圆锥曲线的综合应用-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题16圆锥曲线的综合应用

会考点归纳

【考点1直线与椭圆的位置关系判断】

【考点2根据直线与椭圆位置关系求参】

【考点3直线与椭圆相切的应用】

【考点4直线与椭圆相交弦长问题】

【考点5直线与双曲线的位置关系判断】

【考点6根据直线与双曲线位置关系求参】

【考点7直线与双曲线相交弦长问题】】

【考点8直线与抛物线的位置关系】

【考点9抛物线的焦点弦及应用】

【考点10直线与抛物线的相交弦长问题】

1、直线与椭圆的位置判断

22

设直线方程为>=辰+根，椭圆方程为2■+27=1（。>匕>0）

ab

y=kx+m,

联立,2消去y得一个关于X的一元二次方程（〃+左2a2）%2+2〃2初优+々2疗一。2匕2=。

①A>0o直线和椭圆相交o直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）；

②A=0o直线和椭圆相切=直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）；

③A<0o直线和椭圆相离o直线和椭圆无公共点.

2、直线与椭圆相交的弦长公式

（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦.

（2）求弦长的方法

①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求.

②根与系数的关系法：如果直线的斜率为七被椭圆截得弦A8两端点坐标分别为（xi，%）,。2,竺），

则弦长公式为:

知识点2直线与双曲线的位置关系

1、直线与双曲线的位置关系判断

22

将双曲线方程与直线方程/：>=履+6联立消去y得到关于x的一元二次方程

ab

1122

仅2_4左2）f_2amkx—c^rri—ab=0,

h

（1）当/一/产=0,即左=±—,直线/与双曲线的渐近线平行，直线/与双曲线只有一个交点;

a

（2）当〃一片左2W0,即左*±2,设该一元二次方程的判别式为1,

a

若A>0,直线与双曲线相交，有两个公共点；

若A=0,直线与双曲线相切，有一个公共点；

若/<0,直线与双曲线相离，没有公共点；

注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切.

2、直线与双曲线弦长求法

22

若直线，：、=丘+相与双曲线三-2=1（a>0,b>0）交于4（西,%），3（々，外）两点，

ab

则AB=dl+左2忖-引或AB=J+*、一（%力0）.（具体同椭圆相同）

知识点3直线与抛物线的位置关系

1、直线与抛物线的位置关系有三种情况

相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）.

2、以抛物线丁=29（。>0）与直线的位置关系为例：

（1）直线的斜率上不存在，设直线方程为x=“，

若a>0,直线与抛物线有两个交点；

若。=0,直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；

若a<0,直线与抛物线没有交点.

（2）直线的斜率上存在.

设直线/:>=履+力，抛物线1/=2°元（0>0）,

直线与抛物线的交点的个数等于方程组匕，的解的个数，

[y=2px

即二次方程左2/+2（给一=0（或左2y2_2刀+2切=0）解的个数.

①若左关0,

则当A>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点；

当△=（）时，直线与抛物线相切，有个公共点；

当A<0时，直线与抛物线相离，无公共点.

②若左=0,则直线、=人与抛物线丁=2/5>0）相交，有一个公共点.

3、直线与抛物线相交弦长问题

（1）一般弦长

设AB为抛物线V=2px（p>0）的弦，A（X],%）,8（无2，%），弦AB的中点为.

①弦长公式：=J1+42归_百=+（k为直线AB的斜率，且左w0）.

②。=£，

%

推导：由题意，知>；=2°匹2，①y；=2p毛②

由①-②，得（%+%）（%-%）=20（占-/），故'~—=--—，WkAB=--

^-x2%+%%

2

③直线AB的方程为y-%=£（x-尤0）.

y0

（2）焦点弦长

如图，A3是抛物线丁=2px（p>0）过焦点尸的一条弦，

设ACx.,%）,B（x2,y2）,AB的中点M（x（）,%）,

过点A,M,3分别向抛物线的准线/作垂线，垂足分别为点儿，修，Mx,

BS

根据抛物线的定义有AP=例，BF=BBt,|AB|=|AF|+|BF|=|AA|+|I|

故\AB\=\AF\+忸F|=|44j+\BB,\.

