中考数学重难点题型之函数专练：二次函数图象与系数a、b、c之间的关系判断（原卷版）

专题01二次函数图象与系数a,b,c之间的关系

解题点拨

知识要点1:二次函数图象的特征与a,b,c的关系

字母的符号图象的特征

ayQ开口向上

a

a<Q开口向下

b=Q对称轴为y轴

bab〉0（Q与。同号）对称轴在y轴左侧

ab<0（a与b异号）对称轴在y轴右侧

c=0经过原点

cc>0与y轴正半轴相交

c<0与y轴负半轴相交

与X轴有唯一交点

Z?2-4«c=0

（顶点）

b2-4ac

b1~4«c>0与入轴有两个交点

常-4«c<0与％轴没有交点

知识要点2:常用公式及方法:

（1）二次函数三种表达式：

表达式顶点坐标对称轴

'b4ac-b2yb

一般式y=ax1+bx+cx=-----

、2〃’4a,2a

顶点式y=-hf+k（%k）x-h

%i+%2〃（再一九2）21X=X1+Z

交点式I2，4J

一一2

（2）韦达定理：若二次函数y=ax2+6x+c图象与x轴有两个交点且交

点坐标为（X],0）和（，0），则石+%2=—2，xY-x2=—O

aa

(3)赋值法：在二次函数y=尔+6x+c中，令龙=1,则,=4+。+°；令

x=-1,则y=a-b+c;令x=2,贝!]y=4a+2b+c;令无=—2,则y=4-a-2b+c;

利用图象上对应点的位置来判断含有。、b.c的关系式的正确性。

直击中考

1.(2022•山东日照•统考中考真题)已知二次函数尸依2+法+'(go)的部分图象如图所

示，对称轴为x=|,且经过点(-1,0).下列结论：①3a+b=0；②若点(3,

J2)是抛物线上的两点，则〃勺2；③10b-3c=0；④若”c,则0043.其中正确的有

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.(2022・湖北黄石•统考中考真题)已知二次函数、=依2+法+。的部分图象如图所示，对

称轴为直线尸-1,有以下结论：①"“0；②若r为任意实数，贝IJ有a-6Wa产+6；③

当图象经过点(L3)时，方程依2+法+,_3=0的两根为为，巧(玉<%),则玉+3尤2=0,

其中，正确结论的个数是()

A.0B.1C.2D.3

3.如图，二次函数片加+法+c的图象与x轴的两个交点分别为(-L0),(3,0).对于下

歹！I命题：①而c>0；②2a—b<0；③a—6+c<0；④2a+c<0.其中正确的有()

4.（2022•四川成都・统考二模）如图，二次函数〉=以2+"+“。>0）的图象与％轴交于

A,5两点，与>轴正半轴交于点。，它的对称轴为直线工=-1.则下列选项中正确的是

（）

A.abc<0B.4ac-b2>0C.c-a>0D.2a-b=0

5.（2022・四川宜宾•模拟预测）如图，抛物线>=以2+"+。的对称轴是直线元=1,下列结

论：（1）abc>0；②〃2_4〃C>0；③8a+cv0；④5a+b+2c>0；不正确的有（）

6.（2022•四川广元•统考中考真题）二次函数>=4x2+6%+。（〃工0）的部分图象如图所示，图

象过点（-1,0）,对称轴为直线x=2,下列结论：（1）abc<0；（2）4a+c>2b；（3）3b

-2c>0；（4）若点A（-2,%）、点B（-£,”）、点C（（,”）在该函数图象上，贝I

/2

yi<ys<y2；（5）4a+2b>m（am+b）（根为常数）.其中正确的结论有（

A.5个B.4个C.3个D.2个

7.（2022・湖北随州•统考中考真题）如图，己知开口向下的抛物线，=依2+法+。与无轴交

于点（-1,0）对称轴为直线x=l.则下列结论：①砧。>0;②2a+6=0；③函数

y=aY+6x+c的最大值为-4。；④若关于尤的方数加+6尤+c="+l无实数根，贝U

-j<a<0.正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.（2022・湖北鄂州•统考中考真题）如图，已知二次函数>=加+公+。（a、b、c为常数，且

