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文档简介

专题01图形的初步(1)

厂考点类型

模块四图形的性质

01讲图形的初步(1)

考点12:线段的动点问题

考点13:两点之间线段最短

考点14:两点间的距离

考点15:最短路径问题

L一

知识一遍过

(-)立体图形的认识

(1)立体图形概念:有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。

常见的立体图形:棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。

(2)平面图形概念:有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。

常见的平面图形:线段、角、三角形、长方形、圆等

(二)点、线、面、体的关系

(1)几何图形的组成

点:线和线相交的地方是点,它是几何图形最基本的图形。

线:面和面相交的地方是线,分为直线和曲线。

面:包围着体的是面,分为平面和曲面。

体:几何体也简称体。

(2)点动成线,线动成面,面动成体。

(三)几何体展开图

名称正方体长方体五棱柱圆柱圆锥四棱锥

立体

图形00£BA国

平面A

图形11<>

牛V

(四)正方体展开图

F,,rn_.

[T0

图⑺图⑻图⑼

第四类,两排各有3个,也只有1种.如下图,

"MZO

图⑴)

(五)直线、线段、射线的相关概念

直线射线线段

■•

图形

ABABAB

端点个数无一个两个

直线a线段a

表示法射线AB

直线AB(BA)线段AB(BA)

作直线a作线段a

作法叙述作射线AB

作直线AB作线段AB(BA)

延长线段AB

延长叙述两端可无限延伸延长射线AB

反向延长线段BA

(六)直线与线段的性质

①经过一点有无数条直线

②经过两点有且只有一条直线

③经过不共线的三点画不出直线;经过共线的三点有且只有一条直线

④两点之间,线段最短。线段的长度表示两点之间的距离。

(七)线段的中点性质

线段中点:把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点;

如图:M为线段AB的中点,则AMMBM^ABI立B

工二,考点一遍过

考点1:认识立体图形

典例1:(2023上•河南周口•七年级统考阶段练习)下列几何体中,是圆柱的是()

【答案】C

【分析】本题考查了几何体的识别,根据立体图形的相关知识点逐项判断即可得出答案,熟练掌握几何体

的相关定义是解此题的关键.

【详解】解:A、此几何体是圆锥,故不符合题意;

B、此几何体是圆台,故不符合题意;

C、此几何体是圆柱,故符合题意;

D、此几何体是凌台,故不符合题意;

故选:C.

【变式1](2024上•广东清远•七年级统考期末)如图是我国航天载人火箭的实物图,可以看成的立体图形

为()

A.棱锥与棱柱的组合体B.圆锥与圆柱的组合体

C.棱锥与圆柱的组合体D.圆锥与棱柱的组合体

【答案】B

【分析】本题考查常见几何体的识别,根据所给图形可直接得出答案.

【详解】解:所给图形上部为圆锥,下部为圆柱,可以看作圆锥与圆柱的组合体,

故选B.

【变式2](2024上•辽宁沈阳,七年级统考期末)如图所示的图形中,属于棱柱的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题主要考查棱柱的概念,解题的关键是掌握棱柱的定义.根据棱柱的定义逐一判断即可求出结

果.

【详解】解:图中第一个几何体是三棱柱,属棱柱;

第二个几何体是四棱柱,属于棱柱;

第三个几何体是圆柱,不属于棱柱;

第四个几何体为圆锥,不属于棱柱;

所以属于棱柱的有2个.

故选:B.

【变式3](2022上•安徽滁州•七年级校考阶段练习)下列图形:圆锥、圆柱、圆、球中平面图形有加个,

立体图形有〃个,则爪-n的值为()

A.2B.1C.0D.-2

【答案】D

【分析】首先判断出平面图形与立体图形的个数,即可求得相、”的值,再求代数式的值即可.

【详解】解:圆锥是立体图形,

圆柱是立体图形,

圆是平面图形,

球是立体图形,

故平面图形有1个,立体图形有3个,

故nr=1,n=3,

贝!Jzn—n=l—3=—2,

故选:D.

【点睛】本题考查了平面图形与立体图形的识别,代数式求值问题,熟练掌握和运用平面图形与立体图形

的识别方法是解决本题的关键.

考点2:立体图形展开图

典例2:(2023上•全国•七年级课堂例题)如图所示均为几何体的展开图,则从左到右的图形对应的几何体

A.圆锥、三棱锥、圆柱、正方体B.圆锥、四棱锥、圆柱、正方体

C.圆锥、四棱柱、圆柱、正方体D.圆锥、三棱柱、圆柱、正方体

【答案】D

【分析】根据常见的几何体的展开图进行判断即可.

【详解】解:根据几何体的平面展开图,则从左到右,其对应的几何体名称分别为:圆锥、三棱柱、圆柱、

正方体,

故选:D.