又因为肱叫是梯形的48的中位线，所以|AB|=|44,|+忸4|=2|“%|，

从而有下列结论；

①以至为直径的圆必与准线/相切.

②|4却=21+£|（焦点弦长与中点关系）

（3）|AB|=Xj+x2+p.

④若直线AB的倾斜角为。，则|A3|=二^.

11sin2a

2

⑤A,3两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即再,yty2=-p.

1i7

—二十―二为定值4

⑥\AF\\BF\'J^p-

度L点精讲

【考点1直线与椭圆的位置关系判断】

【典例1】已知两定点M(—1,0),N(l,0),直线Z：y=-2x+3,在I上满足|PM|+|PN|=4的点P有

()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】根据|PM|+\PN\=4的几何意义判断出P点的轨迹，结合直线与椭圆的位置关系来求得正确答

案.

【详解】若设PQ,y),因为定点M(—1,0),N(l,0),且|PM|+|PN|=4>|MN|=2,

所以点P在焦距为2,长轴长为4的椭圆上，即在椭圆C：9+?=1上.

因为直线Z：y=—2x+3过点Q(|,0),且点Q为椭圆=+[=1内一点.

所以直线/与椭圆C有两个交点.

即在I上满足|PM|+|PN|=4的点P有2个.

故选：C

【变式1-1】直线:+1=1与椭圆捺+A=l(a〉6>0)的位置关系为()

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

【答案】C

【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可.

【详解】因为直线三+!=1过点3,0),(0,6),

ab

而(a,0),(0,b)为椭圆,+[=l(a>b>0)的右端点和上端点,

故直线±+［=1与椭圆2=1(。>b>0)相交.

aba2b2v'

故选：c.

22

【变式1-2］若直线a%+by-1=0与圆0:/+y2=1相离，则过点P(a,b)的直线与椭圆J+?=1的交

65

点个数是()

A.0或1B.0C.1D.2

【答案】D

22

【分析】由直线与圆相离得a?+炉<则点P(a,b)在椭圆1的内部，由此即可得解.

1;65

【详解】由题意直线a比+6y—1=0与圆0:%2+丫2=1相离，所以圆心到直线的距离d=悬京>i=

r,即0<a2+b2<1,

而与亨L即点P(a,b)在椭圆］+三=1的内部，

655565

22

所以过点P(a,b)的直线与椭圆？+?=1的交点个数是2.

故选：D.

【变式1-3］直线y=kx+l-k与椭圆9+9=1的公共点个数为

【答案】2

【分析】求出直线恒过的定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的交点的个数.

【详解】直线y=kx+1-%恒过(1,1),

由于2+所以(1,1)是椭圆内部的一点，

所以直线与椭圆恒有2个交点.

故答案为：2.

【考点2根据直线与椭圆位置关系求参】

【典例2】设椭圆「:/+'=l(a>b>0)的弦与％轴，y轴分别交于C,D两点，\AC\-.\CD\-.\DB\=

1:2:2,若直线AB的斜率k>0,则k的取值范围是()

A,(谓)B.(f,1)C.(0,y)D.(f,1)

【答案】A

【分析】设401，%)，Be%%)，C(xo,O),D(O,yo),利用向量的坐标表示可得4(争,—早)，

8(-右,2%),代入椭圆方程结合斜率公式即可求解.

【详解】如图所示，设洋（%1，丫1）,8（%2，、2），C（%o,O），I洋,%）），直线A8:y=k%+b，

因为|AC|:|CD|:|DB|=1:2:2,所以2前=而，~CD=~DB,

所以2（3-％1，-％）=（-&,'（））,（-%o，yo）=（x2fy2一y。）,

所以“（争，—蓝）B（一%0,2y0）,

因为4B在椭圆上，所以普+四=1,哲+警=1,两式相减得巽=察，即吗=昌

22222

4a24匕2ab4a4bXQ3a

又因为恩B=——,且/C/B>0,Q>b>0,

所以Ovgvl,即0<VJ,所以。Vk<

az3az3"3AB

故选：A.

