浙教版中考数学专项复习：解直角三角形【十大题型】含答案及解析

解直角三角形【十大题型】

＞题型梳理

【题型1直角三角形中直接解直角三角形】.......................................................1

【题型2构造直角三角形解直角三角形】.........................................................2

【题型3网格中解直角三角形】..................................................................3

【题型4坐标系中解直角三角形】...............................................................5

【题型5四边形中解直角三角形】................................................................6

【题型6利用解直角三角形求不规则图形的面积】.................................................7

【题型7解直角三角形的应用之坡度坡比问题】...................................................9

【题型8解直角三角形的应用之俯角仰角问题】..................................................10

【题型9解直角三角形的应用之方向角问题】....................................................12

【题型10解直角三角形的应用之实物建模问题】..................................................14

►举一反三

【知识点解直角三角形】

己知条件图形解法

已知一直角边和一个锐

---(或A/C21

B=90°-ZA,c=--—,b=b=-a\

角（〃,ZA）sinAtanA\>

对

已知斜边和一个锐角边

/B=90°-ZA,a=csinA,b=ccosA(或Z?=yjc2-a1

(c,ZA)A邻边。

c=由tanA=@求NAN3=90。—NA

已知两直角边b

已知斜边和一条直角边

6=Jc?一”,由A=q求/a,NB=90°-NA

（G。）c

【题型1直角三角形中直接解直角三角形】

【例1】（2023秋・上海青浦•九年级校考期中）如果4。是Rt44BC的斜边上的高，BC=a,NB=0,那

么4。等于（）

A.asin6cos0B.acos2sC.asm2/3D.asinStan"

【变式1-1]（2023秋•陕西西安•九年级校考期中）如图，在Rt^ABC中，Z5=90°,E是BC边上一点，过

点E作ED1AC,垂足为D,AB=4,DE=3,ZC=30°,求BE的长.

【变式1-2]（2023•福建泉州•校联考模拟预测）如图，在△4BC中，Z.B=90°,=30。.。为线段4B上

的动点.

（1）若。运动到某个位置时，4CDB=60。,CD=10米，求BC的长度.

（2）若点。运动到某个位置时，ZCDF=45°,4。=6米.求BC的长度.（结果可保留根号）

【变式1-3]（2023秋•广西梧州•九年级统考期末）如图，在RgABC中，ZC=90°,AC=8,sinB=pD

为线段BC上一点，并且CD=2,求BD及cos/n4c的值.

【题型2构造直角三角形解直角三角形】

【例21（2023秋•广西梧州•九年级统考期末）已知在△ABC中，AB=12直，AC=13,cosB=孑，则8C的

长（）

A.7B.8C.8或17D.7或17

【变式2-1]（2023秋•上海静安・九年级上海市市北初级中学校考期末）如图，已知将△ABC沿角平分线BE所

在直线翻折，点4恰好落在边BC的中点M处，且2M=BE,那么NEBC的余弦值为

A

E

BC

【变式2-2］（2023•江苏•统考中考真题）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起,

连接正六边形的三个顶点得到^ABC,则tan/ACB的值是.

【变式2-3X2023秋・上海静安•九年级上海市民办扬波中学校考期中）如图,△ABC中,AB=AC=S,BC=6,

3。14。于点£）,将△BCD绕点3逆时针旋转，旋转角的大小与NCB4相等，如果点C、。旋转后分别落在

点£、尸的位置，那么NEFD的正切值是.

【题型3网格中解直角三角形】

【例3】（2023•湖北武汉•统考三模）如图是由小正方形组成的8x8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A,

C两个点是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

（1）在图中，点B是格点，先画线段AB的中点。，再在AC上画点E,使4D=DE；

（2）在图中，点B在格线上，过点C作力B的平行线CF；

（3）在图中，点8在格线上，在42上画点G,使tanN4CG=，

【变式3-1]（2023秋・江苏苏州•九年级统考期中）如图，A,B,C,。均为网格图中的格点，线段N8与CD

相交于点尸，则的正切值为.

【变式3-2]（2023秋•福建泉州•九年级统考期末）如图，A、B、C、。是正方形网格的格点，AB.CD交于

点O,贝UcosNBOD的值为.

