河南省南阳市社旗县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题（原卷版+解析版）

2024年秋期八年级期终教学质量评估试卷数学注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1.下列各数中，最小的数是（）A.－l B.0 C.1 D.2.若有意义，则x的取值范围是（）A. B. C. D.3.下列各式中，运算结果为是（）A. B. C. D.4.下列运算中正确的是（）A. B.C. D.5.分解因式：（）A. B. C. D.6.八年级（2）班的数学兴趣小组开展了设计伞的实践活动．小康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，，E，F分别是的中点，，那么判定的依据是（）A. B. C. D.7.已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（）A. B.2 C.3 D.8.下列条件中，不能得到等边三角形的是（）A.有两个角等于的三角形 B.一边上的中线也是这条边上的高的三角形C.有一个角等于的等腰三角形 D.三个外角都相等的三角形9.某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（）A.12 B.13 C.14 D.15二、填空题（每小题3分，共15分）11.16算术平方根是___________．12.与的公因式为________．13.某校参加数学节学生人数统计图如图所示，若参加说题比赛的学生有60人，则参加解题比赛有_____人．14.如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是_____．15.如图，点D是内的定点且，若点C、E分别是射线、上异于点A的动点，且周长的最小值是2时，的度数是________．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（1）计算：（2）计算：17.先化简，再求值：，其中，．18.近年来，我国肥胖人群的规模快速增长，目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出名男生、名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的数值，再参照数值标准分成四组：．；．；．；．．将所得数据进行收集、整理、描述．收集数据七年级名男生数据统计表编号身高（）体重（）七年级名女生数据统计表编号身高（）体重（）整理、描述数据七年级名学生频数分布表组别男生频数女生频数应用数据（1）_____，_____；（2）已知该校七年级有男生人，女生人．估计该校七年级男生偏胖的人数；估计该校七年级学生人数．（3）根据以上统计数据，针对该校七年级学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议．19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E、D，AD＝2.6cm，DE＝1.2cm，求BE的长．20.如图，在中，，，，，，求四边形的面积．21.求证：如果三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么该三角形为直角三角形．（要求：根据图形写出已知、求证并证明）已知：______．求证：______．证明：22.常用分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下：这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：（2）已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由．23.【教材呈现】如下，是华师版八年级上册69页的部分内容，请你阅读并填空．例4如图13.2.13，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点E．求证：．证明∵（已知），，（两直线平行，内错角相等）．在与中，，（已证），（已知），，（全等三角形的对应边相等）．（1）在上述证明过程中能得到，依据是_____．【尝试变编】在变编环节，聪聪编题如下：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．如下是明明的解决方法：延长到，使，连接．请根据明明的方法填空：（2）的取值范围是_____．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【尝试运用】（3）如图2，是的中线，交于，交于，且，若，，求线段的长．（4）如图3，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接，请直接写出线段，，三者之间的等量关系．

2024年秋期八年级期终教学质量评估试卷数学注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1.下列各数中，最小的数是（）A.－l B.0 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根据实数的大小比较法则，比较即可解答．【详解】解：∵，∴最小的数是-1．故选：A【点睛】本题考查实数的大小比较，负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．2.若有意义，则x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】解：二次根式有意义，，解得．故选：A．3.下列各式中，运算结果为的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式，根据合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式法则逐项排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】、与不可以合并，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故符合题意；、，故不符合题意；故选：．4.下列运算中正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是单项式的乘除运算，多项式的乘法运算，完全平方公式的应用，根据完全平方公式，单项式乘法与除法运算法则，同底数幂的乘法，单项式乘以多项式的运算法则逐一分析即可．【详解】解：A、，原式计算错误，故该选项不符合题意；