【点睛】本题考查常见几何体的展开图,熟记常见几何体的平面展开图的特征是解题的关键.

【变式1](2023上•辽宁沈阳•七年级统考期末)下列不是三棱柱展开图的是()

【答案】A

【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形,侧面展开是三个四边形,可得答案.

【详解】解:B、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面,上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底

面,故均能围成三棱柱,均是三棱柱的表面展开图;A围成三棱柱时,两个三角形重合为同一底面,而另一

底面没有,

故A不能围成三棱柱,

故选:C.

【点睛】本题考查了几何体的展开图,注意两底面是对面,展开是两个全等的三角形,侧面展开是三个矩

形.

【变式2](2023上•云南昆明•九年级统考期末)要制作一个带盖的圆柱形礼品盒,下列设计的展开图中正

确的是()

【答案】C

【分析】根据四个选项的图形折合,看是否能折叠成圆柱形即可获得答案.

【详解】解:A、可折叠出圆锥体,故不符合题意;

B、可折叠出无盖圆柱体,故不符合题意;

C、可折叠出圆柱体,故符合题意;

D、可折叠出长方体,故不符合题意.

故选:C.

【点睛】本题主要考查了几何体的展开图的应用,熟练掌握简单几何体的展开图是解题关键.

【变式3](2022上•河南周口•七年级期末)下列图形不能作为一个三棱柱的展开图的是()

A./B.C.vD.^x/

【答案】A

【分析】三棱柱展开后,侧面是三个长方形,上下底各是一个三角形即可得出答案.

【详解】解:由图形可知作为一个三棱柱的展开图有B、C、D;

故不能作为一个三棱柱的展开图的是:A;

故选:A.

【点睛】此题考查了三棱柱的展开图,掌握三棱柱的展开图是解题的关键.

考点3:正方体展开图

典例3:(2024上•江苏无锡•七年级期末)如图,下列图形不属于正方体的表面展开图的有()

理#0用斗用

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题考查了正方体的展开图.熟练掌握正方体展开图"一线不过四,田凹应弃之"(即不能出现同一

行有多余4个正方形的情况,不能出现田字形、凹字形的情况)是解题的关键.

根据正方体的展开图的特点进行判断作答即可.

【详解】解:由题意知,从左到右,第1,2,5不属于正方体的表面展开图,第3,4,6属于正方体的表

面展开图;

故选:C.

【变式1](2023•浙江•模拟预测)在图中,实线所围成的多边形区域(阴影部分)是由四个全等正方形拼接

而成的.现在若补上图中标有号码的其中一个全等小正方形,则可得到九个多边形区域(每个区域恰好含

有五个全等小正方形),试问这九个多边形区域中,可以折成无盖的正方体容器的个数是()

⑦j⑥:⑤

⑧④

⑨②?③

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】根据正方体的展开图有11种情况:1-4-1型共6种,1-3-2型共3种,2-2-2型一种,3-3型一种,

由此判定找出答案即可.

【详解】解:根据题意可得:

补上后能够折成无盖的正方体容器的有:④⑤⑥⑦⑧⑨,

共6个,

故选:D.

【点睛】此题考查正方体的展开图,解决此题的关键是记住正方体展开图的类型1-4-1型,2-3-1型,2-2-2

型,3-3型.以及口诀“凹、田应弃之”.

【变式2](2022上•四川成都•七年级校考期中)在下面的图形中是正方体的展开图的是()

【答案】D

【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题.注意带"田”"凹"字的不是正方体的平面展开图,选项C

折叠后缺少一个底面,故不是正方体的展开图.

【详解】解:由正方体的展开图的特征可知,图形中D是正方体的展开图;图形中A出现了"田"字,不能

围成正方体,图形中B出现了"凹"字,选项C折叠后缺少一个底面,故不是正方体的展开图.

故选:D.

【点睛】本题考查了正方体的展开图,解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形.

【答案】A

【分析】正方体的展开有以下4种类型:1-4口型(分3行,中间4个,上下各1个,共6种情况),1-3-2

型(分3行,中间3个,上行1个,下行2个连在一起,共3种情况),2-2-2型(每行2个,和尾相连,1

种情况),3-3型(每行3个,下一行跟末尾一个相连),利用正方体展开图的特点即可得出结论.

【详解】解:属于正方体展开图的是第2个、第7个图,第8个图,其他都不是正方体的展开图,

团图中是正方体的展开图的共有3个.

故选:A.

