湖北省襄阳市宜城市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

宜城市2024-2025学年度上学期期末学业质量测试题九年级数学（本试题卷共8页，满分120分，考试时间120分钟）祝考试顺利注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.一元二次方程的解是（）A. B.C. D.2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.3.二次函数最小值是（）A. B.3 C. D.44.下列成语所描述的事件属于必然事件的是（）A.画饼充饥 B.缘木求鱼 C.水滴石穿 D.水中捞月5.若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则实数的值为（）A. B. C. D.46.如图，中，弦，的半径长为，则圆心O到的距离为（）A. B. C. D.7.如图，点A为反比例函数的图象上一点，过A作轴于点B，连接，则的面积为（）A B.10 C. D.58.如图，分别是的边上的点，且，相交于点，若，则的值为（）A. B. C. D.9.如图，是的直径，P是延长线上的一点，切于点C，，，则的半径等于（）A.2 B.3 C.4 D.510.对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，现有结论：①，②，③，④，其中结论正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（共5题，每题3分，共15分）11.一元二次方程的两个实数根分别为，则的值为______．12.已知反比例函数（k为常数，且），当时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的值为______．13.如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为______．14.我国古代数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中有题：直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？答：阔为______步；长为______步．15.如图，在中，于H，点O中点，连接，则______．三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根．17.如图，已知正方形，点E是对角线上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转至的位置，连接．求证：．18.有两张长，宽的矩形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小矩形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个．（1）做成有盖长方体纸盒裁剪方式是______（填“图1”或“图2”）．（2）若图1中裁去的小正方形边长为，则做成的纸盒的底面积是______．（3）若按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为，则剪去的小正方形的边长为多少？19.如图，为直径，点D在上，．（1）尺规作图：作出弧的中点C（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接，交与点E，求扇形的面积．20.已知一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点．（1）求反比例函数与一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图像；（2）根据函数图像，直接写出不等式的解集；21.如图，是的直径，与相交于点B，．（1）求证：是的切线．（2）若，求弧的长度．22.鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使的周长最小，求此时点G的坐标．（3）如图②，点P为直线下方抛物线上的一动点，过点P作交于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标．

宜城市2024-2025学年度上学期期末学业质量测试题九年级数学（本试题卷共8页，满分120分，考试时间120分钟）祝考试顺利注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.一元二次方程的解是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【详解】解：方程整理得：，解得：．故选：B．2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，关键是掌握中心对称图形、轴对称图形的定义．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．【详解】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；B、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意；C、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C符合题意；D、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：C．3.二次函数最小值是（）A. B.3 C. D.4【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：二次函数中，，当时，二次函数有最小值，最小值为，故选：A．4.下列成语所描述的事件属于必然事件的是（）A.画饼充饥 B.缘木求鱼 C.水滴石穿 D.水中捞月【答案】C【解析】【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可判断．【详解】解：A、画饼充饥，是不可能事件，故A不符合题意；B、缘木求鱼，是不可能事件，故D不符合题意；C、水滴石穿，是必然事件，故C符合题意；D、水中捞月，是不可能事件，故B不符合题意；故选：C．5.若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则实数的值为（）A. B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到，建立关于的方程，解答即可．【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴，∴，解得，故选：A．【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时；当一元二次方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．6.如图，中，弦，的半径长为，则圆心O到的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．过点作交于点，连接．根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长即可．【详解】解：如图，过点作交于点，连接．，，，在中利用勾股定理，得，圆心到距离为．故选：A．7.如图，点A为反比例函数的图象上一点，过A作轴于点B，连接，则的面积为（）A. B.10 C. D.5【答案】D【解析】【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变是解题的关键．直接根据反比例函数系数的几何意义解答即可．【详解】解：点为反比例函数的图象上一点，过作轴于点，．故选：D．8.如图，分别是的边上的点，且，相交于点，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可证明，再利用相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出对应边的比值．【详解】解：∵∴∴根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可知对应边的比为．故选：C．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的性质，主要有①相似三角形周长的比等于相似比；②相似三角形面积的比等于相似比的平方；③相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．9.如图，是的直径，P是延长线上的一点，切于点C，，，则的半径等于（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质．证明，得，所以，可将的长求出，进而可得的半径．【详解】解：如图，连接，，，切于点，，，是的直径，，，，，，，，，，，即，解得，，故的半径为2．故选：A．10.对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，现有结论：①，②，③，④，其中结论正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】该题主要考查二次函数图象的基本性质及通过图象判断式子的正负，结合图象，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．结合函数图象可得开口向上，，对称轴为，函数图象与轴的交点在轴负半轴，与轴有两个交点等，根据这些基本性质，逐项判断即可得出结果．