【变式3-3]（2023•湖北武汉・统考模拟预测）如图是由小正方形组成的8x6网格，每个小正方形的顶点叫

做格点，△48C的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

AA

DE

图⑴图⑵

（1）在图（1）中，D,E分别是边力B,4C与网格线的交点.先将点C绕点。旋转180。得到点F,画出点尸；再

在边4B上画点G,使EGII8C；

（2）在图（2）中，在边4B上找一点P,使24=PC；再在线段AC上找一点Q,使tan/ABQ=：

4

【题型4坐标系中解直角三角形】

【例4】（2023•河南洛阳•校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形A80C的顶点O在坐标原点，乙BOC=

A.-2V3B.-3V3C.-4V3D.一6次

【变式4-1]（2023•广东湛江•岭师附中校联考一模）如图，在△48。中，AB1OB,AB=V3,OB=1,把

△力B。绕点。顺时针旋转120。后，得到△4/1。，则点4的坐标为.

【变式4-2]（2023秋•黑龙江哈尔滨•九年级哈尔滨市第十七中学校校考开学考试）如图：已知一次函数图

-1

像与X轴、y轴分别交于点4点用OB=3,tanABAO=

(1)求直线AB的解析式；

(2)若点C在x轴上方的直线A2上，△A。。的面积为15,求tan/BOC.

【变式4-3](2023秋•黑龙江哈尔滨•九年级校考开学考试)在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，直线y=

依+6k交x轴于点8,交y轴于点4,AB=2X0.

图3

(1)如图1,求k的值；

(2)如图2,点H在4B上，点F在0B上，连接FH、OH,且FH=OH,过点尸作2B的垂线，垂足为点S,设点H的

横坐标为t,-3<t<-l,线段SH的长为d,求d与t之间的函数关系式；

(3)如图3,在(2)的条件下，将线段0"绕点。顺时针旋转60。得到线段0E,连接力E并延长交x轴于C,连接

HC,点K是HC的中点，连接EK,当tan/SHF=2tanNOEK时，求ASHF的面积.

10

【题型5四边形中解直角三角形】

【例5】(2023•海南储州・海南华侨中学校联考模拟预测)如图，在矩形4BCD中，AB=3,AD=4,点E

为对角线BD上一点，连接力E,过点£作EF14E交BC于点足连接4F交BE于点O,若ZB=AE,则线段4F

BFC

【变式5-1］（2023秋•陕西渭南•九年级统考期中）如图，在矩形4BCD中，点E在力。上，且EC平分NBED,

AB=V3,AABE=30°,DE的长为（）

A.1B.V2C.V3D.2

【变式5-2］（2023・浙江•模拟预测）已知菱形的一个内角为60。，一条对角线的长为4百，则另一条对角线

的长为.

【变式5-3］（2023•黑龙江哈尔滨•统考模拟预测）如图，已知平行四边形2BCD中，E为BC边上一点，连接

AE.DE,^AD=DE,AE=DC,BE=4,tanzB=3,贝！JEC的长为.

【题型6利用解直角三角形求不规则图形的面积】

【例6】（2023春•江苏•九年级专题练习）在aABC中，zB=45°,AC=4,则4ABC面积的最大值为（）

A.4V2B.4V2+4C.8D.8V2+8

【变式6-1］（2023秋・上海•九年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）已知：如图，在△4BC中,

AB=AC5,BC=8,。是边4B上一点，且tan/DCB=|.

（1）试求cosB的值；

（2）试求△BCD的面积.

【变式6-2］（2023春•福建漳州•九年级统考期中）阅读下列材料：

如图1.在△ABC中，乙4、必、NC所对的边分别为a、b、c,可以得到:

111

SAABC=-absinC=-acsinB=-bcsinA

证明：过点/作/O18C,垂足为D

在RtAABD中，sinB=早

..AD—c•sinB

11

-'•SAABC=-a•AD=-acsinB

同理：SAABC=|absinC

S^ABC=\bcsmA

•'■SAABC=jafosinC=|acsinB=|bcsmA

(1)通过上述材料证明：

abc

sinAsinBsinC

(2)运用(1)中的结论解决问题：

如图2,在44BC中，乙8=15。，ZC=60°,AB=20V3,求/C的长度.