【点睛】本题考查了正方体的展开图,熟记正方体展开图的11种形式是解题的关键,利用不是正方体展开

图的"一线不过四、田凹应弃之"(即不能出现同一行有多于4个正方形的情况,不能出现田字形、凹字形的

情况)判断也可.从实物出发,结合具体的问题,辨析几何体的展开图,通过结合立体图形与平面图形的

转化,建立空间观念,是解决此类问题的关键.

考点4:点、线、面、体的联系

典例4:(2023上•河南平顶山•七年级统考期中)下列说法正确的有()

①五棱柱有10个顶点,10条棱,7个面;

②点动成线,线动成面,面动成体;

③圆锥的侧面展开图是一个圆;

④用平面去截一个正方体,截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查简单的几何图形具有的特点,根据立体图形的特征,点、线、面、体,圆锥的特征和截

一个几何体的方法判断即可.

【详解】解:①五棱柱有10个顶点,15条棱,7个面,所以①错误,不符合题意.

②点动成线,线动成面,面动成体,所以②正确,符合题意.

③圆锥的侧面展开图是一个扇形,所以③错误,不符合题意.

④用平面去截一个正方体,截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形,所以④正确,符合题意.

综上所述,说法正确的有2个,

故选:B.

【变式1](2023上•湖北咸宁•七年级统考期末)几何图形都是由点、线、面、体组成的,点动成线,线动

成面,面动成体,下列生活现象中可以反映"点动成线”的是()

A.流星划过夜空B.打开折扇C.汽车雨刷的转动D.旋转门的旋转

【答案】A

【分析】根据点动成线,线动成面,面动成体对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】A、流星划过夜空是"点动成线",故本选项符合题意;

B、打开折扇是"线动成面",故本选项不合题意;

C、汽车雨刷的转动是"线动成面",故本选项不合题意;

D、旋转门的旋转是"面动成体",故本选项不合题意;

故选:A.

【点睛】本题考查了点、线、面、体的知识,主要是考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题,解决

问题的能力.

【变式2](2023上•甘肃兰州•七年级统考期中)将下面四个图形绕着虚线旋转一周,能够得到如图所说的

【答案】A

【分析】根据面动成体结合常见立体图形的形状解答即可.

【详解】解:根据面动成体结合常见立体图形的形状得出只有A选项符合,

故选A.

【点睛】本题考查了点、线、面、体的知识,是基础题,掌握常见几何体的形成是解题的关键.

【变式3](2023•山东青岛•七年级校联考期中)下列现象,能说明"线动成面”的是()

A.天空划过一道流星

B.汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹

C.抛出一块小石子,石子在空中飞行的路线

D.旋转一扇门,门在空中运动的痕迹

【答案】B

【分析】本题是一道关于点、线、面、体的题目,回忆点、线、面、体的知识;

【详解】解:回A、天空划过一道流星说明"点动成线",

国故本选项错误.

配、汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹说明"线动成面",

团故本选项正确.

团C、抛出一块小石子,石子在空中飞行的路线说明"点动成线”,

回故本选项错误.

团D、旋转一扇门,门在空中运动的痕迹说明"面动成体",

回故本选项错误.

故选B.

【点睛】本题考查了点、线、面、体,准确认识生活实际中的现象是解题的关键.点动成线、线动成面、面

动成体.

考点5:平面的旋转

典例5:(2023上•山东滨州•七年级统考期末)下列平面图形绕直线旋转一周,所得的图形与其名称对应不

正确的是()

A.圆锥B,圆柱C.圆D.球

【答案】C

【分析】根据面动成体,直角三角形绕直角边旋转是圆锥,矩形绕边旋转是圆柱,直角梯形绕直角边旋转

是圆台,半圆案绕直径旋转是球,可得答案.

【详解】直角三角形绕直角边旋转是圆锥,故A正确;

矩形绕边旋转是圆柱,故B正确;

三角形绕一边旋转是两个同底的圆锥,故C错误;

半圆案绕直径旋转是球,故D正确;

故选:C

【点睛】本题考查了点线面体,熟记各种图形旋转得出的立体图形是解题关键.

【变式1](2023・七年级单元测试)将图中的平面图形绕虚线旋转一周,所得到的几何体是()

【分析】根据面动成体可得直角梯形绕底边边旋转可得答案.

【详解】平面图形绕虚线旋转一周,可以得到图A,

故选A.

【点睛】本题考查平面图形旋转后所得的立体图形,熟练掌握一些常见的立体图形是由什么平面图形旋转

得来的是解题的关键.

【变式2](2023上•河南郑州•七年级校考期中)如图,以直角三角形的斜边所在的直线为轴,将图形旋转

一周,所形成的几何体的俯视图是()

【答案】B

【分析】本题考查的是几何图形的旋转和三视图,要熟记把一个直角三角形绕其直角边所在的直线旋转一

周所得的几何体是一个圆锥,则一个直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周,旋转后的几何体应该是两

个圆锥,而且还是底面对着底面的圆锥,所以它的俯视图是一个圆,且有圆心.

