三角形全等的判定定理证出&CEF三DEA,根据全等三角形

的性质可得Cb=AD=2,从而可得3尸=4,4尸=5,FN=5-x,再求出当点"与点8重合

时，AN=x=|,然后分①OVxw|和②|<x45两种情况，分别解直角三角形求出

的长，最后利用三角形的面积公式可得S与x的函数关系式，根据二次函数的图象即可

得.

【详解】解：,在矩形ABCD中，AB=3,AD=2,

：.BC=AD=2,ZABC=ZBCD=ZD=90°,

点£是8的中点，

CE=DE,

ZCEF=ZDEA

在△CEF和ADE4中，<CE=DE,

ZECF=ZD=90°

.\^CEF=^DEA(ASA)f

：.CF=AD=2,

:.BF=BC+CF=4,

AF=VAB2+BF2=5，

AN=x,

:.FN=AF-AN=5-x,

如图，当点M与点3重合时，

S=-AFBN=-ABBF,

ABF22

c、，ABBF3x412

...BN=---------=------=—,

AF55

AN=^AB2-BN2=|,

Q

①如图，当点M在AB边上，即OWxWy时,

BF4

在RtABF中，tan/BAF=---=—,

AB3

MNMN

在RtAAW中，tmZMAN=——=——,

ANx

.MN__4

x3

4

解得=1无，

i9

则止匕时5=万4\八"^=§%2；

②如图，当点“在3尸上，即g<xV5时,

MN

在RtFMN中,tanF=^

FN5—x

,MN_3

••=一,

5-x4

3

解得MN=：(5—%),

4

1315

贝U此时S=_AN.M7V=――x2+—x；

288

2g

-x2(0<x<-)

35

综上，s=

3159

——x2+——x(—<x<5)

〔885

观察四个选项可知，只有选项B符合,

故选：B.

【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形的应用、二次函数的图象等知识点，正确

分两种情况讨论，并熟练掌握二次函数的图象特征是解题关键.

20.（2022•安徽芜湖•芜湖市第二十九中学校考二模）如图，YABCD中，AB=4,BC=8,

m=60。，动点P沿/B-C-D匀速运动，运动过速度为2cm/s,同时动点。从点/向点。匀

速运动，运动速度为lcm/s,点。到点。时两点同时停止运动.设点。走过的路程为

x（s）,△APQ的面积为Mem?）,能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）

【分析】求出当0£"2时，y=^-x2,是一段开口向上的抛物线，从而可得出答案.

2

【详解】解：当0M2时，y=L•氐=走/，

-22

配4x42时，y随着x的增大而增大，函数图象的开口向上，是抛物线的一部分，故选项

A,C、D错误.

故选：B.

【点睛】本题考查动点问题的函数图象及二次函数的图象及性质，解答本题的关键是明确

题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

21.如图，正方形ABC。的边长为4,一EFG中，EF=EG=&7,FG=2,BC和FG在一条

直线上，当EFG从点G和点8重合时开始向右平移，直到点尸与点C重合时停止运动，

设平移的距离为x,一EFG与正方形ABCD重叠部分的面积为乃则下列图象中能大

致反映y与x的函数关系的图象是（）

【答案】B

【分析】分0〈x<1,1<x<2，2<x<4,4<x<5,5VxW6五种情况，求出重叠部分的

面积y与x之间的函数关系式，判断即可.

【详解】IfflEFG中EF=EG=&j,FG=2,

过点£作EMFG于点则FM=GM=’尸G=!x2=l,

22

回FG上的高EM=

团四边形45CD为正方形，5。和厂G在一条直线上,

团中回MG移动过程中EM〃AB〃CD,

(1)当OV%<1时，EG与AB交于点、H,如图所示:

此时3G=x,

田HB〃EM,

BHBG

团----=-----

EMMG

团3”=4x,

1,

回

SBGH^-X-4X=2.X-,

即y=2x2,

此时的函数图象为开口向上的抛物线，且当彳=1时，y=2；

（2）当l<x<2时，与48交于点区如图所示：

此时3尸=2—%，

国HB〃EM,

BHFB

团------=-------,

EMFM

BH2-x

即pn——=----,

41

0BH=8-4x,

回SBFH=5（2—尤），（8—4x）=2,x~—8x+8,

回SEFC=1x2x4=4,

回y=4-（2x?-8x+8）=-2x~+8x-4,

此时函数图象为开口向下的抛物线，且当x=2时，y=4；

（3）当2VxV4时，aBFG在正方形的内部，

回重叠部分的面积为SEFG的面积，

此时函数图象为平行x轴的一条线段；

(4)当4<x45时，EG与CD交于点、H,如图所示:

CHCG

团---=----,

EMMG

即更=1

41

0BH=4x-16,

团SCGH=5（%—4）,（4%—16）=2x?—16尤+32,

EFG=-x2x4=4f

回y=4-（2/—16%+32）=-2炉+16%-28,

此时函数图象为开口向下的抛物线，且当尤=5时，y=2；

(5)当5<x<6时，EF与CD交于点、H,如图所示:

止匕时CF=6—%,

国HC〃石M,

CHFC

团---=----,

EMFM

CH6-x

B即n丁丁

回6/7=24—4%,

团SFHC=5（6尤），（24—4x）=2犬2—24犬+72,

团y=2x2-24x+72,

此时函数图象为开口向上的抛物线，且当x=6时，y=o；

综上分析可知，四个选项中B选项符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思

想分类讨论进行解答.

22.（2022•新疆昌吉•统考一模）如图所示，尸是菱形A3CD的对角线AC上一动点，过点P

作垂直于AC的直线交菱形ABCD的边AB-3C于朋r点，AD-DC于N点.设AC=2,

BD=1,AP=x,AW的面积为丹则y关于x的函数图像的大致形状是（）

【答案】c

【分析】

△4WN的面积=：/PxMN,通过题干已知条件，用x分别表示出40、MN,根据所得的函

数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0<x<l；（2）l<x<2；

【详解】

团四边形是菱形，AC=2,BD=1,

a4c与2。互相垂直平分；

EL4O=^-AC=1,

0ACWC,BD^AC

EMV；BD-,

m4NM=^ADB,^\AMN=^ABD

APMN

团----------，

AOBD

xMN

即nn「丁,

^\MN=x；

^\y=-^APxMN=^-x2(0<x<l),

畤>0，

回函数图象开口向上；

当0<x<l时，y随x的增大而增大,

当x=l时，y取最大值g；

图2

与(1)同理可证得，△CD况BCMVf,

CPMN

7)C~~BD，

团VW=2-x；

0y=^APxMN=^-xx(2-x),

即'=~g/+x；

0-；<0,

回函数图象开口向下；

综上，选项C的图象大致符合；

故选：C

【点睛】

本题考查了二次函数的图象，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，考查了学生从图象

中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想.

考法三：图形综合问题

23.（2022•江苏南通•统考二模）如图1,ABC中，ZACB=90°,