【变式2-1］已知椭圆C:/+/=1,直线上y=%+?n,若椭圆。上存在两点关于直线/对称，则根的取

值范围是（）

_V2V2\

3,374147

【答案】C

【分析】利用对称关系，求得直线MN的方程，代入椭圆方程，利用△>（）,求得几的范围，再根据加几

的关系即可求m的取值范围.

c、，2

【详解】设设椭圆C:/+/=1上存在关于直线，：y=%+m对称的两点为M（%i，yi）,N（%2，y2），

根据对称性可知线段MN被直线，:y=x+ni垂直平分，

且MN的中点Oo，%）在直线y=九+m±,且=-1，

故可设直线MN的方程为y=—x+n,

y=—x+n

必_,整理可得：3——2nx+n2—2=0,

X2n-1

所以X1+%2=与,%+%=2n-(%1+%2)=2n-y=

由4=4n2-12(n2-2)>0,可得/-3<0,解得一百<n<V3,

因为MN的中点（%o,丫0）在直线y=x+m±,

所以詈=1+8所以6=/所以一?<6<手

故选:C.

22

【变式2-2】直线y=kx+l与椭圆？+匕=1总有公共点，则小的取值范围是（）

,5m

A.m>1B.m>0

C.m>1且mW5D.0<m<5且znW1

【答案】C

【分析】根据点（0,1）在椭圆上或椭圆内，结合二次方程表示椭圆，即可求得参数机的范围.

【详解】二+艺=1表示椭圆，故可得机>0,且机力5；

又直线y=k%+1过点（0,1）,根据题意，（0,1）在椭圆内或椭圆上，故又m>0,故mNl；

综上所述，m>1,且7nH5.

故选：C.

【变式2-3】已知ten,若关于％的方程=%+t有两个不相等的实数根，贝亚的取值范围是（）

A.偿用）B.（一衿）

C.[y,V2）D.（-V2.V2）

【答案】A

【分析】出丫=41-2*2及y=%+t的图像，结合图像即可求解.

【详解】由题意，y=6二N表示焦点在y轴上的椭圆的上半部分，且左顶点为4（-孝,0）,

当直线y=K+t经过4点时，t=亨，当直线y=x+t与椭圆相切时，

由①="I—2久2,得3/+2垃+产一1=°,

Iy=x+t

所以A=4t2—4X3XQ2—i）=o,解得[=?（负根舍去），当直线与半椭圆有两个交点时，

根据图象，t的取值范围为性纵

故选：A.

【考点3直线与椭圆相切的应用】

【典例3】已知椭圆C：摄+V=l(a>1)的离心率为管，椭圆C的动弦4B过椭圆C的右焦点心当

垂直式轴时，椭圆C在4,B处的两条切线的交点为M.

(1)求点M的坐标；

⑵若直线4B的斜率为3过点M作支轴的垂线［，点N为/上一点，且点N的纵坐标为-5，直线NF与椭

圆C交于P,Q两点，求四边形APBQ面积的最小值.

【答案】①M(|,0)

喈

【分析】(1)根据椭圆的几何意义，求得椭圆C的方程，从而得尸(2,0),将尤=2代入椭圆方程，求出

点4的坐标，再设椭圆C在点4处的切线方程为y=k(久-2)+?,将其与椭圆方程联立，利用判别式

为0,求出k的值，即可求得M的坐标；

(2)设直线2B的方程为久=my+2,将其与椭圆方程联立，利用弦长公式表示出|4B|,结合(1)中

所得写出N的坐标，并求出直线NF的方程，再利用弦长公式求得|PQ|,然后化简运算高+六为定

值，且PQ14B,即可根据基本不等式求解最值.

