常州高三一模数学试卷

常州高三一模数学试卷一、选择题

1.若函数f(x)=x^3-3x在区间[-1,1]上的最大值为M，最小值为m，则M-m的值为：（）

A.2B.4C.6D.8

2.已知等差数列{an}中，a1=1，a3=7，则该数列的公差d为：（）

A.2B.3C.4D.5

3.若函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为(-1,3)，则a的取值范围为：（）

A.a>0B.a<0C.a=0D.无法确定

4.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则sinA+sinB+sinC的值为：（）

A.3B.4C.5D.6

5.已知复数z=2+3i，若|z-i|=2，则复数z的实部为：（）

A.2B.3C.4D.5

6.若函数f(x)=x^2+2x-3在x=1处的导数为f'(1)，则f'(1)的值为：（）

A.1B.2C.3D.4

7.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值为：（）

A.1/2B.1/3C.2/3D.3/4

8.已知等比数列{an}中，a1=2，q=3，则该数列的前10项和S10为：（）

A.5904B.5912C.5920D.5932

9.若函数y=ax^3+bx^2+cx+d的图像与x轴交点个数为3，则a、b、c、d的取值满足：（）

A.a≠0B.b≠0C.c≠0D.d≠0

10.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则cosB的值为：（）

A.1/2B.1/3C.2/3D.3/4

二、判断题

1.在实数范围内，函数y=x^2+1的图像关于y轴对称。（）

2.若等差数列{an}的公差d大于0，则该数列是递增的。（）

3.复数z的模长|z|等于其共轭复数z*的模长|z*|。（）

4.对于任意实数x，函数y=x^3的图像是单调递增的。（）

5.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，则根据余弦定理有a^2=b^2+c^2-2bc*cosA。（）

三、填空题

1.函数f(x)=2x^3-3x^2+x+1在x=1处的导数值为______。

2.等差数列{an}的前5项分别为2，5，8，11，14，则该数列的第10项an为______。

3.复数z=3-4i的模长|z|等于______。

4.若函数y=log2(x+3)的图像与直线y=x相交于点P，则点P的横坐标为______。

5.在△ABC中，若a=6，b=8，c=10，则角A的正弦值sinA等于______。

四、简答题

1.简述二次函数y=ax^2+bx+c的图像与系数a、b、c之间的关系，并举例说明。

2.请解释等差数列和等比数列的定义，并给出一个等差数列和一个等比数列的实例。

3.如何利用复数的模长和辐角来表示一个复数在复平面上的位置？

4.举例说明如何利用导数判断函数的单调性，并说明单调区间的定义。

5.简述余弦定理的应用，并给出一个应用余弦定理解决三角形边长问题的实例。

五、计算题

1.计算函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在x=2处的导数值，并求出函数的极值点。

2.已知等差数列{an}的前三项分别为3，7，11，求该数列的通项公式an，并计算前10项的和S10。

3.计算复数z=4+3i与其共轭复数z*=4-3i的乘积，并求出该乘积的模长。

4.解方程组：

\[

\begin{cases}

2x+3y=8\\

3x-2y=1

\end{cases}

\]

5.已知△ABC中，a=5，b=7，c=8，求角A的正弦值sinA和余弦值cosA。

六、案例分析题

1.案例背景：某公司生产一批产品，已知产品的质量与生产时间t（小时）之间存在以下关系：质量Q(t)=100t-t^2。请问：

a.当生产时间为多少小时时，产品的质量达到最大值？

b.在生产过程中，如何确定何时停止生产以最大化总质量？

2.案例背景：某城市为了减少交通拥堵，决定对部分道路实施单双号限行政策。假设限行政策实施后，每天的车辆流量变化如下：

a.限行前一天，车辆流量为12000辆；

b.限行当天，车辆流量减少20%；

c.限行后一天，车辆流量恢复至限行前一天的水平。

请问：

a.限行当天，车辆流量是多少辆？

b.限行政策实施一周后，该城市的总车辆流量相比限行前一周减少了多少？

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批产品，每件产品的生产成本为50元，售价为100元。市场需求函数为P=200-2Q，其中P是价格，Q是需求量。求：

