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文档简介

专题12将军饮马模型将军饮马模型在考试中,无论是解答题,还是选择、填空题,都是学生感觉有困难的地方,也恰是学生能力区分度最重要的地方,主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是:①两点之间,线段最短;②垂线段最短,涉及的基本方法还有:利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值【模型探究】A,B为定点,m为定直线,P为直线m上的一个动点,求AP+BP的最小。图1图2(1)如图1,点A、B在直线m两侧:辅助线:连接AB交直线m于点P,则AP+BP的最小值为AB.(2)如图2,点A、B在直线同侧:辅助线:过点A作关于定直线m的对称点A’,连接A’B交直线m于点P,则AP+BP的最小值为A’B.例1.(2022·广东·九年级专题练习)已知点,,在x轴上的点C,使得最小,则点C的横坐标为_______.例2.(2022·江苏·八年级专题练习)如图,是等边三角形,AD是BC边上的高,E是AC的中点,P是AD上的一个动点,当的周长最小时,的度数为______.例3.(2022·浙江·临海市八年级开学考试)如图,正△ABC的边长为2,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A′BC′关于直线l对称,D为线段BC′上一动点,则AD+CD的最小值是_____.例4.(2023.浙江八年级期中)如图,等边△ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是AD边上的动点,E是AC边上一点,若AE=2,当EF+CF取得最小值时,则∠ECF的度数为多少?例5.(2023·江阴市八年级月考)某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型:直线同旁有两个定点、,在直线上存在点,使得的值最小.解法:如图1,作点关于直线的对称点,连接,则与直线的交点即为,且的最小值为.请利用上述模型解决下列问题:(1)几何应用:如图2,中,,,是的中点,是边上的一动点,则的最小值为;(2)几何拓展:如图3,中,,,若在、上各取一点、使的值最小,画出图形,求最小值并简要说明理由.模型2、将军饮马--两动一定求线段和的最小值【模型探究】已知定点A位于定直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.辅助线:过点A作关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连接A’A’’交直线m、n于点P、Q,则PA+PQ+QA的最小值为A’A’’.例1.如图,在锐角△ABC中,∠ACB=50°;边AB上有一定点P,M、N分别是AC和BC边上的动点,当△PMN的周长最小时,∠MPN的度数是()A.50° B.60° C.70° D.80°例2.(2022·安徽·合肥市八年级阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=30°,P(5,0),在OB上找一点M,在OA上找一点N,使△PMN周长最小,则此时△PMN的周长为___.例3.(2023.山东八年级期末)如图所示,在四边形ABCD中,∠A=90º,∠C=90º,∠D=60º,AD=3,AB=,若点M、N分别为边CD,AD上的动点,则△BMN的周长最小值为() A. B. C.6 D.3模型3、将军饮马--两动两定求线段和的最小值【模型探究】A,B为定点,在定直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小。(1)如图1,两个点都在直线外侧:辅助线:连接AB交直线m、n于点P、Q,则PA+PQ+QB的最小值为AB.(2)如图2,一个点在内侧,一个点在外侧:辅助线:过点B作关于定直线n的对称点B’,连接AB’交直线m、n于点P、Q,则PA+PQ+QB的最小值为AB’.图1图2(3)如图3,两个点都在内侧:辅助线:过点A、B作关于定直线m、n的对称点A’、B’,连接A’B’交直线m、n于点P、Q,则PA+PQ+QA的最小值为A’B’.(4)如图4,台球两次碰壁模型:辅助线:同图3辅助线作法。图3图4例1.(2023.浙江八年级期中)如图所示,∠AOB=50°,∠BOC=30°,OM=12,ON=4.点P、Q分别是OA、OB上动点,则MQ+PQ+NP的最小值是.例2.(2022·湖北武汉市·九年级期中)如图,点A在y轴上,G、B两点在x轴上,且G(﹣3,0),B(﹣2,0),HC与GB关于y轴对称,∠GAH=60°,P、Q分别是AG、AH上的动点,则BP+PQ+CQ的最小值是()A.6 B.7 C.8 D.9例3.(2022·湖北青山·八年级期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,以BC为边向左作等边△BCE,点D为AB中点,连接CD,点P、Q分别为CE、CD上的动点.(1)求证:△ADC为等边三角形;(2)求PD+PQ+QE的最小值.模型4、将军饮马--线段差的最大值【模型探究】A,B为定点,在定直线m上分别找两点P,使PA与PB的差最大。(1)如图1,点A、B在直线m同侧:辅助线:延长AB交直线m于点P,根据三角形两边之差小于第三边,P’A—P’B<AB,而PA—PB=AB此时最大,因此点P为所求的点。(2)如图2,点A、B在直线m异侧:辅助线:过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’,PA-PB最大值为AB’图1图2例1.(2022·福建福州·八年级期中)如图,在等边中,E是边的中点,P是的中线上的动点,且,则的最大值是________.例2.(2023·重庆·八年级专题练习)如图,四边形中,,,点为直线左侧平面上一点,的面积为则的最大值为___.例3.(2022·重庆大渡口·七年级期末)如图,,∠ACB=90°,BC=AC=4,平面内直线BC的左侧有一点P,连接BP,CP,,将沿BC翻折至同一平面得到,连接.若取得最大值时,则______.课后专项训练1.(2022·河南八年级期末)如图,在中,,,,,平分交于点,,分别是,边上的动点,则的最小值为__________.2.(2022·四川成都·七年级期末)如图,分别以线段AB的两个端点为圆心,以大于AB长为半径作弧,两弧交于点M和点N,在直线MN上取一点C,连接CA,CB,点D是线段AC的延长线上一点,且CD=AC,点P是直线MN上一动点,连接PD,PB,若BC=4,则PD+PB的最小值为___.3.(2022·安徽芜湖市·八年级期末)如图,在中.,若,,,将折叠,使得点C恰好落在AB边上的点E处,折痕为AD,点P为AD上一动点,则的周长最小值为___.4.(云南省红河哈尼族彝族自治州建水县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题)如图,在等边中,BC边上的高,E是高AD上的一个动点,F是边AB的中点,在点E运动的过程中,存在最小值,则这个最小值是(