【详解】解:以直角三角形的斜边所在的直线为轴,将图形旋转一周,所形成的几何体,如图所示:

【变式3](2024上•辽宁沈阳,七年级统考期末)如图所示的平面图形绕直线/旋转一周,可以得到的立体图

形是()

【答案】D

【分析】此题考查点、线、面、体的问题,解决本题的关键是得到所求的平面图形是得到几何体的主视图

的被纵向分成的一半.

从正面看得到的平面图形是从上到下为等腰三角形,长方形.由此可得出答案.

【详解】解:面动成体,直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥,长方形绕一边旋转一周可得圆柱,

那么所求的图形是下面是圆柱,上面是圆锥的组合图形.

故选:D.

考点6:截一个几何体

典例6:(2023上•山东青岛•七年级校考期中)如图所示,用一个平面分别去截下列水平放置的几何体,所

截的截面有可能是长方形的有()个

【答案】D

【分析】根据正方体,圆柱,长方体,三棱锥,圆锥,三棱柱的形状特点,截面的角度和方向,逐一进行

判断即可得.

本题考查了截一个几何体,所截的截面形状.解决问题的关键是熟练掌握被截的几何体形状,截面的角度

和方向.

【详解】解:用一个平面去截正方体,所截的截面可能是长方形,

用一个平面去截圆柱体,所截的截面可能是长方形,

用一个平面去截长方体,所截的截面可能是长方形,

用一个平面去截三棱锥,所截的截面可能是长方形,

用一个平面去截圆锥体,所截的截面不可能是长方形

用一个平面去截三棱柱,所截的截面可能是长方形,

团所截的截面可能是长方形的由5个.

故选:D.

【变式1](2024上•辽宁阜新,七年级统考期末)截一个几何体可以得到不同的平面图形,下面四个平面图

形均可由哪一个几何体截得()

【答案】B

【分析】此题考查了几何体的截面图,根据题意进行排除即可,解题的关键是正确理解几何体的截面图

【详解】根据几何体的截面可知,

A、圆锥的截面图为圆,三角形,此选项不符合题意;

C、球的截面图为圆,此选项不符合题意;

D、圆柱的截面图为圆,长方形,此选项不符合题意;

故选:B.

【变式2](2023上•四川成都•七年级校考期末)一个正方体的截面不可能是()

A.三角形B.四边形C.五边形D.七边形

【答案】D

【分析】用平面去截正方体,得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形,据此判断即可.

【详解】用平面去截正方体,得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形,不可能为七边形,

故选D.

【点睛】本题考查正方体的截面,正方体有六个面,截面与其六个面相交最多得六边形,不可能是七边形

或者多于七边形.

【变式3](2023上•陕西宝鸡•七年级校考期中)如图,用平面截一个几何体,该几何体的截面形状是()

【答案】B

【分析】根据截几何体所得截面的形状的判断方法进行判断即可.

【详解】解:根据判断,该几何体的截面形状是矩形,

故选:B.

【点睛】本题考查截一个几何体,熟知判断方法是解题的关键,用一个平面截一个几何体,首先判断平面

与围成几何体的面相交的线是直线还是曲线,再判断截面的形状.

考点7:七巧板的应用

典例7:(2023上•福建宁德•九年级福鼎市第一中学校考期中)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,它

由七个板块组成,用如图所示的七巧板拼图,下列说法正确的是()

A.能拼成平行四边形,不能拼成矩形

B.不能拼成平行四边形,能拼成矩形

C.既能拼成平行四边形,也能拼成矩形

D.既不能拼成平行四边形,也不能拼成矩形

【答案】C

【分析】本题考查了七巧板的应用,灵活运用所学知识求解是解决本题的关键.根据七巧板的拼法进行判

断即可.

【详解】解:如图所示,

由图可得,七巧板既能拼成长方形,也能拼成平行四边形,

故选:C.

【变式11(2023•福建宁德•统考模拟预测)五巧板是一种类似七巧板的智力玩具,它是由正方形分割而成.按

如图方式分割的一幅五巧板,若从中拿走一块,使得剩下的四块板仍然能拼成一个正方形,则拿走的那块

板的序号是()

C.③D.⑤

【答案】D

【分析】根据仍要拼得正方形求解即可得到答案.

【详解】解:依题意可得,

回剩下的四块板仍然能拼成一个正方形,

回取下来的是⑤,

故选D.

【点睛】本题考查正方形的分割图,解题的关键是根据题意,确保剩下的四块板仍然能拼成一个正方形.