【详解】解：根据函数图象可得：开口向上，，对称轴为，，，③正确；函数图象与轴的交点在轴负半轴，，∴，①错误；根据图象可得，函数图象与轴有两个交点，∴对应方程有两个根，∴，即，②正确；当时，，，，即，④正确；综上可得：②③④正确，故选：C．二、填空题（共5题，每题3分，共15分）11.一元二次方程的两个实数根分别为，则的值为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可．【详解】解：∵方程的两根为，，∴．故答案为：．12.已知反比例函数（k为常数，且），当时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的值为______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数，当时，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内随的增大而增大是解决问题的关键．先根据反比例函数的性质判断出的符号，再写出符合条件的函数关系式即可．【详解】解：反比例函数，当时随的增大而增大，的值可以为．故答案为：（答案不唯一）13.如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键．根据题意列举随机闭合两个开关的所有情况，以及能使小灯泡发光的情况，从而完成求解．【详解】解：由题意得，随机闭合两个开关有、、、、、六种情况，其中能使小灯泡发光的有、，即2种，∴小灯泡发光的概率为；故答案为：．14.我国古代数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中有题：直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？答：阔为______步；长为______步．【答案】①.24②.36【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设阔为步，则长为步，根据直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．【详解】解：设阔为步，则长为步，根据题意得：，整理得：，解得：(不符合题意，舍去)，，阔为24步，长为36步．故答案为：24，3615.如图，在中，于H，点O是中点，连接，则______．【答案】【解析】【分析】在上截取，连接，在中，由勾股定理求出，证明和相似，利用相似三角形的性质得，，则，，证明和全等得，，由此得，则是等腰直角三角形，然后再利用勾股定理即可求出的长．【详解】解：在上截取，连接，如图所示：，在中，，，由勾股定理得：，，，，，，又，，，，，，，在中，，，点是中点，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，即，是等腰直角三角形，由勾股定理得：，．故答案为：【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解决问题的难点．三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根．【答案】；-4【解析】【分析】把代入方程计算求出的值，进而求出另一根即可；【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是，解得：，把代入方程得：，设另一根为，可得，解得：，则的值为3，方程另一根为-4；【点睛】此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键17.如图，已知正方形，点E是对角线上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转至的位置，连接．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键，由旋转的性质可得，由正方形的性质得到，从而推出，再利用，即可证得．【详解】解：∵绕点D顺时针旋转至位置，∵四边形为正方形，，，即．在与中，，．18.有两张长，宽的矩形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小矩形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个．（1）做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是______（填“图1”或“图2”）．（2）若图1中裁去的小正方形边长为，则做成的纸盒的底面积是______．（3）若按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为，则剪去的小正方形的边长为多少？【答案】（1）图2（2）（3）【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用、长方体的平面展开图等知识，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．（1）根据长方体的平面展开图特点即可得；（2）先求出底面长方形的长、宽，再利用长方形的面积公式计算即可得；（3）设剪去的小正方形的边长为，根据按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为建立方程，解方程即可得．【小问1详解】解：做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是图2，故答案为：图2．【小问2详解】解：∵图1中裁去的小正方形边长为，∴底面长方形的长为，宽为，∴做成的纸盒的底面积是，故答案为：．【小问3详解】解：设剪去的小正方形的边长为，由题意得：，解得：或，当时，，不符合题意，舍去，∴，答：剪去小正方形的边长为．19.如图，为的直径，点D在上，．（1）尺规作图：作出弧的中点C（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接，交与点E，求扇形的面积．【答案】（1）见解答（2）【解析】【分析】（1）作的垂直平分线，利用垂径定理解答即可；（2）先根据垂径定理可得，则，最后由扇形的面积公式即可解答．【小问1详解】解：如图1所示：点即为所求；【小问2详解】解：如图2，，，点是的中点，，，，，扇形的面积．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，直角三角形的性质，基本作图-线段垂直平分线等知识，掌握垂径定理是解题的关键．20.已知一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点．（1）求反比例函数与一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图像；（2）根据函数图像，直接写出不等式的解集；【答案】（1），，见解析（2）或【解析】【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；（2）根据函数图象直接写出不等式的解集即可．【小问1详解】解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，，解得，．一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为：．图象如图：【小问2详解】解：把代入，得，，根据函数图象不等式的解集为：或．21.如图，是的直径，与相交于点B，．（1）求证：是的切线．（2）若，求弧的长度．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）要证明是的切线，只需证明即可；（2）利用含有角的直角三角形性质，可求出和的关系，的度数而，，根据其值，进而求出的半径长度，根据弧长公式即可求得答案．小问1详解】证明：是直径，，即，，，，是的切线；【小问2详解】解：设半径长度为，则，是的切线，，，，，，，，，，，弧的长度．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，圆周角定理和切线的判定，弧长公式等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．22.鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？【答案】（1）y=－2x+200（30≤x≤60）（2）w=－2（x－65）2+2000）;（3）当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元【解析】【分析】（1）设出一次函数解析式，把相应数值代入即可．（2）根据利润计算公式列式即可；（3）进行配方求值即可．【详解】（1）设y=kx+b，根据题意得解得：∴y=－2x+200（30≤x≤60）（2）W=（x－30）（－2x+200）－450=－2x2+260x－6450=－2（x－65）2+2000）（3）W=－2（x－65）2+2000∵30≤x≤60∴x=60时,w有最大值为1950元∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元考点：二次函数的应用．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或【解析】【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；（2）方法和一样，先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；（3