旧0）的图像顶点为尸（1,m）,经过点A（2,1）；有以下结论：①。<0；②abc>0；

③4a+2b+c=l；④x>l时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数3总有a产+44+6,其

中正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

9.（2022•黑龙江齐齐哈尔•统考中考真题）如图，二次函数、=0?+法+。（4/0）的图象与

y轴的交点在（0,1）与（0,2）之间，对称轴为x=-l,函数最大值为4,结合图象给出

下列结论：①b=2a；②-3<。<一2；（3）4ac-b2<0;④若关于x的一元二次方程

ax2+bx+c=m-4（〃工。）有两个不相等的实数根，贝1J"»4；⑤当x<0时，y随x的增大而

减小.其中正确的结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

10.（2022•广西梧州•统考中考真题）如图，已知抛物线>=以2+"一2的对称轴是尸-1,

直线/〃尤轴，且交抛物线于点网不乂）,。（%,%），下列结论里误的是（）

B.若实数相片一1,贝!Ja—6<owl?+为然

C.3a-2>0D.当y>-2时，xt-x2<0

11.（2022・四川达州•统考中考真题）二次函数>=62+公+。的部分图象如图所示，与了轴

交于（0,-1）,对称轴为直线x=l.以下结论：①/c>0；②〃>；；③对于任意实数

m,都有皿卬n+力>。+）成立；④若1；，为）（2,%）在该函数图象上，贝U

必<%<%;⑤方程辰2+法+4=左（匕.0,%为常数）的所有根的和为4.其中正确结论

有（）

A.2B.3C.4D.5

12.（2022•辽宁抚顺•统考中考真题）抛物线>=依2+版+。的部分图象如图所示，对称轴为

直线x=-l,直线y=^+c与抛物线都经过点（-3,0）,下列说法：①而>0；②

4a+c>0；③（-2,%）与15,%]是抛物线上的两个点，则%%;④方程or?+6x+c=0

的两根为X]=-3,无2=1；⑤当犬=-1时，函数,=q2+0-左卜有最大值，其中正确的个数

是（）

A.2B.3C.4D.5

13.（2022•贵州铜仁•统考中考真题）如图,若抛物线y=o%2+bx+c（aw0）与x轴交于A、

B两点,与y轴交于点C,若NOAC=NOCB.则公的值为（）

14.（2022•湖北恩施•统考中考真题）已知抛物线y=g犬-法+C,当X=1时，y<0；当

x=2时，y<0.下列判断：

①。2>2C;②若C>1,则>>3；③已知点人的,4）,/〃/%）在抛物线

2

y=^x-bx+c±,当m1cm2Vb时，%>叼；④若方程[炉-bx+c=0的两实数根为

X],而，则x,+x2>3.

其中正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

15.（2022・四川内江•统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点（xi,0）、

（2,0）,其中0<尤/<1.下列四个结论：①abc<0；（2）a+b+c>0；③2a-c〉0；④不

c

等式aN+bx+c〉-—x+c的解集为0<尤<无八其中正确结论的个数是（）

16.（2022・四川广安・统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=l,与x轴正半

轴的交点为A（3,0）,其部分图象如图所示，有下列结论：®abc>0；②2c-3b<0；

③5a+b+2c=0；④若8（y,y/）、C（g,券）、。（-：，”）是抛物线上的三点，则

A.1B.2C.3D.4

17.（2022・山东烟台•统考中考真题）二次函数y=ax2+bx+c（80）的部分图象如图所示，

其对称轴为直线尤=-3,且与x轴的一个交点坐标为（-2,0）.下列结论：①%>0；

②a=6；③2a+c=0；④关于x的一元二次方程办2+法+（:-1=0有两个相等的实数根.其

中正确结论的序号是（）

A.①③B.②④C.③④D.②③

18.（2022•四川绵阳•统考中考真题）如图，二次函数>=依2+法+。的图象关于直线彳=1

对称，与x轴交于4Al,0）,8（%，0）两点，若-2<玉<-1,则下列四个结论：①

2

3<x2<4,②3。+2b>0,（3）Z»>a+c+4ac,®a>c>b.