【变式2](2023上•浙江丽水•七年级统考期末)2016年第七届世界历史文化名城博览会在南京举办.以“多

元,开放,创造”为定位,其会徽是运用"七巧板"(如图1)元素组合成的"一件云锦嫁衣”图案.如图2,若七

巧板的总面积为2S,则这件云锦嫁衣顶部的两块的面积和是(

图2

A.SC-评D-

【答案】B

【分析】根据“七巧板"的分割方法,得出各个部分各占正方形面积的几分之几即可.

S

【详解】解:根据“七巧板"的分割方法可知,SAEFC=l]E^ABCD

团这件云锦嫁衣顶部的两块的面积和是!S正方形4BCD+3S正方形4BCD=;X2S=1S,

故选:B

【点睛】本题考查了七巧板,解题的关键是理解题意,学会利用数形结合的思想解决问题

【变式3](2023上•湖北武汉•九年级校考阶段练习)如图(1)是一副七巧板,其中最小正方形的边长是1,

取其中六块拼成如图(2)的形状,沿图形外围构造矩形(虚线部分),则该矩形的面积是()

A.35B.35.5C.35&D.36>/2

【答案】B

【分析】分三步:第一步计算出原七巧板中各个图形中对应边的边长,第二步求出七巧板中平行四边形对

应边的边长,第三边求出矩形的长和宽,最后根据矩形面积公式求解即可.

【详解】解:第一步,由图(1)可计算出原七巧板中各个图形中相应边的长度,如下图所示:

第二步:可求出七巧板中平行四边形对应的边的长度,如下图所示;

2

第三步:可以计算出图(2)中矩形的长和宽,如下图所示:

团矩形的长为1+2+亨+2+1=6+|,矩形的宽为1+2—曰+2+1=6—孝,

团矩形的面积为(6+亨)x(6-=36—1=35.5,

故选B.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质,勾股定理,七巧板拼接图形,正确求出各图形中边的长度是解题的

关键.

考点8:直线、射线、线段

典例8:(2024上•河北保定•七年级统考期末)下列说法:(1)两点确定一条线段;(2)画一条射线,使它

的长度为3cm;(3)线段48和线段84是同一条线段;(4)射线48和射线B4是同一条射线;(5)直线4B和

直线BA是同一条直线.其中错误的有()个

A.1.个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题考查了直线、射线、线段,根据射线是不可度量的,以及直线、线段和射线的定义即可判断,

解题的关键是掌握直线、线段和射线的定义.

【详解】解:(1)两点确定一条直线,错误;

(2)射线是不可度量的,错误;

(3)线段48和线段84是同一条线段,正确;

(4)射线力B和射线是不同的射线,错误;

(5)直线48和直线84是同一条直线,正确;

团错误的有3个,

故选:C.

【变式1](2022下•山东烟台•六年级统考期中)如图,点A,8在直线/上,下列说法错误的是()

AB

-------------------------------------!

A.线段A8和线段84是同一条线段

B.直线4B和直线BA是同一条直线

C.图中以点A为端点的射线有两条

D.射线力B和射线B4是同一条射线

【答案】D

【分析】根据线段、射线、直线的特点判断即可.

【详解】线段和线段B4是同一条线段,

故A正确;

直线4B和直线B4是同一条直线,

故B正确;

图中以点A为端点的射线有两条,

故C正确;

射线和射线B4不是同一条射线,

故D错误;

故选D.

【点睛】本题考查了线段、射线、直线的特点,熟练掌握各自的特点是解题的关键.

【变式2](2023上•河南平顶山•七年级校联考阶段练习)下列几何图形与相应语言描述相符的是()

b

B.如图2所示,射线8c经过点4

C.如图3所示,直线a和直线b相交于点4

D.如图4所示,射线CD和线段力B没有交点

【答案】C

【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义,正确掌握三者的概念是解题的关键.直线向两方无限延伸,

不需要延长,射线向一方无限延伸,不需延长,但可以反向延长;而线段不延伸,既可以延长,也可以反

向延长.

【详解】解:A.如图1所示,应为射线B4经过点C,故不符合题意;

B.如图2所示,射线BC不经过点4故不符合题意;

C.如图3所示,直线a和直线b相交于点4,符合题意;

D.如图4所示,射线CD和线段4B有交点,故不符合题意;

故选C.

【变式3](2024上•天津河东,七年级统考期末)如图,观察图形,下列说法正确的有()个

②射线AC和射线2D是同一条射线,

+BD>AD,

④图中一共有5条线段.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本题考查了直线、射线、线段相关知识,两点之间,线段最短,掌握线段、射线、直线的表示方

法是解题的关键.根据直线的表示方法对①进行判断;根据射线的表示方法对②进行判断;根据线段的性

质对③④进行判断.

