重庆市城口中学与渝高中学2024-2025学年高二下学期第一次联合考试数学试题（原卷版+解析版）

城口中学与渝高中学高二（下期）第一次联合考试数学试卷（时间：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知函数，为的导函数，则的值为（）A. B. C. D.2.设函数在处存在导数为2，则（）A.1 B.2 C. D.33.已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（）A. B.C D.4.已知函数，则“”是“在上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.若函数在处有最值，则等于（）A.2 B.1 C.0 D.6.已知是定义在上的函数，它的图象上任意一点处的切线方程为，那么函数的单调递减区间为（）A. B.C. D.7.已知函数在处取得极值0，则（）A.24 B.27 C.45 D.27或458.我们熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数的“躺平点”分别为则的大小关系为（）A. B.C. D.二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.下列求导过程正确的选项是（）A.B.C.（xa）′＝axa﹣1D（logax）′＝10.下列命题正确的有（）A.函数的极小值一定比极大值小B.已知函数，若，则C.若函数，则极大值为1D.设函数的导函数为，且，则11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数存在三个不同的零点B.函数既存极大值又存在极小值C.若时，，则最小值为D.若方程有两个实根，则第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数是定义在R上的函数，，且曲线在点处的切线斜率为6，则______________．13.已知，直线与曲线相切，则的最小值是______________．14.已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是______________．四、解答题：（本大题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共77分）．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求的单调区间和极值；（2）求在区间上的最值．16.（1）若，解不等式．（2）已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，求的单调区间．17.已知函数．（1）当时，求在点处的切线方程；（2）若，试讨论的单调性．18.已知函数在处的切线l和直线垂直．（1）求实数a的值；（2）设，已知在单调递增，求实数m的取值范围．19.已知函数.（1）求函数在区间上的最值；（2）讨论方程实根个数.

城口中学与渝高中学高二（下期）第一次联合考试数学试卷（时间：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知函数，为的导函数，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，进而可求得的值.【详解】，则，因此，.故选：B2.设函数在处存在导数为2，则（）A.1 B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】利用导数的定义即可得解.【详解】由依题意，知,则，故选：A3.已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由导数图像，确定函数单调性，进而可判断；【详解】由导函数图象可知，在上单调递减，在上单调递增，结合选项，只有A符合；故选：A4.已知函数，则“”是“在上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】若在上单调递增，则在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】函数定义域为，则，若在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，又，当且仅当，即时取等号，所以，因为，所以“”是“在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A5.若函数处有最值，则等于（）A.2 B.1 C.0 D.【答案】B【解析】【分析】由于函数的定义域为，若在处有最值，则，求导即可得的值.【详解】因为函数的定义域为，在处有最值，则是函数的极值点，又因为，则，经检验，满足极值条件，故选：B6.已知是定义在上的函数，它的图象上任意一点处的切线方程为，那么函数的单调递减区间为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用斜率的几何意义求出，再利用导数的正负求解单调区间即可.【详解】因为图象上任意一点处的切线方程为，所以，则，令，，则在上单调递减，即单调递减区间为，故B正确.故选：B7.已知函数在处取得极值0，则（）A.24 B.27 C.45 D.27或45【答案】C【解析】【分析】根据在处取得极值0，可得，解出验证即可得解.【详解】根据函数，则，又在处取得极值0，则，解得或，当时，，函数在上单调递增，无极值点，不符合题意；当时，，当或时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极小值，符合题意，则.故选：C.8.我们熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数的“躺平点”分别为则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题中新定义，易解得，利用零点存在定理解得，即可得出结论.【详解】根据“躺平点”定义可知，因为，所以，解得.同理，，则，解得.，则.令，定义域为，则，所以是增函数.又因为，所以在有唯一零点，即综上，.故选：D.二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.下列求导过程正确的选项是（）A.B.C.（xa）′＝axa﹣1D.（logax）′＝【答案】BCD【解析】【分析】利用导数的计算公式逐一判断即可.【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，（）′＝（x﹣1）′＝﹣，A错误；对于B，（）′＝（）′＝＝，B正确；对于C，（xa）′＝axa﹣1，C正确；对于D，（logax）′＝（）′＝，D正确；则B、C、D计算正确.