（3）如图3,为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择/、B、C三个测量点，在5点测得/在北偏东75。

方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18机到达C点，测得/在北偏西45。方向上，根据以上信息，求43、

C二点围成的二角形的面积.

（本题参考数值：sinl5%0.3,sinl2030.9,缶1.4,结果取整数）

【变式6-3］（2023春・全国•九年级专题练习）己知在ZUBC中，乙4c5=135。，AC=8,D、E分别是边2C、

48上的一点，若tanNDE/=2,DE=®SADEB=4,求四边形/CDE的面积.

【题型7解直角三角形的应用之坡度坡比问题】

【例7】（2023•山西阳泉•校联考模拟预测）根据山西省人民政府办公厅印发的《山西省推进分布式可再生能

源发展三年行动计划（2023-2025年）》，从2023年开始，每年选择2-3个左右乡镇，利用各类村闲置集体

土地开发建设分散式风电帮扶小镇，新增发电装机100万千瓦左右.如图1,是某地山坡上新建的一台风力

发电机，数学活动小组的同学为测量这台发电机4B的高度，如图2,在C处测得发电机底端8的仰角为15。,

沿水平地面前进30m到达。处，测得发电机顶端/的仰角为53。，若AB1DC于点E,图中点N,B,C,D,

E均在同一平面内，测得山坡的坡角NBDE=30°.

图2

（1）求斜坡BD的长；

（2）求这台风力发电机的高度（结果取整数）.（参考数据：sin53°«0.8,cos53°«0.6,tan53°«V3~

1.73）

【变式7-1］（2023秋•广西柳州•九年级统考期末）如图，某地下车库的入口处有斜坡2B,它的坡度为i=1:2,

斜坡48的长为6ym,斜坡的高度为，8C）,为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14。（图中

的N4CB=14°）.

（1）求车库的高度4H；

⑵求点B与点C之间的距离（结果精确到1m,参考数据：sinl4°«0.24,cosl4°«0.97,tanl4°«0.25）.

【变式7-2］（2023•河北沧州・统考二模）某场地的跑道分为上坡、平地、下坡三种类型.一架无人机始终以

每分0.2km的速度在离水平地面500m的高度匀速向右飞行，在运动员的正上方进行跟踪拍摄.如图为无人

机飞行以及运动员运动路径的图像.已知。Z=¥km,AB=1km,。/的坡度i=1:3,下坡路的坡角为

45°.

(1)求坡面。4的垂直高度h；

(2)求直线BC的函数解析式，并求运动员在下坡路段的速度；

(3)通过计算说明运动员在。—A—B—C上运动的过程中，与无人机距离不超过300m的时长.

【变式7-3](2023•江苏泰州•统考中考真题)如图，堤坝48长为10m,坡度z•为1:0.75,底端/在地面上,

堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶。处立有高20m的铁塔CD.小明欲测量山高DE,他在/处看到铁塔顶

端C刚好在视线力B上，又在坝顶3处测得塔底。的仰角a为26。35二求堤坝高及山高。瓦底也26。35,-0.45,

cos26°35,-0.89,tan26°35'2050,小明身高忽略不计，结果精确到1m)

【题型8解直角三角形的应用之俯角仰角问题】

【例8】(2023春・湖南永州•九年级校考开学考试)如图，建筑物4B后有一座小山，ZDCF=30°,测得小山

坡脚C点与建筑物水平距离BC=25米，若山坡上E点处有一凉亭，且凉亭与坡脚距离CE=20米，某人从建

筑物顶端2点测得E点处的俯角为48。.求建筑物48的高(精确到0.1m).(参考数据：V3~1.7,sin48°~0.7,

cos48°«0.6,tan48°«1.1,sin42°«0.6,cos42°«0.7,tan42°«0.9)

【变式8-1］（2023•河南郑州•校考三模）河南省登封市境内的嵩岳寺塔是中国现存年代最久的佛塔，堪称世

界上最早的筒体建筑.某校数学社闭的同学利用所学知识来测量嵩岳寺塔的高度，如图，CD是嵩岳寺塔附

近不远处的某建筑物，他们在建筑物CD底端D处利用测角仪测得嵩岳寺塔顶端B的仰角为60。,在建筑物CD

顶端C处利用测角仪测得嵩岳寺塔底端/的俯角为35。，已知建筑物CD的高为15米，AB1AD,CD1AD,

点。在同一水平线上，求嵩岳寺塔4B的高度.（结果精确到0.1m,参考数据：sin35°«0.57,cos35°«

0.82,tan35°«0.70,V3«1.73）

【变式8-2］（2023春•山东荷泽・九年级统考期中）某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD,

如图所示，一架水平飞行的无人机在4处测得正前方河流的左岸C处的俯角为a,无人机沿水平线2F方向继

续飞行60米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30。.线段4M的长为无人机距地面的垂直高度，点M,

C,。在同一条直线上，其中tana=3,=60百米.