【详解】解:①直线4B和直线B力是同一条直线,直线没有端点,此说法正确;

②射线4C和射线40是同一条射线,都是以A为端点,同一方向的射线,正确;

③+根据两点之间,线段最短,可得此说法正确;

④图中有线段AC,线段力D,线段CD,线段4B,线段BC,线段BD,6条线段.故原说法不正确;

所以共有3个正确.

故选:C.

考点9:两点确定一条直线

典例9:(2023上•河北沧州•七年级统考期中)在下列现象中,可以用基本事实"两点确定一条直线"来解释的

有()

木匠弹墨线打靶瞄准弯曲公路改直拉绳插秧

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】c

【分析】本题主要考查了直线的性质,熟练掌握直线的性质是解题的关键.有直线的性质即可得到答案.

【详解】解:木匠弹墨线,打靶瞄准,拉绳插秧都可以用基本事实"两点确定一条直线"来解释,

弯曲公路改直利用的是两点之间,直线最短,故不可以用基本事实"两点确定一条直线"来解释.

故选:C.

【变式1](2023上•河北沧州,七年级统考期中)在平面上有三个点,可以确定的直线的条数为()

A.1条B.3条C.1条或3条D.无法确定

【答案】C

【分析】本题考查两点确定一条直线,分三点共线和三点不共线两类讨论根据任意三点不共线的点确定直

线公式哒尸代入求解即可得到答案.

【详解】解:当三点共线时,能确定一条直线,

当三点不共线时,直线条数为:g二1=3,

故选:C.

【变式2](2023上•安徽宿州,七年级统考阶段练习)在下列现象中,体现了基本事实"两点确定一条直线"

的有()

平板弹墨线建筑工人砌墙会场摆直茶杯弯河道改直

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题主要考查了直线的性质以及线段的性质,直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案.

【详解】解:第一、二、三幅图中的生活、生产现象可以用基本事实"两点确定一条直线"来解释,第四幅图

中利用的是"两点之间,线段最短”的知识.

故选:C.

【变式3](2023上•陕西西安・七年级陕西师大附中校考期中)在下列生活、生产现象中,可以用基本事实"两

点确定一条直线”来解释的是()

A.钟表的秒针旋转一周,形成一个圆面;

B.把笔尖看成一个点,当这个点运动时便得到一条线;

C.把弯曲的公路改直,就能缩短路程;

D.木匠师傅锯木料时,一般先在木板上画出两个点,然后过这两个点弹出一条墨线.

【答案】D

【分析】本题考查直线的性质.根据两点确定一条直线,进行判断即可.

【详解】解:A、钟表的秒针旋转一周,形成一个圆面;说明线动成面,不符合题意;

B、把笔尖看成一个点,当这个点运动时便得到一条线;说明点动成线,不符合题意;

C、把弯曲的公路改直,就能缩短路程;是因为两点之间,线段最短,不符合题意;

D、木匠师傅锯木料时,一般先在木板上画出两个点,然后过这两个点弹出一条墨线;是因为两点确定一条

直线,符合题意;

故选D.

考点10:线段和与差的计算

典例10:(2023上•山东青岛•七年级校考阶段练习)如图,C为线段4。上一点,点B为CD的中点,且4。=

9cm,BD=2cm.

I_______________________________1_____|___________|

ECHI)

⑴图中共有条线段;

(2)求力C=:

⑶若点£在直线4。上,且EA=3cm,求BE的长.

【答案】(1)6,详见解析;

(2)5cm,详见解析;

(3)4或10cm,详见解析.

【分析】本题考查了线段的应用,线段的中点,线段的和(差)等知识点,

(1)固定A为端点,数线段,依次类推,最后求和即可;

(2)根据=—CD=4C-2BC,计算即可;

(3)分点E在点A左边和右边两种情形求解;

熟练掌握线段的中点,灵活运用线段的和,差是解题的关键.

【详解】(1)以A为端点的线段为:AC,AB,AD;

以C为端点的线段为:CB,CD;

以B为端点的线段为:BD;

共有3+2+1=6(条);

故答案为:6;

(2)团点8为CD的中点,BD=2cm,

SCD=2BD=2x2=4(cm),

EL4C=AD—CO=9—4=5(cm),

故答案为:5cm;

(3)AB=AC+BC=7cm,EA=3cm,

当点E在线段4。上时,

iiill

EACOD

BE=AB-AE=7-3=4(cm),

当点E在线段D4的延长线上时,

iiill

AECBD

BE=AB+AE=7+3=10(cm),

EIBE的长是4或10cm.

【变式1](2023上•全国•七年级专题练习)如图,点C在线段48上,点M、N分别是AC、8C的中点.

MCNB

IIII

(1)若4C=10,BC=6,求线段MN的长.