(b=1

【详解】(1)解：由题意知，|£=迪，解得。=6，b=l,c=2,

Ia5

=a2一c2

y.2

所以椭圆C的方程为蓝+y2=1,F(2,0),

将x=2代入椭圆方程得y=±f,

不妨取4(2,9),

设椭圆C在点力处的切线方程为y=k(x-2)+y,

f^+y2=1

联立｛5厂，得(5卜2+1)/+(2V^k-20k2)尤+20卜2一4西左一4=0,

(y=fc(x-2)+y

所以A=(2V5k-20k2)2-4(5/+1)(201-4V5k-4)=0,

整理得4(*k+2)2=0,解得k=—手，

所以在点4处的切线方程为y=(.x—2)+个=—今1+V5,

由椭圆的对称性知，点M在x轴上，

令y=0,则x=|,

即点”的坐标为(|,0).

(2)根据题意可设直线4B的方程为％=zny+2,以亚")，

x=my+2

｛次+y2_］，得(m?+5)y2+4my-1=0,

所以月+y2=为为=△=20(—+1),

所以|AB|=V1+m2-J(yi+%)2—4yly2=V1+m2-之弋：｝=叱嚷］)

因为MNlx轴，且点N的纵坐标为—所以N(|,—三)，

所以直线NF的斜率为*=-m,

~2

所以直线NR的方程为久=——y+2,

同理可得，|PQ|=*1U=①学，

―+51+57712

所以1+1_m2+5+l+5m2_6(m2+l)_3^5

^\AB\\PQ\-2V5(m2+l)丁2V5(m2+l)-2V5(m2+l)-5'

故.+.为定值平•

故合+看"扃焉n|制PQ|瓷,当且仅当网=|PQ|=平时等号成立,

由于由NF=-m,kAB='，故NF1AB,即PQ1AB,

故APBQ=沙（211砌N号，当且仅当MB|=|PQ|=学时等号成立，

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体

现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函

数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，

【变式3-1】已知椭圆。：9+真=1（（1>6>0）的离心率为右上、下顶点与其中一个焦点围成的三角形面积

为遮，过点P（-4,-3）作椭圆C的两条切线，切点为48

⑴求椭圆C的方程；

（2）求4B所在直线的方程；

（3）过点P作直线I交椭圆。于M,N两点，交直线4B于点Q,求黑+制的值.

【答案】①9+9=1

（2）x+y+1=0

（3）2

【分析】（1）由题意可得（=|,》2b=解方程求出a,b,即可得出答案.

（2）先证明过椭圆上一点的切线方程的形式，再求得过点4B的切线方程，从而得到直线4B的方程.

22

（3）令M（%3，y3），N（%4，y4），设直线，的方程为：y=k（%+4）-3,联立椭圆c的方程：+—=1,求

43

出心+4久再令<2（久。以），解方程组『:。:2/，解得久。=错，表示出黑+翳将

久3+久4，盯•*4代入化简即可得出答案.

【详解】（1）由题意可知：£=3①

a2

又1,2b•c=V3,所以be=百②，

由①②及小=炉+。2,所以。=2,匕=b，

22

所以椭圆c的方程为：9+^=1.

22

（2）先证：过椭圆?+?=1上一点2（叼,%）的切线方程为中+号=1,

证明如下：当过椭圆上一点的切线斜率存在时，

设切线方程为y=kx+m,

'次+旺=1

则4十3—可得：(4fc2+3)%2+Skmx+47n2—12=0,

.y=kx+m

因为直线与椭圆相切，所以△=(8km)2-4(4fc2+3)(4m2-12)=0,

化简可得：4k2—m2+3=0,

所以“】=券等代入y=for+m可得:

-4k,3

y=kx+m=fc-----Fm=—

rrmm

mxiXiXi33Xi

于是々=-----=-----772=----•——=----,

444yl4yl

故切线方程为：y=一：，包（％一第1），即4yy-4资=-3%1、+3婢,

4yl1

又3好+4比=12,故切线P4的方程为：学+等=1,

当过椭圆上一点4（%i，yi）的切线斜率不存在时，切线方程为％=±2,满足题意.