（1）求无人机的飞行高度2M；（结果保留根号）

（2）求河流的宽度CD.（结果精确到0.1米，参考数据：&=1.41,百=1.73）

【变式8-3］（2023秋•河南新乡•九年级统考期末）二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古联体双

塔.学完解直角三角形的知识后，某校数学社团的王华和张亮决定用自己所学到的知识测量二七纪念塔48的

高度.如图，CD是纪念塔附近不远处的某建筑物，他们在建筑物CD底端。处测得二七纪念塔顶端8的仰角

为60。，在建筑物CD顶端C处测得二七纪念塔底端/的俯角为28。，己知建筑物CD的高为19米，AB1

AD,CD1AD,求二七纪念塔4B的高度.（结果精确到1米.参考数据:sin28。~0.47,cos28°~0.88,tan28°«

0.53,73~1.73）

【题型9解直角三角形的应用之方向角问题】

【例9】（2023・重庆・九年级专题练习）五一节日到来，重庆又一次成为全国火热城市，小明和小亮两人相约

去观赏洪崖洞夜景，小明从A地出发，小亮从B地出发，相约到C地观景.在A处测得C在A的北偏东45。方向

上，在B处测得C在B的正北方向上，且B在力的北偏东75。方向上.小明小亮同时分别从4、B两地出发，他

们约定先在力C上的。处汇合，小明沿着力C方向慢跑，小亮沿着北偏西60。以150m/min的速度跑了2分钟到

达D（参考数据：8~1.73,V2«1.41,V6«2.45）.

（1）求2B的长度（结果保留根号）；

⑵他们在。处汇合的时间恰好为18：58,若他们汇合之后立即沿DC方向同行的速度为200m/min（汇合时

间忽略不计）则他们能在19：00之前到达C地吗？

【变式9-1］（2023・江苏宿迁•统考三模）宿迁骆马湖两岸风光如画，大家都喜欢坐游船游览观光.如图，在

某两段平行航道（不考虑其他因素），甲游船由西向东慢速航行，同时乙游船由东向西航行.喜爱数学的

小华在甲游船到达点4处时测得C处的乙游船在甲游船的北偏东67.4。方向，向前行驶156m到点8处测得行驶

到。处的乙游船在甲游船的北偏东37。方向，CD=240m,求第二次测量时甲、乙两游船之间的距离.（参

考数据sin22.6"*COS22.6。嗯,tan22.6。制，sin53。，，cos53。。|,tan53。吟

【变式9-2](2023春・安徽合肥・九年级校考开学考试)如图，某巡逻艇在海上例行巡逻，上午10时在C处

接到海上搜救中心从8处发来的救援任务，此时事故船位于8处的南偏东25。方向上的/处，巡逻艇位于8

处的南偏西28。方向上1260米处，事故船位于巡逻艇的北偏东58。方向上，巡逻艇立刻前往4处救援，已知

巡逻艇每分钟行驶120米，请估计几分钟可以到达事故船/处.(结果保留整数.参考数据：8~1.73,

4R4、

sin53°~cos53°~tan53°«-).

553

【变式9-3](2023秋•河北石家庄•九年级统考期末)期中测试临近学生都在紧张的复习中，小甘和小西相

约周末去图书馆复习，如图，小甘从家/地沿着正东方向走900m到小西家8地，经测量图书馆C地在8

地的北偏东15。，C地在N地的东北方向.

(1)求力C的距离：

(2)两人准备从8地出发，实然接到疾控中心通知，一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了C地，并沿着C地

南偏东22。走了1800m到达。地，根据相关要求，凡是确诊者途径之处800m区域以内都会划为管控区，问：

小西家会被划为管控区吗？请说明理由(参考数据：V3«1.73,V2x1.41,V6«2.45,sin37°«0.6,cos37°«

0.8,tan37°«0.75).