a.市场需求量为多少时，工厂获得最大利润？

b.最大利润是多少？

2.应用题：一个正方形的边长随时间t（秒）变化，变化规律为a(t)=2t+3。求：

a.当t=4秒时，正方形的面积是多少？

b.正方形的面积随时间变化的速率是多少？

3.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为x、y、z，体积V=xyz。已知长方体的表面积S=2xy+2xz+2yz为定值60平方单位。求：

a.当x+y+z=10时，长方体的体积最大值是多少？

b.如何通过改变长、宽、高的比例来使体积最大化？

4.应用题：某公司进行市场推广活动，活动期间顾客购买产品可获得积分。积分规则如下：购买金额每满100元，获得100积分；不足100元部分，每满10元获得10积分。顾客张先生在活动期间购买了以下商品：

a.商品A，价格为350元；

b.商品B，价格为150元；

c.商品C，价格为80元。

求张先生在活动期间总共获得的积分。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案

1.A

2.A

3.A

4.A

5.B

6.B

7.C

8.A

9.A

10.A

二、判断题答案

1.√

2.√

3.√

4.√

5.√

三、填空题答案

1.-5

2.14

3.5

4.3

5.3√5/5

四、简答题答案

1.二次函数y=ax^2+bx+c的图像是一个抛物线。当a>0时，抛物线开口向上，顶点为最小值点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点为最大值点。b的值决定了抛物线的对称轴，即x=-b/(2a)。c的值决定了抛物线与y轴的交点。

2.等差数列是每一项与它前一项之差相等的数列，通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差。等比数列是每一项与它前一项之比相等的数列，通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比。

3.复数z的模长|z|是z到原点的距离，计算公式为|z|=√(Re(z)^2+Im(z)^2)，其中Re(z)是z的实部，Im(z)是z的虚部。复数z的辐角是z与正实轴的夹角，可以通过arctan(Im(z)/Re(z))求得。

4.如果函数在某一点的导数大于0，则该点是一个局部极小值点；如果导数小于0，则该点是一个局部极大值点。单调区间是指函数在该区间内导数的符号不变。

5.余弦定理是用于计算三角形边长和角度的关系的定理，公式为a^2=b^2+c^2-2bc*cosA，其中A是角A的对边a，b和c是三角形的两边。

五、计算题答案

1.f'(x)=3x^2-12x+9，在x=1处，f'(1)=0，极值点为x=1，极小值为f(1)=1。

2.an=3+(n-1)4=4n-1，S10=10/2*(2*3+(10-1)*4)=210。

3.z*z*=(4+3i)(4-3i)=16-9i^2=25，|z*z*|=|25|=25。

4.解得x=2，y=1。

5.sinA=b/c=7/8，cosA=a/c=5/8。

六、案例分析题答案

1.a.最大质量发生在t=1小时时，质量为99。

b.停止生产的时间应选择在质量开始下降的时刻，即t=1小时。

2.a.限行当天，车辆流量为12000*80%=9600辆。

b.限行一周后，总车辆流量减少20%，即减少24000辆。

知识点总结：

本试卷涵盖了高中数学中的多项基础知识，包括：

1.函数与导数：二次函数、导数、极值、单调性。

2.数列：等差数列、等比数列、数列的求和。

3.复数：复数的模长、辐角、复数的乘法。

4.解方程：一元二次方程、二元一次方程组。

5.三角函数：正弦、余弦、正切、余切。

6.三角形：余弦定理、三角形的面积和周长。

7.应用题：函数模型、数列模型、几何模型。

各题型所考察的知识点详解及示例：

1.选择题：考察学生对基础知识的掌握程度，如函数图像、数列性质、三角函数值等。

2.判断题：考察学生对基础知识的理解和应用能力，如数列的单调性、复数的性质