22

所以过椭圆？+—=1上一点4021）的切线方程为年+第=1,

4343

故切线融的方程为：于+等=1,

同理：切线尸8的方程为：手+学=1,又因为过点尸（一4,一3）,

43

所以学+孕=1,学+手=1,

所以：+y1=—1,型+丫2=—1，故直线的方程为％+y+1=0.

（3）由题意可知直线/的斜率存在，且k>0,设直线/的方程为：y=k（%+4）—3,

22

联立椭圆C的方程+5=1,

43

得(3+4fc2)%2+(3232-24k)%+64k2-96k+24=0,

令M（%3，y3），N（%4，y4），

32k2-24k64/C2-96/C+24

所以汽3+%4=-2-X3-X=

3+4k43+4/c2

丁=k(％+4)—3,彳曰_2—4k

令Q（&,y。），解方程组・久+y+1=0,1寸％°―ITT

又|PQl+|PQl_%o+4+%o+4=(%O+4)(%3+%4+8)

\PM\(X+4)(X4+4)

|PN|X3+4X4+43

22

(%O+4)(%3+*4+8)^-(24fc-32fc+32k+24)

222=2,

X3-X4+4(X3+X4)+1664k-96k+24+4(24/c-32k)+16(3+4k)

所以朗+需=2.

【点睛】

关键点睛：解决第二问的关键是证明过椭圆］+<=1上一点2（右,%）作椭圆的切线，其切线方程

43

为：学+等=1，本题利用导数的几何意义求得斜率，是解决问题的关键.

【变式3-2］已知椭圆C:J+y2=1的右焦点为F,。在点P（%o，yo）（y°W0）处的切线/分别交直线久=1和

直线久=2于M,N两点.

（1）求证：直线N0%+2yoy-2=0与C相切；

⑵探究：黑是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

|NF|

【答案】（1）证明见解析

（2）日，理由见解析

【分析】（1）联立曲线后消去纵坐标可得一元二次方程，借助椭圆方程代入计算可得该一元二次方

程有唯一解即可得证；

（2）由（1）可得直线1的方程，即可得MN两点坐标，计算出|MF|与|NF|即可得罂.

（xx+2yoy—2=0

【详解】（1）联立|o一,整理得：（欧+2邦）、2一4而%+（4-4光）=0,

（5+y=］

又因为葭+yo=1,即诏+2羽=2,则％2-2xox+XQ=0,

即（第一％0）2=0，此方程有唯一解，即直线久0%+2yoy-2=0与椭圆C相切；

（2）由（1）知，直线I的方程为无+2y（）y—2=0，即y==^,

将直线x=1和直线％=2分别与上式联立，

由题意可得M（1,箫）,N（2,詈），

因为F（l,0）,所以|MF『=噂”,

4yo

2

,,“/I-x\XQ-2x+1%o+7o-2%+1

|/VF|129=（2-1）2+----0-=1+———U0——=———0-——

\y。，yoyo

Xo+―2x°+1（久02尸

7o2%

(2-阳))2

日斤田_2

4y%即磊为定值当

加以析一庄乔

2环

【变式3-3】已知直线y=a比(a>0)与椭圆C：9+3=l相交于点P，Q，点P在第一象限内，&,尸2分别为椭

圆的左、右焦点.

(1)设点Q到直线P&P4的距离分别为山处,求生的取值范围；

(2)已知椭圆C在点P(xo,Vo)处的切线为1•

(i)求证：切线/的方程为氾+维=1；

43

(ii)设射线Q&交I于点R,求证：△&/?2为等腰三角形.