(2)若4C+BC=a,请直接写出MN的长.

⑶若把(2)小题中"点C在线段AB上"改为"点C在直线4B上",试探究MN、AC,BC之间的数量关系.

【答案】⑴MN=8

{2}MN=^a

⑶当点C在线段上时,MN=|(4C+8C);当点C在点B的右侧时,MN=|(4C—BC);当点C在点4的左

侧时,MN=:(BC-AC)

【分析】本题考查两点之间的距离,掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键.

(1)由点M、N分别是AC、BC的中点.可知MC=5,CN=3,从而可求得MN的长度;

(2)由点N分别是4C、BC的中点,MN=MC+QV=2Q4C+BC);

(3)由于点C在直线48上,所以要分三种情况进行讨论计算MN的长度.

【详解】(1)解:团点M、N分别是力C、BC的中点,AC=10,BC=6,

11

团MC="C=5,CN=-BC=3,

22

团MN=MC+CN=8;

(2)解:回点M、N分别是/C、BC的中点,

1i

^\MC=-AC,CN=-BC,

22

mN=MC+CN=|(XC+BC)=^AB=|a;

(3)解:当点C在线段4B上时,

由⑵可知:MN=MC+CN=^(AC+BC);

当点C在线段4B外时,若点C在点B的右侧,

III]I

ABMNC

团点M、N分别是4C、BC的中点,

^MC=-AC,CN=-BC,

22

-1

MN=MC-CN=:{AC-BC);

当点c在线段外时,若点c在点a的左侧,

I1III

CMNAB

团点M、N分别是AC、BC的中点.

11

回MC=-AC,CN=-BC

22f

・•.MN=CN-MC=3(BC-");

综上所述,当点C在线段上时,MN=lG4C+BC);当点C在点B的右侧时,MN=^AC-BC);当点C在

点a的左侧时,MN-AC).

【变式2】(重庆市渝北区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题)如图,点C、。是线段4B上两点,

4C:BC=3:2,点。为4B的中点.

ADCH

图1

AEDCB

图2

⑴如图1所示,若4B=20,求线段CD的长;

⑵如图2所示,若E为47的中点,ED=5,求线段4B的长.

【答案】⑴2

⑵25

【分析】本题考查了与线段中点的有关的计算,线段的和与差.明确线段之间的数量关系是解题的关键.

(1)由题意可得,AC=1AB=12,AD=\AB=10,根据CD=AC—4D,计算求解即可;

(2)由题意得,AC=^AB,AD=^AB,AE=^AC=^AB,根据ED=AD-4E==5,计算求解

即可.

【详解】(1)解:囿48=20,4C:BC=3:2,点。为4B的中点,

团4C=-3AB=12,1AD=-AB=10,

52

团CO=AC-AD=2,

团线段CO的长为2;

(2)解:mC:BC=3:2,点。为的中点,E为AC的中点,

3113

^AC=-AB,AD=-AB,AE=-AC=—AB,

52210

131

0££>=AD-AE=-AB-—AB^-AB=5,

2105

解得,AB=25,

团线段AB的长为25.

【变式3](2023上•浙江温州•七年级统考期末)如图,点C是直线4B上一点,点M是线段4C的中点.

AMCB

IIII

⑴若4B=8,点C在线段4B上,S.AC=3BC,贝的长为.

(2)若4B=a,AB-AC=^,求8M的长(用含a的代数式表示).

【答案】(1)3

(2)BM=孕喈

【分析】本题主要考查线段中点有关的线段和差倍分的计算,熟练掌握线段中点的性质是解题的关键.

(1)由题意得,AB=8,AC=3BC,可求得4C=6,BC=2,结合点M是线段4C的中点,即可求得的

长;

(2)分两种情况讨论:当点C在点4,8之间,BC^AB-AC^l,得到"=拳结合点M是线段2C的中

点,求得CM=/aC=或即可求得BM的长;②当点C在点4左侧,4C=4B-”多结合点M为AC中点,

AM=^AC=^,即可求得BM的长.

【详解】(1)解:•••43=8,

AC+BC=8,

又4c=3BC,

BC+3BC=8,

AC=6,BC=2,

•・•点M是线段ac的中点,

AM=3.

(2)解:分两种情况:①当点C在点4B之间,

•••BCAB-AC

3

AC=AB-BC=a—=-a,

33

・・・点M为4C中点,

•••CM=-AC=-x-a=

2233

BM=CM+BC=-+-=-a,

333

②当点c在点/左侧,

•••AB-AC

ACAB

33

又••,点M为AC中点,

AM^-AC—

2233

CL4a

BM=AM+AB=-+a

33

综上:8M=/或季

考点11:线段的中点问题

典例11:(2023下•湖北武汉•七年级校考阶段练习)已知点C、D、E分别为线段48上的点(。在E点左边),

且满足DE=^AB.