正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

19.（2022•湖北荆门•统考中考真题）抛物线y=ay2+bx+c（a,6,c为常数）的对称轴为尤

--2,过点（1,-2）和点（xo,yo）,且c>0.有下列结论：①。<0；②对任意实数"z

都有:am2+bm>4a-2b；（3）16a+c>4b；④若飞>-4,则为>c.其中正确结论的个数为

（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

20.（2022・四川资阳,中考真题）如图是二次函数丁=办2+法+。的图象，其对称轴为直线

x=-\,且过点（0,1）.有以下四个结论：①a6c>0,②a-b+c>l,③3a+c<0,④若

顶点坐标为（T,2）,当加4x41时，y有最大值为2、最小值为-2,此时机的取值范围是

其中正确结论的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

21.（2022•辽宁朝阳•统考中考真题）如图，二次函数丫=加+公+,（。为常数，且gO）的

图象过点（-1,0）,对称轴为直线x=L且2<c<3,则下列结论正确的是（）

A.abc>0B.3Q+C>0

2

C.a2m2+abm<a2+ab（m为任意实数）D.-l<a<--

22.（2022・四川巴中・统考中考真题）函数、=辰2+法+4（4>0,62-4直>0）的图象是由函

数、=海+云+4。>0,62-4招>0）的图象芯轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而

成，如图所示，则下列结论正确的是（）

@2a+b=0；②c=3；③"c>0；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3

个交点.

A,①②B.①③C.②③④D.①③④

23.（2017・广西防城港•统考中考模拟）已知二次函数丁=0?+法+。（。x0）的图象如图所

示，有下歹U5个结论：①abc>0；@b<a+c；③4a+2h+c>0；④

a+b>m（am+b）,（m1）；⑤2c<3〃其中正确的结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

24.（2018•辽宁营口•统考中考模拟）二次函数>=依2+法+c（。W0）的图象如图所示，对称

轴是直线x=l,下歹ll结论：①。8<0；（2）b2>4ac;③o+6+2c<0；④3a+c<0.其

中正确的是（）

A,①④B.②④C.①②③D.①②③④

25.(2023・广西玉林•一模)如图，函数y="2+6x+c的图象过点(TO)和的0),请思考

b1

下歹!J判断：®abc<0；②4a+cv2b；③一二1-----；®an^+(2a+&)m+«+/?+c>0；

cm

⑤卜-4QC.正确的是()

A.①③⑤B.①②@④⑤C.①②③④D.①②③⑤

26.（2022•黑龙江牡丹江・统考中考真题）如图，抛物线丁=依2+乐+4，。0）的对称轴是

x=-2,并与x轴交于A,3两点，若。1=503,则下列结论中：@abc>0；②

（<2+c）2-Z?2=0；③9a+4c<0；④若根为任意实数，贝！Ja"?+人加+2人24々，正确的个数

是（）

27.（2022•辽宁丹东•统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c（47*0）与x轴交于点A

（5,0）,与y轴交于点C,其对称轴为直线x=2,结合图象分析如下结论：①Hc＞0；

②H3a＜0；③当尤＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数（原0）的图象经

过点A,则点E（Z,b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM0A则。=

逅.其中正确的有（）

6

A.1个B.2个C.3个D.4个

28.（2022・内蒙古・中考真题）如图，抛物线yuaY+bx+c（a*0）的对称轴为直线

x=l,抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1,0））,下列结论：①位＞c＜0；②3a+c=0；③

当、＞0时，x的取值范围是T,x＜3；④点（-2,另），（2,%）都在抛物线上，则有

X＜。＜%.其中结论正确的个数是（）

29.（2021•浙江宁波•校考三模）如图，二次函数、=加+析+。（4<0）与x轴交于A,8两

点，与y轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线x=2,则下列说法中正确的有（）

①仍c<0；~—>0；③16a+4/j+c>0；④5a+c>0；⑤方程

4〃

62+云+。=0（”0）其中一个解的取值范围为-2a<-1.

30.（2020・山东日照•校考三模）如图是二次函数>=办2+6x+c（。，b,c是常数，"0）图

象的一部分，与无轴的交点在点（2,0）和（3,0）之间，对称轴是直线x=l.对于下列结论：

①而<0；②2。+6=0；③3a+c>0；④..机（。机+。）（机为实数）；⑤当一1〈尤<3

时，y>o.其中正确结论的个数为（