初中数学中考复习二次函数知识点总结

初中数学中考复习二次函数知识点总结二次函数知识点总结20110311二次函数知识点:21(二次函数的概念:一般地，形如yaxbxc,，，(是常数，)的函数，叫做二次函数。这里abc～～a,0需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零(二次函数的定义域是全体实数(bc～a,022.二次函数yaxbxc,，，的结构特征:?等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2(?是常数，a是二次项系数，是一次项系数，c是常数项(abc～～b二次函数的基本形式1122222221.二次函数基本形式:yax,的性质:左图画，右图画yxyxyx,,,,,,,2,yxyxyx,,,,2,22oo结论:a的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x时，随的增大而增大;时，随yyx,0x,000～轴，，ya,0向上x的增大而减小;时，有最小值(yx,00x时，随的增大而减小;时，随yyx,0x,000～轴y，，a,0向下x的增大而增大;时，有最大值(yx,0022222yxyx,,，,,,1,1yaxc,，2.的性质:左图画，右图画yxyx,，,,1,1oo结论:上加下减。总结:的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a时，随的增大而增大;时，随xyyx,0x,00～c轴，，ya,0向上x的增大而减小;时，有最小值c(yx,0时，随x的增大而减小;时，随yyx,0x,00～c轴y，，a,0向下x的增大而增大;时，有最大值c(yx,022222yaxh,,yxyx,,，,,,(1),(1).的性质:左图画，右图画3，，yxyx,，,,(1),(1)oo结论:左加右减。总结:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x时，随的增大而增大;时，随yyxh,xh,h～0，，a,0向上X=hx的增大而减小;时，有最小值(yxh,0x时，随的增大而减小;时，随yyxh,xh,h～0，，a,0X=h向下x的增大而增大;时，有最大值(yxh,0222yaxhk,,，4.的性质:左图画，右图画，，yxyx,，，,,,(1)1,(1)122yxyx,,，，,,,,(1)1,(1)1oo总结:二次函数图象的平移a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x时，随的增大而增大;时，随yyxh,xh,hk～，，a,0向上X=hx的增大而减小;时，有最小值(yxh,kx时，随的增大而减小;时，随yyxh,xh,hk～，，a,0向下X=hx的增大而增大;时，有最大值(yxh,k1.平移步骤:2yaxhk,,，hk～?将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标;，，，，2hk～yax,?保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下:，，向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位22y=axy=ax+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位22y=a(x-h)+ky=a(x-h)向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位2.平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移;值正上移，负下移”(hk概括成八个字“左加右减，上加下减”(22yaxhk,,，yaxbxc,，，三、二次函数与的比较，，222yaxhk,,，yxx,，，245yaxbxc,，，请将利用配方的形式配成顶点式。请将配成。，，总结:22yaxhk,,，从解析式上看，与yaxbxc,，，是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，，，222bacb4,bacb4,,,yax,，，即，其中(hk,,,～,,24aa24aa,,2四、二次函数yaxbxc,，，图象的画法22yaxbxc,，，yaxhk,,，()五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴的y0～c0～c2hc，xx～0x～0x交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，(若与轴没有，，，，，，，，，，12交点，则取两组关于对称轴对称的点).x画草图时应抓住以下几点:开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.y2222yxxyxx,,，，,,,，21,21左图画，右图画yxxyxx,，，,,,21,21oo2yaxbxc,，，五、二次函数的性质2,,bacb4,b,～1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为(x,,a,0,,24aa2a,,bbbxx当时，随的增大而减小;当时，随的增大而增大;当时，有最小值x,,x,,x,,yyy2a2a2a24acb,(4a2,,bacb4,bb,～2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为(当时，随xx,,x,,ya,0,,24aa2a2a,,2bb4acb,的增大而增大;当时，随x的增大而减小;当时，有最大值(x,,x,,yy2a2a4a六、二次函数解析式的表示方法21.一般式:(a，，c为常数，);yaxbxc,，，ba,022.顶点式:(a，，为常数，);yaxhk,,，()hka,03.两根式:(，，是抛物线与x轴两交点的横坐标).yaxxxx,,,()()xxa,01212注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有2抛物线与x轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示(二次函数解析式的这bac,,40三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系a1.二次项系数2yaxbxc,，，a二次函数中，作为二次项系数，显然(a,0aa?当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大;a,0aa?当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大(a,0aaa总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小(2.一次项系数ba在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴(b?在的前提下，a,0b当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧;,,0yb,02ab当时，，即抛物线的对称轴就是轴;,,0yb,02ab当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧(,,0yb,02a?在的前提下，结论刚好与上述相反，即a,0b当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧;,,0yb,02ab当时，，即抛物线的对称轴就是轴;,,0yb,02ab当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧(,,0yb,02aa总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置(b总结:c3.常数项x?当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正;yyc,0?当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为;yyc,00x?当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负(yyc,0c总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置(y总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的(abc～～二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法(用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便(一般来说，有如下几种情况:1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式;2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式;3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式;4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式(二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达x1.关于轴对称22yaxbxc,，，关于x轴对称后，得到的解析式是yaxbxc,,,,;22yaxhk,,，yaxhk,,,,关于x轴对称后，得到的解析式是;，，，，2.关于轴对称y22yaxbxc,，，yaxbxc,,，关于轴对称后，得到的解析式是;y22yaxhk,,，yaxhk,，，关于轴对称后，得到的解析式是;y，，，，3.关于原点对称22yaxbxc,，，yaxbxc,,，,关于原点对称后，得到的解析式是;22yaxhk,,，yaxhk,,，,关于原点对称后，得到的解析式是;，，，，4.关于顶点对称2b22yaxbxc,，，yaxbxc,,,，,关于顶点对称后，得到的解析式是;2a22yaxhk,,，yaxhk,,,，关于顶点对称后，得到的解析式是(，，，，mn～5.关于点对称，，22yaxhk,,，yaxhmnk,,，,，,22mn～关于点对称后，得到的解析式是，，，，，，a根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变(求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式(二次函数与一元二次方程:x1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况):22yaxbxc,，，一元二次方程是二次函数当函数值y,0时的特殊情况.axbxc，，,0x图象与轴的交点个数:2?当时，图象与x轴交于两点AxBx，，，00，其中的是一元二次方()xx,xx，,,,,bac40，，，，1212122bac,42ABxx,,,axbxca，，,,00程的两根(这两点间的距离.，，21a?当时，图象与x轴只有一个交点;,,0?当时，图象与x轴没有交点.,,0当时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有;y,01'a,0当时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有(y,02'a,022.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，;yaxbxc,，，(