故选：BCD．【点睛】本题考查导数的运算，是基础题.10.下列命题正确的有（）A.函数的极小值一定比极大值小B.已知函数，若，则C.若函数，则的极大值为1D.设函数的导函数为，且，则【答案】BD【解析】【分析】利用极值的性质判断A，利用导数公式求出导数，建立方程，求解判断B，利用导数求出单调区间，再得到极值判断C，将方程两侧同时求导并结合赋值法判断D即可.【详解】对于A，由极值的性质得极值是研究函数的局部性质，则函数的极小值不一定比极大值小，故A错误，对于B，因为，所以，因为，所以，解得，故B正确，对于C，因为，所以，令，则，令，则，故在上单调递减，在上单调递增，则的极大值为，故C错误，对于D，因为，所以，令，得到，解得，故D正确.故选：BD11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数存在三个不同的零点B.函数既存在极大值又存在极小值C.若时，，则的最小值为D.若方程有两个实根，则【答案】BD【解析】【分析】求导后，结合正负可得单调性；利用零点存在定理可说明零点个数，知A错误；根据极值定义可知B正确；采用数形结合的方式可求得CD正误.【详解】定义域为，，当时，；当时，；在，上单调递减，在上单调递增；对于A，，，，在区间和内各存在一个零点；当时，，，恒成立；有且仅有两个不同的零点，A错误；对于B，由单调性可知：的极小值为，极大值为，B正确；对于C，，作出图象如下图所示，可知方程存在另一个解，若当时，，则，C错误；对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点，作出图象如下图所示，结合图象可知：，D正确.故选：BD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数是定义在R上的函数，，且曲线在点处的切线斜率为6，则______________．【答案】2【解析】【分析】对函数求导，应用导数的几何意义有，即可求参数.【详解】由题设，且.故答案为：13.已知，直线与曲线相切，则的最小值是______________．【答案】27【解析】【分析】由导数几何意义和切线斜率可求得切点坐标，由此得到，利用配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得结果.【详解】由得：；当时，，直线与曲线相切的切点坐标为，，又为正实数，,（当且仅当，即，即时取等号），的最小值为27.故答案为：27.14.已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是______________．【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，由在内不单调知在内有实数根且无重根，再通过分类讨论结合二次方程根的分布求得实数的范围.【详解】由，得，因为在内不单调，所以在内有实数根且无重根.若在内有且只有一个实数根，的图象如图，则，即，显然不等式无解；若在内有两个不相等的实数根，的图象如图，则，即，解得.综上，实数的取值范围是故答案为：．四、解答题：（本大题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共77分）．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求的单调区间和极值；（2）求在区间上的最值．【答案】（1）单调递减区间为,函数单调递增区间为．极小值为,无极大值；（2）最小值为,最大值为2．【解析】【分析】（1）求导,得到,令得,或（舍去）,将定义域分成几段考虑导数正负,得出单调区间,由单调性,得到函数的极值.（2）与（1）方法相同(只是定义域发生改变),求出极值后再与端点值比较即可得到最值.【小问1详解】函数的定义域为,．令得,或（舍去）,当时,,函数单调递减；当时,,函数单调递增,所以函数单调递减区间为,函数单调递增区间为．函数的极小值为,无极大值．【小问2详解】由（1）知,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以,,,又因为,所以函数在区间的最小值为,最大值为2．16.（1）若，解不等式．（2）已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，求的单调区间．【答案】（1）；（2）的单调递减区间是，的单调递增区间是．【解析】【分析】（1）利用导数求出的单调性，判断的奇偶性，利用奇偶性、单调性解不等式即可.（2）利用函数的图象分别确定在，及上的符号，进而得到的单调性.详解】（1）由，得，所以在上单调递增，又，所以为奇函数，，即，所以，解得.所以不等式的解集为.（2）根据图象可知当时，，可得；当时，，可得；当时，，可得，仅在时等号成立；所以时，，此时单调递减，当时，，仅在时等号成立，此时单调递增，因此的单调递减区间是，的单调递增区间是．17.已知函数．（1）当时，求在点处的切线方程；（2）若，试讨论单调性．【答案】（1）（2）当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．【解析】【分析】（1）根据在点处的切线方程为即可求解；（2）由题意有，根据的范围分类讨论即可.【小问1详解】当时，，，，，所以切点为，切线方程即．【小问2详解】的定义域为，，当时，由可得或；由可得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，恒成立，函数的单调递增区间为；当时，由可得或；由可得所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．18.已知函数在处的切线l和直线垂直．（1）求实数a的值；（2）设，已知在单调递增，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，求出函数的导数，因为切线l和直线垂直，由导数几何意义可得，解出的值，即可得到答案.（2）将问题转化为在上恒成立，设，则，根据单调性求出最小值，即为m的取值范围．【小问1详解】由函数，可得，可得因为函数在处的切线l和直线垂直，所以即，解得【小问2详解】因为在单调递增从而有，即在上恒成立设，则因为令，即，解得，令，即，解得，所以在单调递减，在单调递增又因为，故在上最小值所以实数m的取值范围是.19.已知函数.（1）求函数在区间上的最值；（2）讨论方程实根个数.【答案】（1）最小值为，最大值为（2）答案见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，再分析函数的单调性，再求函数