【答案】(i)G，1)

⑵(i)证明见解析，(ii)证明见解析

【分析】(1)依题意P、Q关于原点成中心对称，不妨设P(%o，yo)(%o>o，y0>0)，则Q(-%o,-y。)，

利用等面积法得出*=霭=高-1,求出IP&I的取值范围，即可求得?的取值范围；

d2\PFi\\PFi\d2

22

(2)⑴证明椭圆京+a=l(a>6>0)上一点Oofo)处的切线方程为翳+矍=1，分斜率存在与

斜率不存在两种情况讨论，斜率存在时设过点(x°,yo)的切线方程为y=kx+m,联立椭圆方程，利用

△=0和刀1+冷=2xo，求出k,m,整理可得切线方程，即可得证；

(ii)设直线1的倾斜角为a,设直线&Q的倾斜角为0,设直线P0的倾斜角为y,可得N&RP=a-

6,^RPF1=y+n-a,禾U用两角和与差的正切公式和斜率公式可得出tanN&RP=tanNRPF],再结

合NF1RP、NRP6的取值范围可得出结论.

【详解】(1)因为P、Q为直线y=ax(a>0)与椭圆C:1+4=l的交点，且点P在第一象限，

所以P、Q关于原点成中心对称，

不妨设POo,y。)(％。>0,y。>°)，则Q(-沏，一y。)，

又F「&分别为椭圆的左、右焦点

由题意可得SAPQF]=SAPQ%，因为点Q到直线PF1/F2的距离分别为di，d2，

可需炉&|出=沙尸292，

.di_坦且_2a-|PFi|_」___]

••d2一\PF±\一|PFi|-|PFi|'

又因为|PFJ=。(久0+1)2+%=J(Xo+1)2+3-，瞪=J鸿+2X0+4=]o+2,

因为与6(0,2),所以1PF/€(2,3),所以全

(2)(i)首先证明椭圆《+《=19>6>0)上一点(4,％)处的切线方程为簧+黄

)1,

①当切线斜率存在时，设过点(久o，y0)的切线方程为y=kx+m,

y=kx+m

222222

xy_,得(炉+ak)x+2kmeix+a2m2_a2b2=。，

{+F=1

△=0,即(2七根。2)2—432,|_q2k2)(q27n2—。2b2)=。，

••・a2k2—m2+Z)2=0,

222

-T-7,C-2kma-2kaka

又/+%2=2久。=记诉==->%。=,,

把%o=丝代入y=k%+zn中，得7n=—,

u

my0

y=/ex+m=—降^+—,

a2yoy0

化简得笔+簧=1.

a2bz

②当切线斜率不存在时，过Oo，y。)的切线方程为x=±a,满足上式.

综上，椭圆上一点0°,小)的切线方程为簧+繁=1.

故椭圆C：[+[=1点P(x°,y°)处的切线的方程为卓+第=1.

4343

(ii)如图所示，设直线/的倾斜角为a,直线Q0的倾斜角为直线Pa的倾斜角为y,

因为Q(—%。,—Vo)，Fi(-1,0),椭圆C点PQo，yo)处的切线I的方程为竽+等=1，

所以幻=一器，则%七=台，焉，

因为N&RP=a—S，NRP&=y+(it—a)=y—a+ir,逋+%=1,

43

所以tanN&RP=tan(a—£)=:常鬻=

3x

="0o折yo1=x丁o^-o--yo亍=.T=3

—计(嗡)(给)—梦而—用闲一元'

tany—tana

tan/-RPF=tan(y—a+n)=tan(y—a)=------------------

11+tanytancr

1+^PF1^QF1

-Z0__f_3^0A迎靖工日迎上1r

-%o+l<4yo，_4十4+3_4十，_2_

一用葡磊Tl^k^k刀

所以tanz&RP=tanzRPFi，又4F/P、z.RPF1e(O,TT),所以"RP=NRP&,

所以为等腰三角形.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法

(1)函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.

(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围.

(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围.

(4)数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解.

【考点4直线与椭圆相交弦长问题】

【典例4］已知椭圆盘+3=l(a>6>0)的中心在原点。，焦点在x轴上，离心率为?，焦距为2.