【题型10解直角三角形的应用之实物建模问题】

【例10】（2023•河南南阳•校联考三模）如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板

车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为60cm,点。是4B的中点，

前支撑板DE=30cm,后支撑板EC=40cm,车杆力B与BC所成的〃BC=53。.

图1图2图3

（1）如图2,当支撑点E在水平线BC上时，支撑点E与前轮轴心5之间的距离BE的长；

（2）如图3,当座板DE与地面保持平行时，问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请通过计

算说明；若变化，请求出变化量.（参考数据：sin53°~cos53°~|,tan53°~

【变式10-1】（2023•广东揭阳•校考一模）“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，展开小

桌板使桌面保持水平时如图，小桌板的边沿。点与收起时桌面顶端/点的距离。4=75厘米，此时CB14。,

N4OB=N4CB=37。,且支架长OB与支架长BC的长度之和等于04的长度，求支架BC的长.（参考数据sin37。«

0.6,cos37°«0.8,tan37°«0.75）

【变式10-2】（2023秋・河北石家庄•九年级校联考期中）下图是测温员使用测温枪的侧面示意图，其中枪柄

BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直.量得胳膊MN=28cm,MB=42cm,肘关节M

与枪身端点/之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身B4=8.5cm.

⑴求NPMB的度数；

（2）测温时规定枪身端点，/与额头距离范围为3〜5cm,若测得NBMN=68.6。，小红与测温员之间距离为

50cm.问此时枪身端点/与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由.（结果保留小数点后一位）

（参考数据：sin66.4°«0.92,cos66.4°«0.40,sin23.6«0.40,V2«1.41）

【变式10-3】（2023•山西忻州•统考模拟预测）随着人们生活水平的日益提高，大家对运动健身的需求日益

凸显，小明家新买了一台折叠式跑步机（如图1）,为了合理规划收纳空间，小明特地测量了该跑步机的一

些数据，并且画出了示意图（如图2）.已知支架力B=116cm,跑带BC=170cm,控制面板=56cm,

ZB=75°,Z.DAB=105°,护架4E与跑带BC平行于地面.如图3,闲置时，跑带BC可以向上折叠，ACBF=

60。，支架放置于地面支撑整个跑步机.请你帮助小明计算这台跑步机折叠存放时的最大高度.（结果精

确到1cm.参考数据：sin75°«0.97,cos75°«0.26,tan75°»3.73,V3«1.73,V2«1.41）

图1图2图3

解直角三角形【十大题型】

＞题型梳理

【题型1直角三角形中直接解直角三角形】.......................................................1

【题型2构造直角三角形解直角三角形】.........................................................4

【题型3网格中解直角三角形】..................................................................9

【题型4坐标系中解直角三角形】..............................................................15

【题型5四边形中解直角三角形】...............................................................22

【题型6利用解直角三角形求不规则图形的面积】................................................25

【题型7解直角三角形的应用之坡度坡比问题】.................................................30

【题型8解直角三角形的应用之俯角仰角问题】..................................................36

【题型9解直角三角形的应用之方向角问题】....................................................41

【题型10解直角三角形的应用之实物建模问题】..................................................47

►举一反三

【知识点解直角三角形】

己知条件图形解法

已知一直角边和一个锐

---(或A/C21

B=90°-ZA,c=--—,b=b=-a\

角（〃,ZA）sinAtanA\>

对

已知斜边和一个锐角边

/B=90°-ZA,a=csinA,b=ccosA(或Z?=yjc2-a1

(c,ZA)A邻边。

c=由tanA=@求NAN3=90。—NA

已知两直角边b

已知斜边和一条直角边

6=Jc?一”,由A=q求/a,NB=90°-NA

（G。）c

【题型1直角三角形中直接解直角三角形】

【例1】（2023秋・上海青浦•九年级校考期中）如果4。是Rt44BC的斜边上的高，BC=a,NB=0,那

么4。等于（）

A.asin6cos0B.acos2sC.asm2/3D.asinStan"

【答案】A

【分析】根据题意画出图形，再由锐角三角函数的定义及三角形的面积公式即可得出结论.