)A.5 B.6 C.7 D.85.(2022·山东山东·八年级期末)如图,在平面直角坐标系中,线段所在直线的解析式为,是的中点,是上一动点,则的最小值是(

)A. B. C. D.6.(2022·河南安阳市·八年级期末)如图,在中,,,的面积为12,于点D,直线EF垂直平分BC交AB于点E,交BC于点F,P是线段EF上的一个动点,则的周长的最小值是()A.6 B.7 C.10 D.127.(2022•芜湖期末)如图,在锐角三角形ABC中,AB=4,△ABC的面积为8,BD平分∠ABC.若M、N分别是BD、BC上的动点,则CM+MN的最小值是()A.2 B.4 C.6 D.88.(2022·河南·安阳市殷都区教科培中心八年级期末)如图,在中,,边的垂直平分线分别交,于点,,点是边的中点,点是上任意一点,连接,,若,,周长最小时,,之间的关系是(

)A. B. C. D.9.(2022·广东广州·八年级期末)如图,点D是∠FAB内的定点且AD=2,若点C、E分别是射线AF、AB上异于点A的动点,且△CDE周长的最小值是2时,∠FAB的度数是()A.30° B.45° C.60° D.90°11.(2022·湖北·武汉市六中位育中学八年级)如图,,为上一动点,,过作交直线于,过作交直线于点,若,当的值最大时,则________.12.(2021·全国·八年级专题练习)如图,四边形中,,,点为直线左侧平面上一点,的面积为则的最大值为___.13.(2022·湖北十堰·八年级期末)如图,在四边形ABCD中,.在BC,CD上分别找一点M,N,使周长最小,则的度数为_________.14.(2022·河南濮阳·八年级期末)如图,等边三角形的边长为5,A、B、三点在一条直线上,且.若D为线段上一动点,则的最小值是________.15.如图,∠AOB=45°,P是∠AOB内的一点,PO=10,点Q,R分别在∠AOB的两边上,△PQR周长的最小值是.16.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点,连接PM、PN和MN,则PM+PN+MN的最小值是.17.(2022·江苏南通·一模)平面直角坐标系xOy中,已知点P(m,m+2),

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