⑴求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆的左焦点6,且斜率为1的直线1交椭圆于A,B两点，求AONB的面积.

【答案】(1在+9=1

⑵也

''9

【分析】(1)根据题意求出c,a,b即可求得椭圆的标准方程.

(2)先根据题意写出直线/的方程；再联立直线I和椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式求出|4B|,

利用点到直线距离公式求出点。到直线AB的距离；最后利用三角形面积公式即可求解.

【详解】(1)由题意可得：焦距为2c=2,离心率e=£=g,

a5

则c=1,a=V5.

又由匕2=q2_c?,得炉=4,

则直线/的方程为：y=%+1.

设8(%2，丫2)，

(y=x+1,

联立卜2y2整理可得：9%2+10X-15=0,

「丁=L

则△=102—4x9x(-15)>0,且Xi+%2=-/，%1%2=-|.

由弦长公式得|4B|=Vl+k2-JQi+%2式一4%1%2=Vl+I2-](_£)-4x(_|)=号三

又因为点。到直线AB的距离d=彳鹫=",

Vl2+122

匚匕[、ic114nlJ116V5V24V10

所以S/iOAB="।.d=]X—^―Xy=—.

【变式4-1】已知。为坐标原点，椭圆。:《+3=19>6>0)的离心率6=白，短轴长为2次.若直

线1与C在第一象限交于4B两点，[与久轴、y轴分别相交于M,N两点，|M4|=|NB|,且S^MNO=

2VL则|4B|=.

【答案】V6

【分析】结合题意可得椭圆方程，借助点差法可得岫E•施B=-|，设出直线，的方程，结合岫E-

kAB=-：可得其斜率，再借助韦达定理与弦长公式即可得解・

b=V3

【详解】由题意得£=农,解得a2=6/2=3,故椭圆。的方程为1+<=1,

a263

a2=b2+C2

设力（尤1，为）,3（＞2，%），线段力B的中点为E,连接。E,如图,

•••点4B在椭圆上，.•丹+3=1,m+咚=1,两式相减得利=一,

6363烂一必2

当+为避一秃__1

贝IJ/COE,kAB=

%1+工2好一账2,

设直线1的方程为y=kx^mfk<0fm>0,则M0),N(0,m),

v\MA\=|N8|,・・.点E也为MN的中点，・•.E(-余晟)…k0E=—k,

•••-k•k=解得k=-y,

S^MNO=2V2=-x(一五)xTTl,771>0,

m=2,故直线2的方程为y=-亨二+2,

(_V2

Iy----%+2

联立,/%，消去y整理得/-2迎1+1=0,

(6+3—1

则％i+内=2V2,xrx2=1,

2

则\AB\=y/1+k'|%1-x2|=Jl+|•J(2&y-4X1=V6,

故答案为：V6

【点睛】方法点睛：点差法是处理中点弦问题常用的求解方法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥

曲线方程，并将两式相减，式中含有勺+犯，为+刈，久2-久1，火-乃，这样就直接联系了中点和直线

的斜率，借用中点坐标公式可求得斜率.

【变式4-2】已知椭圆。:手+f=1的左焦点为尸，直线/与圆M:/+*=1相切于点p,且与。交于4B

4

两点，其中力在第一象限，B在第四象限.

（1）求|AB|的最小值；

⑵设。为坐标原点，若N4BF=2440P,求Z的方程.

【答案】⑴8

（2）x+V2y—V3=0或x—V2y-A/3=0

【分析】（1）根据题意设4（与,%）,B（x2,y2）>直线，：%=my+n,且lWn<2,再联立直线/与椭

圆C,整理得到关于y的一元二次方程，再利用韦达定理表示弦长，再结合由对勾函数的性质即可求

解；

（2）结合（1）,不妨令X］〈无2，且求出万］，x2>根据题意得到COSNNBF=cos24lOP,再根据余弦

的定义得到cosNAOP,再利用焦半径公式得到ZF,BF,再结合余弦定理表达出cos乙4BF,从而求出

n,m,进而即可求出/的方程.