【详解】解：如图所示，

AC

•••在RtaaBC中，4D是斜边BC上的高，BC=a,乙B=0,

■■AC=acos0,AB=acos0,

AD1BC,

BC-AD=AC-AB,,

.nACABasinBacQsB.C

・•・AD=-bc~=-------------=asm0cos0,

故选：A.

【点睛】本题考查的是解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键.

【变式1-1]（2023秋•陕西西安•九年级校考期中）如图，在Rt△48c中，48=90。，E是BC边上一点，过

点E作EDJ.4C,垂足为。，AB=4,DE=3,ZC=30°,求BE的长.

【答案】4V3-6

【分析】在RtzXCDE中，CEB-=6,在RtaZBC中，求出：8c=U-=4百，即可得到BE的长.

sin30°tan30°

DF

【详解】解：在Rt^CDE中,sinC=ZF，DE=3,"=3。。,

clDE,

：•CE=T—-=6,

sm30°

在RtZkABC中，tanC=—AB=4,

BC

•••小生4百

BE=BC-CE=4V3-6.

【点睛】此题考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值并准确计算是解题的关键.

【变式1-2](2023•福建泉州•校联考模拟预测)如图，在△4BC中，NB=90。，ZX=30°.。为线段4B上

的动点.

C

(1)若。运动到某个位置时，乙CDB=6。°,CD=10米，求8C的长度.

(2)若点。运动到某个位置时，/.CDB=45°,4。=6米.求BC的长度.(结果可保留根号)

【答案】(1)5百米

(2)3(73+1)米

【分析】（1）在△ABC中，在RtaaBC中利用正弦函数即可

（2）设=贝I]CB=BD=X,在RtzXABC中利用三角函数即可；

【详解】（1）解：在△力BC中，=90°,sinzCOS=CD=10米,

则=sinzCDB-CD=sin600-10=yx10=55/3

答：此时8c长为5百米.

（2）解：设BC=x,在RtaCBD中，ACDB=45°

则△CBD是等腰直角二角形，CB=BD=x

在RtZkABC中，ZB=90°,tanA=更，

AB

y

tan30°=—,

AB

则ZB==V3x

tan30°

AD=AB—BD—V3x—%=6

x=3（V3+1）

答：BC的长度为3(8+1)米.

【点睛】本题主要考查了三角函数在解直角三角形中的应用，明确三角函数的定义式及其变形是解题的关键.

【变式1-3］（2023秋・广西梧州•九年级统考期末）如图，在RtzXABC中，ZC=90°,AC=8,sinB=£D

为线段BC上一点，并且CD=2,求BD及cosND4c的值.

【答案】BD=4,cos^DAC=—

17

【分析】根据锐角三角函数关系得出AB的长，再利用勾股定理得出BC的长，即可得出BD的长，直接利用勾

股定理得出4D的长，再根据锐角三角函数关系得出答案.

【详解】解：在RtZkABC中，sinB=丝=之

AB5

-AC=8,

MB=10,BC=y/AB2-AC2=6,

又,：BD=BC-CD,CD=2,

-'-BD=6—2=4,

在Rg/CO中，

：.AD=yjAC2+DC2=V64+4=2^17,

•'•cosZ-DAC=—==-----.

AD2v1717

【点睛】此题主要考查了解直角三角形，正确利用锐角三角函数关系求出是解题关键.

【题型2构造直角三角形解直角三角形】

【例2】（2023秋•广西梧州•九年级统考期末）已知在△48C中，AB=12直，AC=13,cosB=y,则BC的

长（）

A.7B.8C.8或17D.7或17

【答案】D

【分析】①过4作4。_LBC交BC于。，可求黑=日，AD=BD,从而可求BD=力。=12,CD=

VAC2-AD2=5,即可求解；②过4作AD1BC交BC的延长线于D,由BC=BD-CD即可求解.

【详解】解：①如图，过力作力D1BC交BC于D,

BD=AD=12,

•••CD=JAC2-AD2

=V132-122=5,

■.BC=BD+CD=17；

②如图，过4作4。，BC交BC的延长线于。,

•••BD=AD=12,CD=5,

•••BC=BD-CD=7；

综上所述：8c的长为7或17.

故选：D.

【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握解法是解题的关键.