'。图1B

II

A图28

⑴如图1,若BC=2AC,AB=9,。为4C中点时,求8E的长;

(2)若点C为BE的中点,DC=3AD,试探究线段DE与CB之间的数量关系.

【答案】⑴3

(2)7BC=2DE

【分析】本题考查线段的和差,中点的定义,运用了方程的思想.

⑴如图,设4C=%,根据8c=2AC,AB=9可得x=3,得到4C=3,BC=6,由中点的定义得出4。=|,

最后将数据代入BE=AB-AD-DE计算即可;

(2)如图,设DE=a,BC=b,由中点的定义得到EC=BC=b,所以。C=a+6,从而得到4。=](a+b),

最后利用48=4。+£^+<8。和£^=348可得到关于葭b等量关系式,从而问题得解.

【详解】(1)解:如图,设力C=x,

IIIII

ADCEB

1

WC=2AC,AB=9,DE=-AB,

2

9

团BC=2AC=2x,DE=一,

2

团%+2x=9,

0x=3,

朋C=3,BC=2AC=6,

回。为/C中点,

17

BAD=-AC=

22

39

团BE=AB-AD-DE=9----=3.

22

团BE的长为3.

(2)如图,设DE=a,BC=b,

iiill

ADECB

团点。为BE的中点,

团EC=BC=b,

WC=DE+EC=a+b,

aDC=3AD,

^\AD==|(a+h),

24B=AD+DC+BC——(a+b)+a+b+b=—a-\—b,

3'’33

又团OE=-AB,

2

团48=2DE,

团-ad—b=2a,

33

团7b=2a,

B7BC=2DE.

团线段DE与CB之间的数量关系为7BC=2DE,

【变式1](2024上•重庆渝中•七年级重庆巴蜀中学校考期末)如图,C,。是线段上的两个点,且

AC-.CD-.BD=1:2:4,点M是线段的中点,MD=2cm.

II11।

ACDMB

⑴求线段AB的长;

(2)若N是线段4B上一点,满足BC=8DN,求线段AN的长.

【答案】⑴28cm

⑵9cm或15cm

【分析】本题考查的是两点间的距离的计算,线段中点的性质,线段的和差计算;

(1)根据题意,设力C=x,CD=2x,BD=4x,得出4B=7x,根据线段中点的性质得出BD==(x,

进而根据DM=:x=2,即可求解;

(2)先求得DN==3cm,然后分①当N在。点左侧时;②当N在。点右侧时,结合图形,即可求解.

【详解】(1)解:vAC-CD-.BD=1:2:4,

设/C=x,CD=2x,BD=4%,

iiii।

ACDMB

AB=AC+CD+BD=7x,

•・•M是48的中点,

17

•••BD=-AB=-x,

22

7I

DM=BD-BM=4%——x=-x,

22

DM=2cm,

i

:Q

•-2x=2,

解得x=4,

AB=7x=28cm;

(2)vCD=2x,BD—4%,

i।i।।।।

ACN\DMN?B

・•.BC=BD+CD=6x=6x4=24cm,

AD=AC+CD=3x=12cm,

•・♦BC=8DN,

•••DN=-BC=3cm,

8

①当N在。点左侧时,

AN=AD-DN=12-3=9cm,

②当N在。点右侧时,

ZN=40+ON=12+3=15cm,

综上:ZN的长为9cm或15cm.

【变式2](2022上•湖南岳阳•七年级统考期末)如图,线段48=30,AC=10,点M是线段4C的中点.

।।।t।

AMCNB

(1)则线段BC的长度为」

(2)在线段CB上取一点M满足NB=3CN.求线段MN的长.

【答案】⑴20

(2)10

【分析】(1)根据图示,利用线段加减关系求解即可;

(2)根据中点的定义可知MC=^AC,由NB=3CN,可知CN=^BC,然后根据MN=MC+NC求解即可.

【详解】(1)解:AB=30,AC=10,

BC=AB-AC=30-10=20,

故答案为:20.

(2)解:•••BC=20,NB=3CN,

■.CN=-BC=-X20=5,

44

又••,点M是AC的中点,AC=10,

MC=-AC=5,

2,

MN=MC+NC=5+5=10.

【点睛】本题考查了两点间的距离,利用了线段的和差,线段中点的定义,熟练掌握线段中点的定义是解

答本题的关键.

【变式3](2022上•湖南长沙•七年级统考期末)已知点C在线段上,AC=2BC,点。、E在直线AB上,

点。在点E的左侧.若AB=18,DE=8,线段QE在线段A8上移动.

ADCEBA

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