【详解】（1）设4（久1加,8（久2，月），

又4在第一象限，8在第四象限，则可设直线I：x-my+n,且lWn<2,

又直线，与圆M相切，则有7t义=1,得n2=l+m2,且0工加2<3,

Vl+m2

x=my+n

联立x22_］，消％整理得(根？+4)y2+2mny+n2-4=0,

-4y-

则为+、2=一署，为〃2=篇，

所以％1+犯=岛，％.久2=笔答=高，

222

所以|A8|2=(%1-x2)+-y2)=(%1+%2)2-4%1%2+(yi+y2)-4yly2

64n2164m2n24n2—1648n248n2

_—__________________—_________—_________

(m2+4)2m2+4(m2+4)2m2+4(m2+4)2(n2+3)2

2A

——-4-8-n---=---4-8-可,Y1<Jn2<4,

n4+6n2+9n2+6+^-

又由对勾函数的性质可得f(x)=%+:在［1,3］上单调递减，在(3,4)上单调递增，

又/⑴=10,/⑷=字，所以当，=1时，"+*取得最大值，即MBH取得最小值，且最小值为3,

故当几=1,即直线，的方程为x=1时，|4B|取得最小值，且最小值为8.

（2）结合（1）,不妨令%1<%2，

则由久1+犯=岛,//2=端鲁=岛'

解得》】="备注①，&=若笋②，

^Z-ABF=2Z.AOP,贝!JCOSNZBF=cos2z_A。尸，所以COSNABF=2cos2Z-AOP-1（3）,

又|0*=J籽+比=+1-7=J1+|好,

则COSNAOP=~

又由焦半径公式有力F=a+ex1=2+/久1⑤，BF=a+ex2=2+y%2@,

又由⑴有1月阴2=溪于，则|成|=4^-Vn2

m2+4

则由余弦定理得

叫2+|BF|2TM2=总产（2+小J-9+争1）

cosZ.ABF=,⑦，

2的所-2X黑唇0+%）

联立①②③④⑤⑥⑦求得n=遮，m=±V2,

所以直线2的方程为％+V2y—V3=。或x-V2y—V3=0.

【点睛】关键点点睛：①设直线方程（注意参数的取值范围），设交点坐标为201，%），B（x2,y2）；

②联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算A；③根据韦达定

理；④结合弦长公式；⑤利用对勾函数的性质是解答小问（1）的关键.灵活运用二倍角公式，焦半

径公式，余弦定理是解答小问（2）的关键.

【变式4-3】已知椭圆C:=+1=1,点N（0,l）,斜率不为0的直线1与椭圆C交于点4B,与圆N相切且切

o4

点为为48中点.

⑴求圆N的半径r的取值范围；

（2）求|48|的取值范围.

【答案】（1）（2,aU）

（2）（0,276）

【分析】

（1）设直线/方程，联立直线/方程与椭圆方程可得打+牝，/冷，进而可求得点m坐标，由圆N与

直线/相切于点M可得魇乂=-%进而可求得2k2+1=—代入△>0可求得0<1<|,进而求出

r=27k2+1的范围即可.

（2）由弦长公式可得|AB|=J（3-富"I）（0<卜2<|）,运用换元法即可求得结果.

【详解】（1）如图所示,

N

O

由题意知，直线/的斜率存在且不为0,设直线/方程为丫=/cX+m（kwo）,/（%1，%），8（%2，丫2），

设圆N的半径为r,

cy=kx+m

222

1%2y2今(2k+l)x+4fcmx+2m—8=0,

(—I—=1

l84

△=16k2m2—4(2k2+l)(2m2—8)=8(8fc2—m2+4)>0,

所以为+y2=k(Xi+x2)+2m=+2m=

ZA.T±Z/VT±

又因为M为4B的中点，所以Mg职,登)，

'2H+12/c2