【变式2-1］（2023秋•上海静安•九年级上海市市北初级中学校考期末）如图，已知将△ABC沿角平分线BE所

在直线翻折，点4恰好落在边BC的中点M处，且4M=BE,那么NEBC的余弦值为.

BC

【答案】甯

【分析】设力M与8E交点为D,过M作MFIIBE交AC于F,证出MF为△BCE的中位线，由三角形中位线定理得

-1,-1

出MF=；BE,由翻折变换的性质得出：AM1BE,AD=MD,同理由三角形中位线定理得出DE=

设DE=a,则MF=2a,AM=BE=4a,得出BD=3a,MD=\AM=2a,利用勾股定理求出BM,根据

余弦的定义即可得出结果.

【详解】解：设4M与BE交点为D,过M作MFIIBE交4C于F,如图所示：

M为的中点，

•••尸为CE的中点，

MF为的中位线，

：.MF=-BE,

2

由翻折变换的性质得：AM±BE,AD=MD,

同理：DE是aAMF的中位线，

1

・•・DE=-MF,

2

设DE=a,则MF=2a,AM=BE=4a,

i

BD=3a,MD=-AM=2a,

2

•・•乙BDM=90°,

；.BM=y/BD2+DM2=V13a,

.T-T»r,BD3a3A/13

・•・COSZ-EBC=—==-------.

BMV13a13

故答案为：警.

【点睛】本题考查了翻折变换的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、三角函数；熟练掌握翻折变换的

性质，通过作辅助线由三角形中位线定理得出MFDE=(MF是解决问题的关键.

【变式2-2］（2023・江苏•统考中考真题）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起,

连接正六边形的三个顶点得到^ABC,则tan/ACB的值是

【答案】竽

【分析】如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，根据正六边形的内角为120。，设正六边形的边长为1,

求得根据正切的定义，即可求解.

【详解】解：如图所示，补充一个与已知相同的正六边形,

•••正六边形对边互相平行，且内角为120。,

：.FD=2FG=2EFxcos300=V3

设正六边形的边长为1,贝iJCD=3,AD=2FD=2W,

AD

，t4an乙,“4cBD=—=—26

CD3

故答案为：竽

【点睛】本题考查了正六边形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键.

【变式2-3X2023秋•上海静安•九年级上海市民办扬波中学校考期中）如图，aABC中,4B=AC=5,BC=6,

BD1AC于点D,将△BCD绕点3逆时针旋转，旋转角的大小与NCB4相等，如果点C、。旋转后分别落在

点£、尸的位置,那么NEFD的正切值是.

【答案】

【分析】由题意画图如下，过/作4QL8c于0,过。作。PLBC于尸，DHLBF于H,先根据等腰三角形

的性质和勾股定理求得NCB4=乙BCA,BQ=CQ=3,AQ=4,利用三角形的面积公式求得BD=争进而

利用勾股定理和锐角三角函数求得CD=£,DP=||,CP=g,则BP=g,由旋转性质和矩形的判定与性

质证明四边形BPDH是矩形得到BH=DP=1|,DH=BP=则FH=亲利用平行线性质证得NEFD=

乙FDH,求解tan/FDH=—=工即可求解.

DH2

【详解】解：由题意画图如下，过/作4Q_LBC于。，过。作DP1BC于尸，DH工BF于H,

■：AB=AC=5,BC=6,

：.ACBA=ABCA,BQ=CQ=3,贝必Q=y/AB2-BQ2=V52-32=4,

由KBC=\BC-AQ=^AC-BD得BD=啜=等=拳

.-.CD=y/BC2-BD2=心一得了=

•,「AQDPCQCP

•sinZ.L——,cosZ-C——,

ACCDACCD

“18c18

4X—723X--64rtQA

■■.DP=-^-=—,CP=—5-=—,贝！JBP=BC-CP=—,

52552525

由旋转性质得BF=BD=蔡，4BFE=乙BDC=90°,乙DBF=ACBA,

■■.Z.FBC=4DBF+Z.CBD=Z.CBA+Z.CBD=/C+Z.CBD=90°,

■­■/.FBC=乙BPD=/.BHD=90°,

四边形BPDH是矩形,

：.BH=DP=?,DH=BP=—

2525

247248

••.FH=BF-BH=---=-

52525

MBFE=乙BHD=90°,

■■■EFWDH,

:/EFD=乙FDH,

在RtZkFHD中，tanNFOH=吆=工

DH2

.­.tanzEFO=j,

故答案为：

【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、矩形的判定与性质、平行线的判定与性

质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用锐角三角函数寻求边角关系是解答的关键.