B、，原式计算正确，故该选项符合题意；

C、，原式计算错误，故该选项不符合题意；

D、，原式计算错误，故该选项不符合题意；

故选：B．5.分解因式：（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键．将先提取公因式，再运用平方差公式分解即可．【详解】解：，故选：A．6.八年级（2）班的数学兴趣小组开展了设计伞的实践活动．小康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，，E，F分别是的中点，，那么判定的依据是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．由E，F分别是，的中点，得出；根据三边对应相等，证明三角形全等．【详解】解：∵E，F分别是的中点，，∴，在与中，，∴．故选：A．7.已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（）A. B.2 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解．【详解】解：如图，∵是等腰底边上的高，∴平分，∴点F到直线，的距离相等，∵点到直线的距离为3，∴点到直线的距离为3．故选：C．8.下列条件中，不能得到等边三角形的是（）A.有两个角等于的三角形 B.一边上的中线也是这条边上的高的三角形C.有一个角等于的等腰三角形 D.三个外角都相等的三角形【答案】B【解析】【分析】根据等边三角形的判定定理逐一判断即可．【详解】A、有两个角是的三角形是等边三角形，故此选项不符合题意；B、一边上的中线也是这条边上的高的三角形不一定是等边三角形，故此选项符合题意；C、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故此选项不符合题意；D、三个角都相等的三角形是等边三角形，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟知等边三角形的判定定理．9.某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线；第二个图，由作图可知：，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴为的平分线；第三个图，由作图可知，∴，，∴∴，∴为的平分线；第四个图，由作图可知：，，∴为的平分线；故选D．10.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（）A.12 B.13 C.14 D.15【答案】B【解析】【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为．【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为，∴，即①，∵，∴②，①②得，∴大正方形的面积，故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11.16算术平方根是___________．【答案】4【解析】【详解】解：∵∴16的平方根为4和-4，∴16的算术平方根为4，故答案为：412.与的公因式为________．【答案】【解析】【分析】根据确定公因式的确定方法：系数取最大公约数；字母取公共字母；字母指数取最低次的，即可解答．【详解】解：根据确定公因式的方法，可得与的公因式为，故答案为：．【点睛】本题考查了公因式的确定，掌握确定公因式的方法是解题的关键．13.某校参加数学节的学生人数统计图如图所示，若参加说题比赛的学生有60人，则参加解题比赛有_____人．【答案】75【解析】【分析】本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，求出本次参加数学节的学生总人数．首先根据说题的人数与占比求出参加数学节的总人数，再用解题的占比乘以总人数即可得解．【详解】解：∵参加说题比赛的学生有60人，所占比例为，∴参加数学节的学生人数为：（人）∴参加解题比赛的人数为：（人）故答案为：.14.如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是_____．【答案】##18米【解析】【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，作出直角三角形，利用勾股定理求解即可得到答案，由题意构造出直角三角形求解是解决问题的关键．【详解】解：如图所示：由题意可知，、，在中，由勾股定理可得，这棵大树在折断之前的高是，故答案为：．15.如图，点D是内的定点且，若点C、E分别是射线、上异于点A的动点，且周长的最小值是2时，的度数是________．【答案】##30度【解析】【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质和判定，作D点分别关于、的对称点G、H，连接分别交、于、，连接，，利用轴对称的性质得，利用两点之间线段最短判断此时周长最小为，可得是等边三角形，进而可得的度数．熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．【详解】解：如图，作D点分别关于、的对称点G、H，连接分别交、于、，连接，，此时周长最小为，根据轴对称的性质，得，，，∴，∴是等边三角形，∴，∴．故答案为：．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（1）计算：（2）计算：【答案】（1）3；（2）1【解析】【分析】本题考查的是实数的混合运算，利用平方差公式进行简便运算；（1）先计算立方根，算术平方根，绝对值，再合并即可；（2）把原式化为，再计算即可．【详解】解：（1）；（2）．17.先化简，再求值：，其中，．【答案】，【解析】【分析】本题考查的是利用完全平方公式计算与分解因式，化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把，代入因式分解后的结果中计算即可．【详解】解：当，时，原式．18.近年来，我国肥胖人群的规模快速增长，目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出名男生、名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的数值，再参照数值标准分成四组：．；．；．；．．将所得数据进行收集、整理、描述．收集数据七年级名男生数据统计表编号身高（）体重（）七年级名女生数据统计表编号身高（）体重（）整理、描述数据七年级名学生频数分布表组别男生频数女生频数应用数据（1）_____，_____；（2）已知该校七年级有男生人，女生人．估计该校七年级男生偏胖的人数；估计该校七年级学生的人数．（3）根据以上统计数据，针对该校七年级学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议．【答案】（1），（2）人；人（3）见解析【解析】【分析】本题考查了频数分布表，扇形统计图以及用样本估计总体，熟练掌握以上知识点是解答本题关键．（1）用减去其他组男生的频数可得的值，用乘组人数所占比例可得的值；（2）利用样本估计总体即可；（3）建议合理即可．【小问1详解】解：由题意得：，，故答案为：，；【小问2详解】解：估计该校七年级男生偏胖的人数有：（人）；估计该校七年级学生的人数有：（人）；【小问3详解】解：答案不唯一，言之有理即可，如：对学校学生进行合理、健康的饮食习惯的培养，加强体育锻炼．19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E、D，AD＝2.6cm，DE＝1.2cm，求BE的长．【答案】1.4cm．【解析】【分析】首先，由题意可知∠BEC＝∠CDA＝90°，∠BCE和∠ACE、∠ACE和∠DAC互余，从而可得∠BCD＝∠DAC；接下来，利用AAS可推得△CEB≌△ADC，故CE＝AD，BE＝CD，结合CD=CE-DE即可求出BE的长.【详解】∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠BEC＝∠CDA＝90°．∴∠ACD+∠DAC＝90°．∠ACD+∠BCD＝90°．∴∠BCD＝∠DAC．在△CEB和△ADC中∴△CEB≌△ADC（AAS）．∴CE＝AD＝2.6cm，∴BE＝CD＝CE﹣DE＝2.6cm﹣1.2cm＝1.4cm．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的判定定理是解题的关键.20.如图，在中，，，，，，求四边形的面积．【答案】四边形面积为36【解析】【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握相关的定理．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据，代入数值计算，即可求解．【详解】解：∵在中，，，，∴，∵，，∴，即，∴，∴，∴四边形的面积为．21.求证：如果三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么该三角形为直角三角形．（要求：根据图形写出已知、求证并证明）已知：______．求证：______．证明：【答案】已知：见解析；求证：见解析；证明见解析【解析】【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质证明．作出图形，然后写出已知，求证，延长到E，使，连接，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形是矩形，然后根据矩形的对角线互相平分且相等，即可求证．【详解】已知：如图，在中，是斜边上的中线，求证：；证明：如图，延长到E，使，连接，∵是斜边上的中线，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∴，∴．22.常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下：这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：（2）已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由．【答案】（1）（2）是等腰三角形或直角三角形，理由见解析【解析】【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的定义，勾股定理逆定理，正确分组分解得出是解题关键．（1）先将前三项进行完全平方公式因式分解，再进行平方差公式因式分解；（2）将原式进行分组和，然后利用平方差公式、提取公