【题型3网格中解直角三角形】

【例3】(2023•湖北武汉•统考三模)如图是由小正方形组成的8x8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A,

C两个点是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

(1)在图中，点B是格点，先画线段4B的中点D,再在力C上画点E,使AD=DE；

(2)在图中，点B在格线上，过点C作力B的平行线CF；

（3）在图中，点B在格线上，在48上画点G,使tanN4CG=?

【答案】（1）详见解析

（2）详见解析

（3）详见解析

【分析】（1）根据网格特点先作线段4B的中点D,然后作4c的垂线，交力C于点E,根据直角三角形斜边上

的中线等于斜边的一半，即可得出4D=DE-,

（2）连接BC,利用正方形网格确定BC中点，然后连接点/与中点，延长，利用网格及矩形的对角线即可确

定点F；

（3）根据网格的特点将线段4c绕点A逆时针旋转90。，然后利用网格使得两个相似三角形的比为4:3,连接

点C与交点交4B于点G,则点G即为所求.

【详解】（1）解：解：如图所示，点D,E即为所求；

（2）如图所示：CF即为所求;

（3）如图所示：点G即为所求;

【点睛】本题考查了正切的定义，无刻度直尺作图，直角三角形斜边上的中线等于斜边的，正方形的性质，

旋转的性质，相似三角形的判定与性质，数形结合是解题的关键.

【变式3-1］（2023秋•江苏苏州•九年级统考期中）如图，A,B,C,。均为网格图中的格点，线段与CD

相交于点尸，则一阳的正切值为.

【答案】3

【分析】作M、N两点，连接CM,DN,根据题意可得CMI4B,从而可得乙4PZ»=NNCO,然后先利用勾股

定理的逆定理证明△CDN是直角三角形，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

【详解】解：如图所示，作加、N点,连接CM、DN,

由题意得：CMWAB,

^Z.APD=Z-NCD,

由题意得：CN2=12+12=2,DN2=32+32=18,CD2=22+42=20,

•.CN2+DN2=CD2,

CDN是直角三角形，

DN3y[2Q

•••tanZ.DCAf=—=—=3,

CNV2

••・乙4PD的正切值为：3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

【变式3-2]（2023秋•福建泉州•九年级统考期末）如图，A.B、C、。是正方形网格的格点，AB.CD交于

点O,贝UcosNBOD的值为.

B

【答案】弋

【分析】连接4E、BE,利用正方形的性质证明CDII4E、乙AEB=90°,这样把求NB0D的余弦值转化为求NB4E

的余弦值，在RtaABE中，利用勾股定理和直角三角形的边角关系求解；

【详解】解：如图，连接4E、BE,

根据勾股定理，得4E=V2,AB=V10,

•••AE.BE、CD都是正方形的对角线,

•••乙BCD=乙CBD=45°,

•••乙CDB=90°,

同理=90°,

•••CDWAE,

Z-BOD=Z.BAE,

在RgABE中，

cos®E=*品

故答案为：当

【点睛】本题考查解直角三角形，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构

造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

【变式3-3]（2023•湖北武汉・统考模拟预测）如图是由小正方形组成的8x6网格，每个小正方形的顶点叫

做格点，△48C的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

图⑴图⑵

⑴在图（1）中，D,E分别是边力B,4c与网格线的交点.先将点C绕点。旋转180。得到点F,画出点F；再

在边4B上画点G,使EGII8C；

（2）在图（2）中，在边4B上找一点P,使24=PC；再在线段AC上找一点Q,使tan/ABQ=：

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）点C绕点。旋转180。即延长CD即可找到点F,最后构造平行四边形4BCF即可解决问题；

（2）先构造正方形，然后找到对角线交点和4C中点，连接两点的直线与的交点即为所作点P；点Q就是

△力BC边2C高的垂足.

【详解】（1）如图，

如图（1）,根据网格可知CD==RD,BH=CE,

••・四边形4CBF是平行四边形